شكل الأرض الإهليلجي

يُعدّ شكل الأرض الإهليلجي أو الكروي شكلاً رياضياً يُقارب شكل الأرض وحجمها ، ويُستخدم كجزء من إطار مرجعي للإحداثيات والحسابات في علم الجيوديسيا وعلم الفلك وعلوم الأرض . وقد استُخدمت أشكال إهليلجية مرجعية مختلفة كتقريبات.

هو شكل كروي مفلطح (إهليلج دوراني ) محوره الأصغر (القطر القطبي)، الذي يربط القطبين الجغرافيين ، يتماشى تقريبًا مع محور دوران الأرض . ويُحدد الإهليلج أيضًا بمحوره الأكبر ( المحور الاستوائي )؛ والفرق بين المحورين يزيد قليلًا عن 21  كيلومترًا أو 0.335%.

توجد طرق عديدة لتحديد محاور سطح الأرض الإهليلجي، بدءًا من أقواس خطوط الطول وصولًا إلى الجيوديسيا الفضائية الحديثة أو تحليل وربط الشبكات الجيوديسية القارية . ومن بين مجموعات البيانات المختلفة المستخدمة في المسوحات الوطنية، توجد عدة بيانات ذات أهمية خاصة: إهليلج بيسل لعام 1841، وإهليلج هايفورد الدولي لعام 1924، وإهليلج WGS84 (لتحديد المواقع باستخدام نظام تحديد المواقع العالمي GPS ) .

يوجد نوعان من القطع الناقص: المتوسط ​​والمرجعي.

تُسمى مجموعة البيانات التي تصف المتوسط ​​العالمي لانحناء سطح الأرض بمتوسط ​​الإهليلج الأرضي . ويشير هذا المصطلح إلى توافق نظري بين خط العرض الجغرافي وانحناء الجيود في اتجاه الزوال . ويكون هذا الأخير قريبًا من متوسط ​​مستوى سطح البحر ، وبالتالي فإن الإهليلج الأرضي المثالي له نفس حجم الجيود.

بينما يُعدّ الشكل الإهليلجي المتوسط ​​للأرض الأساس الأمثل للجيوديسيا العالمية، قد يكون الشكل الإهليلجي المرجعي الخيار الأفضل للشبكات الإقليمية . ^{[ 1 ]} عندما يتعين حساب القياسات الجيوديسية على سطح مرجعي رياضي، يجب أن يكون لهذا السطح انحناء مشابه لانحناء الجيود الإقليمي؛ وإلا، فإن اختزال القياسات سيؤدي إلى تشوهات طفيفة.

هذا هو سبب "طول عمر" الأشكال الإهليلجية المرجعية القديمة، مثل شكل هايفورد أو شكل بيسل الإهليلجي ، على الرغم من انحراف محاورها الرئيسية بمئات الأمتار عن القيم الحديثة. وهناك سبب آخر ذو طابع قانوني: إذ يجب أن تبقى إحداثيات ملايين الأحجار الحدودية ثابتة لفترة طويلة. فإذا تغير سطحها المرجعي، تتغير الإحداثيات نفسها.

مع ذلك، بالنسبة للشبكات الدولية، أو تحديد المواقع عبر نظام تحديد المواقع العالمي (GPS )، أو علم الفلك ، فإن هذه الأسباب الإقليمية أقل أهمية. ومع ازدياد دقة معرفتنا بشكل الأرض ، يقوم الاتحاد الدولي لعلوم الأرض والجيوفيزياء (IUGG) عادةً بتعديل محاور مجسم الأرض الإهليلجي وفقًا لأفضل البيانات المتاحة.

القطع الناقص المرجعي

في علم الجيوديسيا ، يُعدّ الإهليلج المرجعي سطحًا مُعرّفًا رياضيًا يُقارب الجيود ، وهو الشكل الحقيقي غير الكامل للأرض أو أي جرم سماوي آخر، على عكس الكرة المثالية الملساء غير المُعدّلة، التي تأخذ في الحسبان تموجات جاذبية الأجرام نتيجةً لاختلافات في تركيب وكثافة باطنها ، بالإضافة إلى التسطح الناتج عن قوة الطرد المركزي من دوران هذه الأجسام الضخمة (بالنسبة للأجرام السماوية التي تدور). ونظرًا لبساطتها النسبية ، تُستخدم الإهليلجات المرجعية كسطح مُفضّل لإجراء حسابات الشبكة الجيوديسية وتحديد إحداثيات النقاط مثل خطوط العرض والطول والارتفاع .

