عظم الوتد القصير

في الهندسة ، يُعرف المجسم ثنائي السطوح المقطوع بأنه متعدد السطوح محدب ذو 12 مثلثًا متساوي الأضلاع . وهو مثال على المجسم الدلتاهيدروني ومجسم جونسون . ويمكن إنشاؤه بطرق مختلفة. ويُطلق على هذا الشكل أيضًا اسم المجسم الاثني عشري السيامي ، أو المجسم الاثني عشري المثلثي ، أو المجسم الاثني عشري المثلثي ، أو المجسم الاثني عشري الدلتاهيدروني .

يمكن تصور الشكل ثنائي الإسفين القصير على أنه مجموعة ذرية تحيط بذرة مركزية، أي الشكل الجزيئي ذو الاثني عشر وجهًا . يمكن وضع رؤوسه على كرة ، ويمكن استخدامه أيضًا كأقل جهد ممكن من نوع لينارد-جونز بين جميع مجموعات الكرات الثمانية.

يمكن بناء السطح الإسفيني المقطوع بطرق مختلفة. وكما يوحي الاسم، يُبنى السطح الإسفيني المقطوع من سطح إسفيني رباعي الأضلاع عن طريق قطع جميع الحواف من أوجهه، وإضافة مثلثات متساوية الأضلاع (باللون الأزرق الفاتح في الصورة التالية) ملتوية بزاوية معينة بينها. تُعرف عملية البناء هذه باسم "التقطيع" . ^{[ 1 ]}

عملية بناء عظم الوتد القصير عن طريق التضييق

يمكن أيضًا إنشاء ثنائي الإسفين المقطوع من هرم ثنائي مثلثي، وذلك بقطع ضلعيه على طول رأسيهما. يمكن دفع هذين الرأسين باتجاه بعضهما البعض، مما يؤدي إلى إبعاد الرأسين الجديدين. ^{[ 2 ]} بدلاً من ذلك، يمكن إنشاء ثنائي الإسفين المقطوع من هرم ثنائي خماسي بقطع الضلعين على طول الضلع الواصل بين قاعدة الهرم الثنائي، ثم إدخال مثلثين متساويي الأضلاع بينهما. ^{[ 3 ]} هناك طريقة أخرى لإنشاء ثنائي الإسفين المقطوع تبدأ من المنشور المضاد المربع ، وذلك باستبدال الوجهين المربعين بأزواج من المثلثات متساوية الأضلاع. يُمكن أيضًا إنشاء ثنائي الإسفين المقطوع على شكل قبة ثنائية الدوران . له نفس البنية والتناظر، ولكن بدون مثلثات متساوية الأضلاع. يحتوي على 4 رؤوس في مربع على مستوى مركزي، على شكل قبتين مضادتين متصلتين بتناظر دوراني.

يمكن تشكيل نموذج مادي للسطح الإسفيني المقطوع عن طريق طي شبكة مكونة من 12 مثلثًا متساوي الأضلاع ( معين ذو 12 شكلًا )، كما هو موضح. وتقترح شبكة بديلة من تصميم جون مونترول عددًا أقل من الرؤوس المقعرة على حدودها، مما يجعلها أكثر ملاءمة لفن الأوريغامي . ^{[ 4 ]} ويمكن أيضًا بناؤها على غرار المنشور المربع المقطوع ، ولكن باستخدام شكل ثنائي الزوايا بدلًا من ذلك.

يمكن بعد ذلك إعطاء إحداثيات ديكارتية للرؤوس الثمانية للسطح الإسفيني المشوه : $${\displaystyle {\begin{aligned}(\pm t,r,0),&\qquad (0,-r,\pm t),\\(\pm 1,-s,0),&\qquad (0,s,\pm 1).\end{aligned}}}$$ هنا،${\displaystyle q\approx 0.16902}$هو الحل الحقيقي الموجب لكثير الحدود التكعيبي${\textstyle 2x^{3}+11x^{2}+4x-1}$المتغيرات الثلاثة${\displaystyle r}$،${\displaystyle s}$، و${\displaystyle t}$وهو تعبير عن: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle r={\sqrt {q}}\approx 0.41112,\qquad s={\sqrt {\frac {1-q}{2q}}}\approx 1.56786,\qquad t=2rs={\sqrt {2-2q}}\approx 1.28917.}$$ ولأن هذا البناء يتضمن حل معادلة تكعيبية، فلا يمكن بناء السطح المزدوج القصير باستخدام الفرجار والمسطرة ، على عكس الأشكال المثلثية السبعة الأخرى. ^{[ 2 ]}

