إمكانات لينارد-جونز

📅 آخر تحديث: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 116 صور
الموسوعة الحرة
رسم بياني لدالة جهد لينارد-جونز: طاقة الوضع بين الجزيئات V <sub>LJ</sub> كدالة لمسافة زوج من الجسيمات. الحد الأدنى للجهد عند r = r<sub> min</sub> = 2 1/6 σ .

في الكيمياء الحاسوبية ، والفيزياء الجزيئية ، والكيمياء الفيزيائية ، يُعدّ جهد لينارد-جونز (المعروف أيضًا بجهد LJ أو جهد 12-6 ، نسبةً إلى جون لينارد-جونز ) جهدًا ثنائيًا بين الجزيئات . ومن بين جميع الجهود بين الجزيئات ، يُعدّ جهد لينارد-جونز الأكثر دراسةً على نطاق واسع. [ 1 ] [ 2 ] ويُعتبر نموذجًا أوليًا للتفاعلات الجزيئية البسيطة والواقعية . غالبًا ما يُستخدم جهد لينارد-جونز كعنصر أساسي في النماذج الجزيئية (المعروفة أيضًا بمجالات القوى ) للمواد الأكثر تعقيدًا. [ 3 ] تستخدم العديد من الدراسات التي تتناول "مادة لينارد-جونز" المثالية هذا الجهد لفهم الطبيعة الفيزيائية للمادة.

ملخص

يُعدّ جهد لينارد-جونز نموذجًا بسيطًا، ولكنه مع ذلك يصف الخصائص الأساسية للتفاعلات بين الذرات والجزيئات البسيطة: يتنافر جسيمان متفاعلان عند المسافات القريبة جدًا، ويتجاذبان عند المسافات المتوسطة، ويتوقفان عن التفاعل عند مسافة لا نهائية، كما هو موضح في الشكل. جهد لينارد-جونز هو جهد ثنائي، أي أنه لا يشمل التفاعلات الثلاثية أو متعددة الأجسام. [ 3 ] [ 4 ]

الجهد المحتمل لينارد-جونز 12-6 المستخدم على نطاق واسع هو: [ 5 ]Vإل جيه(ر)=4ε[(σر)12-(σر)6]،{\displaystyle V_{\text{LJ}}(r)=4\varepsilon \left[\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{12}-\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{6}\right],} حيث r هي المسافة بين جسيمين متفاعلين، وε هي عمق بئر الجهد ، و σ هي المسافة التي تكون عندها طاقة الوضع V بين الجسيمين صفرًا. ويبلغ جهد لينارد-جونز 12-6 أدنى قيمة له عند مسافة r.ر=رمأنان=21/6σ،{\displaystyle r=r_{\rm {min}}=2^{1/6}\sigma ,}حيث تكون قيمة طاقة الوضعV=-ε.{\displaystyle V=-\varepsilon .}

عادة ما يكون جهد لينارد جونز هو الخيار القياسي لتطوير نظريات المادة (وخاصة المادة اللينة) وكذلك لتطوير واختبار الأساليب والخوارزميات الحسابية.

لقد طُرحت في الماضي العديد من الجهود بين الجزيئية لنمذجة التفاعلات التنافرية والتجاذبية البسيطة بين الجسيمات المتناظرة كرويًا، أي الشكل العام الموضح في الشكل. ومن أمثلة هذه الجهود: جهد مورس ، وجهد مي ، [ 6 ] وجهد باكنغهام ، وجهد تانغ-تونيز. [ 7 ] في حين أن بعض هذه الجهود قد يكون أكثر ملاءمة لنمذجة السوائل الحقيقية ، [ 8 ] إلا أن بساطة جهد لينارد-جونز، فضلاً عن قدرته المذهلة في كثير من الأحيان على محاكاة سلوك السوائل الحقيقية بدقة، جعلته تاريخيًا الجهد الثنائي الأكثر أهمية بشكل عام. [ 9 ]

تاريخ

في عام 1903، عمل غوستاف مي على نظريات المجال الفعالة، وبينما لم يحدد عمل مي بوضوح الجهد المستخدم، فقد حددت الأعمال اللاحقة جهد مي على أنه مزيج من جهد تنافري.1/رن{\displaystyle 1/r^{n}}، ذات إمكانات جذابة،-1/رم{\displaystyle -1/r^{m}}باستخدام معاملات محددة تجريبياًأن{\displaystyle A_{n}}وبم{\displaystyle B_{m}}: [ 1 ]V(ر)=أنرن-بمرم.{\displaystyle V(r)={\frac {A_{n}}{r^{n}}}-{\frac {B_{m}}{r^{m}}}.}استند إدوارد غرونايزن في عمله على أعمال مي في مجال المواد الصلبة، موضحاً أنن>م{\displaystyle n>m}وم>3{\displaystyle m>3}وهو أمر ضروري للمواد الصلبة. ونتيجة لهذا العمل، يُطلق على جهد لينارد-جونز أحيانًا اسم جهد ماي-غرونايزن في فيزياء الحالة الصلبة . [ 3 ]

في عام 1924، وهو العام الذي حصل فيه لينارد-جونز على درجة الدكتوراه من جامعة كامبريدج ، نشر [ 10 ] [ 11 ] سلسلة من الأبحاث الرائدة حول كمونات الأزواج التي سُميت لاحقًا باسمه. [ 2 ] [ 3 ] [ 12 ] [ 1 ] في هذه الأبحاث، قام بتعديل معلمات الكمون، ثم استخدم النتيجة في نموذج لزوجة الغاز، باحثًا عن مجموعة من القيم المتوافقة مع التجربة. أشارت نتائجه الأولية إلى وجود تنافر.ن=13.5{\displaystyle n=13.5}وجذابم=3{\displaystyle m=3}.

في عام 1930، وبعد اكتشاف ميكانيكا الكم ، أظهر فريتز لندن أن النظرية تتنبأ بأن قوة الجذب بعيدة المدى يجب أن تكونم=6{\displaystyle m=6}في مراجعته عام 1931، [ 13 ] استخدم لينارد جونز منطقًا مشابهًا لاقتراح استخدام م=6{\displaystyle m=6}ون=12{\displaystyle n=12}استنادًا إلى البيانات التجريبية. [ 1 ] الإعدادأن=4εσ12{\displaystyle A_{n}=4\varepsilon \sigma ^{12}}وبم=4εσ6{\displaystyle B_{m}=4\varepsilon \sigma ^{6}} طبق لينارد-جونز هذا الشكل من الإمكانات لوصف العديد من خصائص السوائل، مما مهد الطريق للعديد من الدراسات اللاحقة. [ 1 ]

بدون أبعاد (وحدات مخفضة)

وحدات لا بعدية (مُختزلة)
ملكيةرمزالشكل المختصر
طولر*{\displaystyle r^{*}}رσ{\displaystyle {\frac {r}{\sigma }}}
وقتت*{\displaystyle t^{*}}تεمσ2{\displaystyle t{\sqrt {\frac {\varepsilon }{m\sigma ^{2}}}}}
درجة حرارةتي*{\displaystyle T^{*}}كبتيε{\displaystyle {\frac {k_{B}T}{\varepsilon }}}
قوةF*{\displaystyle F^{*}}Fσε{\displaystyle {\frac {F\sigma }{\varepsilon }}}
طاقةيو*{\displaystyle U^{*}}يوε{\displaystyle {\frac {U}{\varepsilon }}}
ضغطص*{\displaystyle p^{*}}صσ3ε{\displaystyle {\frac {p\sigma ^{3}}{\varepsilon }}}
كثافةρ*{\displaystyle \rho ^{*}}ρσ3{\displaystyle \rho \sigma ^{3}}
التوتر السطحيγ*{\displaystyle \gamma ^{*}}γσ2ε{\displaystyle {\frac {\gamma \sigma ^{2}}{\varepsilon }}}

يمكن تعريف وحدات مُختزلة عديمة الأبعاد بناءً على معاملات جهد لينارد-جونز، وهو أمرٌ مُلائمٌ لمحاكاة الجزيئات. من الناحية العددية، تشمل مزايا نظام الوحدات هذا حساب قيم أقرب إلى الواحد، واستخدام معادلات مُبسطة، وإمكانية تغيير مقياس النتائج بسهولة. [ 14 ] [ 15 ] يتطلب نظام الوحدات المُختزلة هذا تحديد مُعامل الحجم.σ{\displaystyle \sigma }ومعامل الطاقةε{\displaystyle \varepsilon }من جهد لينارد-جونز وكتلة الجسيمم{\displaystyle m}يمكن تحويل جميع الخصائص الفيزيائية بسهولة مع مراعاة الأبعاد ذات الصلة، انظر الجدول. غالبًا ما تُختصر الوحدات المختزلة ويُشار إليها بعلامة النجمة (*).

بشكل عام، يمكن أيضًا بناء الوحدات المختزلة على إمكانات التفاعل الجزيئي الأخرى التي تتكون من معلمة طول ومعلمة طاقة.

التفاعلات بعيدة المدى

مثال توضيحي لتقارب مخطط تصحيح لحساب التفاعلات بعيدة المدى لجهد لينارد-جونز.X{\displaystyle X}يشير إلى مثال قابل للملاحظة ورج{\displaystyle r_{\mathrm {c} }}نصف قطر القطع المُطبق. تُشار إلى القيمة المصححة للمدى البعيد بـXجoرر{\displaystyle X_{\mathrm {corr} }}(الرموز والخط كدليل للعين)؛ القيمة "الحقيقية" الافتراضية كـXترuهـ{\displaystyle X_{\mathrm {true} }}(خط متقطع).

يتميز جهد لينارد-جونز، كما هو موضح في المعادلة (1) والشكل أعلاه، بمدى لانهائي. ولا يُدرس جهد لينارد-جونز "الحقيقي" و"الكامل" إلا في ضوء هذا الجهد. ولتقييم أي كمية قابلة للرصد لمجموعة من الجسيمات المتفاعلة عبر جهد لينارد-جونز باستخدام المحاكاة الجزيئية، لا يمكن تقييم التفاعلات بشكل صريح إلا حتى مسافة معينة، وذلك ببساطة لأن عدد الجسيمات سيكون دائمًا محدودًا. وتُعرف أقصى مسافة مُطبقة في المحاكاة عادةً باسم نصف قطر "القطع".رج{\displaystyle r_{\mathrm {c} }}(لأن جهد لينارد-جونز متناظر شعاعيًا). وللحصول على الخصائص الفيزيائية الحرارية (سواء على المستوى العياني أو المجهري) لجهد لينارد-جونز "الحقيقي" و"الكامل"، يجب مراعاة مساهمة الجهد خارج نصف قطر القطع.

طُوِّرت مخططات تصحيح مختلفة لمراعاة تأثير التفاعلات بعيدة المدى في عمليات المحاكاة، وللحفاظ على تقريب جيد بما فيه الكفاية للجهد "الكامل". [ 16 ] [ 14 ] وتستند هذه المخططات إلى افتراضات مبسطة تتعلق ببنية المائع. في الحالات البسيطة، كما هو الحال في دراسات توازن الموائع المتجانسة، تُعطي حدود التصحيح البسيطة نتائج ممتازة. أما في حالات أخرى، كما هو الحال في دراسات الأنظمة غير المتجانسة ذات الأطوار المختلفة، فإن مراعاة التفاعلات بعيدة المدى أكثر تعقيدًا. ويُشار إلى هذه التصحيحات عادةً باسم "تصحيحات المدى البعيد". بالنسبة لمعظم الخصائص، توجد تعابير تحليلية بسيطة معروفة ومُثبتة جيدًا. بالنسبة لمتغير قابل للرصد مُعطى.X{\displaystyle X}، نتيجة المحاكاة "المصححة"Xجoرر{\displaystyle X_{\mathrm {corr} }}ثم يتم حسابها ببساطة من القيمة التي تم أخذ عينة منها فعليًاXsأمصلهـد{\displaystyle X_{\mathrm {sampled} }}وقيمة التصحيح بعيدة المدىXلرج{\displaystyle X_{\mathrm {lrc} }}على سبيل المثال، بالنسبة للطاقة الداخليةيوجoرر=يوsأمصلهـد+يولرج{\displaystyle U_{\mathrm {corr} }=U_{\mathrm {sampled} }+U_{\mathrm {lrc} }}[ 14 ] القيمة الحقيقية الافتراضية للكمية القابلة للملاحظة في جهد لينارد-جونز عند مسافة قطع لانهائية حقيقية ( الحد الديناميكي الحراري )Xترuهـ{\displaystyle X_{\mathrm {true} }}لا يمكن عموماً إلا تقديرها.

علاوة على ذلك، تعتمد جودة مخطط التصحيح بعيد المدى على نصف قطر القطع. وعادةً ما تكون الافتراضات التي بُنيت عليها مخططات التصحيح غير مُبررة عند أنصاف أقطار القطع القصيرة جدًا. ويتضح ذلك في المثال الموضح في الشكل على اليمين. ويُقال إن مخطط التصحيح بعيد المدى قد تقارب إذا كان الخطأ المتبقي فيه صغيرًا بما يكفي عند مسافة قطع معينة، كما هو موضح في الشكل.