في سياق التقييس والتطبيقات الجغرافية، يعتبر الشكل الإهليلجي المرجعي الجيوديسي النموذج الرياضي المستخدم كأساس لتعريفات نظام المرجع المكاني أو المرجع الجيوديسي .

في الجيوفيزياء والجيوديسيا والمجالات ذات الصلة، يُفهم مصطلح "القطع الناقص" على أنه "قطع ناقص دوراني مفلطح"، ونادرًا ما يُستخدم المصطلح الأقدم "الشكل الكروي المفلطح". ^{[ 2 ] [ 3 ]} أما بالنسبة للأجسام التي لا يمكن تقريبها بدقة باستخدام قطع ناقص دوراني، فيُستخدم قطع ناقص ثلاثي المحاور (أو مختلف الأضلاع).

يتحدد شكل القطع الناقص الدوراني بمعاملات شكله . يصبح نصف المحور الأكبر للقطع الناقص، a ، نصف قطره الاستوائي؛ ويصبح نصف المحور الأصغر ، b ، المسافة من المركز إلى أي من قطبيه. هذان الطولان يحددان شكل القطع الناقص بشكل كامل.

ومع ذلك، في منشورات الجيوديسيا، من الشائع تحديد المحور شبه الرئيسي (نصف القطر الاستوائي) a والتسطيح f ، المعرف على النحو التالي:

${\displaystyle f={\frac {ab}{a}}.}$

أي أن f هي مقدار التسطح عند كل قطب، نسبةً إلى نصف القطر عند خط الاستواء. وغالبًا ما يُعبَّر عنها بالكسر 1/ m ؛ حيث m = 1/ f، وهو ما يُعرف بـ "التسطح العكسي". تُستخدم العديد من معلمات القطع الناقص الأخرى في علم الجيوديسيا، ولكن يمكن ربطها جميعًا بواحد أو اثنين من المجموعة a و b و f .

استُخدمت العديد من الأشكال الإهليلجية لنمذجة الأرض في الماضي، بافتراض قيم مختلفة لـ a و b، بالإضافة إلى مواقع مركزية مختلفة، واتجاهات محاور مختلفة بالنسبة للأرض الصلبة. وابتداءً من أواخر القرن العشرين، أتاحت القياسات المحسّنة لمدارات الأقمار الصناعية ومواقع النجوم تحديدات دقيقة للغاية لمركز كتلة الأرض ومحور دورانها؛ وقد اعتُمدت هذه المعايير أيضًا لجميع الأشكال الإهليلجية المرجعية الحديثة.

يبلغ تسطح الإهليلج WGS-84 ، المستخدم على نطاق واسع في رسم الخرائط والملاحة عبر الأقمار الصناعية، حوالي 1/300 (أو تحديدًا 1/298.257223563، بحسب التعريف)، ما يُعادل فرقًا بين نصفي المحورين الرئيسي والثانوي يبلغ حوالي 21 كيلومترًا (13 ميلًا) (أو تحديدًا 21.3846857548205 كيلومترًا). وللمقارنة، فإن قمر الأرض أقل إهليلجية، حيث يبلغ تسطحه أقل من 1/825، بينما يبدو كوكب المشتري مفلطحًا بشكل واضح عند حوالي 1/15، أما قمر تيليستو ، أحد أقمار زحل ثلاثية المحاور ، فهو مفلطح للغاية، حيث يتراوح تسطحه بين 1/3 و1/2 (أي أن قطره القطبي يتراوح بين 50% و67% من قطره الاستوائي). 

يُعد قياس القوس الطريقة التاريخية لتحديد شكل القطع الناقص. يسمح قياسان لقوس خط الزوال باستخلاص مُعاملين ضروريين لتحديد شكل القطع الناقص المرجعي. على سبيل المثال، إذا أُجريت القياسات افتراضيًا فوق مستوى خط الاستواء وأحد القطبين الجغرافيين، فإن أنصاف أقطار الانحناء المُستنتجة ستكون مرتبطة بنصف قطر الانحناء الاستوائي ونصف قطر الانحناء القطبي، على التوالي a و b (انظر: نصف قطر انحناء الأرض القطبي والاستوائي ). عندئذٍ، يُمكن استنتاج التسطح بسهولة من تعريفه.

