إذا وفقط إذا

الموسوعة الحرة

دائرتان متداخلتان في المنتصف. يتم تمييز المناطق الواقعة خارج الدائرتين أو داخلهما فقط.
"إذا وفقط إذا" موضحة بمخطط فين

في المنطق والمجالات ذات الصلة كالرياضيات والفلسفة ، تُشير عبارة " إذا وفقط إذا " (والتي تُختصر غالبًا إلى "إذا وفقط إذا ") إلى أن قيمتي الصواب والخطأ لعبارتين متساويتان. ويُعاد صياغتها باستخدام العبارة الشرطية الثنائية ، وهي رابط منطقي [ 1 ] بين العبارات. تكون العبارة الشرطية الثنائية صحيحة في حالتين: إما أن تكون كلتا العبارتين صحيحتين أو كلتاهما خاطئتين. هذا الرابط هو عبارة شرطية ثنائية (عبارة عن تكافؤ مادي )، [ 2 ] ويمكن تشبيهه بالشرط المادي القياسي ("فقط إذا"، أي "إذا ... إذن") مُدمجًا مع عكسه ("إذا")؛ ومن هنا جاءت التسمية. والنتيجة هي أن صحة أي من العبارتين المترابطتين تتطلب صحة الأخرى (أي إما أن تكون كلتا العبارتين صحيحتين، أو كلتاهما خاطئتين)، مع أن هناك جدلًا حول ما إذا كان هذا التعريف للرابط يُترجم بدقة إلى العبارة الإنجليزية "إذا وفقط إذا" - بمعناها المُسبق. على سبيل المثال، تعني عبارة P إذا وفقط إذا Q أن P صحيحة كلما كانت Q صحيحة، والحالة الوحيدة التي تكون فيها P صحيحة هي إذا كانت Q صحيحة أيضًا، بينما في حالة P إذا Q ، يمكن أن تكون هناك سيناريوهات أخرى تكون فيها P صحيحة و Q خاطئة.

في الكتابة، تشمل العبارات الشائعة الاستخدام كبدائل لعبارة "إذا وفقط إذا" Q ما يلي: Q ضروري وكافٍ لـ P ، ومن الضروري والكافي لـ P أن Q ، وP مكافئ (أو مكافئ جوهريًا) لـ Q (قارن بالاستلزام الجوهري )، و P تحديدًا إذا كان Q ، وP تحديدًا (أو بالضبط) عندما Q ، وP بالضبط في حالة Q ، و P فقط في حالة Q. [ 3 ] يعتبر بعض المؤلفين عبارة "إذا وفقط إذا" غير مناسبة في الكتابة الرسمية؛ [ 4 ] بينما يعتبرها آخرون "حالة هامشية" ويتسامحون مع استخدامها. [ 5 ] في الصيغ المنطقية ، تُستخدم الرموز المنطقية، مثل↔{\displaystyle \leftrightarrow }و⇔{\displaystyle \Leftrightarrow }يتم استخدام [ 6 ] بدلاً من هذه العبارات؛ انظر قسم  التدوين أدناه .

تعريف

جدول الحقيقة لـ P↔{\displaystyle \leftrightarrow }السؤال هو كالتالي: [ 7 ] [ 8 ]

P{\displaystyle P}سؤال{\displaystyle Q}¬P∧¬سؤال{\displaystyle \neg P\land \neg Q}P∧سؤال{\displaystyle P\land Q}P→سؤال{\displaystyle P\rightarrow Q}P←سؤال{\displaystyle P\leftarrow Q}P↔سؤال{\displaystyle P\leftrightarrow Q}
FFتيFتيتيتي
FتيFFتيFF
تيFFFFتيF
تيتيFتيتيتيتي

وهو مكافئ لما تنتجه بوابة XNOR ، ومعاكس لما تنتجه بوابة XOR . [ 9 ]

الاستخدام

الترميز

↔⇔≡⟺ الرموز المنطقية التي تمثل iff  

الرموز المنطقية المقابلة هي "↔{\displaystyle \leftrightarrow }", "⇔{\displaystyle \Leftrightarrow }[ 6 ] و​≡{\displaystyle \equiv }[ 10 ] وأحيانًا "إذا وفقط إذا". وعادةً ما تُعامل هذه المصطلحات على أنها متكافئة. ومع ذلك، فإن بعض نصوص المنطق الرياضي (وخاصةً تلك المتعلقة بمنطق الرتبة الأولى ، وليس منطق القضايا ) تُفرّق بينها، حيث إن الأول،↔{\displaystyle \leftrightarrow }يُستخدم الرمز كرمز في الصيغ المنطقية، بينما⇔{\displaystyle \Leftrightarrow }أو≡{\displaystyle \equiv }يُستخدم في الاستدلال حول تلك الصيغ المنطقية (مثلًا، في ما وراء المنطق ). في الترميز البولندي لوكاسيفيتش ، هو رمز البادئةهـ{\displaystyle E}[ 11 ]​

مصطلح آخر للرابط المنطقي ، أي الرمز في الصيغ المنطقية، هو "لا الحصرية" .