الإضافات والتعديلات

استُخدم جهد لينارد-جونز، كنموذج أولي للجهود بين الجزيئية ، مرات عديدة كنقطة انطلاق لتطوير جهود بين جزيئية أكثر تعقيدًا أو تعميمًا. وقد اقتُرحت في الأدبيات العلمية امتدادات وتعديلات متنوعة لجهد لينارد-جونز؛ وتُقدَّم قائمة أكثر شمولًا في مقال " الجهد بين الذرات ". وتشير القائمة التالية إلى عدد من الأمثلة على الجهود المرتبطة ارتباطًا مباشرًا بجهد لينارد-جونز، والتي تُعدّ ذات أهمية تاريخية ولا تزال وثيقة الصلة بالبحوث الحالية.

  • جهد مي: جهد مي هو النسخة المعممة من جهد لينارد-جونز، أي أن الأسين 12 و6 يُستخدمان كمعاملات.λرهـص{\displaystyle \lambda _{\mathrm {rep} }}وλأتتر{\displaystyle \lambda _{\mathrm {attr} }}من المعروف أن الخصائص المشتقة الديناميكية الحرارية، مثل الانضغاطية وسرعة الصوت ، حساسة للغاية لانحدار الجزء التنافري من الجهد بين الجزيئي، والذي يمكن بالتالي نمذجته بشكل أكثر دقة باستخدام جهد مي. [ 17 ] يُنسب أول صياغة صريحة لجهد مي إلى إدوارد غرونايزن . [ 18 ] [ 19 ] وبالتالي، فقد طُرح جهد مي قبل جهد لينارد-جونز. سُمي جهد مي نسبةً إلى غوستاف مي . [ 6 ]
  • جهد باكنغهام: اقترح ريتشارد باكنغهام جهد باكنغهام . يستبدل هذا الجهد الجزء التنافري من جهد لينارد-جونز بدالة أسية، ويتضمن مُعاملاً إضافياً.
  • جهد ستوكمير: سُمّي جهد ستوكمير نسبةً إلى دبليو إتش ستوكمير. [ 20 ] وهو عبارة عن مزيج من جهد لينارد-جونز مُضافًا إليه ثنائي قطب. ولذلك، فإن جسيمات ستوكمير ليست متناظرة كرويًا، بل لها بنية توجيهية مهمة.
  • جهد لينارد-جونز ثنائي المركز: يتكون جهد لينارد-جونز ثنائي المركز من موقعين متطابقين لتفاعل لينارد-جونز (نفسε{\displaystyle \varepsilon }،σ{\displaystyle \sigma }،م{\displaystyle m}(التي ترتبط كجسم صلب. غالبًا ما يتم اختصارها إلى 2CLJ. عادةً، يكون الاستطالة (المسافة بين مواقع لينارد-جونز) أصغر بكثير من معامل الحجمσ{\displaystyle \sigma }وبالتالي، فإن موقعي التفاعل يندمجان بشكل كبير.
  • جهد لينارد-جونز المقطوع والمُجزأ: يُعد جهد لينارد-جونز المقطوع والمُجزأ جهدًا نادر الاستخدام ولكنه مفيد. وهو مشابه لجهد LJTS الأكثر شيوعًا، حيث يتم اقتطاعه بشكل ثابت عند مسافة "نهاية" معينة.رهـند{\displaystyle r_{\mathrm {end} }}ولا تُؤخذ التفاعلات بعيدة المدى في الاعتبار. في حين يتم تحويل جهد لينارد-جونز بحيث يكون الجهد متصلاً لكن القوة غير متصلة، يتم جعل جهد لينارد-جونز المقتطع والمُجزأ متصلاً باستخدام دالة مُجزأة تضمن قوة متصلة.

جهد لينارد-جونز المقتطع والمُزاح (LJTS)

مقارنة بين توازن البخار والسائل باستخدام جهد لينارد-جونز "الكامل" (باللون الأسود) وجهد لينارد-جونز "المقتطع والمُزاح" (باللون الأزرق). تشير الرموز إلى نتائج المحاكاة الجزيئية؛ [ 21 ] [ 22 ] وتشير الخطوط إلى نتائج معادلات الحالة. [ 9 ] [ 23 ]

يُعدّ جهد لينارد-جونز المقتطع والمُزاح (LJTS) بديلاً شائع الاستخدام لجهد لينارد-جونز "الكامل" (انظر المعادلة (1)). يجب الفصل التام بين جهد لينارد-جونز "الكامل" وجهد لينارد-جونز "المقتطع والمُزاح". فهما ببساطة جهدان جزيئيان مختلفان ينتج عنهما خصائص فيزيائية حرارية مختلفة. يُعرَّف جهد لينارد-جونز المقتطع والمُزاح على النحو التالي: VLJTS(ر)={Vإل جيه(ر)-Vإل جيه(رنهاية)    ر≤رنهاية0    ر>رنهاية،{\displaystyle V_{\text{LJTS}}(r)={\begin{cases}V_{\text{LJ}}(r)-V_{\text{LJ}}(r_{\text{end}})&~~~~r\leq r_{\text{end}}\\0&~~~~r>r_{\text{end}},\end{cases}}} مع Vإل جيه(ر)=4ε[(σر)12-(σر)6].{\displaystyle V_{\text{LJ}}(r)=4\varepsilon \left[\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{12}-\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{6}\right].}

وبالتالي، يتم اقتطاع جهد LJTS عندرهـند{\displaystyle r_{\mathrm {end} }}وتم إزاحتها بقيمة الطاقة المقابلةVلج(رهـند){\displaystyle V_{\mathrm {LJ} }(r_{\mathrm {end} })}ويتم تطبيق الأخير لتجنب حدوث قفزة انقطاع في الجهد عندرهـند{\displaystyle r_{\mathrm {end} }}بالنسبة لإمكانية LJTS، لا توجد تفاعلات بعيدة المدى تتجاوزرهـند{\displaystyle r_{\mathrm {end} }}ليست مطلوبة – لا صراحةً ولا ضمناً. النسخة الأكثر استخداماً من جهد لينارد-جونز المقتطع والمُزاح هي تلك التي تحتوي علىرهـند=2.5σ{\displaystyle r_{\mathrm {end} }=2.5\,\sigma }ومع ذلك ، مختلفرهـند{\displaystyle r_{\mathrm {end} }}استُخدمت هذه القيم في المراجع. [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] كل جهد LJTS بنصف قطر قطع مُحددرهـند{\displaystyle r_{\mathrm {end} }}يجب اعتبارها كإمكانية، وبالتالي كمادة مستقلة بذاتها.

يُعدّ جهد LJTS أقل تكلفةً حسابيةً بكثير من جهد لينارد-جونز "الكامل"، ولكنه مع ذلك يُغطي الخصائص الفيزيائية الأساسية للمادة (وجود نقطة حرجة ونقطة ثلاثية، وتفاعلات تنافرية وتجاذبية ضعيفة، وتوازنات طورية، إلخ). ولذلك، يُستخدم جهد LJTS لاختبار الخوارزميات الجديدة، وأساليب المحاكاة، والنظريات الفيزيائية الجديدة. [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]

ومن المثير للاهتمام، أنه بالنسبة للأنظمة المتجانسة، تكون القوى بين الجزيئية المحسوبة من جهد لينارد-جونز وجهد لينارد-جونز-تومسون عند مسافة معينة متطابقة (لأندV/در{\displaystyle {\text{d}}V/{\text{dr}}(وهو نفسه)، بينما تتأثر طاقة الوضع والضغط بالتحول. كذلك، قد تتأثر خصائص مادة LJTS بخوارزمية المحاكاة المختارة، أي أخذ عينات MD أو MC (وهذا ليس هو الحال عمومًا بالنسبة لجهد لينارد-جونز "الكامل").

بالنسبة لإمكانات LJTS معرهـند=2.5σ{\displaystyle r_{\mathrm {end} }=2.5\,\sigma }، يبلغ انزياح الطاقة الكامنة حوالي 1/60 من طاقة التشتت عند البئر الكامن:Vلج(رهـند=2.5σ)=-0.0163ε{\displaystyle V_{\mathrm {LJ} }(r_{\mathrm {end} }=2.5\,\sigma )=-0.0163\,\varepsilon }يوضح الشكل على اليمين مقارنة توازن البخار والسائل باستخدام جهد لينارد-جونز "الكامل" وجهد لينارد-جونز "المقتطع والمُزاح". تُظهر نتائج جهد لينارد-جونز "الكامل" درجة حرارة وضغطًا حرجين أعلى بكثير مقارنةً بنتائج جهد لينارد-جونز "المقتطع والمُزاح"، بينما تبقى الكثافة الحرجة متقاربة جدًا. [ 31 ] [ 32 ] [ 26 ] يتأثر ضغط البخار وإنثالبي التبخر بالتفاعلات بعيدة المدى بشكل أكبر من تأثرهما بالكثافات المشبعة. ويعود ذلك إلى أن الجهد يُعالج بشكل أساسي من الناحية الطاقية عن طريق الاقتطاع والإزاحة.

التطبيقات

لا يقتصر دور جهد لينارد-جونز على أهميته الجوهرية في الكيمياء الحاسوبية وفيزياء المادة اللينة فحسب ، بل يمتد ليشمل نمذجة المواد الحقيقية. يُستخدم هذا الجهد في الدراسات الأساسية لسلوك المادة وتوضيح الظواهر الذرية. كما يُستخدم أيضًا في حالات خاصة، مثل دراسة الخصائص الحرارية الفيزيائية للمواد ثنائية أو رباعية الأبعاد [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] (بدلاً من الأبعاد المكانية الثلاثة التقليدية للكون).

توجد تطبيقات رئيسية لجهود لينارد-جونز: (أ) لدراسة مادة لينارد-جونز الافتراضية [ 12 ] ، و(ب) لنمذجة التفاعلات في نماذج المواد الحقيقية. [ 3 ] [ 2 ] وسيتم مناقشة هذين التطبيقين فيما يلي.

مادة لينارد جونز

مادة لينارد-جونز، أو "لينارد-جونزيوم"، هو اسم يُطلق على مادة مثالية تنتج عن تفاعل الذرات أو الجزيئات حصريًا عبر جهد لينارد-جونز. [ 12 ] يمكن استخدام الميكانيكا الإحصائية [ 36 ] والمحاكاة الحاسوبية [ 15 ] [ 16 ] لدراسة جهد لينارد-جونز والحصول على الخصائص الفيزيائية الحرارية لمادة لينارد-جونز. غالبًا ما يُشار إلى مادة لينارد-جونز باسم "لينارد-جونزيوم"، [ 12 ] مما يوحي بأنها تُعتبر عنصرًا كيميائيًا (افتراضيًا) . [ 21 ] علاوة على ذلك، يمكن تعديل معلمات الطاقة والطول الخاصة بها لتناسب العديد من المواد الحقيقية المختلفة. يُعد كل من جهد لينارد-جونز، وبالتالي مادة لينارد-جونز ، نموذجًا مبسطًا ولكنه واقعي، حيث يُجسد بدقة مبادئ فيزيائية أساسية مثل وجود نقطة حرجة ونقطة ثلاثية ، والتكثيف والتجمد . بسبب بساطته الرياضية جزئياً، استُخدم جهد لينارد-جونز على نطاق واسع في دراسات المادة منذ بدايات المحاكاة الحاسوبية. [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ]

الخصائص الفيزيائية الحرارية لمادة لينارد-جونز

مخطط طور مادة لينارد-جونز. تم استخلاص العلاقات والقيم العددية للنقطة الحرجة والنقطة (النقاط) الثلاثية من المراجع [ 21 ] و [ 41 ] و[ 9 ]. تشير النجمة إلى النقطة الحرجة. [ 21 ] تشير الدائرة إلى النقطة الثلاثية بين الطورين البخاري والسائل والصلب، ويشير المثلث إلى النقطة الثلاثية بين الطورين البخاري والصلب (مكعب مركزي الوجوه) والصلب (سداسي متراص). [ 41 ] و[ 42 ] تشير الخطوط المتصلة إلى خطوط تعايش الطورين. [ 21 ] و[ 41 ] تشير الخطوط المتقطعة إلى منحنى الانفصال الطوري بين الطورين البخاري والسائل. [ 9 ]

يمكن الحصول على الخصائص الفيزيائية الحرارية لمادة لينارد-جونز، [ 12 ] أي الجسيمات المتفاعلة مع جهد لينارد-جونز، باستخدام الميكانيكا الإحصائية. يمكن حساب بعض الخصائص تحليليًا، أي بدقة عالية، بينما لا يمكن الحصول على معظم الخصائص إلا من خلال إجراء محاكاة جزيئية. [ 15 ] وعادةً ما تتراكب على هذه الأخيرة أخطاء إحصائية ومنهجية. [ 43 ] [ 21 ] [ 44 ] [ 45 ] على سبيل المثال، يمكن حساب معاملات فيريال مباشرةً من جهد لينارد باستخدام تعابير جبرية [ 36 ] وبالتالي فإن البيانات المنشورة لا تحتوي على أي خطأ. نتائج المحاكاة الجزيئية، مثل الضغط عند درجة حرارة وكثافة معينتين، تحتوي على أخطاء إحصائية ومنهجية. [ 43 ] [ 45 ] يمكن إجراء المحاكاة الجزيئية لجهد لينارد-جونز عمومًا باستخدام محاكاة الديناميكا الجزيئية (MD) أو محاكاة مونت كارلو (MC). بالنسبة لمحاكاة مونت كارلو، فإن جهد لينارد-جونزVلج(ر){\displaystyle V_{\mathrm {LJ} }(ص)}يُستخدم بشكل مباشر، بينما تعتمد محاكاة الديناميكا الجزيئية دائمًا على مشتق الجهد، أي القوةF=-دV/در{\displaystyle F=-\mathrm {d} V/\mathrm {d} r}يمكن لهذه الاختلافات، بالإضافة إلى الاختلافات في معالجة التفاعلات بعيدة المدى (انظر أدناه)، أن تؤثر على الخصائص الفيزيائية الحرارية المحسوبة. [ 46 ] [ 32 ]

