اثني عشر وجها

الاثنا عشر وجهًا الشائعة

أنا ح ، الطلب 120
عادي	نجمية صغيرة	عظيم	نجمية عظيمة
ث ، الأمر 24	ت، الترتيب 12	أوه ، الأمر 48	جونسون (ج 84 )
بيريتوهيدرون	رباعي الشكل	معيني الشكل	مثلثي
د 4 ساعات ، الطلب 16		د 3س ، الطلب 12
معيني سداسي	مربع المعين	شبه منحرف معيني	مثلث الشكل معيني

في الهندسة ، الاثني عشر وجهًا (من اليونانية القديمة δωδεκάεδρον ( dōdekáedron ) ؛ من δώδεκα ( dṓdeka )  "اثني عشر" و ἕδρα ( hédra )  "قاعدة، مقعد، وجه") أو الاثني عشر وجهًا ^[1] هو أي متعدد السطوح ذو اثني عشر وجهًا مسطحًا. الاثني عشر وجهًا الأكثر شيوعًا هو الاثني عشر وجهًا المنتظم ذو الخماسيات المنتظمة كوجوه، وهو جسم أفلاطوني . هناك أيضًا ثلاثة اثني عشر وجهًا منتظمًا على شكل نجمة ، والتي تم بناؤها على شكل كوكبات محدبة. كل هذه لها تماثل عشريني السطوح ، من الدرجة 120.

تحتوي بعض الأشكال الاثنا عشرية الوجوه على نفس البنية التركيبية مثل الاثنا عشرية الوجوه المنتظمة (من حيث الرسم البياني الذي تشكله رؤوسها وحوافها)، ولكن وجوهها الخماسية ليست منتظمة: يحتوي البيريتوهيدر، وهو شكل بلوري شائع في البيريت ، على تناسق البيريتوهيدر ، بينما يحتوي التتارتويد على تناسق رباعي السطوح .

يمكن اعتبار الاثني عشر وجهًا المعينيًا حالة محدودة من البيريتوهيدرونات، وله تناسق ثماني السطوح . إن أشكال الاثني عشر وجهًا المطولة والاثني عشر وجهًا المعينية شبه المنحرفة ، جنبًا إلى جنب مع الاثني عشر وجهًا المعينية، تملأ الفراغات . هناك العديد من الاثني عشر وجهًا الأخرى.

في حين أن المجسم الاثني عشري الوجوه المنتظم يشترك في العديد من الميزات مع الأشكال الأفلاطونية الأخرى، فإن إحدى خصائصه الفريدة هي أنه يمكن للمرء أن يبدأ من زاوية السطح ويرسم عددًا لا نهائيًا من الخطوط المستقيمة عبر الشكل والتي تعود إلى النقطة الأصلية دون عبور أي زاوية أخرى. ^[2]

المجسم الاثني عشري المنتظم المحدب هو أحد الأشكال الخمسة الأفلاطونية المنتظمة ويمكن تمثيله برمز شليفلي الخاص به {5، 3}.

المجسم المتعدد السطوح المزدوج هو مجسم عشريني منتظم {3، 5}، له خمسة مثلثات متساوية الأضلاع حول كل رأس.

