النظام البلوري

في علم البلورات ، يُعرف النظام البلوري بأنه مجموعة من الزمر النقطية (مجموعة من التناظرات الهندسية ذات نقطة ثابتة واحدة على الأقل). أما النظام الشبكي فهو مجموعة من شبكات برافي (مصفوفة لانهائية من النقاط المنفصلة). تُصنف الزمر الفراغية (زمر التناظر لتكوين في الفضاء) إلى أنظمة بلورية وفقًا لزمرها النقطية، وإلى أنظمة شبكية وفقًا لشبكات برافي. تُجمع الأنظمة البلورية التي تنتمي زمرها الفراغية إلى نظام شبكي مشترك في عائلة بلورية .

الأنظمة البلورية السبعة هي: ثلاثي الميل ، أحادي الميل ، معيني قائم ، رباعي ، ثلاثي ، سداسي ، ومكعب . وبشكل غير رسمي، تنتمي بلورتان إلى نفس النظام البلوري إذا كانت لهما تناظرات متشابهة (مع وجود العديد من الاستثناءات).

التصنيفات

يمكن تصنيف البلورات بثلاث طرق: أنظمة الشبكة البلورية، وأنظمة البلورات، وعائلات البلورات. وكثيراً ما يحدث خلط بين هذه التصنيفات المختلفة؛ فعلى وجه الخصوص، يُخلط غالباً بين نظام البلورات الثلاثي ونظام الشبكة البلورية المعيني ، ويُستخدم مصطلح "نظام البلورات" أحياناً بمعنى "نظام الشبكة البلورية" أو "عائلة البلورات".

نظام شبكي

النظام الشبكي هو مجموعة من الشبكات التي لها نفس مجموعة مجموعات النقاط الشبكية. تُصنف شبكات برافي الأربعة عشر إلى سبعة أنظمة شبكية: ثلاثية الميل، أحادية الميل، معينية قائمة، رباعية، معينية الأوجه، سداسية، ومكعبة.

النظام البلوري

النظام البلوري هو مجموعة من الزمر النقطية، حيث تُنسب الزمر النقطية نفسها، بالإضافة إلى زمرها الفراغية المقابلة، إلى نظام شبكي. من بين الزمر النقطية البلورية الـ 32 الموجودة في ثلاثة أبعاد، تُنسب معظمها إلى نظام شبكي واحد فقط، وفي هذه الحالة، يحمل كل من النظام البلوري والنظام الشبكي الاسم نفسه. مع ذلك، تُنسب خمس زمر نقطية إلى نظامين شبكيين، المعيني والسداسي، نظرًا لأن كليهما يُظهر تناظرًا دورانيًا ثلاثيًا. تُنسب هذه الزمر النقطية إلى النظام البلوري الثلاثي.

عائلة الكريستال

تُحدد عائلة البلورات بالشبكات والمجموعات النقطية . وتتشكل بدمج أنظمة بلورية ذات مجموعات فراغية مُخصصة لنظام شبكي مشترك. في ثلاثة أبعاد، تُدمج الأنظمة البلورية السداسية والثلاثية في عائلة بلورية سداسية واحدة.

بلورة هانكسيت سداسية ، ذات تناظر ثلاثي حول المحور c

مقارنة

خمسة من الأنظمة البلورية تتشابه أساسًا مع خمسة من أنظمة الشبكة البلورية. ويختلف النظامان البلوريان السداسي والثلاثي عن النظامين الشبكيين السداسي والمعيني. وتُجمع هذه الأنظمة في عائلة البلورات السداسية.