نظرًا لأن مادة لينارد-جونز تُعدّ نموذجًا أوليًا لنمذجة التفاعلات الجزيئية البسيطة والواقعية، فقد دُرست العديد من خصائصها الحرارية الفيزيائية ونُشرت في المراجع العلمية. [ 21 ] تُعتبر بيانات التجارب الحاسوبية لجهد لينارد-جونز حاليًا البيانات الأكثر دقةً في الكيمياء الحاسوبية للميكانيكا الكلاسيكية. ولذلك، تُستخدم هذه البيانات في الغالب كمعيار للتحقق من صحة الخوارزميات والنظريات الجديدة واختبارها. وقد استُخدم جهد لينارد-جونز باستمرار منذ بدايات المحاكاة الجزيئية. نُشرت النتائج الأولى من التجارب الحاسوبية لجهد لينارد-جونز بواسطة روزنبلث وروزنبلث [ 38 ] وود وباركر [ 37 ] بعد أن أصبحت المحاكاة الجزيئية متاحة على " أجهزة الحوسبة السريعة " في عام 1953. [ 47 ] ومنذ ذلك الحين، نشرت العديد من الدراسات بيانات عن مادة لينارد-جونز؛ [ 21 ] ويتوفر ما يقرب من 50,000 نقطة بيانات للعموم. يلخص ستيفان وآخرون [ 21 ] الوضع الحالي للأبحاث المتعلقة بالخصائص الفيزيائية الحرارية لمادة لينارد-جونز (مع العلم أن هذه الدراسة لم تتناول خصائص النقل والخلط). ويقدم المعهد الوطني الأمريكي للمعايير والتكنولوجيا (NIST) أمثلة على برامج الديناميكا الجزيئية ومونت كارلو، بالإضافة إلى النتائج المستخلصة منها. [ 48 ] وقد جمع بيل وآخرون [ 49 ] ولاوتنشايجر وهاس [ 50 ] بيانات خصائص النقل لسوائل لينارد-جونز.

يوضح الشكل على اليمين مخطط الطور لسائل لينارد-جونز. وقد دُرست توازنات الطور لجهد لينارد-جونز مرات عديدة، وهي معروفة اليوم بدقة عالية. [ 41 ] [ 21 ] [ 51 ] يُظهر الشكل نتائج الارتباطات المستمدة من نتائج التجارب الحاسوبية (لذا، تظهر الخطوط بدلًا من نقاط البيانات).

يعتمد متوسط ​​التفاعل بين جزيئات جسيم لينارد-جونز اعتمادًا كبيرًا على الحالة الديناميكية الحرارية ، أي درجة الحرارة والضغط (أو الكثافة). في الحالة الصلبة، يلعب تفاعل لينارد-جونز الجاذب دورًا مهيمنًا، لا سيما عند درجات الحرارة المنخفضة. أما في الحالة السائلة، فلا توجد بنية منتظمة مقارنةً بالحالة الصلبة، ويكون متوسط ​​طاقة الوضع لكل جسيم سالبًا. في الحالة الغازية، تلعب التفاعلات الجاذبة لجهد لينارد-جونز دورًا ثانويًا نظرًا لبُعد المسافة بين الجزيئات، حيث يُخزَّن الجزء الأكبر من الطاقة الداخلية كطاقة حركية . في الحالات فوق الحرجة، يلعب تفاعل لينارد-جونز الجاذب دورًا ثانويًا أيضًا. مع ارتفاع درجة الحرارة، يزداد متوسط ​​الطاقة الحركية للجسيمات ويتجاوز بئر طاقة جهد لينارد-جونز. وبالتالي، تتفاعل الجسيمات بشكل أساسي من خلال التفاعلات التنافرية الضعيفة للجهد، ويكون متوسط ​​طاقة الوضع لكل جسيم موجبًا تبعًا لذلك.

بشكل عام، ونظرًا للفترة الزمنية الطويلة التي دُرست فيها إمكانية لينارد-جونز، والبيانات المتعلقة بالخصائص الحرارية الفيزيائية المنشورة في الأدبيات العلمية، وعدم كفاية الموارد الحاسوبية لإجراء محاكاة دقيقة (وفقًا للمعايير الحديثة)، فإن كمية ملحوظة من البيانات تُعتبر مشكوكًا فيها. [ 21 ] ومع ذلك، تُستخدم هذه البيانات كمرجع في العديد من الدراسات. ويُعدّ نقص مستودعات البيانات وتقييمها عنصرًا حاسمًا في العمل المستقبلي في مجال أبحاث إمكانية لينارد-جونز، وهو مجالٌ قائم منذ فترة طويلة.

النقاط والمنحنيات المميزة

أهم خصائص جهد لينارد-جونز هي النقطة الحرجة والنقطة الثلاثية بين البخار والسائل والصلب . وقد دُرست هاتان النقطتان مرارًا في الأدبيات العلمية وجُمعت في المرجع [ 21 ] . وبناءً على ذلك، حُدد موقع النقطة الحرجة عند

  • تيج=1.321±0.007εكب-1{\displaystyle T_{\mathrm {c}}=1.321\pm 0.007\,\varepsilon k_{\mathrm {B} }^{-1}}
  • ρج=0.316±0.005σ-3{\displaystyle \rho _{\mathrm {c} }=0.316\pm 0.005\,\sigma ^{-3}}
  • صج=0.129±0.005εσ-3{\displaystyle p_{\mathrm {c} }=0.129\pm 0.005\,\varepsilon \sigma ^{-3}}

تم حساب قيم عدم اليقين المذكورة من الانحراف المعياري للمعاملات الحرجة المستمدة من أكثر مجموعات بيانات توازن البخار والسائل موثوقيةً والمتاحة. [ 21 ] ويمكن اعتبار قيم عدم اليقين هذه حدًا أدنى للدقة التي يمكن من خلالها الحصول على النقطة الحرجة للسائل من نتائج المحاكاة الجزيئية.

منحنيات مميزة لمادة لينارد-جونز. يشير الخط الأسود السميك إلى توازن البخار والسائل، وتشير النجمة إلى النقطة الحرجة. يشير الخط البني إلى توازن الصلب والسائل. تشير الخطوط والرموز السوداء الأخرى إلى منحنيات براون المميزة (انظر النص لمزيد من التفاصيل) لمادة لينارد-جونز: الخطوط هي نتائج معادلة الحالة ، والرموز من المحاكاة الجزيئية، والمثلثات بيانات دقيقة في حالة الغاز المثالي مستمدة من معاملات فيريال. البيانات مأخوذة من المراجع [ 52 ] و[ 53 ] و[ 54 ].

يُفترض حاليًا أن النقطة الثلاثية تقع عند

  • تيتر=0.69±0.005εكب-1{\displaystyle T_{\mathrm {tr}}=0.69\pm 0.005\,\varepsilon k_{\mathrm {B} }^{-1}}
  • ρتر،زأs=0.0017±0.004σ-3{\displaystyle \rho _{\mathrm {tr,gas} }=0.0017\pm 0.004\,\sigma ^{-3}}
  • ρتر،لأناq=0.845±0.009σ-3{\displaystyle \rho _{\mathrm {tr,liq} }=0.845\pm 0.009\,\sigma ^{-3}}
  • ρتر،soل=0.961±0.007σ-3{\displaystyle \rho _{\mathrm {tr,sol} }=0.961\pm 0.007\,\sigma ^{-3}}
  • صتر=0.0012±0.0007εσ-3{\displaystyle p_{\mathrm {tr} }=0.0012\pm 0.0007\,\varepsilon \sigma ^{-3}}

تمثل هذه الشكوك تشتت البيانات من مختلف المؤلفين. [ 41 ] دُرست النقطة الحرجة لمادة لينارد-جونز أكثر بكثير من النقطة الثلاثية. بالنسبة لكلتا النقطتين، النقطة الحرجة والنقطة الثلاثية (بخار-سائل-صلب)، أفادت العديد من الدراسات بنتائج خارج النطاقات المذكورة أعلاه. تُعد البيانات المذكورة أعلاه البيانات الصحيحة والموثوقة المفترضة حاليًا. ومع ذلك، لا تزال دقة تحديد درجة الحرارة الحرجة ودرجة حرارة النقطة الثلاثية غير مرضية.

من الواضح أن منحنيات تعايش الأطوار (انظر الأشكال) ذات أهمية جوهرية لتوصيف جهد لينارد-جونز. علاوة على ذلك، تُقدّم منحنيات براون المميزة [ 55 ] وصفًا توضيحيًا للخصائص الأساسية لجهد لينارد-جونز. تُعرَّف منحنيات براون المميزة بأنها منحنيات تتطابق فيها خاصية ديناميكية حرارية معينة للمادة مع خاصية الغاز المثالي . بالنسبة لسائل حقيقي،Z{\displaystyle Z}ويمكن لمشتقاته أن تتطابق مع قيم الغاز المثالي لحالات خاصةتي{\displaystyle T}،ρ{\displaystyle \rho }لا تُنتج التوليفات إلا نتيجة لقاعدة أطوار جيبس. وتشكل النقاط الناتجة مجتمعةً منحنىً مميزًا. تُعرَّف أربعة منحنيات مميزة رئيسية: منحنى واحد من الرتبة الصفرية (يُسمى منحنى زينو ) وثلاثة منحنيات من الرتبة الأولى (تُسمى منحنيات أماجات ، وبويل ، وتشارلز ). يجب أن يكون للمنحنى المميز انحناء سالب أو معدوم في جميع أجزائه، وأن يكون له قيمة عظمى واحدة في مخطط الضغط-درجة الحرارة ذي المقياس اللوغاريتمي المزدوج. علاوة على ذلك، ترتبط منحنيات براون المميزة ومعاملات فيريال ارتباطًا مباشرًا في حالة الغاز المثالي، وبالتالي تُعرف بدقة عند هذه النقطة.ρ→0{\displaystyle \rho \rightarrow 0}تم نشر نتائج المحاكاة الحاسوبية ونتائج معادلة الحالة في الأدبيات العلمية لجهد لينارد-جونز. [ 53 ] [ 21 ] [ 52 ] [ 56 ] [ 57 ]

تتمتع النقاط على منحنى زينو Z بمعامل انضغاط يساوي واحدًاZ=ص/(ρتي)=1{\displaystyle Z=p/(\rho T)=1}ينشأ منحنى زينو عند درجة حرارة بويلتيب=3.417927982εكب-1{\displaystyle T_{\mathrm {B} }=3.417927982\,\varepsilon k_{\mathrm {B} }^{-1}}[ 52 ] النقاط على منحنى بويل B لهادZد(1/ρ)|تي=0{\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} Z}{\mathrm {d} (1/\rho )}}\right|_{T}=0}يبدأ منحنى بويل من منحنى زينو عند درجة حرارة بويل، ويحيط بشكل خفيف بالنقطة الحرجة، وينتهي عند منحنى ضغط البخار. أما النقاط على منحنى شارل (المعروف أيضًا بمنحنى جول-طومسون للانعكاس ) فلهادZدتي|ص=0{\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} Z}{\mathrm {d} T}}\right|_{p}=0}والأهم من ذلكدتيدص|ح=0{\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} p}}\right|_{h}=0}أي لا يوجد تغير في درجة الحرارة عند الخنق متساوي المحتوى الحراري. وينشأ ذلك عندتي=6.430798418εكب-1{\displaystyle T=6.430798418\,\varepsilon k_{\mathrm {B} }^{-1}}في حالة الغاز المثالي، يتقاطع المنحنى مع منحنى زينو، وينتهي عند منحنى ضغط البخار. النقاط على منحنى أماغات A لهادZدتي|ρ=0{\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} Z}{\mathrm {d} T}}\right|_{\rho }=0}كما يبدأ عند حد الغاز المثالي عندتي=25.15242837εكب-1{\displaystyle T=25.15242837\,\varepsilon k_{\mathrm {B} }^{-1}}يحيط هذا المنحنى بالنقطة الحرجة والمنحنيات المميزة الثلاثة الأخرى، ثم ينتقل إلى منطقة الطور الصلب. وقد قدم ستيفان وديترز مناقشة شاملة للمنحنيات المميزة لجهد لينارد-جونز. [ 52 ]

