نظريات التشاكل

يترك${\displaystyle G}$و${\displaystyle H}$كُنْ جَمْعَاتٍ، وَلِيَكُونَ${\displaystyle f:G\rightarrow H}$ليكن تماثلاً . إذن:

1. نواة​​${\displaystyle f}$هي مجموعة فرعية طبيعية من${\displaystyle G}$،
2. صورة​​${\displaystyle f}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle H}$، و
3. صورة${\displaystyle f}$متماثل مع مجموعة القسمة${\displaystyle G/\ker f}$.

على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle f}$إذا كانت شاملة${\displaystyle H}$متماثل مع${\displaystyle G/\ker f}$.

تُسمى هذه النظرية عادةً نظرية التشاكل الأولى .

يترك${\displaystyle G}$لنكن مجموعة.${\displaystyle S}$أن تكون مجموعة فرعية من${\displaystyle G}$ودع${\displaystyle N}$أن تكون مجموعة فرعية طبيعية من${\displaystyle G}$ثم ينطبق ما يلي:

1. المنتج​${\displaystyle SN}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle G}$،
2. المجموعة الفرعية${\displaystyle N}$هي مجموعة فرعية طبيعية من${\displaystyle SN}$،
3. التقاطع​${\displaystyle S\cap N}$هي مجموعة فرعية طبيعية من${\displaystyle S}$، و
4. مجموعات القسمة${\displaystyle (SN)/N}$و${\displaystyle S/(S\cap N)}$متماثلة الشكل.

من الناحية الفنية، ليس من الضروري${\displaystyle N}$أن تكون مجموعة فرعية طبيعية، طالما أن${\displaystyle S}$هي مجموعة فرعية من مُعَيِّرة${\displaystyle N}$في${\displaystyle G}$في هذه الحالة،${\displaystyle N}$ليست مجموعة فرعية طبيعية من${\displaystyle G}$، لكن${\displaystyle N}$لا تزال مجموعة فرعية طبيعية من المنتج${\displaystyle SN}$.

تُسمى هذه النظرية أحيانًا نظرية التشاكل الثانية ، ^{[ 3 ]} أو نظرية المعين ^{[ 4 ]} أو نظرية متوازي الأضلاع . ^{[ 5 ]}

يُحدد تطبيق نظرية التشاكل الثانية الزمر الخطية الإسقاطية : على سبيل المثال، تبدأ الزمرة على الخط الإسقاطي المركب بوضع${\displaystyle G=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$، مجموعة المصفوفات المركبة القابلة للعكس من الرتبة 2 × 2 ،${\displaystyle S=\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$، وهي مجموعة فرعية من المصفوفات ذات المحدد 1، و${\displaystyle N}$المجموعة الفرعية الطبيعية للمصفوفات العددية${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\!I=\left\{\left({\begin{smallmatrix}a&0\\0&a\end{smallmatrix}}\right):a\in \mathbb {C} ^{\times }\right\}}$لدينا${\displaystyle S\cap N=\{\pm I\}}$، أين${\displaystyle I}$هي مصفوفة الوحدة ، و${\displaystyle SN=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$ثم تنص نظرية التشاكل الثانية على ما يلي:

${\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {C} ):=\operatorname {GL} _{2}\left(\mathbb {C} )/(\mathbb {C} ^{\times }\!I\right)\cong \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )/\{\pm I\}=:\operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}$

يترك${\displaystyle G}$كن مجموعة، و${\displaystyle N}$مجموعة فرعية طبيعية من${\displaystyle G}$. ثم