أربعة أنواع من الاثنا عشر وجها المنتظمة

مجسم اثني عشري منتظم محدب

مجسم اثني عشري نجمي صغير

مجسم اثني عشري عظيم

مجسم اثني عشري نجمي كبير

يحتوي المجسم الاثني عشري الوجوه المنتظم المحدب أيضًا على ثلاث مجموعات نجمية ، وكلها مجسمات نجمية منتظمة ذات اثني عشر وجهًا. وهي تشكل ثلاثة من متعددات السطوح الأربعة وفقًا لتصنيف كبلر-بوانسو . وهي المجسم الاثني عشري الوجوه النجمي الصغير {5/2، 5} والمجسم الاثني عشري الوجوه الكبير {5، 5/2} والمجسم الاثني عشري الوجوه النجمي الكبير {5/2، 3}. المجسم الاثني عشري الوجوه النجمي الصغير والمجسم الاثني عشري الوجوه الكبير ثنائيان لبعضهما البعض؛ والمجسم الاثني عشري الوجوه النجمي الكبير ثنائي للمجسم العشريني الوجوه الكبير {3، 5/2}. كل هذه المجسمات النجمية المنتظمة ذات الاثني عشري الوجوه لها وجوه خماسية أو خماسية منتظمة . المجسم الاثني عشري الوجوه المنتظم المحدب والمجسم الاثني عشري الوجوه النجمي الكبير تجسيدات مختلفة لنفس المجسم المنتظم المجرد ؛ المجسم الاثني عشري النجمي الصغير والمجسم الاثني عشري الكبير هما تحقيقان مختلفان لمجسم متعدد السطوح منتظم تجريدي آخر.

في علم البلورات ، يمكن أن يحدث شكلان بلوريان مهمان من أشكال الاثنا عشر وجهًا في بعض فئات التناظر لنظام البلورات المكعبة التي تعادل طوبولوجيًا الاثنا عشر وجهًا المنتظم ولكنها أقل تناظرًا: البيريتوهيدرونات ذات التناظر البيريتوهيدروني ، والتتارتويدات ذات التناظر رباعي السطوح :

بيريتوهيدرون
(انظر هنا للحصول على نموذج دوار.)
وجه متعدد الأضلاع	خماسي متساوي الساقين
مخططات كوكستر
وجوه	12
الحواف	30 (6 + 24)
رؤوس	20 (8 + 12)
مجموعة التماثل	ث ، [4،3 + ]، (3*2)، الترتيب 24
مجموعة الدوران	T ، [3,3] + ، (332)، الترتيب 12
متعدد السطوح المزدوج	شبه عشروني الوجوه
ملكيات	وجه متعد
شبكة

البيريتوهدرون هو مجسم اثني عشري الوجوه له تماثل البيريتوهدرون (T _h ). مثله كمثل المجسم الاثني عشري الوجوه المنتظم ، فإنه يحتوي على اثني عشر وجهًا خماسيًا متطابقًا ، مع ثلاثة وجوه تلتقي في كل من الرؤوس العشرين (انظر الشكل). ^[3] ومع ذلك، فإن الخماسيات ليست مقيدة بأن تكون منتظمة، والترتيب الذري الأساسي ليس له محور تماثل خماسي حقيقي. تنقسم حوافه الثلاثين إلى مجموعتين - تحتويان على 24 و 6 حواف بنفس الطول. المحاور الوحيدة للتناظر الدوراني هي ثلاثة محاور ثنائية متعامدة بشكل متبادل وأربعة محاور ثلاثية.

على الرغم من عدم وجود اثني عشر وجهًا منتظمًا في البلورات، فإن شكل البيريتوهدرون يحدث في بلورات معدن البيريت ، وقد يكون مصدر إلهام لاكتشاف الشكل الصلب الأفلاطوني المنتظم . يمكن أن يحدث الاثني عشر وجهًا المنتظم الحقيقي كشكل لشبه البلورات (مثل شبه بلورة الهولميوم والمغنيسيوم والزنك ) مع تناسق عشريني السطوح ، والذي يتضمن محاور دوران خماسية حقيقية.

يأتي اسم بلورة البيريت من إحدى عادتي البلورة الشائعتين اللتين يظهرهما البيريت (الأخرى هي المكعب ). في البيريت البيريت السطوحي، يكون للوجوه مؤشر ميلر (210)، مما يعني أن الزاوية ثنائية السطوح هي 2·arctan(2) ≈ 126.87 درجة ويكون لكل وجه خماسي زاوية واحدة تقريبًا 121.6 درجة بين زاويتين تقريبًا 106.6 درجة وزاويتين متقابلتين تقريبًا 102.6 درجة. توضح الصيغ التالية قياسات وجه البلورة المثالية (والتي نادرًا ما توجد في الطبيعة).