نتيجةً لهذه الإنشاءات، يحتوي السطح المستطيل ذو الوجهين على 12 مثلثًا متساوي الأضلاع. المجسم الدلتاهيدري هو متعدد السطوح جميع أوجهه مثلثات متساوية الأضلاع. هناك ثمانية مجسمات دلتاهيدرية محدبة، أحدها السطح المستطيل ذو الوجهين. ^{[ 6 ]} وبشكل أعم، تُعرف المجسمات المحدبة التي جميع أوجهها مضلعات منتظمة باسم مجسمات جونسون ، وكل مجسم دلتاهيدري محدب هو مجسم جونسون. السطح المستطيل ذو الوجهين من بينها، ويُصنف كمجسم جونسون رقم 84.${\displaystyle J_{84}}$^{[ 7 ]} إنه متعدد السطوح أولي ، مما يعني أنه لا يمكنه إنتاج متعددات سطوح محدبة منتظمة الأوجه مرة أخرى عن طريق تقطيع حوافه بمستوى. ^{[ 8 ]} متعدد السطوح الثنائي له هو الجيروبيفاستيجيوم المطول .

التناظر والجيوديسية

يتمتع الشكل ثنائي الإسفين المقطوع بنفس التناظرات التي يتمتع بها الشكل ثنائي الإسفين الرباعي ، وهو التناظر المضاد للمنشور.${\displaystyle D_{2\mathrm {d} }}$من الرتبة 8: له محور تناظر دوراني بزاوية 180 درجة يمر بمنتصفات حافتيه المتقابلتين، ومستويان متعامدان من تناظر الانعكاس يمران بهذا المحور، وأربع عمليات تناظر إضافية ناتجة عن انعكاس عمودي على المحور متبوعًا بربع دورة وربما انعكاس آخر موازٍ للمحور. ^{[ 6 ]} .

باستثناء التناظرات والتحويل المتوازي، يمتلك المجسم ثنائي السطوح المقطوع خمسة أنواع من الجيوديسيات المغلقة البسيطة (غير المتقاطعة ذاتيًا) . هذه مسارات على سطح المجسم تتجنب رؤوسه وتبدو محليًا كأقصر مسار: فهي تتبع قطعًا مستقيمة عبر كل وجه من أوجه المجسم التي تتقاطع معها، وعندما تعبر حافة من حواف المجسم، فإنها تشكل زوايا متتامة على الوجهين المتصلين بالحافة. ​​بشكل بديهي، يمكن للمرء أن يمد شريطًا مطاطيًا حول المجسم على طول هذا المسار، وسيبقى في مكانه: لا توجد طريقة لتغيير المسار محليًا وجعله أقصر. على سبيل المثال، يعبر أحد أنواع الجيوديسيات الحافتين المتقابلتين للمجسم ثنائي السطوح المقطوع عند منتصفهما (حيث يخرج محور التناظر من المجسم) بزاوية${\displaystyle \pi /3}$يمر نوع ثانٍ من الخطوط الجيوديسية بالقرب من تقاطع السطح المستوي مع المستوى الذي ينصف محور التناظر عموديًا ( خط استواء المجسم)، ويعبر حواف ثمانية مثلثات بزوايا تتناوب بين${\displaystyle \pi /2}$و${\displaystyle \pi /6}$إن إزاحة خط جيوديسي على سطح متعدد السطوح بمقدار صغير (صغير بما يكفي لعدم تقاطعه مع أي رأس) يحافظ على خاصية كونه خطًا جيوديسيًا ويحافظ على طوله، لذا فإن كلا المثالين يحتويان على نسخ مُزاحة من النوع نفسه ولكنها أقل تناظرًا. أطوال الخطوط الجيوديسية المغلقة الخمسة البسيطة على سطح ثنائي السطوح ذي حواف طولها وحدة واحدة هي

${\displaystyle 2{\sqrt {3}}\approx 3.464}$(بالنسبة للخط الجيوديسي الاستوائي)،${\displaystyle {\sqrt {13}}\approx 3.606}$،${\displaystyle 4}$(بالنسبة للخط الجيوديسي المار بمنتصفات الحواف المتقابلة)، ${\displaystyle 2{\sqrt {7}}\approx 5.292}$، و${\displaystyle {\sqrt {19}}\approx 4.359}$.