1. لو${\displaystyle K}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle G}$بحيث${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$، ثم${\displaystyle G/N}$لها مجموعة فرعية متماثلة مع${\displaystyle K/N}$.
2. كل مجموعة فرعية من${\displaystyle G/N}$وهو على شكل${\displaystyle K/N}$بالنسبة لبعض المجموعات الفرعية${\displaystyle K}$ل${\displaystyle G}$بحيث${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$.
3. لو${\displaystyle K}$هي مجموعة فرعية طبيعية من${\displaystyle G}$بحيث${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$، ثم${\displaystyle G/N}$لها مجموعة فرعية طبيعية متماثلة مع${\displaystyle K/N}$.
4. كل مجموعة فرعية طبيعية من${\displaystyle G/N}$وهو على شكل${\displaystyle K/N}$بالنسبة لبعض المجموعات الفرعية الطبيعية${\displaystyle K}$ل${\displaystyle G}$بحيث${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$.
5. لو${\displaystyle K}$هي مجموعة فرعية طبيعية من${\displaystyle G}$بحيث${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$ثم مجموعة القسمة${\displaystyle (G/N)/(K/N)}$متماثل مع${\displaystyle G/K}$.

يُشار أحيانًا إلى العبارة الأخيرة باسم نظرية التشاكل الثالثة . أما العبارات الأربع الأولى، فغالبًا ما تُدرج تحت النظرية د أدناه، ويُشار إليها باسم نظرية الشبكة ، أو نظرية التطابق ، أو نظرية التشاكل الرابعة .

يترك${\displaystyle G}$كن مجموعة، و${\displaystyle N}$مجموعة فرعية طبيعية من${\displaystyle G}$. التشاكل الإسقاطي المتعارف عليه${\displaystyle G\rightarrow G/N}$يُعرّف هذا المصطلح علاقة تقابلية بين مجموعة المجموعات الفرعية لـ${\displaystyle G}$يحتوي على${\displaystyle N}$ومجموعة (جميع) المجموعات الفرعية من${\displaystyle G/N}$. بموجب هذا التناظر، تتناظر المجموعات الفرعية الطبيعية مع المجموعات الفرعية الطبيعية.

تُسمى هذه النظرية أحيانًا نظرية التطابق ، ونظرية الشبكة ، ونظرية التشاكل الرابعة .

تُعرف نظرية زاسنهاوس (المعروفة أيضًا باسم نظرية الفراشة) أحيانًا باسم نظرية التشاكل الرابعة. ^{[ 6 ]}

يمكن التعبير عن نظرية التشاكل الأولى بلغة نظرية الفئات بالقول إن فئة الزمر قابلة للتحليل إلى عوامل (عادية فوقية ، أحادية)؛ بعبارة أخرى، تشكل التشاكلات الفوقية العادية والتشاكلات الأحادية نظام تحليل للفئة . ويتجلى هذا في المخطط التبادلي في الهامش، الذي يوضح الكائنات والتشاكلات التي يمكن استنتاج وجودها من التشاكل .${\displaystyle f:G\rightarrow H}$يُظهر المخطط أن لكل تشاكل في فئة الزمر نواة بالمعنى النظري للفئات؛ ويتحلل التشاكل العشوائي f إلى${\displaystyle \iota \circ \pi }$حيث ι هو أحادي الشكل و π هو فوق الشكل (في فئة طبيعية مشتركة ، تكون جميع الفوقيات طبيعية). ويتم تمثيل ذلك في الرسم التخطيطي بواسطة كائن${\displaystyle \ker f}$وشكل أحادي${\displaystyle \kappa$ :\ker f\rightarrow G} (النوى دائمًا أحادية الشكل)، والتي تُكمل المتتالية التامة القصيرة الممتدة من أسفل اليسار إلى أعلى اليمين في الرسم التخطيطي. يُغنينا استخدام اصطلاح المتتالية التامة عن رسم الأشكال الصفرية من${\displaystyle \ker f}$ل${\displaystyle H}$و${\displaystyle G/\ker f}$.