${\displaystyle {\text{الارتفاع}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}\cdot {\text{الضلع الطويل}}}$

${\displaystyle {\text{العرض}}={\frac {4}{3}}\cdot {\text{الجانب الطويل}}}$

${\displaystyle {\text{الأضلاع القصيرة}}={\sqrt {\frac {7}{12}}}\cdot {\text{الضلع الطويل}}}$

البيريت الطبيعي (مع زوايا الوجه على اليمين)

الرؤوس الثمانية للمكعب لها إحداثيات (±1، ±1، ±1).

إحداثيات الرؤوس الإضافية الـ 12 هي ( 0، ±(1 + h )، ±(1 − h ² ) ) ، ( ±(1 + h )، ±(1 − h ² )، 0 ) و ( ±(1 − h ² )، 0، ±(1 + h ) ) .

h هو ارتفاع "السقف" على شكل إسفين فوق وجوه المكعب بطول الحافة 2.

الحالة المهمة هي h = ⁠1/2( ربع طول حافة المكعب) للحصول على البيريت الطبيعي المثالي (كما هو الحال مع البيريتوهدرون في بنية وير-فيلان ).

واحد آخر هو h = ⁠1/φ= 0.618... للمجسم الاثني عشري المنتظم . راجع قسم الحرية الهندسية للحالات الأخرى.

يوجد اثنان من مجسمات البيريتوهدرا ذات الإحداثيات المتبادلة غير الصفرية في وضعين مزدوجين لبعضهما البعض مثل مجسم الاثنا عشر وجهًا في مركب مجسمين الاثنا عشر وجهًا .

الإسقاطات المتعامدة للبيريتوهيدرون مع h = 1/2

ارتفاعات 1/2 و 1/ φ

الرسوم المتحركة
قرص عسل من البيريتوهدرا المحدبة والمقعرة المتناوبة بارتفاعات تتراوح بين ± ⁠1/φ⁠	ارتفاعات بين 0 (مكعب) و1 (اثنا عشري الشكل معيني)

يتمتع البيريتوهدرون بدرجة حرية هندسية مع حالات محدودة من الغلاف المحدب المكعب عند حد واحد من الحواف المتوازية، واثنا عشر وجهًا معينيًا عند الحد الآخر حيث تتحلل 6 حواف إلى طول صفر. يمثل الاثني عشر وجهًا المنتظم حالة وسيطة خاصة حيث تكون جميع الحواف والزوايا متساوية.

من الممكن تجاوز هذه الحالات المحدودة، وإنشاء مجسمات بيريتوهدرا مقعرة أو غير محدبة. إن المجسم الاثني عشري الوجوه الداخلي مقعر ومتساوي الأضلاع؛ ويمكنه أن ينسج الفضاء مع المجسم الاثني عشري الوجوه المنتظم المحدب. بالاستمرار من هناك في هذا الاتجاه، نمر عبر حالة متدهورة حيث تتطابق اثني عشر رأسًا في المركز، ثم إلى المجسم الاثني عشري الوجوه النجمي الكبير المنتظم حيث تكون جميع الحواف والزوايا متساوية مرة أخرى، وقد تم تشويه الوجوه إلى خماسيات منتظمة . على الجانب الآخر، بعد المجسم الاثني عشري الوجوه المعيني، نحصل على مجسم اثني عشري الوجوه غير محدب ذي وجوه خماسية متساوية الأضلاع متقاطعة ذاتيًا على شكل سمكة.