معاملات فيريال من جهد لينارد-جونز كدالة لدرجة الحرارة: معامل فيريال الثانيب{\displaystyle B}(أعلى) ومعامل الفيروس الثالثج{\displaystyle C}(أسفل). تشير الدائرة إلى درجة حرارة بويلتيب{\displaystyle T_{\mathrm {B} }}النتائج مأخوذة من [ 52 ]
خصائص سائل لينارد-جونز
توازن البخار والسائل لمادة لينارد-جونز: ضغط البخار (أعلى)، والكثافات المشبعة (وسط)، والتوتر السطحي (أسفل). تشير الرموز إلى نتائج المحاكاة الجزيئية. [ 31 ] [ 21 ] تشير الخطوط إلى نتائج معادلة الحالة (ونظرية التدرج التربيعي للتوتر السطحي). [ 31 ] [ 9 ]

دُرست خصائص سائل لينارد-جونز على نطاق واسع في الأدبيات العلمية نظرًا للأهمية البالغة لجهد لينارد-جونز في فيزياء المواد اللينة والمجالات ذات الصلة. [ 12 ] وقد نُشر حتى الآن حوالي 50 مجموعة بيانات من بيانات التجارب الحاسوبية لتوازن البخار والسائل . [ 21 ] علاوة على ذلك، نُشر أكثر من 35000 نقطة بيانات لحالات السوائل المتجانسة على مر السنين، وجُمعت مؤخرًا وقُيّمت بحثًا عن القيم الشاذة في قاعدة بيانات مفتوحة الوصول. [ 21 ]

يُعرف توازن البخار والسائل لمادة لينارد-جونز حاليًا بدقة، أي بتوافق متبادل للبيانات المتسقة ديناميكيًا حراريًا، من±1%{\displaystyle \pm 1\%}بالنسبة لضغط البخار،±0.2%{\displaystyle \pm 0.2\%}بالنسبة لكثافة السائل المشبع،±1%{\displaystyle \pm 1\%}بالنسبة لكثافة البخار المشبع،±0.75%{\displaystyle \pm 0.75\%}بالنسبة لإنثالبي التبخر، و±4%{\displaystyle \pm 4\%}بالنسبة للتوتر السطحي . [ 21 ] لا يمكن اعتبار هذا الوضع الراهن مرضياً بالنظر إلى حقيقة أن عدم اليقين الإحصائي الذي يتم الإبلاغ عنه عادة لمجموعات البيانات الفردية أقل بكثير من القيم المذكورة أعلاه (حتى بالنسبة لمجالات القوى الجزيئية الأكثر تعقيدًا).

لا يمكن عمومًا الحصول على خصائص توازن الطور وخصائص الحالة المتجانسة عند كثافة عشوائية إلا من خلال المحاكاة الجزيئية، بينما يمكن حساب معاملات فيريال مباشرةً من جهد لينارد-جونز. [ 36 ] تتوفر بيانات عددية لمعاملَي فيريال الثاني والثالث في نطاق واسع من درجات الحرارة. [ 58 ] [ 52 ] [ 21 ] بالنسبة لمعاملات فيريال الأعلى (حتى المعامل السادس عشر)، يتناقص عدد نقاط البيانات المتاحة مع ازدياد رقم معامل فيريال. [ 59 ] [ 60 ] كما دُرست خصائص النقل (اللزوجة، والتوصيل الحراري، ومعامل الانتشار الذاتي) لسائل لينارد-جونز، [ 61 ] [ 62 ] لكن قاعدة البيانات أقل كثافة بكثير من تلك الخاصة بخصائص التوازن المتجانس مثلصvتي{\displaystyle pvT}أو بيانات الطاقة الداخلية. علاوة على ذلك، تم تطوير عدد كبير من النماذج التحليلية ( معادلات الحالة ) لوصف سائل لينارد-جونز (انظر أدناه لمزيد من التفاصيل).

خصائص مادة لينارد-جونز الصلبة

تُعدّ قاعدة البيانات والمعرفة الخاصة بنموذج لينارد-جونز للمواد الصلبة أقل بكثير من تلك الخاصة بالأطوار السائلة. وقد أُدرك مبكراً أنه لا ينبغي تقريب التفاعلات في الأطوار الصلبة على أنها تفاعلات ثنائية جمعية، وخاصة بالنسبة للمعادن. [ 63 ] [ 64 ]

ومع ذلك، يُستخدم جهد لينارد-جونز في فيزياء الحالة الصلبة نظرًا لبساطته وكفاءته الحسابية. ولذلك، فقد دُرست الخصائص الأساسية للأطوار الصلبة وتوازن الطور بين الصلب والسائل عدة مرات، على سبيل المثال في المراجع [ 51 ] و [ 41 ] و [ 42 ] و [ 65 ] و[ 66 ] و[ 54 ] .

تتخذ مادة لينارد-جونز أشكالًا بلورية متعددة، منها المكعب ذو المراكز الوجهية (fcc) والسداسية المتراصة (hcp) وغيرها ، وذلك تبعًا لدرجة الحرارة والضغط، كما هو موضح في الشكل أعلاه مع مخطط الأطوار. عند درجات الحرارة المنخفضة وحتى الضغط المتوسط، يكون شكل الشبكة السداسية المتراصة (hcp) هو المفضل طاقيًا، وبالتالي فهو بنية التوازن. أما عند درجات الحرارة والضغط العاليين، فيكون شكل الشبكة المكعب ذو المراكز الوجهية (fcc) هو المفضل طاقيًا، وبالتالي فهو بنية التوازن في نطاق أوسع من الحالات. ويبدأ خط التعايش بين طوري المكعب ذي المراكز الوجهية (fcc) والسداسية المتراصة (hcp) عند درجة حرارة معينة.تي=0{\displaystyle T=0}في حدودص=878.5εσ-3{\displaystyle p=878.5\,\varepsilon \sigma ^{-3}}، يمر بأقصى درجة حرارة عند حواليتي=0.4εكب-1{\displaystyle T=0.4\,\varepsilon k_{\mathrm {B} }^{-1}}ثم ينتهي عند حدود الطور بين البخار والصلب عند حواليتي=0.32εكب-1{\displaystyle T=0.32\,\varepsilon k_{\mathrm {B} }^{-1}}، مما يشكل نقطة ثلاثية. [ 65 ] [ 41 ] وبالتالي، فإن الطور الصلب ذو التركيب المكعب المتمركز على الوجوه (fcc) هو الوحيد الذي يُظهر توازنًا طوريًا مع الطور السائل والطور فوق الحرج، انظر الشكل أعلاه مع مخطط الطور.

تم الإبلاغ عن أن النقطة الثلاثية للمرحلتين الصلبتين (fcc و hcp) والطور البخاري تقع عند: [ 65 ] [ 41 ]

  • تيتر=0.32±0.001εكب-1{\displaystyle T_{\mathrm {tr} }=0.32\pm 0.001\,\varepsilon k_{\mathrm {B} }^{-1}}
  • ρتر،زأs=..{\displaystyle \rho _{\mathrm {tr,gas} }=..}لم يتم الإبلاغ عنه بعد
  • ρتر،وجج=1.03859±0.0008σ-3{\displaystyle \rho _{\mathrm {tr,fcc} }=1.03859\pm 0.0008\,\sigma ^{-3}}
  • ρتر،حجص=1.03861±0.0007σ-3{\displaystyle \rho _{\mathrm {tr,hcp} }=1.03861\pm 0.0007\,\sigma ^{-3}}
  • صتر=0.96⋅10-9εσ-3{\displaystyle p_{\mathrm {tr} }=0.96\cdot 10^{-9}\,\varepsilon \sigma ^{-3}}

تجدر الإشارة إلى أنه تم الإبلاغ عن قيم أخرى مختلفة بشكل ملحوظ في الدراسات السابقة. لذا، ينبغي تعزيز قاعدة بيانات النقطة الثلاثية بين البنية المكعبة المتمركزة على الوجوه والبنية السداسية المتراصة والبخار في المستقبل.

توازن البخار والسائل لخلائط لينارد-جونز الثنائية. في جميع الحالات الموضحة، يكون المكون 2 هو المكون الأكثر تطايرًا (الذي يتركز في الطور البخاري). الوحدات موضحة بالوحدات الدولية.ε{\displaystyle \varepsilon }وσ{\displaystyle \sigma }المكون 1، وهو نفسه في جميع المخاليط الأربعة الموضحة. درجة الحرارة هيتي=0.92εكب-1{\displaystyle T=0.92\,\varepsilon k_{\mathrm {B} }^{-1}}الرموز تمثل نتائج المحاكاة الجزيئية، والخطوط تمثل نتائج معادلة الحالة . البيانات مأخوذة من المرجع [ 31 ].

مخاليط مواد لينارد جونز

تُستخدم مخاليط جسيمات لينارد-جونز في الغالب كنموذج أولي لتطوير نظريات وأساليب المحاليل، وكذلك لدراسة خصائص المحاليل بشكل عام. ويعود هذا إلى العمل الأساسي لنظرية المحلول المطابق للونغيت-هيغينز [ 67 ] وليلاند وروولينسون وزملائهم [ 68 ] [ 69 ] . وتُشكل هذه النظريات اليوم أساس معظم نظريات المخاليط [ 70 ] [ 71 ] .

يتم تحضير مخاليط مكونين أو أكثر من مكونات لينارد-جونز عن طريق تغيير معلمة تفاعل محتملة واحدة على الأقل (ε{\displaystyle \varepsilon }أوσ{\displaystyle \sigma }) لأحد المكونات بالنسبة للآخر. بالنسبة للخليط الثنائي، ينتج عن ذلك ثلاثة أنواع من التفاعلات الزوجية التي يتم نمذجتها جميعًا بواسطة جهد لينارد-جونز: تفاعلات 1-1، و2-2، و1-2. بالنسبة للتفاعلات المتبادلة 1-2، يلزم افتراضات إضافية لتحديد المعلمات.ε12{\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {12} }}أوσ12{\displaystyle \sigma _{\mathrm {12} }}منε11{\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {11} }}،σ11{\displaystyle \sigma _{\mathrm {11} }}وε22{\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {22} }}،σ22{\displaystyle \sigma _{\mathrm {22} }}يمكن استخدام خيارات متنوعة (جميعها تجريبية إلى حد ما وليست مبنية بدقة على حجج فيزيائية) لهذه القواعد التي تُسمى قواعد الجمع. [ 72 ] القاعدة الأكثر استخدامًا [ 72 ] هي قاعدة لورنتز وبيرتيلو [ 73 ].

σ12=η12σ11+σ222{\displaystyle \sigma _{12}=\eta _{12}{\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}}{2}}}

ε12=ξ12ε11ε22{\displaystyle \varepsilon _{12}=\xi _{12}{\sqrt {\varepsilon _{11}\varepsilon _{22}}}}

المعلمةξ12{\displaystyle \xi _{12}}هو معامل تفاعل إضافي مستقل عن الحالة للخليط.η12{\displaystyle \eta _{12}}عادةً ما يتم ضبطها على الوحدة لأن المتوسط ​​الحسابي يمكن اعتباره معقولاً من الناحية الفيزيائية لمعامل حجم التفاعل المتبادل.ξ12{\displaystyle \xi _{12}}من ناحية أخرى، يُستخدم غالبًا لضبط المتوسط ​​الهندسي بهدف محاكاة سلوك الطور لمزيج النموذج. بالنسبة للنماذج التحليلية، مثل معادلات الحالة ، يُكتب معامل الانحراف عادةً على النحو التالي:ك12=1-ξ12{\displaystyle k_{12}=1-\xi _{12}}. لξ12>1{\displaystyle \xi _{12}>1}وبالتالي، تزداد طاقة تشتت التفاعل المتبادل، وبالتالي تزداد قوة التجاذب بين الجسيمات المختلفة، بينما تقل قوى التجاذب بين الجسيمات المختلفة.ξ12<1{\displaystyle \xi _{12}<1}.

بالنسبة لمخاليط لينارد-جونز، يمكن دراسة توازن الطورين السائل والصلب ، أي بخار-سائل ، سائل-سائل ، غاز-غاز، صلب-بخار، صلب-سائل ، وصلب-صلب. وبناءً على ذلك، يمكن أن توجد أنواع مختلفة من النقاط الثلاثية (توازن الأطوار الثلاثة) والنقاط الحرجة ، بالإضافة إلى نقاط اليوتكتيك والأيزوتروب المختلفة . [ 74 ] [ 71 ] وقد دُرست مخاليط لينارد-جونز الثنائية في منطقة المائع (أنواع مختلفة من توازن الطورين السائل والغازي) [ 31 ] [ 75 ] [ 76 ] [ 77 ] [ 78 ] بشكل أكثر شمولاً من توازن الأطوار الذي يشمل الأطوار الصلبة. [ 79 ] [ 80 ] [ 81 ] [ 82 ] [ 83 ] دُرست العديد من مخاليط لينارد-جونز المختلفة في الأدبيات العلمية. وحتى الآن، لم يُوضع معيار موحد لها. عادةً ما تُختار معاملات التفاعل الثنائي ومعاملات المكونين بحيث نحصل على خليط بخصائص مناسبة لمهمة معينة. ومع ذلك، غالبًا ما يجعل هذا الأمر المقارنات صعبة.