${\displaystyle f=(ab)/a}$.

لقياسين قوسيين، كل منهما عند خطوط عرض متوسطة عشوائية.${\displaystyle \varphi _{i}}$،${\displaystyle i=1,\,2}$، يبدأ الحل من تقريب أولي لنصف القطر الاستوائي${\displaystyle a_{0}}$وللتسوية${\displaystyle f_{0}}$نصف قطر انحناء الأرض النظري في اتجاه الزوال${\displaystyle M_{0}(\varphi _{i})}$يمكن حسابها عند خط عرض كل قياس قوس على النحو التالي:

${\displaystyle M_{0}(\varphi _{i})={\frac {a(1-e^{2})}{(1-e_{0}^{2}\sin ^{2}\varphi _{i})^{\frac {3}{2}}}}}$

أين${\displaystyle e_{0}^{2}=2f_{0}-f_{0}^{2}}$[ ^{4 ]} عندئذٍ يمكن تكوين اختلافات بين القيم التجريبية والنظرية لنصف قطر الانحناء على النحو التالي ^:${\displaystyle \delta M_{i}=M_{i}-M_{0}(\varphi _{i})}$وأخيرًا، تصحيحات لنصف القطر الاستوائي الأولي${\displaystyle \delta a}$والتسطيح${\displaystyle \delta f}$يمكن حلها بواسطة نظام من المعادلات الخطية المصاغة عبر عملية التخطيط الخطي لـ${\displaystyle M}$: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \delta M_{i}\approx \delta a(\partial M/\partial a)+\delta f(\partial M/\partial f)}$

حيث تكون المشتقات الجزئية كما يلي: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \partial M/\partial a\approx 1}$

${\displaystyle \partial M/\partial f\approx -2a_{0}(1-1.5\sin ^{2}\varphi _{i})}$

يمكن للأقواس الأطول، مع تحديدات متعددة لخطوط العرض المتوسطة، أن تحدد بدقة القطع الناقص الذي يُناسب المنطقة التي تم مسحها. عمليًا، تُستخدم قياسات متعددة للأقواس لتحديد معلمات القطع الناقص باستخدام طريقة تعديل المربعات الصغرى . عادةً ما تكون المعلمات المُحددة هي نصف المحور الأكبر.${\displaystyle a}$وأي من المحاور شبه الصغرى،${\displaystyle b}$، أو التسطيح ، أو اللامركزية.

تعكس التأثيرات المنهجية على المستوى الإقليمي التي لوحظت في قياسات نصف قطر الانحناء تموج الجيود وانحراف العمودي ، كما تم استكشافه في التسوية الجيوديسية الفلكية .

تُعد قياسات الجاذبية تقنية أخرى لتحديد تسطح الأرض، وفقًا لنظرية كليروت .

لم تعد الجيوديسيا الحديثة تستخدم أقواس الزوال البسيطة أو شبكات التثليث الأرضي، بل تستخدم أساليب الجيوديسيا الفضائية ، وخاصة قياس الجاذبية الفضائية .

في عام 1687، نشر إسحاق نيوتن كتابه "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" (Principia) ، والذي تضمن برهانًا على أن الجسم السائل الدوار الذي يخضع لجاذبية ذاتية في حالة توازن يتخذ شكل قطع ناقص مفلطح ("مفلطح") دوراني، ناتج عن دوران قطع ناقص حول قطره الأصغر؛ وهو شكل أطلق عليه اسم " الكروي المفلطح" . ^{[ 8 ] [ 9 ]}

في عام 1669، وجد جان بيكار أول قيمة دقيقة وموثوقة لنصف قطر الأرض ، وهي 6365.6 كيلومترًا . ^{[ 10 ] [ 11 ]} كانت ملاحظات بيكار الجيوديسية مقتصرة على تحديد حجم الأرض باعتبارها كرة، لكن اكتشاف جان ريشر لفت انتباه علماء الرياضيات إلى انحراف الأرض عن الشكل الكروي. ^{[ 12 ] [ 13 ]} اكتشف كريستيان هويغنز قوة الطرد المركزي التي تفسر تغيرات تسارع الجاذبية تبعًا لخط العرض . ^{[ 14 ]}

