الجاذبية النظرية

في علم الجيوديسيا والجيوفيزياء ، تُعدّ الجاذبية النظرية أو الجاذبية العادية تقريبًا لجاذبية الأرض ، على سطحها أو بالقرب منه، باستخدام نموذج رياضي . النموذج النظري الأكثر شيوعًا هو شكل بيضاوي دوراني للأرض (أي شكل كروي ).

يمكن استخدام تمثيلات أخرى للجاذبية في دراسة وتحليل أجرام سماوية أخرى، مثل الكويكبات . تشمل التمثيلات الشائعة الاستخدام لحقل الجاذبية في سياق علم الجيوديسيا التوافقيات الكروية ، ونماذج ماسكون، وتمثيلات الجاذبية متعددة السطوح. ^{[ 1 ]}

يعتمد نوع نموذج الجاذبية المستخدم للأرض على درجة الدقة المطلوبة لحل مشكلة معينة. بالنسبة للعديد من المشاكل، مثل محاكاة الطائرات، قد يكون من الكافي اعتبار الجاذبية ثابتة، كما هو مُعرَّف على النحو التالي: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle g=g_{45}=}$9.80665 م/ث² ⁽ 32.1740 قدم/ ^ث² )  

استناداً إلى بيانات من النظام الجيوديسي العالمي لعام 1984 ( WGS-84 )، حيث${\displaystyle g}$من المفهوم أن يشير إلى "الأسفل" في الإطار المرجعي المحلي.

إذا كان من المرغوب فيه نمذجة وزن جسم ما على الأرض كدالة لخط العرض ، فيمكن استخدام ما يلي: ^{[ 2 ] : 41}

${\displaystyle g=g_{45}-{\tfrac {1}{2}}(g_{\mathrm {poles} }-g_{\mathrm {equator} })\cos \left(2\,\varphi \cdot {\frac {\pi }{180}}\right)}$

أين

• ${\displaystyle g_{\mathrm {poles} }}$= 9.832 م/ ^ث² (32.26 قدم/ ^ث² )  
• ${\displaystyle g_{45}}$= 9.806 م/ ^ث² (32.17 قدم/ ^ث² )  
• ${\displaystyle g_{\mathrm {equator} }}$= 9.780 م/ ^ث² (32.09 قدم/ ^ث² )  
• ${\displaystyle \varphi }$= خط العرض، بين -90° و +90°

لا يأخذ أيٌّ من هذين النموذجين في الحسبان تغيرات الجاذبية مع تغيرات الارتفاع، لكن النموذج الذي يستخدم دالة جيب التمام يأخذ في الاعتبار التضاريس الناتجة عن دوران الأرض بفعل قوة الطرد المركزي. على الكرة الدوارة، ينتج عن مجموع قوة مجال الجاذبية وقوة الطرد المركزي انحراف زاوي مقداره تقريبًا

${\displaystyle {\frac {\sin(2\varphi )}{2g}}{R\Omega ^{2}}}$

(بالراديان) بين اتجاه مجال الجاذبية والاتجاه المقاس بواسطة خط الشاقول؛ يبدو أن خط الشاقول يشير إلى الجنوب في نصف الكرة الشمالي وإلى الشمال في نصف الكرة الجنوبي.${\displaystyle \Omega \approx 7.29\times 10^{-5}}$rad/s هي السرعة الزاوية اليومية لمحور الأرض، و${\displaystyle R\approx 6370}$كم نصف قطر الكرة المرجعية، و${\displaystyle R\sin \varphi }$المسافة بين النقطة على قشرة الأرض ومحور الأرض. ^{[ 3 ]}

بالنسبة لتأثير التجاذب الكتلي وحده، يكون تسارع الجاذبية عند خط الاستواء أقل بنحو 0.18% من تسارعها عند القطبين، وذلك لبُعدها عن مركز الكتلة. وعند إضافة مُركّب الدوران (كما ذُكر سابقًا)، تصبح الجاذبية عند خط الاستواء أقل بنحو 0.53% من تسارعها عند القطبين، حيث لا تتأثر الجاذبية عند القطبين بالدوران. لذا، فإن مُركّب الدوران الناتج عن خط العرض (0.35%) يُعدّ ضعف تأثير تغير التجاذب الكتلي الناتج عن خط العرض (0.18%) تقريبًا، إلا أن كليهما يُقلّل من قوة الجاذبية عند خط الاستواء مقارنةً بالجاذبية عند القطبين.