إذا كان التسلسل منقسمًا من اليمين (أي، يوجد تشاكل σ الذي يُسقط${\displaystyle G/\operatorname {ker} f}$إذا كانت G عبارة عن صورة عكسية π لنفسها)، فإن G هي حاصل الضرب شبه المباشر للمجموعة الجزئية الطبيعية${\displaystyle \operatorname {im} \kappa }$والمجموعة الفرعية${\displaystyle \operatorname {im} \sigma }$إذا تم تقسيمها إلى اليسار (أي، يوجد بعض${\displaystyle \rho :G\rightarrow \operatorname {ker} f}$بحيث${\displaystyle \rho \circ \kappa =\operatorname {id} _{{\text{ker}}f}}$ثم يجب أن يكون التقسيم صحيحًا أيضًا، و${\displaystyle \operatorname {im} \kappa \times \operatorname {im} \sigma }$هو تفكيك مباشر لـ G. بشكل عام، لا يستلزم وجود انقسام أيمن وجود انقسام أيسر؛ ولكن في فئة تبديلية (مثل فئة المجموعات التبديلية )، يكون الانقسام الأيسر والانقسام الأيمن متكافئين وفقًا لفرضية الانقسام ، ويكفي الانقسام الأيمن لإنتاج تفكيك مباشر للمجموع.${\displaystyle \operatorname {im} \kappa \oplus \operatorname {im} \sigma }$في فئة أبيلية، تكون جميع التشاكلات الأحادية طبيعية أيضًا، ويمكن توسيع المخطط بواسطة متتالية تامة قصيرة ثانية.${\displaystyle 0\rightarrow G/\operatorname {ker} f\rightarrow H\rightarrow \operatorname {coker} f\rightarrow 0}$.

في نظرية التشاكل الثانية، يكون حاصل الضرب SN هو وصل S و N في شبكة المجموعات الفرعية لـ G ، بينما يكون التقاطع S ∩ N هو الالتقاء .  

يتم تعميم نظرية التشاكل الثالثة بواسطة اللمة التاسعة إلى الفئات الأبيلية والخرائط الأكثر عمومية بين الكائنات.

نقدم فيما يلي أربع نظريات، مُرقمة بالحروف A وB وC وD. غالبًا ما تُرقّم هذه النظريات كالتالي: "نظرية التشاكل الأولى"، "الثانية..."، وهكذا؛ إلا أنه لا يوجد اتفاق عام على الترقيم. نُقدم هنا بعض الأمثلة على نظريات تشاكل الزمر في المراجع العلمية. تجدر الإشارة إلى أن هذه النظريات لها نظائر في الحلقات والوحدات.

من غير الشائع تضمين النظرية D، والمعروفة عادة باسم نظرية الشبكة أو نظرية التطابق ، كواحدة من نظريات التشاكل، ولكن عند تضمينها، تكون الأخيرة.

يترك${\displaystyle R}$و${\displaystyle S}$لتكن حلقات، ولتكن${\displaystyle \varphi :R\rightarrow S}$ليكن تشاكلاً حلقياً . إذن:

1. نواة​​${\displaystyle \varphi }$هو مثال ذو وجهين لـ${\displaystyle R}$،
2. صورة​​${\displaystyle \varphi }$هي حلقة فرعية من${\displaystyle S}$، و
3. صورة${\displaystyle \varphi }$متماثل مع حلقة القسمة${\displaystyle R/\ker \varphi }$.

على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle \varphi }$إذا كانت شاملة${\displaystyle S}$متماثل مع${\displaystyle R/\ker \varphi }$[ ^{17 ]​}

يترك${\displaystyle R}$ليكن خاتماً.${\displaystyle S}$كن حلقة فرعية من${\displaystyle R}$ودع${\displaystyle I}$أن يكون مثالاً ذا وجهين${\displaystyle R}$. ثم:

1. المجموع​${\displaystyle S+I=\{s+i\mid s\in S,i\in I\}}$هي حلقة فرعية من${\displaystyle R}$،
2. التقاطع${\displaystyle S\cap I}$هو مثال ذو وجهين لـ${\displaystyle S}$، و
3. حلقات القسمة${\displaystyle (S+I)/I}$و${\displaystyle S/(S\cap I)}$متماثلة الشكل.

