قابلية المقارنة

في الرياضيات ، يُقال إن عنصرين x و y من مجموعة P قابلان للمقارنة وفقًا للعلاقة الثنائية ≤ إذا كان أحد الشرطين x ≤ y أو y ≤ x صحيحًا على الأقل. ويُقال إنهما غير قابلين للمقارنة إذا لم يكونا كذلك.

علاقة ثنائية على مجموعة${\displaystyle P}$هي بحكم تعريفها أي مجموعة جزئية${\displaystyle R}$ل${\displaystyle P\times P.}$منح${\displaystyle x,y\in P,}$${\displaystyle xRy}$يُكتب إذا وفقط إذا${\displaystyle (x,y)\in R,}$وفي هذه الحالة${\displaystyle x}$يقال إنه مرتبط بـ${\displaystyle y}$بواسطة${\displaystyle R.}$ عنصر${\displaystyle x\in P}$يقال إنه${\displaystyle R}$-مماثل ، أو قابل للمقارنة ( فيما يتعلق بـ${\displaystyle R}$) إلى عنصر${\displaystyle y\in P}$لو${\displaystyle xRy}$أو${\displaystyle yRx.}$ غالباً ما يكون هناك رمز يشير إلى المقارنة، مثل${\displaystyle <}$(أو${\displaystyle \leq ,}$${\displaystyle >,}$${\displaystyle \geq ,}$(وغيرها الكثير) تُستخدم بدلاً من${\displaystyle R,}$وفي هذه الحالة${\displaystyle x<y}$مكتوب بدلاً من${\displaystyle xRy,}$ولهذا السبب يتم استخدام مصطلح "قابل للمقارنة".

قابلية المقارنة فيما يتعلق بـ${\displaystyle R}$يُنشئ علاقة ثنائية أساسية على${\displaystyle P}$؛ على وجه التحديد، علاقة المقارنة الناتجة عن${\displaystyle R}$يُعرَّف بأنه مجموعة جميع الأزواج${\displaystyle (x,y)\in P\times P}$بحيث${\displaystyle x}$يُقارن بـ${\displaystyle y}$أي بحيث يكون واحد على الأقل من${\displaystyle xRy}$و${\displaystyle yRx}$هذا صحيح. وبالمثل، فإن علاقة عدم المقارنة على${\displaystyle P}$ناتج عن${\displaystyle R}$يُعرَّف بأنه مجموعة جميع الأزواج${\displaystyle (x,y)\in P\times P}$بحيث${\displaystyle x}$لا يُقارن بـ${\displaystyle y;}$أي بحيث لا${\displaystyle xRy}$ولا${\displaystyle yRx}$هذا صحيح.

إذا كان الرمز${\displaystyle <}$يُستخدم بدلاً من${\displaystyle \leq }$ثم قابلية المقارنة فيما يتعلق بـ${\displaystyle <}$يُشار إليه أحيانًا بالرمز${\displaystyle {\overset {<}{\underset {>}{=}}}}$وعدم إمكانية المقارنة بالرمز${\displaystyle {\cancel {\overset {<}{\underset {>}{=}}}}\!}$[ ^{1 ] وبالتالي، بالنسبة لأي} عنصرين${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$من مجموعة مرتبة جزئياً، واحد فقط من${\displaystyle x\ {\overset {<}{\underset {>}{=}}}\ y}$و${\displaystyle x{\cancel {\overset {<}{\underset {>}{=}}}}y}$هذا صحيح.

المجموعة المرتبة كليًا هي مجموعة مرتبة جزئيًا يمكن فيها مقارنة أي عنصرين. تنص نظرية امتداد شبيلراجن على أن كل ترتيب جزئي مُحتوى في ترتيب كلي. وبشكل بديهي، تقول النظرية إن أي طريقة لمقارنة العناصر تُبقي بعض الأزواج غير قابلة للمقارنة يمكن توسيعها بحيث يصبح كل زوج قابلًا للمقارنة.

كلا العلاقتين، قابلية المقارنة وعدم قابلية المقارنة ، متناظرتان ، أي${\displaystyle x}$يُقارن بـ${\displaystyle y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle y}$يُقارن بـ${\displaystyle x,}$وكذلك الأمر بالنسبة لعدم إمكانية المقارنة.

الرسم البياني للمقارنة لمجموعة مرتبة جزئياً${\displaystyle P}$تحتوي على عناصر كرؤوس${\displaystyle P}$ولها حواف على وجه التحديد تلك الأزواج${\displaystyle \{x,y\}}$من العناصر التي${\displaystyle x\ {\overset {<}{\underset {>}{=}}}\ y}$[ ^{2 ]​}

عند تصنيف الكائنات الرياضية (مثل الفضاءات الطوبولوجية )، يُقال إن معيارين قابلان للمقارنة عندما تُشكّل الكائنات التي تُحقق أحد المعيارين مجموعة جزئية من الكائنات التي تُحقق المعيار الآخر، أي عندما يكونان قابلين للمقارنة وفقًا للترتيب الجزئي ⊂. على سبيل المثال، المعياران T1 و T2 قابلان للمقارنة، بينما المعياران T1 _{والاتزان غير} قابلين _{للمقارنة} .

• الترتيب الضعيف الصارم – تصنيف رياضي لمجموعة من الصفحات التي تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه ، وهو ترتيب جزئي تكون فيه عدم المقارنة علاقة متعدية 

• طلب جزئي في بلانيت ماث .