تجدر الإشارة إلى أن مدارات الأقمار الصناعية منفصلة عن دوران الأرض، لذا فإن الفترة المدارية ليست بالضرورة يومًا واحدًا، كما أن الأخطاء قد تتراكم على مدارات متعددة، مما يجعل الدقة أمرًا بالغ الأهمية. في مثل هذه الحالات، يكون دوران الأرض غير ذي أهمية ما لم يتم نمذجة التغيرات مع خط الطول. كذلك، يصبح تغير الجاذبية مع الارتفاع مهمًا، لا سيما في المدارات الإهليلجية للغاية.

يحتوي نموذج جاذبية الأرض لعام 1996 ( EGM96 ) على 130,676 معاملًا تُحسّن نموذج مجال جاذبية الأرض. ^{[ 2 ] : 40} يُعدّ معامل التصحيح الأكثر أهمية أكبر بنحو مئتي ضعف من المعامل الذي يليه في الأهمية. ^{[ 2 ] : 40} ويُشار إلى هذا المعامل باسم${\displaystyle J_{2}}$يُفسر هذا المصطلح تسطح قطبي الأرض، أو ما يُعرف بتفلطحها . يمكن كتابة دالة جهد الجاذبية لتغير طاقة الوضع لوحدة كتلة تُنقل من اللانهاية إلى قرب الأرض. وبأخذ المشتقات الجزئية لهذه الدالة بالنسبة لنظام إحداثيات، يُمكن تحديد المركبات الاتجاهية لمتجه تسارع الجاذبية، كدالة للموقع. ويمكن بعد ذلك تضمين المركبة الناتجة عن دوران الأرض ، إذا لزم الأمر، بناءً على اليوم النجمي بالنسبة للنجوم (≈366.24 يومًا/سنة) بدلاً من اليوم الشمسي (≈365.24 يومًا/سنة). وتكون هذه المركبة عمودية على محور الدوران وليس على سطح الأرض.

يمكن العثور على نموذج مماثل معدل وفقًا لهندسة ومجال الجاذبية للمريخ في منشور NASA SP-8010. ^{[ 4 ]}

يُعطى التسارع الجاذبي المركزي عند نقطة في الفضاء بالصيغة التالية :

${\displaystyle \mathbf {g} =-{GM \over r^{2}}\mathbf {\hat {r}} }$

أين:

M هي كتلة الجسم الجاذب،${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {r}} }$يمثل متجه الوحدة من مركز كتلة الجسم الجاذب إلى مركز كتلة الجسم المتسارع، و r هي المسافة بين الجسمين، و G هو ثابت الجاذبية .

عند إجراء هذه الحسابات للأجسام على سطح الأرض، أو الطائرات التي تدور مع الأرض، يجب مراعاة دوران الأرض وطرح التسارع المركزي من القيمة. على سبيل المثال، تعطي المعادلة أعلاه التسارع عند 9.820  م/ ^ث² ، عندما يكون GM = 3.986 × 10¹⁴ ^م³ / ث² ^، و R = 6.371 × ^10⁶ م. نصف القطر المركزي هو r = R cos( ^φ ) ، ووحدة الزمن المركزي تقريبًا ( يوم / 2π ) ، مما يقلل هذه القيمة، عند r = 5 × 10⁶ ^م ، إلى 9.79379  م/ ^ث² ، وهي أقرب إلى القيمة المرصودة.

تُعرف الصيغ المختلفة، التي تزداد دقةً مع مرور الوقت، لحساب الجاذبية النظرية باسم الصيغة الدولية للجاذبية ، وقد اقترحت أول صيغة منها عام 1930 من قبل الرابطة الدولية للجيوديسيا . والشكل العام لهذه الصيغة هو:

${\displaystyle g(\phi )=g_{e}\left(1+A\sin ^{2}(\phi )-B\sin ^{2}(2\phi )\right),}$

حيث g ( φ ) هي الجاذبية كدالة لخط العرض الجغرافي φ للموقع المراد تحديد جاذبيته،${\displaystyle g_{e}}$تشير إلى الجاذبية عند خط الاستواء (كما تم تحديدها بالقياس)، والمعاملان A و B هما معلمات يجب اختيارها للحصول على تطابق عالمي جيد مع الجاذبية الحقيقية. ^{[ 5 ]}

باستخدام قيم نظام الإسناد GRS80 ، يتم تقديم صيغة محددة شائعة الاستخدام للصيغة أعلاه على النحو التالي:

${\displaystyle g(\phi )=9.780327\left(1+0.0053024\sin ^{2}(\phi )-0.0000058\sin ^{2}(2\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2}.}$^{[ 5 ]}