في لغة TeX ، يتم عرض عبارة "إذا وفقط إذا" على شكل سهم مزدوج طويل:⟺{\displaystyle \iff }عن طريق الأمر \iffأو \Longleftrightarrow. [ 12 ]

البراهين

في معظم الأنظمة المنطقية ، يُثبت المرء عبارة من الشكل "P iff Q" بإثبات إما "إذا كان P، فإن Q" و"إذا كان Q، فإن P"، أو "إذا كان P، فإن Q" و"إذا لم يكن P، فإن Q". يؤدي إثبات هذه الأزواج من العبارات أحيانًا إلى برهان أكثر طبيعية، إذ لا توجد شروط واضحة يمكن الاستدلال من خلالها على ثنائية شرطية مباشرة. وثمة بديل آخر هو إثبات الفصل " (P وQ) أو (ليس P وليس Q)"، والذي يمكن استنتاجه مباشرة من أي من طرفيه المنفصلين - أي، بما أن "iff" دالة صدق ، فإن "P iff Q" تتحقق إذا ثبت أن P وQ كلاهما صحيح، أو كلاهما خاطئ.

أصل كلمة iff ونطقها

ظهر استخدام الاختصار "iff" لأول مرة في كتاب جون إل. كيلي " الطوبولوجيا العامة " الصادر عام 1955. [ 13 ] يُنسب اختراعه غالبًا إلى بول هالموس ، الذي كتب: "لقد اخترعتُ 'iff'، أي 'إذا وفقط إذا'، لكنني لم أصدق أبدًا أنني كنتُ مخترعه الأول حقًا." [ 14 ]

لا يزال نطق كلمة "iff" غير واضح تمامًا. ففي الممارسة الحالية، تُقرأ هذه الكلمة عادةً على أنها الكلمات الأربع "if and only if". مع ذلك، يقترح كيلي في مقدمة كتابه " الطوبولوجيا العامة " نطقها بشكل مختلف: "في بعض الحالات التي يتطلب فيها المحتوى الرياضي عبارة "if and only if" بينما يتطلب النطق السليم استخدام صيغة أبسط، أستخدم صيغة هالموس "iff " . ويقترح مؤلفو أحد كتب الرياضيات المتقطعة: [ 15 ] "إذا احتجتَ إلى نطق "iff"، فاحرص على نطق "ff" بوضوح حتى يسمع الناس الفرق بينها وبين "if " ، مما يعني ضمنًا أن "iff" يمكن نطقها [ɪfː] .

الاستخدام في التعريفات

عادةً ما تكون التعريفات عبارة عن عبارات "إذا وفقط إذا"؛ وتتبع بعض النصوص - مثل كتاب كيلي " الطوبولوجيا العامة " - هذا العرف، وتستخدم عبارة "إذا وفقط إذا" أو "إذا وفقط إذا " في تعريفات المصطلحات الجديدة. [ 16 ] ومع ذلك، فإن استخدام عبارة "إذا وفقط إذا" غير شائع نسبيًا، ويتجاهل الحقيقة اللغوية المتمثلة في أن كلمة "إذا" في التعريف تُفسَّر على أنها تعني "إذا وفقط إذا". تتبع غالبية الكتب الدراسية والأبحاث والمقالات (بما في ذلك مقالات ويكيبيديا الإنجليزية) العرف اللغوي المتمثل في تفسير كلمة "إذا" على أنها تعني "إذا وفقط إذا" كلما يتعلق الأمر بتعريف رياضي (كما في "الفضاء الطوبولوجي يكون متراصًا إذا كان لكل غطاء مفتوح غطاء فرعي محدود"). [ 17 ] علاوة على ذلك، في حالة التعريف التكراري ، يُفسَّر الجزء " فقط إذا" من التعريف على أنه جملة في اللغة الوصفية تنص على أن الجمل الواردة في تعريف المسند هي الجمل الوحيدة التي تحدد امتداد المسند.