يترك${\displaystyle R}$يكون خاتمًا، و${\displaystyle I}$مثال ذو وجهين لـ${\displaystyle R}$. ثم

1. لو${\displaystyle A}$هي حلقة فرعية من${\displaystyle R}$بحيث${\displaystyle I\subseteq A\subseteq R}$، ثم${\displaystyle A/I}$هي حلقة فرعية من${\displaystyle R/I}$.
2. كل حلقة فرعية من${\displaystyle R/I}$وهو على شكل${\displaystyle A/I}$لبعض الحلقات الفرعية${\displaystyle A}$ل${\displaystyle R}$بحيث${\displaystyle I\subseteq A\subseteq R}$.
3. لو${\displaystyle J}$هو مثال ذو وجهين لـ${\displaystyle R}$بحيث${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$، ثم${\displaystyle J/I}$هو مثال ذو وجهين لـ${\displaystyle R/I}$.
4. كل مثال يساري أو يميني أو ثنائي الجانب من${\displaystyle R/I}$وهو على شكل${\displaystyle J/I}$بالنسبة لبعض المثليين اليساريين أو اليمينيين أو ذوي الجانبين${\displaystyle J}$ل${\displaystyle R}$بحيث${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$.
5. لو${\displaystyle J}$هو مثال ذو وجهين لـ${\displaystyle R}$بحيث${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$ثم حلقة القسمة${\displaystyle (R/I)/(J/I)}$متماثل مع${\displaystyle R/J}$.

يترك${\displaystyle I}$أن يكون مثالاً ذا وجهين${\displaystyle R}$المراسلات${\displaystyle A\leftrightarrow A/I}$هي تقابل يحافظ على التضمين بين مجموعة الحلقات الفرعية${\displaystyle A}$ل${\displaystyle R}$التي تحتوي${\displaystyle I}$ومجموعة الحلقات الفرعية من${\displaystyle R/I}$[ ¹⁸ ]^​​

يترك${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$لتكن وحدات، ولتكن${\displaystyle \varphi :M\rightarrow N}$ليكن تماثلًا نمطيًا . إذن:

1. نواة​​${\displaystyle \varphi }$هي وحدة فرعية من${\displaystyle M}$،
2. صورة​​${\displaystyle \varphi }$هي وحدة فرعية من${\displaystyle N}$، و
3. صورة${\displaystyle \varphi }$متماثل مع وحدة القسمة${\displaystyle M/\ker \varphi }$.

على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle \varphi }$إذا كانت شاملة${\displaystyle N}$متماثل مع${\displaystyle M/\ker \varphi }$.

يترك${\displaystyle M}$كن وحدة نمطية، ودع${\displaystyle S}$و${\displaystyle T}$أن تكون وحدات فرعية من${\displaystyle M}$. ثم:

1. المجموع${\displaystyle S+T=\{s+t\mid s\in S,t\in T\}}$هي وحدة فرعية من${\displaystyle M}$،
2. التقاطع${\displaystyle S\cap T}$هي وحدة فرعية من${\displaystyle M}$، و
3. وحدات القسمة${\displaystyle (S+T)/T}$و${\displaystyle S/(S\cap T)}$متماثلة الشكل.

ليكن M وحدة نمطية، و T وحدة نمطية فرعية من M.

1. لو${\displaystyle S}$هي وحدة فرعية من${\displaystyle M}$بحيث${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$، ثم${\displaystyle S/T}$هي وحدة فرعية من${\displaystyle M/T}$.
2. كل وحدة فرعية من${\displaystyle M/T}$وهو على شكل${\displaystyle S/T}$بالنسبة لبعض الوحدات الفرعية${\displaystyle S}$ل${\displaystyle M}$بحيث${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$.
3. لو${\displaystyle S}$هي وحدة فرعية من${\displaystyle M}$بحيث${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$ثم وحدة القسمة${\displaystyle (M/T)/(S/T)}$متماثل مع${\displaystyle M/S}$.