باستخدام صيغة الزاوية المزدوجة المناسبة بالإضافة إلى متطابقة فيثاغورس ، يمكن إعادة كتابة ذلك في صيغ مكافئة

$\begin{aligned}g(\phi) = 9.780327(1 + 0.0052792\sin^2(\phi) + 0.0000232\sin^4(\phi)\right)\,\mathrm{ms}^-2,\\& = 9.780327(1.0053024 - 0.0053256\cos^2(\phi) + 0.0000232\cos^4(\phi)\right)\,\mathrm{ms}^-2,\\& = 9.780327(1.0026454 - 0.0026512\cos(2\phi) + 0.0000058\cos^2(2\phi) )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2}.\end{aligned}}\,\!}$

حتى ستينيات القرن العشرين، كانت تُستخدم غالبًا صيغٌ تستند إلى مجسم هايفورد الإهليلجي (1924) ومجسم الجيوديسي الألماني الشهير هيلمرت (1906). والفرق بين المحور شبه الرئيسي (نصف القطر الاستوائي) لمجسم هايفورد الإهليلجي ومجسم WGS84 الإهليلجي الحديث هو251  مترًا ؛ بالنسبة لقطع ناقص هيلمرت، فهو فقط63  م .

الصيغة النظرية الأحدث للجاذبية كدالة لخط العرض هي الصيغة الدولية للجاذبية لعام 1980 (IGF80)، والتي تستند أيضًا إلى القطع الناقص GRS80 ولكنها تستخدم الآن معادلة سوميليانا (نسبة إلى كارلو سوميليانا (1860-1955) ^{[ 6 ]} ):

${\displaystyle g(\phi )=g_{e}\left[{\frac {1+k\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}(\phi )}}}\right],\,\!}$

حيث، ^{[ 7 ]}

• ${\displaystyle k={\frac {bg_{p}-ag_{e}}{ag_{e}}}}$(ثابت الصيغة)؛
• ${\displaystyle g_{e},g_{p}}$هي الجاذبية المحددة عند خط الاستواء والقطبين، على التوالي؛
• ${\displaystyle a,b}$وهما المحوران الاستوائي والقطبي على التوالي؛
• ${\displaystyle e^{2}={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}}$هو مربع اللامركزية للشكل الكروي ؛

توفير،

${\displaystyle g(\phi )=9.7803267715\left[{\frac {1+0.001931851353\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-0.0066943800229\sin ^{2}(\phi )}}}\right]\,\mathrm {ms} ^{-2}.}$^{[ 5 ]}

أما التحسين اللاحق، والمستند إلى الإهليلج WGS84 ، فهو صيغة الجاذبية الإهليلجية WGS ( النظام الجيوديسي العالمي ) 1984: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle g(\phi )=9.7803253359\left[{\frac {1+0.00193185265241\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-0.00669437999013\sin ^{2}(\phi )}}}\right]\,\mathrm {ms} ^ {-2}.}$

(أين${\displaystyle g_{p}}$= 9.8321849378 مللي ثانية ⁻² )

إن الفرق مع IGF80 غير مهم عند استخدامه لأغراض جيوفيزيائية ، ^{[ 5 ]} ولكنه قد يكون مهمًا للاستخدامات الأخرى.

تم تقريب صيغة سوميليانا من خلال متسلسلات مختلفة ، باتباع هذا المخطط:

${\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )=\gamma _{a}\cdot (1+\beta \cdot \sin ^{2}\varphi +\beta _{1}\cdot \sin ^{2}2\varphi +\dots )}$

حدد كاسينيس اعتماد الارتفاع، على النحو التالي:

${\displaystyle g(\varphi ,h)=g_{0}(\varphi )-\left(3{.}08\cdot 10^{-6}\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}-4{.}19\cdot 10^{-7}\,{\frac {\mathrm {cm} ^{3}}{\mathrm {g} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}\cdot \rho \right)\cdot h}$

لم يعد يتم أخذ متوسط ​​كثافة الصخور ρ في الاعتبار. 