باستثناء رباعي الأوجه، الذي يحتوي على عدد لا نهائي من أنواع الجيوديسيات المغلقة البسيطة، فإن ثنائي الوتدي المقطوع يحتوي على أكبر عدد من أنواع الجيوديسيات مقارنة بأي شكل دلتاهيدرو. ^{[ 10 ]}

في دراسة الكيمياء الحاسوبية والفيزياء الجزيئية ، تشكل الكرات المتمركزة عند رؤوس السطح المزدوج القصير مجموعة، وفقًا للتجارب العددية، تمتلك أقل جهد ممكن من نوع لينارد-جونز بين جميع مجموعات الكرات الثمانية. ^{[ 5 ]}

في هندسة المركبات الكيميائية ، يمكن تصور متعدد السطوح على أنه مجموعة ذرية تحيط بذرة مركزية. يصف الشكل الجزيئي ذو الاثني عشر وجهًا المجموعة التي يمثلها كشكل ثنائي الإسفين المقطوع. ^{[ 12 ]}

يُشتق اسم "المجسم ثنائي الوتدي المقطوع" من تصنيف جونسون ( 1966) لمجسم جونسون ، نسبةً إلى عالم الرياضيات الأمريكي نورمان دبليو جونسون الذي سرد ​​المجسمات المحدبة ذات الأوجه المضلعة المنتظمة. ^{[ 8 ]} مع ذلك، دُرِس هذا المجسم لأول مرة من قِبَل راوزنبرغر (1915) . ^{[ 13 ] [ 14 ]} ثم دُرِس مرة أخرى في ورقة بحثية لفرويدنتال وفان دي واردن (1947) ، اللذين وصفا لأول مرة مجموعة من ثمانية مجسمات دلتا محدبة ، وأطلقا عليها اسم " المجسم السيامي ذو الاثني عشر وجهًا" . ^{[ 15 ] [ 14 ]}

أطلق برنال (1964) اسم " المجسم ذو الاثني عشر وجهًا" على الشكل نفسه ، مشيرًا إلى كونه مجسمًا ذا اثني عشر وجهًا. توجد مجسمات أخرى بسيطة ذات اثني عشر وجهًا ، مثل الهرم الثنائي السداسي ، لكن هذا الشكل هو الوحيد الذي يمكن تحقيقه بوجوه متساوية الأضلاع. كان برنال مهتمًا بأشكال الثقوب المتبقية في الترتيبات غير المنتظمة والمتراصة للكرات، لذا استخدم تعريفًا مقيدًا للمجسمات ذات الاثني عشر وجهًا، حيث يُعرَّف المجسم ذو الاثني عشر وجهًا بأنه متعدد السطوح محدب ذو وجوه مثلثة يمكن تشكيله من مراكز مجموعة من الكرات المتطابقة، والتي تمثل نقاط التماس بينها حواف متعدد السطوح، بحيث لا توجد مساحة لوضع كرة أخرى داخل القفص الذي يُنشئه هذا النظام من الكرات. يستبعد هذا التعريف التقييدي الهرم الثنائي المثلثي (لأنه يشكل فتحتين رباعيتي الأوجه بدلاً من فتحة واحدة)، والهرم الثنائي الخماسي (لأن الكرات المكونة لرؤوسه تتداخل، لذا لا يمكن أن يظهر في ترتيبات الكرات)، والمجسم العشري الوجوه المنتظم (لأنه يحتوي على مساحة داخلية لكرة أخرى). يكتب برنال أن الشكل الإسفيني المقطوع هو " تنسيق شائع جدًا لأيون الكالسيوم في علم البلورات ". ^{[ 16 ]} في هندسة التنسيق، يُعرف عادةً باسم المجسم الاثني عشري المثلثي أو ببساطة باسم المجسم الاثني عشري. ^{[ 2 ]}

• وايسستين ، إريك دبليو. “Snub disphenoid” . عالم الرياضيات .