بالنسبة لسلوك الطور السائل، تُظهر المخاليط سلوكًا مثاليًا عمليًا (بمعنى قانون راؤول ) لـξ12=1{\displaystyle \xi _{12}=1}. لξ12>1{\displaystyle \xi _{12}>1}تسود التفاعلات الجاذبة وتميل المخاليط إلى تكوين أزيوتروب عالي الغليان، أي أن ضغطًا أقل من ضغط بخار المكونات النقية مطلوب لتحقيق استقرار التوازن بين البخار والسائل.ξ12<1{\displaystyle \xi _{12}<1}تسود التفاعلات التنافرية، وتميل المخاليط إلى تكوين أزيوتروب منخفض الغليان، أي أن ضغطًا أعلى من ضغط بخار المكونات النقية مطلوب لتحقيق استقرار توازن البخار والسائل نظرًا لانخفاض متوسط ​​قوى التشتت. وتزداد هذه الظاهرة بشكل خاص مع انخفاض قيم .ξ12{\displaystyle \xi _{12}}علاوة على ذلك، سيؤدي ذلك إلى فجوات في قابلية امتزاج السوائل. كما دُرست أنواع مختلفة من توازنات الأطوار التي تتضمن أطوارًا صلبة في الأدبيات العلمية، على سبيل المثال من قِبل كارول وزملاؤه. [ 81 ] [ 83 ] [ 80 ] [ 79 ] وتوجد أيضًا حالات تُعطّل فيها حدود الطور الصلب توازنات أطوار السوائل. مع ذلك، فإن كمية البيانات المنشورة حول توازنات الأطوار التي تتضمن أطوارًا صلبة قليلة.

معادلات الحالة

تم اقتراح عدد كبير من معادلات الحالة (EOS) لجهد/مادة لينارد-جونز منذ أن أصبح توصيفها وتقييمها متاحًا مع أولى عمليات المحاكاة الحاسوبية. [ 47 ] نظرًا للأهمية الجوهرية لجهد لينارد-جونز، فإن معظم معادلات الحالة الجزيئية المتاحة حاليًا مبنية حول سائل لينارد-جونز. وقد تمت مراجعتها بشكل شامل من قبل ستيفان وآخرون. [ 9 ] [ 52 ]

تُعدّ معادلات الحالة لسائل لينارد-جونز ذات أهمية خاصة في فيزياء المواد اللينة والكيمياء الفيزيائية ، حيث تُستخدم كنقطة انطلاق لتطوير معادلات الحالة للسوائل المعقدة، مثل البوليمرات والسوائل المترابطة. وعادةً ما تُقتبس وحدات المونومر في هذه النماذج مباشرةً من معادلة حالة لينارد-جونز كوحدة بناء، مثل معادلة حالة PHC [ 84 ] ، ومعادلة حالة BACKONE [ 85 ] [ 86 ] ، ومعادلة حالة SAFT [ 17 ] [ 87 ] [ 88 ] [ 89 ] .

تم اقتراح أكثر من 30 معادلة حالة لينارد-جونز في الأدبيات العلمية. وقد أظهر تقييم شامل [ 9 ] [ 52 ] لهذه المعادلات أن العديد منها [ 90 ] [ 91 ] [ 92 ] [ 93 ] تصف جهد لينارد-جونز بدقة جيدة ومتقاربة، ولكن لا يوجد بينها ما هو متميز. تُظهر ثلاث من هذه المعادلات سلوكًا غير فيزيائي غير مقبول في بعض مناطق المائع، مثل حلقات فان دير فالس المتعددة، بينما تكون دقيقة بشكل معقول في باقي الجوانب. وُجد أن معادلة حالة لينارد-جونز التي وضعها كولافا ونيزبيدا [ 91 ] هي الوحيدة التي تتميز بالمتانة والدقة لمعظم الخصائص الديناميكية الحرارية لمائع لينارد-جونز. [ 52 ] [ 9 ] علاوة على ذلك، وُجد أن معادلة حالة لينارد-جونز التي وضعها جونسون وآخرون [ 94 ] أقل دقة من معادلة حالة كولافا ونيزبيدا في جميع البيانات المرجعية المتاحة تقريبًا [ 21 ] [ 9 ] . [ 91 ]

إمكانات لينارد-جونز كعنصر أساسي في بناء الحقول القوة

يُستخدم جهد لينارد-جونز على نطاق واسع في النمذجة الجزيئية للمواد الحقيقية. وهناك طريقتان أساسيتان لاستخدام جهد لينارد-جونز في النمذجة الجزيئية: (1) نمذجة ذرة أو جزيء المادة الحقيقية مباشرةً باستخدام جهد لينارد-جونز، مما يُعطي نتائج جيدة جدًا للغازات النبيلة والميثان ، أي الجسيمات الكروية المتفاعلة تشتتيًا. في حالة الميثان، يُفترض أن الجزيء متناظر كرويًا، وتُدمج ذرات الهيدروجين مع ذرة الكربون لتكوين وحدة مشتركة. يمكن تطبيق هذا التبسيط عمومًا على الجزيئات الأكثر تعقيدًا، ولكنه عادةً ما يُعطي نتائج ضعيفة. (2) يتكون جزيء المادة الحقيقية من مواقع تفاعلات لينارد-جونز متعددة، والتي يمكن ربطها إما بروابط صلبة أو بجهود إضافية مرنة (وقد يتكون أيضًا من أنواع أخرى من الجهود، مثل الشحنات الجزئية). يمكن إنشاء نماذج جزيئية (يشار إليها غالبًا باسم " مجالات القوة ") لجميع الجسيمات الجزيئية والأيونية تقريبًا باستخدام هذا المخطط على سبيل المثال للألكانات .

باستخدام النهج الأول الموضح، يحتوي النموذج الجزيئي على معلمتين فقط من معلمات جهد لينارد-جونزε{\displaystyle \varepsilon }وσ{\displaystyle \sigma }والتي يمكن استخدامها للتركيب، على سبيل المثالε/كب=120ك{\displaystyle \varepsilon /k_{\mathrm {B} }=120\,\mathrm {K} }وσ=0.34نم{\displaystyle \sigma =0.34\,\mathrm {nm} }يمكن استخدام هذا النموذج مع غاز الأرجون . عند ضبط معلمات النموذج ε و σ لتتوافق مع خصائص المادة الحقيقية، يمكن استخدام جهد لينارد-جونز لوصف المواد البسيطة (مثل الغازات النبيلة ) بدقة جيدة. من الواضح أن هذا النهج يُعد تقريبًا جيدًا فقط للجزيئات والذرات الكروية ذات التفاعل التشتتي البسيط. يتميز الاستخدام المباشر لجهد لينارد-جونز بميزة كبيرة، وهي إمكانية استخدام نتائج المحاكاة والنظريات الخاصة به مباشرةً. وبالتالي، يمكن قياس النتائج المتاحة لجهد لينارد-جونز والمادة مباشرةً باستخدام النموذج المناسب.ε{\displaystyle \varepsilon }وσ{\displaystyle \sigma }(انظر الوحدات المختزلة). معلمات جهد لينارد-جونزε{\displaystyle \varepsilon }وσ{\displaystyle \sigma }يمكن عمومًا ملاءمتها لأي خاصية مرغوبة للمادة الحقيقية. في فيزياء المواد اللينة، تُستخدم عادةً البيانات التجريبية لتوازن الطور بين البخار والسائل أو النقطة الحرجة في تحديد المعلمات؛ أما في فيزياء الحالة الصلبة، فيُستخدم الانضغاط أو السعة الحرارية أو ثوابت الشبكة البلورية. [ 63 ] [ 64 ]

يُعدّ النهج الثاني المُشار إليه، والذي يستخدم جهد لينارد-جونز كوحدة بناء للجزيئات المطولة والمعقدة، أكثر تطورًا. وبذلك، تُصمّم النماذج الجزيئية خصيصًا بحيث لا تنطبق نتائج المحاكاة إلا على ذلك النموذج المحدد. ويُطبّق هذا النهج التطويري لحقول القوى الجزيئية اليوم بشكل رئيسي في فيزياء المواد اللينة والمجالات المرتبطة بها، مثل الهندسة الكيميائية والكيمياء وعلم الأحياء الحاسوبي. ويعتمد عدد كبير من حقول القوى على جهد لينارد-جونز، مثل حقل قوى TraPPE [ 95 ] ، وحقل قوى OPLS [ 96 ] ، وحقل قوى MolMod [ 97 ] (مع العلم أن استعراض حقول القوى الجزيئية ليس ضمن نطاق هذه المقالة). أما بالنسبة لأحدث نماذج المواد الصلبة، فتُستخدم جهود متعددة الأجسام أكثر تعقيدًا (مثل جهود EAM [ 98 ] ).

يُقدّم جهد لينارد-جونز تقريبًا جيدًا للتفاعلات بين الجزيئات في العديد من التطبيقات: تتوافق الخصائص الماكروية المحسوبة باستخدام جهد لينارد-جونز بشكل جيد مع البيانات التجريبية لمواد بسيطة مثل الأرجون من جهة، ودالة الجهد من جهة أخرى.Vلج(ر){\displaystyle V_{\mathrm {LJ} }(r)}يتوافق هذا إلى حد كبير مع نتائج الكيمياء الكمومية . يوفر جهد لينارد-جونز وصفًا جيدًا للتفاعلات الجزيئية في الأطوار السائلة ، بينما لا يُوصف التفاعل الجزيئي في الأطوار الصلبة إلا بشكل تقريبي. ويعود ذلك أساسًا إلى أن التفاعلات متعددة الأجسام تلعب دورًا هامًا في الأطوار الصلبة، وهي غير مشمولة في جهد لينارد-جونز. لذلك، يُستخدم جهد لينارد-جونز على نطاق واسع في فيزياء المادة اللينة والمجالات المرتبطة بها، بينما يُستخدم بشكل أقل في فيزياء الحالة الصلبة . نظرًا لبساطته، يُستخدم جهد لينارد-جونز غالبًا لوصف خصائص الغازات والسوائل البسيطة، ولنمذجة التفاعلات التشتتية والتنافرية في النماذج الجزيئية . وهو دقيق بشكل خاص لذرات الغازات النبيلة والميثان . كما أنه يُعد تقريبًا جيدًا للتفاعلات الجزيئية على مسافات طويلة وقصيرة للذرات والجزيئات المتعادلة. لذلك، يُستخدم جهد لينارد-جونز في كثير من الأحيان كعنصر أساسي في النماذج الجزيئية للجزيئات المعقدة، مثل الألكانات أو الماء . [ 95 ] [ 99 ] [ 97 ] كما يمكن استخدام جهد لينارد-جونز لنمذجة تفاعلات الامتزاز عند أسطح التماس بين المواد الصلبة والسوائل، أي الامتزاز الفيزيائي أو الامتزاز الكيميائي .

من المسلّم به أن القيود الرئيسية لجهد لينارد-جونز تكمن في كونه جهدًا ثنائيًا (لا يشمل التفاعلات متعددة الأجسام) وأن1/ر12{\displaystyle 1/r^{12}}يُستخدم مصطلح الأسّ للدلالة على التنافر. وتشير نتائج الكيمياء الكمومية إلى ضرورة استخدام أسّ أكبر من 12، أي جهد أكثر انحدارًا. علاوة على ذلك، يتميز جهد لينارد-جونز بمرونة محدودة، أي أنه لا يمكن التحكم إلا في معاملي النموذج.ε{\displaystyle \varepsilon }وσ{\displaystyle \sigma }يمكن استخدامها لوصف مادة حقيقية.