حالات خاصة من البيريتوهدرون
تشكل الإصدارات ذات القيم المطلقة المتساوية والإشارات المتعارضة قرص العسل معًا. (قارن هذا الرسم المتحرك .) النسبة المعروضة هي نسبة أطوال الحواف، أي تلك الموجودة في مجموعة من 24 (تلامس رؤوس المكعب) إلى تلك الموجودة في مجموعة من 6 (تتوافق مع وجوه المكعب).
نسبة	1 : 1	0 : 1	1 : 1	2 : 1	1 : 1	0 : 1	1 : 1
ح	- ⁠√ 5 + 1/2⁠	-1	⁠- − √ 5 + 1/2⁠	0	⁠√ 5 − 1/2⁠	1	⁠√ 5 + 1/2⁠
	-1.618...		-0.618...		0.618...		1.618...
صورة	نجم منتظم، مجسم اثني عشري كبير ، ذو وجوه خماسية منتظمة	متدهور، 12 رأسًا في المركز	المجسم الاثني عشري المقعر متساوي الأضلاع، ويسمى اثني عشري الوجوه الداخلي . [ يحتاج إلى توضيح ]	يمكن تقسيم المكعب إلى شكل بيريتوهيدرون عن طريق تقسيم جميع الحواف والوجوه في اتجاهات متبادلة .	المجسم الاثني عشري المنتظم هو حالة وسيطة ذات أطوال حواف متساوية.	المعين الاثني عشري الوجوه هو حالة منحطّة ذات 6 حواف متقاطعة تم تقليص طولها إلى صفر.	مجسم اثني عشري متساوي الأضلاع متقاطع ذاتيًا

رباعي الأضلاع رباعي الأضلاع خماسي الأضلاع اثني عشر وجهاً
(انظر هنا للحصول على نموذج دوار.)
وجه متعدد الأضلاع	خماسي غير منتظم
تدوين كونواي	جي تي
وجوه	12
الحواف	30 (6+12+12)
رؤوس	20 (4+4+12)
مجموعة التماثل	T ، [3,3] + ، (332)، الترتيب 12
ملكيات	محدب ، وجه متعد

رباعي السطوح (يُطلق عليه أيضًا رباعي السطوح اثنا عشري السطوح الخماسي ، وخماسي ثلاثي السطوح ، وخماسي رباعي السطوح اثنا عشري السطوح ) هو مجسم اثنا عشري السطوح له تماثل رباعي السطوح كيرالي (T). ومثل المجسم الاثني عشري السطوح المنتظم ، فإنه يحتوي على اثني عشر وجهًا خماسيًا متطابقًا ، مع ثلاثة وجوه تلتقي في كل من الرؤوس العشرين. ومع ذلك، فإن الخماسيات ليست منتظمة والشكل ليس له محاور تماثل خماسية.

على الرغم من عدم وجود اثني عشر وجهًا منتظمًا في البلورات، إلا أن الشكل الرباعي موجود. يأتي اسم التتارتويد من الجذر اليوناني لربع لأنه يحتوي على ربع تماثل ثماني السطوح الكامل، ونصف تماثل بيريتوهدرا. ^[4] يمكن أن يكون للمعدن الكوبالتيت هذا الشكل من التماثل. ^[5]

يمكن إنشاء تجريدات تشترك في طوبولوجيا الجسم الصلب وتماثله من المكعب والرباعي السطوح. في المكعب، ينقسم كل وجه إلى نصفين بواسطة حافة مائلة. في رباعي السطوح، ينقسم كل حافة إلى ثلاثة أجزاء، وكل رأس جديد متصل بمركز وجه. (في تدوين كونواي متعدد السطوح، يكون هذا رباعي السطوح الجيروسكوبي).