في عام 1743، اقترح ألكسيس كليروت نظريةً مفادها أن دراسة تغيرات تسارع الجاذبية الأرضية تُعدّ وسيلةً لتحديد شكل الأرض ، وأنّ معيارها الأساسي هو تفلطح سطح الأرض الإهليلجي. ^{[ 14 ] [ 11 ]} ومع نهاية القرن الثامن عشر، سعى الجيوديسيون إلى التوفيق بين قيم التفلطح المستنتجة من قياسات أقواس خط الزوال وتلك التي قدمتها نظرية كليروت المستنتجة من قياس الجاذبية . ^{[ 11 ] [ 15 ]} وفي عام 1799، اعتمدت لجنة الأوزان والمقاييس قيمة تفلطح قدرها 1/334 بناءً على تحليل بيير سيمون لابلاس الذي جمع بين ^قوس بيرو وبيانات قوس خط زوال ديلامبر وميشان . ^{[ 16 ] : 3 [ 16 ]} [ ^{17 ]}

أشكال الأرض الإهليلجية التاريخية

لقد كان لنماذج القطع الناقص المرجعية المذكورة أدناه فائدة كبيرة في أعمال الجيوديسيا، ولا يزال العديد منها قيد الاستخدام. سُميت القطع الناقص القديمة نسبةً إلى الشخص الذي ابتكرها، مع ذكر سنة تطويرها. في عام 1887، مُنح المساح الإنجليزي الكولونيل ألكسندر روس كلارك ، الحائز على وسام الإمبراطورية البريطانية وزميل الجمعية الملكية وعضو الأكاديمية الملكية للهندسة، الميدالية الذهبية للجمعية الملكية لعمله في تحديد شكل الأرض. طوّر جون فيلمور هايفورد القطع الناقص الدولي في عام 1910، واعتمده الاتحاد الدولي للجيوديسيا والجيوفيزياء (IUGG) في عام 1924، موصيًا باستخدامه دوليًا.

في اجتماع الاتحاد الدولي للجيوديسيا والجيوفيزياء (IUGG) الذي عُقد في لوسيرن بسويسرا عام 1967، تم التوصية باعتماد الإهليلج المسمى GRS-67 ( نظام الإسناد الجيوديسي 1967). لم يُوصى باستخدام هذا الإهليلج الجديد كبديل للإهليلج الدولي (1924)، وإنما تم الترويج لاستخدامه في الحالات التي تتطلب دقة أعلى. أصبح جزءًا من نظام GRS-67 الذي تمت الموافقة عليه واعتماده في اجتماع الاتحاد الدولي للجيوديسيا والجيوفيزياء الذي عُقد في موسكو عام 1971. ويُستخدم هذا النظام في أستراليا كمرجع جيوديسي أسترالي، وفي مرجع أمريكا الجنوبية لعام 1969.

يعتمد نظام GRS-80 (نظام الإسناد الجيوديسي 1980) كما تمت الموافقة عليه واعتماده من قبل الاتحاد الدولي للجيوديسيا والجيوفيزياء في اجتماعه في كانبرا، أستراليا عام 1979 على نصف القطر الاستوائي (نصف المحور الرئيسي لشكل الأرض الإهليلجي).${\displaystyle a}$الكتلة الكلية${\displaystyle GM}$عامل الشكل الديناميكي${\displaystyle J_{2}}$والسرعة الزاوية للدوران${\displaystyle \omega }$مما يؤدي إلى تسطيح عكسي${\displaystyle 1/f}$كمية مشتقة. الفرق الطفيف في${\displaystyle 1/f}$ينتج الاختلاف الملحوظ بين GRS-80 وWGS-84 عن اقتطاع غير مقصود في ثوابت تعريف الأخير: فبينما صُمم WGS-84 ليتوافق بشكل وثيق مع GRS-80، إلا أن التسطيح المُشتق من WGS-84 اختلف قليلاً عن التسطيح المُشتق من GRS-80، وذلك لأن معامل الجاذبية التوافقي المداري من الدرجة الثانية المُعَيَّر، والذي تم اشتقاقه من قيمة GRS-80 لـ${\displaystyle J_{2}}$تم اقتطاعها إلى ثمانية أرقام معنوية في عملية التطبيع. ^{[ 18 ]}