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 3 4 5 فيشر، يوهان؛ ويندلاند، مارتن (2023-10-01). "حول تاريخ الجهود الجزيئية التجريبية الرئيسية" . توازن الطور السائل . 573 113876. Bibcode : 2023FlPEq.57313876F . doi : 10.1016/j.fluid.2023.113876 . ISSN 0378-3812 . 
  2. لينارد ، يوهانس ؛ ستيفان، سيمون؛ هاس، هانز ( 16 مايو 2024). "حول تاريخ جهد لينارد-جونز" . حوليات الفيزياء . 536 (6). doi : 10.1002/andp.202400115 . ISSN 0003-3804 . 
  3. 1 2 3 4 5 شفيردتفيغر، بيتر؛ ويلز، ديفيد ج. (26-04-2024). "مئة عام على جهد لينارد-جونز" . مجلة نظرية الحساب الكيميائي . 20 (9): 3379-3405 . doi : 10.1021/acs.jctc.4c00135 . ISSN 1549-9618 . PMID 38669689 .  
  4. ↑ ستون، أ. ج. (2016). نظرية القوى بين الجزيئية (الطبعة الثانية، منشورة بغلاف ورقي ). أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN  978-0-19-878915-4.
  5. ↑ وانغ، شيبينغ؛ راميريز-هينستروزا، سيمون؛ دوبنيكار، يوري؛ فرينكل، دان (2020). "جهد لينارد-جونز: متى (لا) يُستخدم" . الكيمياء الفيزيائية والكيمياء الفيزيائية . 22 (19): 10624-10633 . arXiv : 1910.05746 . Bibcode : 2020PCCP...2210624W . doi : 10.1039/C9CP05445F . ISSN 1463-9076 . PMID 31681941 .  
  6. 1 2 مي، جوستاف (1903). "Zur kinetischen Theorie der einatomigen Körper" . أنالين دير فيزيك (في المانيا). 316 (8): 657–697 . بيب كود : 1903AnP...316..657M . دوى : 10.1002/andp.19033160802 .
  7. ↑ تانغ، ك. ت.؛ تونيس، ج. بيتر (15 أبريل 1984). "نموذج بسيط مُحسَّن لجهد فان دير فالس قائم على دوال التخميد العامة لمعاملات التشتت" . مجلة الفيزياء الكيميائية . 80 (8): 3726-3741 . Bibcode : 1984JChPh..80.3726T . doi : 10.1063/1.447150 . ISSN 0021-9606 . 
  8. ↑ لافيت، توماس؛ أبوستولاكو، أناستاسيا؛ أفيندانيا، كارلوس؛ غاليندو، أمبارو؛ أدجيمان، كلير س.؛ مولر، إريك أ.؛ جاكسون، جورج (21-10-2013). "نظرية دقيقة إحصائية لسوائل الترابط لجزيئات السلسلة المتكونة من أجزاء مي" . مجلة الفيزياء الكيميائية . 139 (15). Bibcode : 2013JChPh.139o4504L . doi : 10.1063/1.4819786 . hdl : 10044/1/12859 . ISSN 0021-9606 . PMID 24160524 .  
  9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ستيفان، سيمون؛ ستوباخ، ينس؛ هاس، هانز (2020). "مراجعة ومقارنة معادلات الحالة لسائل لينارد-جونز" . توازن الطور السائل . 523 112772. Bibcode : 2020FlPEq.52312772S . doi : 10.1016/j.fluid.2020.112772 . S2CID 224844789 . 
  10. ↑ جونز، جيه إي (1924). "حول تحديد المجالات الجزيئية - الجزء الأول: من تغير لزوجة الغاز مع درجة الحرارة" . وقائع الجمعية الملكية في لندن. السلسلة أ، التي تضم أوراقًا ذات طابع رياضي وفيزيائي . 106 (738): 441-462 . رمز Bibcode : 1924RSPSA.106..441J . doi : 10.1098/rspa.1924.0081 . ISSN 0950-1207 . 
  11. ↑ جونز، جيه إي (1924). "حول تحديد المجالات الجزيئية. - الجزء الثاني: من معادلة حالة الغاز" . وقائع الجمعية الملكية في لندن. السلسلة أ، التي تحتوي على أوراق ذات طابع رياضي وفيزيائي . 106 (738): 463-477 . رمز Bibcode : 1924RSPSA.106..463J . doi : 10.1098/rspa.1924.0082 . ISSN 0950-1207 . 
  12. 1 2 3 4 5 6 لينارد، يوهانس؛ ستيفان، سيمون؛ هاس، هانز (فبراير 2024). "ابن التنبؤ: في تاريخ، ووجود، وحوسبة لينارد-جونسيوم" . دراسات في تاريخ وفلسفة العلوم . 103 : 105-113 . doi : 10.1016/j.shpsa.2023.11.007 . PMID 38128443. S2CID 266440296 .  
  13. ↑ لينارد-جونز، جيه إي (1931-09-01). "التماسك" . وقائع الجمعية الفيزيائية . 43 (5): 461-482 . رمز Bibcode : 1931PPS....43..461L . doi : 10.1088/0959-5309/43/5/301 . ISSN 0959-5309 . 
  14. 1 2 3 ألين، مايكل ب.؛ تيلدسلي، دومينيك ج. (23-11-2017). "محاكاة حاسوبية للسوائل". منشورات أكسفورد سكولارشيب أونلاين . doi : 10.1093/oso/9780198803195.001.0001 . ISBN 978-0-19-880319-5.
  15. 1 2 3 د. س. رابابورت (1 أبريل 2004). فن محاكاة الديناميكا الجزيئية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-82568-9.
  16. 1 2 فرينكل، د.؛ سميت، ب. (2002)، فهم المحاكاة الجزيئية (الطبعة الثانية )، سان دييغو: أكاديميك برس، ISBN  0-12-267351-4
  17. 1 2 لافيت، توماس؛ أبوستولاكو، أناستاسيا؛ أفيندانيا، كارلوس؛ غاليندو، أمبارو؛ أدجيمان، كلير س.؛ مولر، إريك أ.؛ جاكسون، جورج (16-10-2013). "نظرية دقيقة إحصائية لسوائل الترابط لجزيئات السلسلة المتكونة من أجزاء مي" . مجلة الفيزياء الكيميائية . 139 (15): 154504. Bibcode : 2013JChPh.139o4504L . doi : 10.1063/1.4819786 . hdl : 10044/1/12859 . ISSN 0021-9606 . PMID 24160524 .  
  18. ^ جرونيسن ، إدوارد (1911). "Das Verhältnis der Thermischen Ausdehnung zur spezifischen Wärme fester Elemente" . Zeitschrift for Elektrochemie und angewandte physikalische Chemie . 17 (17): 737-739 . دوى : 10.1002/bbpc.191100004 . S2CID 178760389 . 
  19. ^ جرونيسن، إي. (1912). "Theorie des festen Zustandes einatomiger Elemente" . أنالين دير فيزيك (في المانيا). 344 (12): 257– 306. بيب كود : 1912AnP...344..257G . دوى : 10.1002/andp.19123441202 .
  20. ↑ ستوكمير، دبليو إتش (1941-05-01). "معاملات فيريال الثانية للغازات القطبية" . مجلة الفيزياء الكيميائية . 9 (5): 398-402 . Bibcode : 1941JChPh...9..398S . doi : 10.1063/1.1750922 . ISSN 0021-9606 . 
  21. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ستيفان، سيمون؛ ثول، مونيكا؛ فرابيك، جادران؛ هاس، هانز (28-10-2019). "الخواص الفيزيائية الحرارية لسائل لينارد - جونز: قاعدة البيانات وتقييم البيانات" . مجلة المعلومات الكيميائية والنمذجة . 59 (10): 4248-4265 . doi : 10.1021/acs.jcim.9b00620 . ISSN 1549-9596 . PMID 31609113. S2CID 204545481 .   
  22. ↑ فرابيك، جادران؛ كيديا، غاوراف كومار؛ فوكس، غيدو؛ هاس، هانز (10 مايو 2006). "دراسة شاملة لتعايش البخار والسائل في سائل لينارد-جونز المقتطع والمُزاح، بما في ذلك خصائص السطح البيني المستوي والكروي" . الفيزياء الجزيئية . 104 (9): 1509-1527 . Bibcode : 2006MolPh.104.1509V . doi : 10.1080/00268970600556774 . ISSN 0026-8976 . S2CID 96606562 .  
  23. ↑ هاير، ميكايلا؛ ستيفان، سيمون؛ ليو، جينلو؛ تشابمان، والتر ج.؛ هاس، هانز؛ لانغينباخ، كاي (18-08-2018). "معادلة حالة لسائل لينارد-جونز المقتطع والمُزاح بنصف قطر قطع 2.5 σ بناءً على نظرية الاضطراب وتطبيقاتها في الديناميكا الحرارية البينية" . الفيزياء الجزيئية . 116 ( 15-16 ): 2083-2094 . Bibcode : 2018MolPh.116.2083H . doi : 10.1080/00268976.2018.1447153 . ISSN 0026-8976 . S2CID 102956189 .  
  24. ↑ شاول، كاثرين آر إس؛ شولتز، أندرو جيه؛ كوفكي، ديفيد إيه (2010). "تأثير الاقتطاع والإزاحة على معاملات فيريال لكمونات لينارد-جونز" . مجموعة الاتصالات الكيميائية التشيكوسلوفاكية . 75 (4): 447-462 . doi : 10.1135/cccc2009113 . ISSN 1212-6950 . 
  25. ↑ شي، وي؛ جونسون، ج. كارل (2001). "إعادة ترجيح المدرج التكراري ودراسة قياس الحجم المحدود لسوائل لينارد-جونز". توازن الطور السائل . 187-188 : 171-191 . Bibcode : 2001FlPEq.187..171S . doi : 10.1016/S0378-3812(01)00534-9 .
  26. 1 2 دونيكوف، د.و.؛ مالشينكو، س.ب.؛ جاكوفسكي، ف.ف. (2001-10-08). "قانون الحالات المتناظرة ومحاكاة الديناميكا الجزيئية لسائل لينارد-جونز" . مجلة الفيزياء الكيميائية . 115 (14): 6623-6631 . Bibcode : 2001JChPh.115.6623D . doi : 10.1063/1.1396674 . ISSN 0021-9606 . 
  27. ↑ ليفيا ب. بارتاي، كريستوف أورتنر، ألبرت ب. بارتوك، كريس ج. بيكارد، وغابور تشاني "تعدد الأنماط في بنية الحالة الأرضية للينارد-جونسيوم"، الكيمياء الفيزيائية والكيمياء الفيزيائية 19 19369 (2017)
  28. ^ تشيبيف، نيكولا. سيكلر، ستيفن. هاينن، ماتياس. فرابيك، جادران؛ جراتل ، فابيو. هورش، مارتن. برنرويثر، مارتن. جلاس ، كولن دبليو . نيثامر، كريستوف؛ هامر، نيكولاي؛ كريشوك، بيرند (2019). "TweTriS: محاكاة عشرين تريليون ذرة" . المجلة الدولية لتطبيقات الحوسبة عالية الأداء . 33 (5): 838-854 . دوى : 10.1177 / 1094342018819741 . ردمك 1094-3420 . S2CID 59345875 .  
  29. ↑ ستيفان، سيمون؛ ليو، جينلو؛ لانغينباخ، كاي؛ تشابمان، والتر ج.؛ هاس، هانز (2018). "واجهة البخار-السائل لسائل لينارد-جونز المقتطع والمُزاح: مقارنة بين المحاكاة الجزيئية، ونظرية تدرج الكثافة، ونظرية الكثافة الوظيفية" . مجلة الكيمياء الفيزيائية ج . 122 (43): 24705-24715 . doi : 10.1021/acs.jpcc.8b06332 . ISSN 1932-7447 . S2CID 105759822 .  
  30. ↑ كوب، والتر؛ أندرسن ، هانز سي. (1995-05-01). "اختبار نظرية اقتران الأنماط لمزيج لينارد-جونز ثنائي فائق التبريد 1: دالة ارتباط فان هوف" . مجلة Physical Review E. 51 ( 5): 4626–4641 . arXiv : cond-mat/9501102 . Bibcode : 1995PhRvE..51.4626K . doi : 10.1103/PhysRevE.51.4626 . PMID 9963176. S2CID 17662741 .  
  31. 1 2 3 4 5 ستيفان، سيمون؛ هاس، هانز (2020-06-01). "تأثير التفاعلات التشتتية بعيدة المدى على خصائص توازن البخار والسائل والأسطح البينية لخلائط لينارد-جونز الثنائية" . الفيزياء الجزيئية . 118 ( 9-10 ) e1699185. Bibcode : 2020MolPh.11899185S . ​​doi : 10.1080/00268976.2019.1699185 . ISSN 0026-8976 . S2CID 214174102 .  
  32. 1 2 سميت، ب. (1992)، "مخططات الطور لسوائل لينارد-جونز" (ملف PDF) ، مجلة الفيزياء الكيميائية ، 96 (11): 8639-8640 ، Bibcode : 1992JChPh..96.8639S ، doi : 10.1063/1.462271
  33. ↑ سميت، ب.؛ فرينكل، د. (15 أبريل 1991). "توازن البخار والسائل لسوائل لينارد-جونز ثنائية الأبعاد" . مجلة الفيزياء الكيميائية . 94 (8): 5663-5668 . Bibcode : 1991JChPh..94.5663S . doi : 10.1063/1.460477 . ISSN 0021-9606 . S2CID 1580499 .  