الإسقاطات التقويمية من محاور ثنائية وثلاثية

الشكل المكعب والرباعي السطوح

العلاقة مع الدياكيس الاثني عشر وجهًا

يمكن إنشاء رباعي الوجوه عن طريق تكبير 12 وجهًا من أصل 24 وجهًا من مجسم ثنائي الوجوه ذي السطوح الاثني عشرية . (يعتمد رباعي الوجوه الموضح هنا على شكل رباعي الوجوه تم إنشاؤه عن طريق تكبير 24 وجهًا من أصل 48 وجهًا من مجسم ثنائي الوجوه ذي السطوح الاثني عشرية .) رباعيات كيرالية مبنية على شكل ثنائي عشري الوجوه في المنتصف يُظهِر نموذج البلورة الموجود على اليمين شكلًا رباعيًا تم إنشاؤه عن طريق تكبير الوجوه الزرقاء لنواة الدياكيس ذات الاثني عشر وجهًا. وبالتالي، فإن الحواف بين الوجوه الزرقاء مغطاة بحواف الهيكل العظمي الحمراء.

النقاط التالية هي رؤوس خماسي رباعي الأضلاع تحت التناظر الرباعي السطوح :

( أ ، ب ، ج )؛ ( −أ ، −ب ، ج )؛ ( −ن/د ₁⁠ , − ⁠ن/د ₁⁠ , ⁠ن/د ₁) ; (− ج , − أ , ب ); ( −ن/د ₂⁠ , ⁠ن/د ₂⁠ , ⁠ن/د ₂) ،

في ظل الظروف التالية: ^[6]

0 ≤ أ ≤ ب ≤ ج ،

ن = أ ² ج − ب ج ² ،

د ₁ = أ ² − أ ب + ب ² + أس − 2 ق ,

د ₂ = أ ² + أ + ب ² − أ − 2 ق ,

nd ₁ d ₂ ≠ 0 .

المجسم الاثني عشري المنتظم هو مجسم رباعي السطوح ذو تناسق أكبر من المطلوب. أما المجسم الثلاثي السطوح فهو مجسم متدهور ذو 12 حافة بطول صفري. (من حيث الألوان المستخدمة أعلاه، يعني هذا أن الرؤوس البيضاء والحواف الخضراء تمتصها الرؤوس الخضراء.)

الاختلافات في الأشكال الرباعية من الشكل الاثني عشري المنتظم إلى الشكل الثلاثي رباعي السطوح

يمكن إنشاء شكل تماثل أقل من الاثني عشر وجهًا المنتظمًا على هيئة ثنائي متعدد السطوح مكون من قبة مثلثية متقابلة متصلة من قاعدة إلى قاعدة، تسمى قبة مثلثية دوارة. يتمتع هذا الشكل بتماثل _{ثلاثي الأبعاد} ، من الدرجة 12. يحتوي على مجموعتين من 3 خماسيات متطابقة في الأعلى والأسفل، متصلة بـ 6 خماسيات حول الجانبين تتناوب لأعلى ولأسفل. يحتوي هذا الشكل على مقطع عرضي سداسي ويمكن توصيل نسخ متطابقة على شكل قرص سداسي جزئي، ولكن لن تتطابق جميع الرؤوس.

المعين الاثني عشري الوجوه هو مجسم ذو اثني عشر وجهًا معينيًا وتماثل ثماني السطوح. وهو مزدوج مع المكعب ثماني السطوح شبه المنتظم ( جسم أرخميدس ) ويوجد في الطبيعة على شكل بلورة. يتكتل المعين الاثني عشري الوجوه معًا لملء الفراغ.

يمكن رؤية الاثني عشر وجهًا المعينيًا على أنه بيريتوهيدرون منحط حيث تم تقليص الحواف الخاصة الستة إلى طول صفري، مما أدى إلى تقليص الأشكال الخماسية إلى وجوه معينية.

يحتوي المعين الاثني عشري الوجوه على عدة مجموعات ، أولها أيضًا عبارة عن حشو فضائي متوازي السطوح .