يوضح الجدول التالي العلاقة بين عائلات البلورات ثلاثية الأبعاد، وأنظمة البلورات، وأنظمة الشبكة البلورية:

عائلة الكريستال	النظام البلوري	نظام شبكي	التناظرات المطلوبة لمجموعة النقاط	مجموعات النقاط	المجموعات الفضائية	شبكات برافي
عيادة ثلاثية الانحناء	عيادة ثلاثية الانحناء	عيادة ثلاثية الانحناء	لا أحد	2	2	1
عيادة أحادية	عيادة أحادية	عيادة أحادية	محور دوران ثنائي واحد أو مستوى مرآة واحد	3	13	2
معيني قائم	معيني قائم	معيني قائم	ثلاثة محاور دوران ثنائية أو محور دوران ثنائي واحد ومستويان مرآويان	3	59	4
رباعي الزوايا	رباعي الزوايا	رباعي الزوايا	1 محور دوران رباعي	7	68	2
سداسي	ثلاثي الزوايا	المعين	1 محور دوران ثلاثي	5	7	1
	ثلاثي الزوايا	سداسي	1 محور دوران ثلاثي	5	18	1
	سداسي	سداسي	1 محور دوران سداسي	7	27	1
مكعب	مكعب	مكعب	4 محاور دوران ثلاثية	5	36	3
6	7	7	المجموع	32	230	14

ملاحظة: لا يوجد نظام شبكي "ثلاثي". ولتجنب الالتباس في المصطلحات، لا يُستخدم مصطلح "الشبكة الثلاثية".

فصول كريستال

تتكون الأنظمة البلورية السبعة من 32 فئة بلورية (تتوافق مع 32 مجموعة نقطية بلورية) كما هو موضح في الجدول التالي أدناه:

عائلة الكريستال	النظام البلوري	مجموعة النقاط / فئة البلورة	شونفليس	هيرمان-ماوجين	أوربيفولد	كوكسيتر	التناظر النقطي	طلب	مجموعة الملخصات
عيادة ثلاثية		دواسات	ج ₁	1	11	[ ] ⁺	قطبي متماثل معكوس	1	تافه $\mathbb {Z} _{1}$
عيادة ثلاثية		السطح البيناكويدي	C _i (S ₂ )	1	1x	[2,1 ⁺ ]	متناظر مركزيًا	2	دوري $\mathbb {Z} _{2}$
أحادي الميل		العظم الوتدي	ج ₂	2	22	[2,2] ⁺	قطبي متماثل معكوس	2	دوري $\mathbb {Z} _{2}$
		دوسميل	C _s (C _1h )	م	*11	[ ]	القطب الشمالي	2	دوري $\mathbb {Z} _{2}$
		موشوري	C _2h	2/م	2*	[2,2 ⁺ ]	متناظر مركزيًا	4	كلاين فور $\mathbb {V} =\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$
معيني قائم		معيني ثنائي الوتد	D ₂ (V)	222	222	[2,2] ⁺	متماثل معكوس	4	كلاين فور $\mathbb {V} =\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$
		معيني هرمي	C _2v	مم2	*22	[2]	القطب الشمالي	4	كلاين فور $\mathbb {V} =\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$
		معيني ثنائي الهرم	D _2h (V _h )	mmm (2/m 2/m 2/m)	*222	[2,2]	متناظر مركزيًا	8	$\mathbb {V} \times \mathbb {Z} _{2}$
رباعي الزوايا		الهرم الرباعي	ج ₄	4	44	[4] ⁺	قطبي متماثل معكوس	4	دوري $\mathbb {Z} _{4}$
		رباعي الأضلاع ثنائي الوتدي	S ₄	4	2x	[2 ⁺ ,2]	غير متناظر مركزياً	4	دوري $\mathbb {Z} _{4}$
		رباعي الأضلاع ثنائي الهرم	ج _{4 ساعات}	4/م	4*	[2,4 ⁺ ]	متناظر مركزيًا	8	$\mathbb {Z} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}$
		رباعي الأضلاع شبه منحرف	د ₄	422	422	[2,4] ⁺	متماثل معكوس	8	الزاوية ثنائية السطوح $\mathbb {D} _{8}=\mathbb {Z} _{4}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		هرمي رباعي الأضلاع	C _4v	4 مم	*44	[4]	القطب الشمالي	8	الزاوية ثنائية السطوح $\mathbb {D} _{8}=\mathbb {Z} _{4}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		رباعي الأضلاع - ذو أوجه متباينة	D _2d (V _d )	4 2 متر	2*2	[2 ⁺ ,4]	غير متناظر مركزياً	8	الزاوية ثنائية السطوح $\mathbb {D} _{8}=\mathbb {Z} _{4}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		ثنائي الهرم الرباعي	D _4h	4/mmm (4/m 2/m 2/m)	*422	[2,4]	متناظر مركزيًا	16	$\mathbb {D} _{8}\times \mathbb {Z} _{2}$
سداسي	ثلاثي الزوايا	الهرم الثلاثي	ج ₃	3	33	[3] ⁺	قطبي متماثل معكوس	3	دوري $\mathbb {Z} _{3}$
		المعيني	C _3i (S ₆ )	3	3x	[2 ⁺ ،3 ⁺ ]	متناظر مركزيًا	6	دوري $\mathbb {Z} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{2}$
		شبه منحرف ثلاثي	د ₃	32	322	[3,2] ⁺	متماثل معكوس	6	الزاوية ثنائية السطوح $\mathbb {D} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		الهرم الثلاثي	C _3v	3 أمتار	*33	[3]	القطب الشمالي	6	الزاوية ثنائية السطوح $\mathbb {D} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		ثنائي المثلث-ألماسي الأوجه	D _3d	3 م ( 3 2/م)	2*3	[2 ⁺ ,6]	متناظر مركزيًا	12	الزاوية ثنائية السطوح $\mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
	سداسي	هرمي سداسي	ج ₆	6	66	[6] ⁺	قطبي متماثل معكوس	6	دوري $\mathbb {Z} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{2}$
		الهرم الثلاثي المزدوج	ج _{3 ساعات}	6	3*	[2,3 ⁺ ]	غير متناظر مركزياً	6	دوري $\mathbb {Z} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{2}$
		هرمي سداسي مزدوج	ج _{6 ساعات}	6/م	6*	[2,6 ⁺ ]	متناظر مركزيًا	12	$\mathbb {Z} _{6}\times \mathbb {Z} _{2}$
		شبه منحرف سداسي	د ₆	622	622	[2,6] ⁺	متماثل معكوس	12	الزاوية ثنائية السطوح $\mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		هرمي سداسي مزدوج	C _{6 فولت}	6 مم	*66	[6]	القطب الشمالي	12	الزاوية ثنائية السطوح $\mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		ثنائي الهرم المثلثي	D _{3 ساعات}	6 م2	*322	[2,3]	غير متناظر مركزياً	12	الزاوية ثنائية السطوح $\mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		ثنائي الهرم السداسي	D _{6 ساعات}	6/mmm (6/m 2/m 2/m)	*622	[2,6]	متناظر مركزيًا	24	$\mathbb {D} _{12}\times \mathbb {Z} _{2}$
مكعب		رباعي التاج	تي	23	332	[3,3] ⁺	متماثل معكوس	12	بالتناوب $\mathbb {A} _{4}$
		ثنائي الصبغيات	ذ	م 3 (2/م 3)	3*2	[3 ⁺ ,4]	متناظر مركزيًا	24	$\mathbb {A} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}$
		الجيرويدي	يا	432	432	[4,3] ⁺	متماثل معكوس	24	متماثل $\mathbb {S} _{4}$
		سداسي الأوجه	تي _دي	4 3م	*332	[3,3]	غير متناظر مركزياً	24	متماثل $\mathbb {S} _{4}$
		سداسي ثماني الأوجه	أوه	م 3 م (4/م 3 2/م)	*432	[4,3]	متناظر مركزيًا	48	$\mathbb {S} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}$

يمكن وصف التناظر النقطي للبنية كما يلي: لنفترض النقاط المكونة للبنية، ثم نعكسها جميعًا حول نقطة واحدة، بحيث تصبح ( س ، ص ، ع ) ( -س ، -ص ، -ع ) . هذه هي "البنية المعكوسة". إذا كانت البنية الأصلية والبنية المعكوسة متطابقتين، فإن البنية متناظرة مركزيًا . وإلا فهي غير متناظرة مركزيًا . مع ذلك، حتى في حالة عدم التناظر المركزي، يمكن في بعض الحالات تدوير البنية المعكوسة لتتماشى مع البنية الأصلية. هذه بنية غير متناظرة مركزيًا وغير كيرالية . إذا تعذر تدوير البنية المعكوسة لتتماشى مع البنية الأصلية، فإن البنية كيرالية أو متماثلة مرآويًا ، وتكون مجموعة تناظرها متماثلة مرآويًا . ^{[ 1 ]}