  34. ↑ سكاليز، أوزفالدو هـ (يونيو 2001). "توازن الغاز والسائل من النوع الأول لمزيج ثنائي الأبعاد من نوع لينارد-جونز" . توازن الطور السائل . 182 ( 1-2 ): 59-64 . Bibcode : 2001FlPEq.182...59S . doi : 10.1016/s0378-3812(01)00380-6 . ISSN 0378-3812 . 
  35. ↑ هلوشا، م.؛ ساندلر، إس. آي. (نوفمبر 1999). "مخطط طور سائل لينارد-جونز رباعي الأبعاد" . مجلة الفيزياء الكيميائية . 111 (17): 8043-8047 . Bibcode : 1999JChPh.111.8043H . doi : 10.1063/1.480138 . ISSN 0021-9606 . 
  36. 1 2 3 هيل، تيريل ل. (1956). الميكانيكا الإحصائية: المبادئ والتطبيقات المختارة . نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 0-486-65390-0. OCLC 15163657 . {{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  37. وود ، دبليو دبليو ؛ باركر، إف آر (1957). "معادلة مونت كارلو لحالة الجزيئات المتفاعلة مع جهد لينارد-جونز. الجزء الأول: منحنى حراري فوق حرج عند ضعف درجة الحرارة الحرجة تقريبًا" . مجلة الفيزياء الكيميائية . 27 (3): 720-733 . رمز Bibcode : 1957JChPh..27..720W . doi : 10.1063/1.1743822 . ISSN 0021-9606 . 
  38. 1 2 روزنبلث، مارشال ن.؛ روزنبلث، أريانا و. (1954). "نتائج إضافية حول معادلات حالة مونت كارلو" . مجلة الفيزياء الكيميائية . 22 (5): 881-884 . Bibcode : 1954JChPh..22..881R . doi : 10.1063/1.1740207 . ISSN 0021-9606 . 
  39. ↑ ألدر، بي جيه؛ وينرايت، تي إي (1959). "دراسات في الديناميكا الجزيئية. الجزء الأول: الطريقة العامة" . مجلة الفيزياء الكيميائية . 31 (2): 459-466 . رمز Bibcode : 1959JChPh..31..459A . doi : 10.1063/1.1730376 . ISSN 0021-9606 . 
  40. ↑ رحمن، أ. (1964-10-19). "الترابطات في حركة الذرات في الأرجون السائل" . مجلة Physical Review . 136 (2A): A405– A411. Bibcode : 1964PhRv..136..405R . doi : 10.1103/PhysRev.136.A405 . ISSN 0031-899X . 
  41. 1 2 3 4 5 6 7 8 شولتز، أندرو جيه؛ كوفكي، ديفيد أ. (28-11-2018). "معادلة حالة شاملة عالية الدقة وخصائص التعايش لبلورات لينارد-جونز الكلاسيكية وأطوار السوائل منخفضة الحرارة" . مجلة الفيزياء الكيميائية . 149 (20): 204508. Bibcode : 2018JChPh.149t4508S . doi : 10.1063 / 1.5053714 . ISSN 0021-9606 . PMID 30501268. S2CID 54629914 .   
  42. 1 2 شولتز، أندرو جيه؛ كوفكي، ديفيد أ. (2020-08-07). "تصحيح: "معادلة حالة شاملة عالية الدقة وخصائص التعايش لبلورات لينارد-جونز الكلاسيكية وأطوار السوائل منخفضة الحرارة" [ مجلة الفيزياء الكيميائية 149، 204508 (2018) ] " . مجلة الفيزياء الكيميائية . 153 (5): 059901. Bibcode : 2020JChPh.153e9901S . doi : 10.1063/5.0021283 . ISSN 0021-9606 . PMID 32770918 .  
  43. 1 2 شابالز، مايكل؛ مكلنفيلد، أندرياس؛ كروجر، ليف؛ بوتان، فيتالي؛ كوستر، أندرياس؛ ستيفان، سيمون؛ غارسيا، إيدر ج.؛ روتكاي، غابور؛ رابي، غابرييل؛ كلاين، بيتر؛ ليونارد، كاي (12 سبتمبر 2017). "دراسة مقارنة: محاكاة جزيئية للخواص الديناميكية الحرارية من نماذج ذات درجات حرية داخلية" . مجلة نظرية الحساب الكيميائي . 13 (9): 4270-4280 . doi : 10.1021/acs.jctc.7b00489 . ISSN 1549-9618 . PMID 28738147 .  
  44. ↑ لوفلر، هانز هـ.؛ بوسيسيو، ستيفانو؛ دوارتي راموس ماتوس، غيلهيرمي؛ سوه، دونغهيوك؛ رو، بينوا؛ موبلي، ديفيد ل.؛ ميشيل، جوليان (13 نوفمبر 2018). "إمكانية تكرار حسابات الطاقة الحرة عبر حزم برامج محاكاة الجزيئات المختلفة" . مجلة نظرية الحساب الكيميائي . 14 (11): 5567-5582 . doi : 10.1021/acs.jctc.8b00544 . hdl : 20.500.11820/52d85d71-d3df-468b-8f88-9c52e83da1f1 . ISSN 1549-9618 . PMID 30289712 . S2CID 52923832 .   
  45. 1 2 لينارد، يوهانس؛ كوستر، أوفه (2019). "إمكانية التكرار ومفهوم الحل العددي" . العقول والآلات . 29 (1): 19-36 . doi : 10.1007/s11023-019-09492-9 . ISSN 0924-6495 . S2CID 59159685 .  
  46. ↑ شي، وي؛ جونسون، ج. كارل (15-09-2001). "إعادة ترجيح المدرج التكراري ودراسة قياس الحجم المحدود لسوائل لينارد-جونز" . توازن الطور السائل . 187-188 : 171-191 . Bibcode : 2001FlPEq.187..171S . doi : 10.1016/S0378-3812(01)00534-9 . ISSN 0378-3812 . 
  47. متروبوليس ، نيكولاس؛ روزنبلث، أريانا و.؛ روزنبلث، مارشال ن.؛ تيلر، أوغستا هـ.؛ تيلر، إدوارد (1953). " حسابات معادلة الحالة باستخدام أجهزة الحوسبة السريعة" . مجلة الفيزياء الكيميائية . 21 (6): 1087-1092 . Bibcode : 1953JChPh..21.1087M . doi : 10.1063 / 1.1699114 . ISSN 0021-9606 . OSTI 4390578. S2CID 1046577 .   
  48. ↑ دانيال سيديريوس (2017-09-01). موقع محاكاة المرجع القياسي للمعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا - SRD 173. المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا. doi : 10.18434/T4M88Q .
  49. ↑ بيل، إيان هـ.؛ ميسرلي، ريتشارد؛ ثول، مونيكا؛ كوستيجليولا، لورينزو؛ داير، جيب سي. (2019). " تعديل مقياس الإنتروبيا لخصائص النقل لسائل لينارد-جونز" . مجلة الكيمياء الفيزيائية ب . 123 (29): 6345-6363 . doi : 10.1021/acs.jpcb.9b05808 . PMC 7147083. PMID 31241958. تاريخ الاسترجاع: 20 مايو 2024 .  
  50. ↑ لاوتنشلاغر، مارتن ب.؛ هاس، هانز (2021-04-29). "خصائص النقل لسائل لينارد-جونز المقتطع والمزاح من محاكاة الديناميكا الجزيئية غير المتوازنة". doi : 10.31219/osf.io/67w4u .{{cite journal}}يتطلب الاستشهاد بالمجلة ( مساعدة )|journal=
  51. 1 2 كوستر، أندرياس؛ ماوسباخ، بيتر؛ فرابيك، جادران (10-10-2017). "الانصهار المسبق، وتوازنات الحالة الصلبة والسائلة، والخواص الديناميكية الحرارية في منطقة الكثافة العالية بناءً على جهد لينارد-جونز" . مجلة الفيزياء الكيميائية . 147 (14): 144502. Bibcode : 2017JChPh.147n4502K . doi : 10.1063/1.4990667 . ISSN 0021-9606 . PMID 29031254 .  
  52. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ستيفان، سيمون؛ دايترز، أولريش ك. (2020-08-20). "المنحنيات المميزة لسائل لينارد-جونز" . المجلة الدولية للديناميكا الحرارية . 41 (10): 147. Bibcode : 2020IJT....41..147S . doi : 10.1007/s10765-020-02721-9 . ISSN 1572-9567 . PMC 7441092. PMID 32863513 .   
  53. 1 2 دايترز، أولريش ك.؛ نوماير، أرنولد (11 أغسطس 2016). "محاكاة حاسوبية للمنحنيات المميزة للسوائل النقية" . مجلة البيانات الكيميائية والهندسية . 61 (8): 2720-2728 . doi : 10.1021/acs.jced.6b00133 . ISSN 0021-9568 . 
  54. 1 2 أغراوال، روبال؛ كوفكي، ديفيد أ. (1995). "الخواص الديناميكية الحرارية والبنيوية للأنظمة النموذجية عند تعايش المواد الصلبة والسائلة: الجزء الثاني. انصهار وتسامي نظام لينارد-جونز" . الفيزياء الجزيئية . 85 (1): 43-59 . doi : 10.1080/00268979500100921 . ISSN 0026-8976 . 
  55. ↑ براون، إي إتش (1960). "حول الخصائص الديناميكية الحرارية للسوائل". نشرة المعهد الدولي للبرودة . الملحق 1960-1: 169-178 .
  56. ↑ أبفيلباوم، إي إم؛ فوروبييف، في إس (18 يونيو 2020). "خط عامل الانضغاطية الوحدوي (خط زينو) للحالات البلورية" . مجلة الكيمياء الفيزيائية ب . 124 (24): 5021-5027 . doi : 10.1021/acs.jpcb.0c02749 . ISSN 1520-6106 . PMID 32437611. S2CID 218835048 .   
  57. ↑ أبفيلباوم، إي إم؛ فوروبييف، في إس؛ مارتينوف، جي إيه (2008). "حول نظرية خط زينو" . مجلة الكيمياء الفيزيائية أ . 112 (26): 6042-6044 . رمز Bibcode : 2008JPCA..112.6042A . doi : 10.1021/jp802999z . ISSN 1089-5639 . PMID 18543889 .  
  58. ↑ نيكولاس، جيه جيه؛ غوبينز، كيه إي؛ ستريت، دبليو بي؛ تيلدسلي، دي جيه (1979). "معادلة حالة سائل لينارد-جونز" . الفيزياء الجزيئية . 37 (5): 1429-1454 . Bibcode : 1979MolPh..37.1429N . doi : 10.1080/00268977900101051 . ISSN 0026-8976 . 
  59. ↑ فينغ، تشاو؛ شولتز، أندرو جيه؛ تشودري، فيبين؛ كوفكي، ديفيد أ. (28-07-2015). "معاملات فيريال من الثامن إلى السادس عشر لنموذج لينارد-جونز" . مجلة الفيزياء الكيميائية . 143 (4): 044504. Bibcode : 2015JChPh.143d4504F . doi : 10.1063/1.4927339 . ISSN 0021-9606 . PMID 26233142 .  
  60. ↑ شولتز، أندرو جيه؛ كوفكي، ديفيد أ. (10 نوفمبر 2009). "معاملات فيريال السادسة والسابعة والثامنة لنموذج لينارد-جونز" . الفيزياء الجزيئية . 107 (21): 2309-2318 . Bibcode : 2009MolPh.107.2309S . doi : 10.1080/00268970903267053 . ISSN 0026-8976 . S2CID 94811614 .  
  61. ↑ بيل، إيان هـ.؛ ميسرلي، ريتشارد؛ ثول، مونيكا؛ كوستيجليولا، لورينزو؛ داير، جيب سي. (25 يوليو 2019). " تعديل مقياس الإنتروبيا لخصائص النقل لسائل لينارد-جونز" . مجلة الكيمياء الفيزيائية ب . 123 (29): 6345-6363 . doi : 10.1021/acs.jpcb.9b05808 . ISSN 1520-6106 . PMC 7147083. PMID 31241958 .   
  62. ↑ لاوتنشلايجر، مارتن ب.؛ هاس، هانز (2019). "خصائص النقل لسائل لينارد-جونز المقتطع والمُزاح من محاكاة ديناميكيات الجزيئات غير المتوازنة" . توازن الطور السائل . 482 : 38-47 . Bibcode : 2019FlPEq.482...38L . doi : 10.1016/j.fluid.2018.10.019 . S2CID 106113718 . 
  63. 1 2 Zhen, Shu; Davies, GJ (1983-08-16). "حساب معاملات طاقة الوضع لينارد-جونسن-م للمعادن" . Physica Status Solidi A (بالألمانية). 78 (2): 595–605 . Bibcode : 1983PSSAR..78..595Z . doi : 10.1002/pssa.2210780226 .
  64. 1 2 هاليسي أوغلو، ت.؛ باوند، ج.م. (16-08-1975). "حساب معلمات طاقة الوضع من خصائص الحالة البلورية" . فيزيكا ستاتوس سوليدي أ . 30 (2): 619-623 . Bibcode : 1975PSSAR..30..619H . doi : 10.1002/pssa.2210300223 .
  65. 1 2 3 ترافيسيه، أليكس (28-10-2014). "مخطط الطور لأنظمة قانون القوة ولينارد-جونز: الأطوار البلورية" . مجلة الفيزياء الكيميائية . 141 (16): 164501. Bibcode : 2014JChPh.141p4501T . doi : 10.1063/1.4898371 . ISSN 0021-9606 . PMID 25362319 .  
  66. ↑ هانسن، جان بيير؛ فيرليه، لوب (5 أغسطس 1969). "التحولات الطورية لنظام لينارد-جونز" . مجلة Physical Review . 184 (1): 151-161 . Bibcode : 1969PhRv..184..151H . doi : 10.1103/PhysRev.184.151 . ISSN 0031-899X . 