يصف النموذج الإهليلجي هندسة الإهليلج فقط، بالإضافة إلى صيغة مجال الجاذبية العمودية المرتبطة بها. وعادةً ما يكون النموذج الإهليلجي جزءًا من مرجع جيوديسي أشمل. فعلى سبيل المثال، يعتمد المرجع الأوروبي ED-50 ( المرجع الأوروبي لعام 1950 ) على الإهليلج الدولي أو إهليلج هايفورد . ويتميز نظام WGS-84 باستخدام الاسم نفسه لكل من نظام الإسناد الجيوديسي الكامل ونموذجه الإهليلجي المكون له. ومع ذلك، يظل المفهومان - النموذج الإهليلجي ونظام الإسناد الجيوديسي - متميزين.

لاحظ أن نفس الشكل الإهليلجي قد يُعرف بأسماء مختلفة. من الأفضل ذكر الثوابت الأساسية لتحديده بدقة.

اسم القطع الناقص المرجعي	نصف القطر الاستوائي (م)	نصف القطر القطبي (م)	التسطيح العكسي	مكان الاستخدام
موبيرتوي (1738)	6,397,300	6,363,806.283	191	فرنسا
بليسيس (1817)	6,376,523.0	6,355,862.9333	308.64	فرنسا
إيفرست (1830)	6,377,299.365	6,356,098.359	300.80172554	الهند
إيفرست 1830 المعدلة (1967)	6,377,304.063	6,356,103.0390	300.8017	غرب ماليزيا وسنغافورة
إيفرست 1830 (تعريف عام 1967)	6,377,298.556	6,356,097.550	300.8017	بروناي وشرق ماليزيا
إيري (1830)	6,377,563.396	6,356,256.909	299.3249646	بريطانيا
بيسيل (1841)	6,377,397.155	6,356,078.963	299.1528128	أوروبا، اليابان
كلارك (1866)	6,378,206.4	6,356,583.8	294.9786982	أمريكا الشمالية
كلارك (1878)	6,378,190	6,356,456	293.4659980	أمريكا الشمالية
كلارك (1880)	6,378,249.145	6,356,514.870	293.465	فرنسا، أفريقيا
هيلمرت (1906)	6,378,200	6,356,818.17	298.3	مصر
هايفورد (1910)	6,378,388	6,356,911.946	297	نحن
دولي (1924)	6,378,388	6,356,911.946	297	أوروبا
كراسوفسكي (1940)	6,378,245	6,356,863.019	298.3	الاتحاد السوفيتي، روسيا، رومانيا
WGS66 (1966)	6,378,145	6,356,759.769	298.25	الولايات المتحدة/وزارة الدفاع
الخطوط الوطنية الأسترالية (1966)	6,378,160	6,356,774.719	298.25	أستراليا
نيو إنترناشونال (1967)	6,378,157.5	6,356,772.2	298.24961539
GRS-67 (1967)	6,378,160	6,356,774.516	298.247167427
أمريكا الجنوبية (1969)	6,378,160	6,356,774.719	298.25	أمريكا الجنوبية
WGS-72 (1972)	6,378,135	6,356,750.52	298.26	الولايات المتحدة/وزارة الدفاع
GRS-80 (1979)	6,378,137	6,356,752.3141	298.257222101	نظام الإبلاغ الدولي العالمي [ 19 ]
WGS-84 (1984)	6,378,137	6,356,752.3142	298.257223563	Global GPS
IERS (1989)	6,378,136	6,356,751.302	298.257
IERS (2003)[20]	6,378,136.6	6,356,751.9	298.25642	[19]

• Equatorial bulge
• Earth radius of curvature
• Geodetic datum
• Geoid
• Great ellipse
• Meridian arc
• Normal gravity
• Planetary coordinate system
• History of geodesy
• Planetary ellipsoid

• نظام الإحداثيات الجغرافية
• أنظمة الإحداثيات والتحويلات ( صفحة مساعدة SPENVIS )
• أنظمة الإحداثيات والإطارات والمراجع