فيما يتعلق بمخططات أويلر

تُظهر مخططات أويلر العلاقات المنطقية بين الأحداث والخصائص وما إلى ذلك. تعني عبارات "P فقط إذا Q" و"إذا P فإن Q" و"P→Q" أن P مجموعة جزئية ، سواء كانت جزئية فعلية أو غير فعلية، من Q. وتعني عبارات "P إذا Q" و"إذا Q فإن P" و"Q→P" أن Q مجموعة جزئية فعلية أو غير فعلية من P. أما عبارات "P إذا وفقط إذا Q" و"Q إذا وفقط إذا P" فتعني أن المجموعتين P وQ متطابقتان.

استخدام أكثر عمومية

يُستخدم اختصار "iff" خارج مجال المنطق أيضًا. فحيثما يُطبّق المنطق، وخاصةً في المناقشات الرياضية ، يحمل نفس المعنى المذكور أعلاه: فهو اختصار لعبارة " إذا وفقط إذا" ، مما يدل على أن أحد الشرطين ضروري وكافٍ للآخر. وهذا مثال على المصطلحات الرياضية المتخصصة (مع أن "if" أكثر استخدامًا من "iff " في تعريفات العبارات، كما ذُكر سابقًا ).

تعني عبارة " عناصر X هي جميع عناصر Y فقط" ما يلي: "بالنسبة لأي عنصر z في مجال الخطاب ، يكون z في X إذا وفقط إذا كان z في Y ".

عندما تعني كلمة "if" "إذا وفقط إذا"

في كتابهما "الذكاء الاصطناعي: منهج حديث" ، يشير راسل ونورفيج إلى أنه من الطبيعي في كثير من الأحيان التعبير عن " إذا وفقط إذا" كما لو كان مصحوبًا بـ"دلالات قواعد البيانات (أو البرمجة المنطقية)". ويضربان مثالًا على ذلك بالجملة الإنجليزية "ريتشارد لديه شقيقان، جيفري وجون". [ 18 ] : 282

في قاعدة بيانات أو برنامج منطقي ، يمكن تمثيل ذلك ببساطة بجملتين:

الأخ (ريتشارد، جيفري).
الأخ (ريتشارد، جون).

تُفسّر دلالات قواعد البيانات قاعدة البيانات (أو البرنامج) على أنها تحتوي على جميع المعارف ذات الصلة بحل المشكلات في مجال معين، دون غيرها. وتُفسّر عبارة " فقط إذا" على أنها تعبير بلغة وصفية عن أن الجمل الموجودة في قاعدة البيانات تمثل المعرفة الوحيدة التي ينبغي أخذها في الاعتبار عند استخلاص النتائج منها.

في منطق الرتبة الأولى مع الدلالات القياسية، ستحتاج الجملة الإنجليزية نفسها إلى التمثيل باستخدام " إذا وفقط إذا" ، مع تفسير "فقط إذا" في لغة الهدف، في شكل ما على النحو التالي:

∀{\displaystyle \forall }X(Brother(Richard, X) iff X = Geoffrey or X = John).
جيفري ≠ جون.

بالمقارنة مع الدلالات القياسية لمنطق الرتبة الأولى، تتميز دلالات قواعد البيانات بتنفيذ أكثر كفاءة. فبدلاً من الاستدلال بجمل من الشكل التالي:

الاستنتاج إذا كانت الشروط

يستخدم جملًا على الشكل التالي:

الخلاصة إذا كانت الشروط

الاستدلال من الشروط إلى النتائج أو من النتائج إلى الشروط .​​

تُشابه دلالات قواعد البيانات المبدأ القانوني " التعبير عن شيء ما يستبعد كل ما عداه". علاوة على ذلك، فهي تُشكّل أساس تطبيق البرمجة المنطقية على تمثيل النصوص القانونية والاستدلال القانوني. [ 19 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ "الروابط المنطقية" . sites.millersville.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 10 سبتمبر 2023 .
  2. ↑ كوبي، آي إم؛ كوهين، سي؛ فلاج، دي إي (2006). أساسيات المنطق ( الطبعة الثانية). أبر سادل ريفر، نيوجيرسي: بيرسون إديوكيشن. ص 197. ISBN   978-0-13-238034-8.
  3. ↑ وايسشتاين، إريك و. "إفْي". من ماث وورلد - مورد ويب من وولفرام. http://mathworld.wolfram.com/Iff.html مؤرشف في 13 نوفمبر 2018 في أرشيف الإنترنت
  4. ↑ على سبيل المثال ، Daepp، Ulrich؛ Gorkin، Pamela (2011)، القراءة والكتابة والإثبات: نظرة فاحصة على الرياضيات ، نصوص جامعية في الرياضيات ، Springer، ص 52، ISBN  9781441994790على الرغم من أنها قد توفر الكثير من الوقت، إلا أننا لا نوصي باستخدامها في الكتابة الرسمية.
  5. ↑ روثويل، إدوارد ج .؛ كلاود، مايكل ج. (2014)، الكتابة الهندسية بالتصميم: إنشاء وثائق رسمية ذات قيمة دائمة ، مطبعة سي آر سي، ص 98، رقم ISBN  9781482234312وهو أمر شائع في الكتابة الرياضية
  6. 1 2 بيل، تيموثي. "الجمل الشرطية والجمل الشرطية الثنائية" . web.mnstate.edu . مؤرشف من الأصل في 24 أكتوبر 2020. تم الاطلاع عليه في 4 سبتمبر 2020 .
  7. ↑ p <=> q ​​مؤرشف في 18 أكتوبر 2016 في Wayback Machine . WolframAlpha
  8. ↑ إذا وفقط إذا ، قسم الرياضيات بجامعة هاواي في مانوا، مؤرشف من الأصل في 5 مايو 2000 ، تم استرجاعه في 16 أكتوبر 2016. تُعتبر النظريات التي تأخذ شكل "P إذا وفقط Q" ذات قيمة كبيرة في الرياضيات. فهي تُقدم ما يُسمى بالشروط "الضرورية والكافية"، وتُعطي طرقًا جديدة مكافئة تمامًا، ونأمل أن تكون مثيرة للاهتمام، للتعبير عن نفس الشيء تمامًا.
  9. ↑ "بوابة XOR/XNOR/التكافؤ الفردي/التكافؤ الزوجي" . www.cburch.com . مؤرشف من الأصل في 7 أبريل 2022. تم الاطلاع عليه في 22 أكتوبر 2019 .
  10. ↑ وايسشتاين، إريك و. "المكافئ" . mathworld.wolfram.com . مؤرشف من الأصل في 3 أكتوبر 2020. تم الاطلاع عليه في 4 سبتمبر 2020 .
  11. ↑ "يان لوكاسيفيتش > تدوين لوكاسيفيتش الخالي من الأقواس أو التدوين البولندي (موسوعة ستانفورد للفلسفة)" . plato.stanford.edu . مؤرشف من الأصل في 9 أغسطس 2019. تم الاطلاع عليه في 22 أكتوبر 2019 .
  12. ↑ "LaTeX:Symbol" . فن حل المشكلات . مؤرشف من الأصل في 22 أكتوبر 2019. تم الاسترجاع في 22 أكتوبر 2019 .
  13. ↑ الطوبولوجيا العامة، إعادة إصدار ISBN 978-0-387-90125-1
  14. ↑ نيكولاس ج. هايغام (1998). دليل الكتابة في العلوم الرياضية ( الطبعة الثانية). SIAM. ص 24. ISBN   978-0-89871-420-3.
  15. ↑ ماورر، ستيفن ب.؛ رالستون، أنتوني (2005). الرياضيات الخوارزمية المنفصلة ( الطبعة الثالثة). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. ص 60. ISBN   1568811667.
  16. ↑ على سبيل المثال، من كتاب الطوبولوجيا العامة ، صفحة 25: "تكون المجموعة قابلة للعد إذا وفقط إذا كانت منتهية أو غير منتهية قابلة للعد." [الخط العريض في الأصل]
  17. ↑ كرانز، ستيفن ج. (1996)، مدخل إلى الكتابة الرياضية ، الجمعية الرياضية الأمريكية، ص 71 ، رقم ISBN  978-0-8218-0635-7
  18. ↑ راسل، ستيوارت ج .؛ نورفيج، بيتر (2020) [1995]. الذكاء الاصطناعي: منهج حديث ( الطبعة الرابعة). برنتيس هول . ص 1136. ISBN   978-0-13-461099-3. OCLC 359890490 . 
  19. ↑ كوالسكي، ر.، دافيلا، ج.، سارتور، ج.، وكاليخو، م.، 2023. اللغة الإنجليزية المنطقية للقانون والتعليم. http://www.doc.ic.ac.uk/~rak/papers/Logical%20English%20for%20Law%20and%20Education%20.pdf في كتاب "مقدمة: الخمسون عامًا القادمة" (ص 287-299). تشام: سبرينغر نيتشر سويسرا.