مجسم اثني عشر وجهًا معينيًا مهمًا آخر، وهو مجسم بيلينسكي الاثني عشر وجهًا ، له اثنا عشر وجهًا متطابقة مع تلك الموجودة في ثلاثي الوجوه المعين ، أي أن الأقطار بنسبة النسبة الذهبية . وهو أيضًا مجسم زونوهيدروني وقد وصفه بيلينسكي في عام 1960. ^{[7] هذا الشكل هو شكل آخر من أشكال ملء الفراغ، ويمكن أن يحدث أيضًا في} أشكال ملء الفراغ غير الدورية جنبًا إلى جنب مع ثلاثي الوجوه المعين، والعشروني الوجوه المعينية، وسداسي الوجوه المعينية. ^[8]

هناك 6,384,634 من الأشكال الاثني عشرية المحدبة المتميزة طوبولوجيًا ، باستثناء الصور المرآة - يتراوح عدد الرؤوس من 8 إلى 20. ^[9] (يكون متعددا السطوح "متميزين طوبولوجيًا" إذا كان لديهما ترتيبات مختلفة جوهريًا للوجوه والرؤوس، بحيث يكون من المستحيل تشويه أحدهما إلى الآخر ببساطة عن طريق تغيير أطوال الحواف أو الزوايا بين الحواف أو الوجوه.)

أشكال اثنا عشرية مميزة طوبولوجيًا (باستثناء الأشكال الخماسية والمعينية)

• متعددات السطوح المنتظمة:
  • منشور عشري – 10 مربعات، 2 عشري، تماثل D _{10h ، الدرجة 40.}
  • منشور مضاد خماسي - 10 مثلثات متساوية الأضلاع، 2 خماسيين، تماثل D _{5d ، مرتبة 20}
• مواد جونسون الصلبة (ذات الوجه العادي):
  • قبة خماسية الأضلاع – 5 مثلثات، 5 مربعات، 1 خماسي، 1 عشري، تماثل C _{5v ، الترتيب 10}
  • عظمة الوتدي المزدوجة – 12 مثلثًا، D _2d ، من الدرجة 8
  • هرم ثنائي الشكل مستطيل الشكل – 8 مثلثات و4 مربعات، تماثل D _{4h ، الترتيب 16}
  • مجسم عشروني الوجوه متعدد الوجوه - 10 مثلثات و2 خماسيين، تماثل C _{2v ، الترتيب 4}
• وجه غير منتظم متطابق: ( وجه متعد )
  • هرم سداسي ثنائي الأضلاع – 12 مثلث متساوي الساقين ، ثنائي المنشور السداسي، تماثل D 6h، المرتبة ₂₄
  • شبه منحرف سداسي الأضلاع – 12 طائرة ورقية ، ثنائي المنشور السداسي المضاد ، تماثل D _{6d ، الترتيب 24}
  • رباعي السطوح ثلاثي السطوح – 12 مثلث متساوي الساقين، ثنائي رباعي السطوح المقطوع ، تماثل T _{d ، المرتبة 24}
• مواجهة أخرى أقل انتظامًا:
  • هرم مثلثي الشكل – 11 مثلث متساوي الساقين ومثلث مثلثي الشكل منتظم ، C _11v ، الرتبة 11
  • مجسم اثني عشري الوجوه شبه منحرف معيني الشكل – 6 معينات، 6 شبه منحرف – ثنائي الشكل من مثلثات مستقيمة ، تماثل D _3h ، الترتيب 12
  • المعين السداسي الاثني عشري الوجوه أو الاثني عشري الوجوه المطول - 8 معينات و 4 مسدسات متساوية الأضلاع ، تماثل D _{4h ، الترتيب 16}
  • شبه منحرف خماسي مقطوع ، D _5d ، من الدرجة 20، مكافئ طوبولوجيًا للثنائي عشري الوجوه المنتظم

استخدم أرماند سبيتز مجسمًا اثني عشريًا كمعادل "للكرة الأرضية" لجهاز عرض القبة السماوية الرقمي الخاص به ، ^[10] بناءً على اقتراح من ألبرت أينشتاين .

تُستخدم أحيانًا الأشكال الاثني عشرية المنتظمة كنرد ، عندما تُعرف باسم d12s، وخاصةً في الألعاب مثل Dungeons and Dragons .