يُطلق على الاتجاه (أي الخط بدون سهم) اسم "قطبي" إذا كان اتجاهه مختلفًا هندسيًا أو فيزيائيًا. ويُسمى اتجاه التناظر في البلورة القطبية " محورًا قطبيًا" . ^{[ 2 ]} تُسمى المجموعات التي تحتوي على محور قطبي "قطبية" . تمتلك البلورة القطبية محورًا قطبيًا فريدًا (وبشكل أدق، جميع المحاور القطبية متوازية). تختلف بعض الخصائص الهندسية أو الفيزيائية عند طرفي هذا المحور: على سبيل المثال، قد ينشأ استقطاب عازل كما في البلورات الكهروحرارية . لا يمكن أن يوجد محور قطبي إلا في البنى غير المتناظرة مركزيًا. لا يمكن أن يوجد مستوى انعكاس أو محور تناظر ثنائي عمودي على المحور القطبي، لأن ذلك سيجعل اتجاهي المحور متكافئين.

لا يمكن أن تحدث الهياكل البلورية للجزيئات البيولوجية الكيرالية (مثل هياكل البروتين ) إلا في مجموعات الفضاء المتماثلة 65 (عادة ما تكون الجزيئات البيولوجية كيرالية ).

شبكات برافي

توجد سبعة أنواع مختلفة من أنظمة الشبكات، ولكل نوع منها أربعة أنواع من التمركز (بدائي، مركزي القاعدة، مركزي الجسم، مركزي الوجه). مع ذلك، ليست كل التركيبات فريدة؛ فبعضها متكافئ، بينما يستحيل وجود تركيبات أخرى لأسباب تتعلق بالتناظر. هذا يُقلل عدد الشبكات الفريدة إلى شبكات برافي الأربعة عشر.

يتم توضيح توزيع شبكات برافي الـ 14 إلى 7 أنظمة شبكية في الجدول التالي.

عائلة الكريستال	نظام شبكي	مجموعة النقاط ( تدوين Schönflies )	14 شبكة برافي
عائلة الكريستال	نظام شبكي	مجموعة النقاط ( تدوين Schönflies )	بدائي (P)	مركزي القاعدة (S)	متمركز حول الجسد (I)	مركز الوجه (F)
ثلاثي الميل (أ)		C _i	وكالة أسوشيتد برس
أحادي الميل (م)		C _2h	mP	آنسة
المعيني القائم (o)		D _2h	OP	نظام التشغيل	oI	ل
رباعي الأضلاع (t)		D _4h	تي بي		أنا
سداسي (ح)	المعين	D _3d	hR
سداسي (ح)	سداسي	D _{6 ساعات}	hP
مكعب (ج)		أوه	سنتي بويز		جـ	cF

في الهندسة وعلم البلورات ، تعتبر شبكة برافي فئة من مجموعات التناظر الانتقالي (المعروفة أيضًا باسم الشبكات ) في ثلاثة اتجاهات.

تتكون مجموعات التناظر هذه من عمليات إزاحة بواسطة متجهات من الشكل

R = n ₁a ₁ + n ₂a ₂ + n ₃a ₃ ,

حيث n ₁ و n ₂ و n ₃ هي أعداد صحيحة و a ₁ و a ₂ و a ₃ هي ثلاثة متجهات غير مستوية تسمى المتجهات الأولية .

تُصنَّف هذه الشبكات وفقًا لمجموعة الفضاء الخاصة بها، والتي تُعتبر مجموعة من النقاط؛ ويوجد 14 شبكة برافي في ثلاثة أبعاد؛ تنتمي كل منها إلى نظام شبكي واحد فقط. وهي تمثل أقصى تناظر يمكن أن يتمتع به هيكل ذو تناظر انتقالي مُحدد.

يجب أن تتناسب جميع المواد البلورية (باستثناء أشباه البلورات ) بحكم تعريفها مع أحد هذه الترتيبات.