منذ عام 1967، أصبح الاعتماد على الارتفاع الإهليلجي h كما يلي: 

${\displaystyle {\begin{aligned}g(\varphi ,h)&=g_{0}(\varphi )-\left(1-1{.}39\cdot 10^{-3}\cdot \sin ^{2}(\varphi )\right)\cdot 3{.}0877\cdot 10^{-6}\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot h+7{.}2\cdot 10^{-13}\,{\frac {1}{\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}\cdot h^{2}\\&=g_{0}(\varphi )-\left(3{.}0877\cdot 10^{-6}-4{.}3\cdot 10^{-9}\cdot \sin ^{2}(\varphi )\right)\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot h+7{.}2\cdot 10^{-13}\,{\frac {1}{\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}\cdot h^{2}\end{aligned}}}$

وهناك تعبير آخر هو:

${\displaystyle g(\varphi ,h)=g_{0}(\varphi )\cdot (1-(k_{1}-k_{2}\cdot \sin ^{2}\varphi )\cdot h+k_{3}\cdot h^{2})}$

باستخدام المعايير المستمدة من GRS80:

• ${\displaystyle k_{1}=2\cdot (1+f+m)/a=3{.}157\,04\cdot 10^{-7}\,\mathrm {m^{-1}} }$
• ${\displaystyle k_{2}=4\cdot f/a=2{.}102\,69\cdot 10^{-9}\,\mathrm {m^{-1}} }$
• ${\displaystyle k_{3}=3/(a^{2})=7{.}374\,52\cdot 10^{-14}\,\mathrm {m^{-2}} }$

أين${\displaystyle m}$مع${\displaystyle \omega =7.2921150\cdot 10^{-5}\ rad\cdot s^{-1}}$[ ^{8 ]​}

${\displaystyle m={\frac {\omega ^{2}\cdot a^{2}\cdot b}{GM}}}$

هذا التعديل مناسب تقريبًا للارتفاعات الشائعة في الطيران ؛ ولكن بالنسبة للارتفاعات التي تصل إلى الفضاء الخارجي (أكثر من 100  كيلومتر تقريبًا) فهو خارج النطاق .

في جميع مكاتب المعايير الألمانية، يتم حساب تسارع السقوط الحر g بالنسبة لمتوسط ​​خط العرض φ ومتوسط ​​الارتفاع فوق مستوى سطح البحر h باستخدام صيغة WELMEC :   

${\displaystyle g(\varphi ,h)=\left(1+0{.}0053024\cdot \sin ^{2}(\varphi )-0{.}0000058\cdot \sin ^{2}(2\varphi )\right)\cdot 9{.}780318{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}-0{.}000003085\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot h}$

تستند الصيغة إلى صيغة الجاذبية الدولية لعام  1967.

يجب تحديد مقياس تسارع السقوط الحر في مكان معين بدقة عالية من خلال قياس عدة مقادير ميكانيكية. تعتمد موازين الوزن، التي تقيس كتلتها بناءً على وزنها، على تسارع السقوط الحر، لذا يجب ضبطها بثوابت مختلفة في أماكن استخدامها المختلفة. من خلال مفهوم ما يُسمى بمناطق الجاذبية، والتي تُقسّم باستخدام الجاذبية الأرضية، يمكن معايرة ميزان الوزن من قِبل الشركة المصنعة قبل الاستخدام. ^{[ 9 ]}

تسارع السقوط الحر في شفاينفورت :

بيانات:

• خط العرض: 50°  3′  24″  = 50.0567°
• الارتفاع فوق مستوى سطح البحر: 229.7  متر
• كثافة الصفائح الصخرية: حوالي 2.6  جم/ ^سم³
• تسارع السقوط الحر المقاس: g  =  9.8100 ±  0.0001  م/ ^ث²

تسارع السقوط الحر، محسوبًا من خلال معادلات الجاذبية العادية:

• كاسينيس: g  =  9.81038  م/ ^ث²
• جيفريز: g  =  9.81027  م/ ^ث²
• WELMEC: g  =  9.81004  م/ ^ث²

• شذوذ الجاذبية
• القطع الناقص المرجعي
• EGM96 (نموذج جاذبية الأرض 1996)
• الجاذبية القياسية  : 9.80665 م/ ^ث²

• كارل ليدرشتيجر : علم الفلك والجيوديسيا الفيزيائية . Handbuch der Vermessungskunde Band 5, 10. Auflage. ميتزلر، شتوتغارت 1969
• ب. هوفمان-ويلينهوف، هيلموت موريتز : الجيوديسيا الفيزيائية ، رقم ISBN 3-211-23584-1، Springer-Verlag Wien 2006.
• وولفغانغ تورج : Geodäsie . 2. أوفلاج. والتر دي جرويتر، برلين ua 2003. ISBN 3-11-017545-2
• وولفغانغ تورج : Geodäsie . والتر دي جرويتر، برلين ua 1975 ISBN 3-11-004394-7

• تعريف نظام الإسناد الجيوديسي 1980 (GRS80) (pdf، الإنجليزية؛ 70 كيلوبايت)
• نظام معلومات الجاذبية der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt ، engl.
• التحقق عبر الإنترنت من القواعد العادية مع أشكال مختلفة من القواعد العادية