يترك${\displaystyle M}$كن وحدة نمطية،${\displaystyle N}$وحدة فرعية من${\displaystyle M}$يوجد تقابل ثنائي بين الوحدات الفرعية لـ${\displaystyle M}$التي تحتوي${\displaystyle N}$والوحدات الفرعية لـ${\displaystyle M/N}$يتم تقديم المراسلات بواسطة${\displaystyle A\leftrightarrow A/N}$للجميع${\displaystyle A\supseteq N}$هذا التناظر يتبادل مع عمليات الجمع والتقاطع (أي أنه تماثل شبكي بين شبكة الوحدات الفرعية لـ${\displaystyle M/N}$وشبكة الوحدات الفرعية لـ${\displaystyle M}$التي تحتوي${\displaystyle N}$). ^{[ 19 ]}

يترك${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ليكن تماثلًا جبريًا . إذن صورة${\displaystyle f}$هي جبر فرعي من${\displaystyle B}$العلاقة المعطاة بواسطة${\displaystyle \Phi :f(x)=f(y)}$( أي نواة${\displaystyle f}$) هو تطابق على${\displaystyle A}$والجبر${\displaystyle A/\Phi }$و${\displaystyle \operatorname {im} f}$متماثلة . ( لاحظ أنه في حالة المجموعة،${\displaystyle f(x)=f(y)}$إذا${\displaystyle f(xy^{-1})=1}$وبالتالي، يستعيد المرء مفهوم النواة المستخدم في نظرية الزمر في هذه الحالة.

بالنظر إلى الجبر${\displaystyle A}$، جبر فرعي${\displaystyle B}$ل${\displaystyle A}$وتطابق${\displaystyle \Phi }$على${\displaystyle A}$، يترك${\displaystyle \Phi _{B}=\Phi \cap (B\times B)}$كن أثراً لـ${\displaystyle \Phi }$في${\displaystyle B}$و${\displaystyle [B]^{\Phi }=\{K\in A/\Phi :K\cap B\neq \emptyset \}}$مجموعة فئات التكافؤ التي تتقاطع${\displaystyle B}$. ثم

1. ${\displaystyle \Phi _{B}}$هو تطابق على${\displaystyle B}$،
2. ${\displaystyle \ [B]^{\Phi }}$هي جبر فرعي من${\displaystyle A/\Phi }$، و
3. الجبر${\displaystyle [B]^{\Phi }}$متماثل مع الجبر${\displaystyle B/\Phi _{B}}$.

يترك${\displaystyle A}$كن جبرًا و${\displaystyle \Phi ,\Psi }$علاقتان للتطابق على${\displaystyle A}$بحيث${\displaystyle \Psi \subseteq \Phi }$. ثم${\displaystyle \Phi /\Psi =\{([a']_{\Psi },[a'']_{\Psi }):(a',a'')\in \Phi \}=[\ ]_{\Psi }\circ \Phi \circ [\ ]_{\Psi }^{-1}}$هو تطابق على${\displaystyle A/\Psi }$، و${\displaystyle A/\Phi }$متماثل مع${\displaystyle (A/\Psi )/(\Phi /\Psi ).}$

يترك${\displaystyle A}$ليكن جبرًا ويرمز إلى${\displaystyle \operatorname {Con} A}$مجموعة جميع التطابقات على${\displaystyle A}$المجموعة ${\displaystyle \operatorname {Con} A}$هي شبكة كاملة مرتبة حسب التضمين. ^{[ 20 ]} إذا${\displaystyle \Phi \in \operatorname {Con} A}$هي تطابق ونرمز لها بـ${\displaystyle \left[\Phi ,A\times A\right]\subseteq \operatorname {Con} A}$مجموعة جميع التطابقات التي تحتوي${\displaystyle \Phi }$(أي${\displaystyle \left[\Phi ,A\times A\right]}$هو مرشح رئيسي في${\displaystyle \operatorname {Con} A}$(علاوة على ذلك، فهي شبكة فرعية)، ثم الخريطة ${\displaystyle \alpha$ ^{[ 21 ]} [ ^{22 ]}​ ^​