  67. ↑ لونغيت-هيغينز، إتش سي (7 فبراير 1951). "الديناميكا الحرارية الإحصائية للأنظمة متعددة المكونات" . وقائع الجمعية الملكية في لندن. السلسلة أ. العلوم الرياضية والفيزيائية . 205 (1081): 247-269 . Bibcode : 1951RSPSA.205..247L . doi : 10.1098/rspa.1951.0028 . ISSN 0080-4630 . S2CID 202575459 .  
  68. ↑ ليلاند، تي دبليو؛ رولينسون، جيه إس؛ ساثر، جي إيه (1968). "الديناميكا الحرارية الإحصائية لخلائط الجزيئات ذات الأحجام المختلفة" . معاملات جمعية فاراداي . 64 : 1447. doi : 10.1039/tf9686401447 . ISSN 0014-7672 . 
  69. ↑ منصوري، ج. علي؛ ليلاند، توماس و. (1972). "الديناميكا الحرارية الإحصائية للخلائط: نسخة جديدة لنظرية المحلول المطابق" . مجلة الجمعية الكيميائية، معاملات فاراداي 2. 68 : 320. doi : 10.1039/f29726800320 . ISSN 0300-9238 . 
  70. ↑ رولينسون، جيه إس؛ سوينتون، إف إل (1982). السوائل ومخاليط السوائل ( الطبعة الثالثة). لندن: باتروورث. 
  71. 1 2 دايترز، أولريش ك.؛ كراسكا، توماس (2012). توازنات أطوار السوائل تحت الضغط العالي: الظواهر والحسابات ( الطبعة الأولى). أمستردام: إلسيفير. ISBN  978-0-444-56354-5. OCLC 787847134 . 
  72. 1 2 شنابل، ثورستن؛ فرابيك، جادران؛ هاس، هانز (2007). “على عكس معلمات لينارد – جونز لتوازن البخار والسائل”. مجلة السوائل الجزيئية . 135 ( 1– 3): 170– 178. أرخايف : 0904.4436 . دوى : 10.1016/j.molliq.2006.12.024 . S2CID 16111477 . 
  73. ^ لورنتز، ها (1881). "Ueber die Anwendung des Satzes vom Virial in der kineticschen Theorie der Gase" . أنالين دير فيزيك (في المانيا). 248 (1): 127– 136. بيب كود : 1881AnP...248..127L . دوى : 10.1002/andp.18812480110 .
  74. ↑ فان كونينبورغ، بي إتش؛ سكوت، آر إل (18 ديسمبر 1980). "الخطوط الحرجة وتوازنات الأطوار في مخاليط فان دير فالس الثنائية" . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن. السلسلة أ، العلوم الرياضية والفيزيائية . 298 (1442): 495-540 . رمز Bibcode : 1980RSPTA.298..495K . doi : 10.1098/rsta.1980.0266 . ISSN 0080-4614 . S2CID 122538015 .  
  75. ↑ بوتوف، جيفري جيه؛ بانايوتوبولوس، أثاناسيوس زد. (22-12-1998). "النقطة الحرجة وسلوك الطور للسائل النقي ومزيج لينارد-جونز" . مجلة الفيزياء الكيميائية . 109 (24): 10914-10920 . Bibcode : 1998JChPh.10910914P . doi : 10.1063/1.477787 . ISSN 0021-9606 . 
  76. ↑ بروتسينكو، سيرجي ب.؛ بايداكوف، فلاديمير ج. (2016). "مخاليط لينارد-جونز الثنائية ذات التفاعلات غير المتماثلة للغاية بين المكونات. 1. تأثير معلمات الطاقة على توازن الأطوار وخصائص أسطح التماس بين السائل والغاز". توازن الأطوار السائلة . 429 : 242-253 . Bibcode : 2016FlPEq.429..242P . doi : 10.1016/j.fluid.2016.09.009 .
  77. ↑ بروتسينكو، سيرجي ب.؛ بايداكوف، فلاديمير ج.؛ بريوخانوف، فاسيلي م. (2016). "مخاليط لينارد-جونز الثنائية ذات التفاعلات غير المتماثلة للغاية بين المكونات. 2. تأثير حجم الجسيمات على توازن الأطوار وخصائص أسطح التماس بين السائل والغاز". توازن الأطوار السائلة . 430 : 67-74 . Bibcode : 2016FlPEq.430...67P . doi : 10.1016/j.fluid.2016.09.022 .
  78. ↑ ستيفان، سيمون؛ هاس، هانز (23 يناير 2020). "التفاعلات الجزيئية عند أسطح التماس بين البخار والسائل: مخاليط ثنائية من سوائل بسيطة" . مجلة Physical Review E. 101 ( 1) 012802. Bibcode : 2020PhRvE.101a2802S . doi : 10.1103/PhysRevE.101.012802 . ISSN 2470-0045 . PMID 32069593. S2CID 211192904 .   
  79. لام ، مونيكا هـ.؛ هول، كارول ك. (2002). "التوازن بين الأطوار الصلبة والسائلة والبخارية في مخاليط لينارد-جونز الثنائية". توازن الأطوار السائلة . 194-197 : 197-206 . Bibcode : 2002FlPEq.194..197L . doi : 10.1016/S0378-3812(01)00650-1 .
  80. لام ، مونيكا هـ.؛ هول ، كارول ك. (2001). "محاكاة مونت كارلو لمخططات الطور الكاملة لخلائط لينارد-جونز الثنائية". توازن الطور السائل . 182 ( 1-2 ): 37-46 . Bibcode : 2001FlPEq.182...37L . doi : 10.1016/S0378-3812(01)00378-8 .
  81. 1 2 هيتشكوك، مونيكا ر.؛ هول، كارول ك. (15-06-1999). "توازن الطور الصلب-السائل لخلائط لينارد-جونز الثنائية" . مجلة الفيزياء الكيميائية . 110 (23): 11433-11444 . Bibcode : 1999JChPh.11011433H . doi : 10.1063/1.479084 . ISSN 0021-9606 . 
  82. ↑ جونغبلت، سويتلانا؛ ديلاغو، كريستوف (14 مارس 2011). "تبلور خليط لينارد-جونز الثنائي" . مجلة الفيزياء الكيميائية . 134 (10): 104501. Bibcode : 2011JChPh.134j4501J . doi : 10.1063/1.3556664 . ISSN 0021-9606 . PMID 21405169 .  
  83. لام ، مونيكا هـ.؛ هول، كارول ك. (2004). "تأثير الضغط على سلوك الطور الكامل للخلائط الثنائية" . مجلة AIChE . 50 (1): 215-225 . Bibcode : 2004AIChE..50..215L . doi : 10.1002/aic.10020 . ISSN 0001-1541 . 
  84. ↑ كوترمان، آر. إل.؛ براوسنيتز، جيه. إم. (1986). "الديناميكا الحرارية الجزيئية للسوائل عند الكثافات المنخفضة والعالية. الجزء الثاني: توازن الأطوار للمخاليط التي تحتوي على مكونات ذات اختلافات كبيرة في الحجم الجزيئي أو طاقة الوضع" . مجلة AIChE . 32 (11): 1799-1812 . Bibcode : 1986AIChE..32.1799C . doi : 10.1002/aic.690321105 . ISSN 0001-1541 . S2CID 96417239 .  
  85. ↑ مولر، أندرياس؛ وينكلمان، يوشين؛ فيشر، يوهان (1996). "عائلة باك وان من معادلات الحالة: 1. الموائع النقية غير القطبية والقطبية" . مجلة AIChE . 42 (4): 1116-1126 . Bibcode : 1996AIChE..42.1116M . doi : 10.1002/aic.690420423 . ISSN 0001-1541 . 
  86. ^ وينجيرل، أولريكه؛ ويندلاند، مارتن؛ فيشر، يوهان؛ مولر، أندرياس. وينكلمان، يوخن (2001). "عائلة معادلات الحالة الأساسية: 2. مخاليط السوائل غير القطبية والقطبية" . مجلة AIChE . 47 (3): 705– 717. بيب كود : 2001AIChE..47..705W . دوى : 10.1002/aic.690470317 .
  87. ↑ بلاس، إف جيه؛ فيغا، إل إف (1997). "السلوك الديناميكي الحراري لسلاسل لينارد-جونز المتجانسة وغير المتجانسة ذات مواقع الارتباط من خلال المحاكاة والنظرية" . الفيزياء الجزيئية . 92 (1): 135-150 . Bibcode : 1997MolPh..92..135F . doi : 10.1080/002689797170707 . ISSN 0026-8976 . 
  88. ↑ كراسكا، توماس؛ غوبينز، كيث إي. (1996). "حسابات توازن الأطوار باستخدام معادلة حالة SAFT المعدلة. 1. الألكانات النقية، والألكانولات، والماء" . مجلة البحوث في الكيمياء الصناعية والهندسية . 35 (12): 4727-4737 . doi : 10.1021/ie9602320 . ISSN 0888-5885 . 
  89. ↑ غوناسجي، د.؛ تشابمان، والتر ج. (1994). "التنبؤ بخصائص محاليل ومخاليط البوليمرات النموذجية" . مجلة AIChE . 40 (5): 878-887 . Bibcode : 1994AIChE..40..878G . doi : 10.1002/aic.690400514 . ISSN 0001-1541 . 
  90. ↑ ميكي، م.؛ مولر، أ.؛ وينكلمان، ج.؛ فرابيك، ج.؛ فيشر، ج.؛ سبان، ر.؛ فاغنر، و. (1996-03-01). "معادلة حالة دقيقة من نوع فان دير فالس لسائل لينارد-جونز" . المجلة الدولية للديناميكا الحرارية . 17 (2): 391-404 . Bibcode : 1996IJT....17..391M . doi : 10.1007/BF01443399 . ISSN 1572-9567 . S2CID 123304062 .  
  91. كولافا ، جيري ؛ نيزبيدا، إيفو ( 1994). "مائع لينارد-جونز: معادلة حالة تحليلية دقيقة وقائمة على أسس نظرية". توازنات الطور السائل . 100 : 1-34 . Bibcode : 1994FlPEq.100....1K . doi : 10.1016/0378-3812(94)80001-4 .
  92. ↑ ثول، مونيكا؛ روتكاي، غابور؛ كوستر، أندرياس؛ لوستيج، رولف؛ سبان، رولاند؛ فرابيك، جادران (2016). "معادلة حالة سائل لينارد-جونز" . مجلة البيانات المرجعية الفيزيائية والكيميائية . 45 (2): 023101. Bibcode : 2016JPCRD..45b3101T . doi : 10.1063/1.4945000 . ISSN 0047-2689 . 
  93. ↑ غوتشالك، ماتياس (2019-12-01). "معادلة حالة لسائل لينارد-جونز: منهج التوسع الفيروسي" . مجلة AIP Advances . 9 (12): 125206. Bibcode : 2019AIPA....9l5206G . doi : 10.1063/1.5119761 . ISSN 2158-3226 . 
  94. ↑ جونسون، ج. كارل؛ زولويج، جون أ.؛ جوبينز، كيث إي. (20 فبراير 1993). "إعادة النظر في معادلة حالة لينارد-جونز" . الفيزياء الجزيئية . 78 (3): 591-618 . Bibcode : 1993MolPh..78..591J . doi : 10.1080/00268979300100411 . ISSN 0026-8976 . 
  95. 1 2 إيغيمان، بيكي ل.؛ سوناربورغ، أمارا ج.؛ ستيرن، هدسون د.؛ بليس، أندرو ب.؛ سيبمان، ج. إيليا (2014-01-02). "قاعدة بيانات إلكترونية للمعاملات والخصائص لحقل قوة TraPPE" . محاكاة جزيئية . 40 ( 1-3 ): 101-105 . doi : 10.1080/08927022.2013.842994 . ISSN 0892-7022 . S2CID 95716947 .  
  96. ↑ يورغنسن، ويليام ل.؛ ماكسويل، ديفيد س.؛ تيرادو-ريفز، جوليان (يناير 1996). "تطوير واختبار مجال القوة OPLS لجميع الذرات على طاقة التشكيل وخصائص السوائل العضوية" . مجلة الجمعية الكيميائية الأمريكية . 118 (45): 11225-11236 . Bibcode : 1996JAChS.11811225J . doi : 10.1021/ja9621760 . ISSN 0002-7863 . 
  97. 1 2 ستيفان، سيمون؛ هورش، مارتن ت.؛ فرابيك، جادران؛ هاس، هانز (2019-07-03). "MolMod - قاعدة بيانات مفتوحة الوصول لحقول القوى لمحاكاة الجزيئات للسوائل" . محاكاة الجزيئات . 45 (10): 806-814 . arXiv : 1904.05206 . doi : 10.1080/08927022.2019.1601191 . ISSN 0892-7022 . S2CID 119199372 .  
  98. ↑ مينديليف، إم آي؛ هان، إس؛ سرولوفيتز، دي جيه؛ أكيلاند، جي جيه؛ صن، دي واي؛ أستا، إم. (2003). "تطوير جهود بين ذرية جديدة مناسبة للحديد البلوري والسائل" . المجلة الفلسفية . 83 (35): 3977-3994 . Bibcode : 2003PMag...83.3977A . doi : 10.1080/14786430310001613264 . ISSN 1478-6435 . S2CID 4119718 .  
  99. ↑ أباسكال، جيه إل إف؛ فيغا، سي. (15-12-2005). "نموذج عام للأطوار المكثفة للماء: TIP4P/2005" . مجلة الفيزياء الكيميائية . 123 (23): 234505. Bibcode : 2005JChPh.123w4505A . doi : 10.1063/1.2121687 . ISSN 0021-9606 . PMID 16392929 .