قبة مثلثة الشكل

في الهندسة ، يُعدّ المثلث ذو القبة المزدوجة القائمة المجسم السابع والعشرين لجونسون . وكما يوحي اسمه، يُمكن بناؤه بربط قبتين مثلثتين على طول قاعدتيهما. يحتوي على عدد متساوٍ من المربعات والمثلثات عند كل رأس؛ ومع ذلك، فهو ليس ^{متعديًا} على الرؤوس . يُطلق عليه أيضًا اسم المكعب الثماني المضاد ، أو ^المكعب الثماني الملتوي ^، أو المكعب ^{السباعي} المسطح . في الكيمياء، يُمكن إيجاد المثلث ذو القبة المزدوجة القائمة في ^{البنية التناسقية للبلورات} ذات ^الكرات السداسية المتراصة بإحكام ^. المجسم الثنائي للمثلث ذو القبة المزدوجة القائمة هو شبه المعيني ذو الاثني عشر وجهًا . وهو مجسم متعدد الأوجه ، أي مجسم يملأ الفراغ ويُحدد بواسطة مخطط فورونوي .

يُبنى الشكل المثلثي ثنائي القبة المتعامد عن طريق ربط قبتين مثلثتين من قاعدتيهما. وينطبق هذا البناء أيضًا على المكعب الثماني الأوجه ، والذي يُمكن تسميته أيضًا بالمثلث ثنائي القبة الدوار؛ والفرق هو أن القبتين المثلثتين اللتين تُشكلان الشكل المثلثي ثنائي القبة متصلتان بحيث تكون لقاعدتيهما المثلثتين نفس الاتجاه (ومن هنا جاءت تسمية "متعامد")؛ بينما في المكعب الثماني الأوجه، تكون قاعدتاهما المثلثتين متعاكستين. وبالنظر إلى الشكل المثلثي ثنائي القبة المتعامد، فإن تدوير إحدى القبتين بزاوية 60 درجة قبل الربط يُنتج مكعبًا ثماني الأوجه. ^{[ 4 ]} ولذلك، يُعرف الشكل المثلثي ثنائي القبة المتعامد أيضًا باسم المكعب الثماني الأوجه المضاد. ^{[ 5 ]}

القبة المثلثية المتعامدة هي مجسم محدب ذو أوجه مضلعة منتظمة (ثمانية مثلثات متساوية الأضلاع وستة مربعات )، ولذلك فهي مجسم جونسون ، نسبةً إلى عالم الرياضيات الأمريكي نورمان دبليو جونسون ، الذي أحصى 92 مجسمًا من هذا النوع (باستثناء المجسمات المنتظمة ). ويُصنف هذا المجسم على أنه المجسم السابع والعشرون من مجسمات جونسون.${\displaystyle J_{27}}$[ ^{6 ] [ 7 ]} إنه متعدد السطوح مركب ^، لأنه يمكن تقسيمه إلى قبتين مثلثتين. ^{[ 8 ]}

مساحة السطح${\displaystyle A}$والحجم​${\displaystyle V}$أطوال أضلاع المجسم المثلثي ذي القبة المتعامدة هي نفسها أطوال أضلاع المجسم المكعب الثماني الأوجه. سطحه هو مجموع أطوال جميع أوجهه المضلعة: ستة مربعات وثمانية مثلثات متساوية الأضلاع. بالنسبة لطول الضلع${\displaystyle a}$مساحات هذه المضلعات معطاة بالصيغة التالية:${\displaystyle a^{2}}$و${\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$على التوالي. لذلك، ^{[ 6 ]}$${\displaystyle A=6(a^{2})+8\left({\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\right)=\left(6+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 9.464a^{2}.}$$ حجمها ضعف حجم القبة المثلثة: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle V={\frac {5{\sqrt {2}}}{3}}a^{3}\approx 2.357a^{3}.}$$

يتمتع الشكل المثلثي ذو القبة المزدوجة بنفس التناظر الذي يتمتع به الموشور المثلثي ، أي المجموعة ثنائية السطوح${\displaystyle \mathrm {D} _{3\mathrm {h} }}$من الرتبة السادسة، والتي تحتوي على محور ثلاثي واحد وثلاثة محاور ثنائية. ^{[ 1 ]}

للقبة المثلثية المتعامدة ثلاث زوايا ثنائية السطوح مختلفة (الزوايا بين وجهين مضلعين): ^{[ 9 ]}

• تبلغ الزاوية بين مثلثين متجاورين حوالي 141 درجة. ويتم الحصول على هذه الزاوية بجمع زوايا المثلث مع السداسي في القبتين المثلثيتين.
• تبلغ الزاوية بين مربعين متجاورين حوالي 109.4 درجة. ويتم الحصول على هذه الزاوية بجمع الزوايا بين المربع والسداسي في القبتين المثلثيتين.
• الزاوية بين المربع والمثلث هي نفس الزاوية الموجودة في القبة المثلثية، حوالي 125.3 درجة.

يمكن ترتيب الكرات المتطابقة بكثافة في شكل مثلثي قائم ثنائي القبة. ^{[ 2 ]} تمثل الرؤوس الاثنا عشر الكرات، أو الروابط . يُسمى هذا الترتيب بالتعبئة السداسية المتراصة، ويوجد في التنسيق البلوري . ^{[ 3 ]} المغنيسيوم والهيليوم عنصران كيميائيان لهما هذا التركيب. ^{[ 2 ]}

المجسم الثنائي لقبة مثلثية قائمة هو المجسم شبه المعيني ذو الاثني عشر وجهًا ^{[ 5 ]} أو المجسم شبه المنحرف ذو الاثني عشر وجهًا ، ^{[ 10 ]} وهو مجسم ذو اثني عشر وجهًا، ستة منها معينية وستة شبه منحرفة. يُحصل عليه بتقطيع المجسم المعيني ذي الاثني عشر وجهًا إلى نصفين عبر المقطع العرضي السداسي وتدوير النصفين بزاوية 60 درجة بالنسبة لبعضهما البعض. ^{[ 11 ]} وهو مجسم متعدد الأوجه ، نوع خاص من المجسمات يمكنه تبليط الفضاء بنسخته ، المعرفة بأنها خلية فورونوي لمجموعة ديلون متناظرة ، مُولَّدة بواسطة التعبئة السداسية المتراصة. ^{[ 10 ] [ 1 ]}

• وايسشتاين، إريك دبليو ، " جونسون الصلب " (" القبة المثلثية المتعامدة ") في عالم الرياضيات .