• 120 خلية - متعدد السطوح منتظم (متعدد السطوح رباعي الأبعاد) يتكون سطحه من 120 خلية اثني عشرية السطوح
• Braarudosphaera bigelowii - طحالب كوكوليثوفور على شكل اثني عشر وجهًا ( طحالب نباتية أحادية الخلية )
• خماسي الشكل اثني عشري الوجوه
• مجسم روماني اثني عشري الوجوه
• مجسم اثني عشري الوجوه
• مجسم اثني عشري مقطوع

• المجسم الرابع لأفلاطون و"البيريتوهيدرون" ، بقلم بول ستيفنسون، 1993، الجريدة الرياضية، المجلد 77، العدد 479 (يوليو 1993)، ص 220-226 [1]
• تشكيل نجمات البايريتوهدرون نماذج VRML ورسوم متحركة للبايريتوهيدرون وتشكيلاته النجمية
• كليتزينج، ريتشارد. "متعدد السطوح المنتظم المحدب ثلاثي الأبعاد o3o5x – doe".
• شبكة قابلة للتعديل والطباعة لمجسم اثني عشري الوجوه مع عرض تفاعلي ثلاثي الأبعاد
• متعدد السطوح المنتظم
• أشكال أوريجامي متعددة السطوح – نماذج مصنوعة باستخدام أوريجامي معياري
• متعددات السطوح في الواقع الافتراضي موسوعة متعددات السطوح
• KJM MacLean، تحليل هندسي للمجسمات الأفلاطونية الخمسة وغيرها من متعددات السطوح شبه المنتظمة
• تصور ثلاثي الأبعاد للمجسم الاثني عشري الوجوه
• ستيلا: مستكشف متعدد السطوح: برنامج يستخدم لإنشاء بعض الصور على هذه الصفحة.
• كيفية صنع مجسم اثني عشري الوجوه من مكعب من مادة البوليسترين

ف ت هـ متعددات السطوح المنتظمة والمنتظمة الأساسية في أبعاد 2-10
عائلة	أ ن	ب ن	أنا 2 (ص) / د ن	ع 6 / ع 7 / ع 8 / ف 4 / ج 2	ح ن
مضلع منتظم	مثلث	مربع	ب-غون	مسدس	البنتاغون
متعدد السطوح المنتظم	رباعي السطوح	ثماني السطوح • مكعب	ديميكيوب		اثني عشر وجهًا • عشرين وجهًا
متعدد الألوان موحد	خماسي	16 خلية • تيسيراكت	ديميتسيراكت	24 خلية	120 خلية • 600 خلية
متعدد السطوح الخماسي الموحد	5-بسيط	5-أورثوبلكس • 5-مكعب	5-ديميكوب
متعدد السطوح موحد ذو ستة أوجه	6-بسيط	6-أورثوبلكس • 6-مكعب	6- ديميكوب	1 22 • 2 21
متعدد السطوح الموحد ذو السبعة أوجه	7-بسيط	7-أورثوبلكس • 7-مكعب	7- ديميكوب	1 32 • 2 31 • 3 21
متعدد السطوح الموحد ذو الثمانية	8-بسيط	8-أورثوبلكس • 8-مكعب	8-ديميكوب	1 42 • 2 41 • 4 21
متعدد السطوح الموحد ذو التسعة أوجه	9-بسيط	9-أورثوبلكس • 9-مكعب	9-ديميكوب
متعدد السطوح موحد ذو 10 أوجه	10-بسيط	10-أورثوبلكس • 10-مكعب	10-ديميكوب
متعدد السطوح موحد n	ن - بسيط	ن - أورثوبليكس • ن - مكعب	ن - ديميكوبي	1 ك2 • 2 ك1 • ك 21	ن - متعدد السطوح الخماسي
المواضيع: عائلات متعددات السطوح • متعددات السطوح المنتظمة • قائمة متعددات السطوح المنتظمة والمركبات