لتبسيط الأمر، يُصوَّر نموذج شبكة برافي بخلية وحدة أكبر من الخلية الأولية بمعامل 1 أو 2 أو 3 أو 4. وبحسب تناظر البلورة أو أي نمط آخر، يكون النطاق الأساسي أصغر، ويصل حجمه إلى 48 معاملًا.

درس موريتز لودفيج فرانكنهايم شبكات برافي في عام 1842، ووجد أن هناك 15 شبكة برافي. وقد صحح أ. برافي هذا العدد إلى 14 شبكة في عام 1848 .

في أبعاد أخرى

الفضاء ثنائي الأبعاد

في الفضاء ثنائي الأبعاد، توجد أربعة أنظمة بلورية (مائلة، مستطيلة، مربعة، سداسية)، وأربع عائلات بلورية (مائلة، مستطيلة، مربعة، سداسية)، وأربعة أنظمة شبكية ( مائلة ، مستطيلة ، مربعة ، سداسية ). ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

عائلة الكريستال	النظام البلوري	المجموعات النقطية البلورية	عدد مجموعات الطائرات	شبكات برافي
مائل (أحادي الميل)	منحرف	1، 2	2	عضو البرلمان
مستطيل (معيني قائم)	مستطيل	م ، 2 مم	7	op , oc
مربع (رباعي الأضلاع)	مربع	4، 4 مم	3	tp
سداسي	سداسي	3، 6، 3 م ، 6 مم	5	إتش بي
المجموع	4	10	17	5

الفضاء رباعي الأبعاد

تُعرَّف الخلية الأساسية رباعية الأبعاد بأربعة أطوال للأضلاع ( a ، b ، c ، d ) وست زوايا بين المحاور ( α ، β ، γ ، δ ، ε ، ζ ). وتُحدد الشروط التالية لمعاملات الشبكة 23 عائلة بلورية.

عائلات البلورات في الفضاء رباعي الأبعاد
لا.	عائلة	أطوال الحواف	الزوايا بين المحاور
1	سداسي الأضلاع	أ ≠ ب ≠ ج ≠ د	α ≠ β ≠ γ ≠ δ ≠ ε ≠ ζ ≠ 90°
2	عيادة ثلاثية الانحناء	أ ≠ ب ≠ ج ≠ د	α ≠ β ≠ γ ≠ 90° δ = ε = ζ = 90°
3	عيادة ثنائية	أ ≠ ب ≠ ج ≠ د	α ≠ 90° β = γ = δ = ε = 90° ζ ≠ 90°
4	عيادة أحادية	أ ≠ ب ≠ ج ≠ د	α ≠ 90° β = γ = δ = ε = ζ = 90°
5	متعامد	أ ≠ ب ≠ ج ≠ د	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
6	أحادي الميل رباعي الأضلاع	أ ≠ ب = ج ≠ د	α ≠ 90° β = γ = δ = ε = ζ = 90°
7	أحادي الميل سداسي	أ ≠ ب = ج ≠ د	α ≠ 90° β = γ = δ = ε = 90° ζ = 120°
8	ثنائي الميل رباعي الأضلاع	أ = د ≠ ب = ج	α = ζ = 90° β = ε ≠ 90° γ ≠ 90° δ = 180° − γ
9	ثنائي الميل (ثنائي سداسي)	أ = د ≠ ب = ج	α = ζ = 120° β = ε ≠ 90° γ ≠ δ ≠ 90° cos δ = cos β − cos γ
10	رباعي الأضلاع متعامد	أ ≠ ب = ج ≠ د	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
11	سداسي متعامد	أ ≠ ب = ج ≠ د	α = β = γ = δ = ε = 90°، ζ = 120°
12	أحادي الميل ثنائي التناظر	أ = د ≠ ب = ج	α = γ = δ = ζ = 90° β = ε ≠ 90°
13	أحادي الميل ثنائي المثلث (ثنائي السداسي)	أ = د ≠ ب = ج	α = ζ = 120° β = ε ≠ 90° γ = δ ≠ 90° cos γ = − ⁠ 1 / 2 ⁠ cos β
14	متعامد رباعي الأضلاع	أ = د ≠ ب = ج	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
15	سداسي رباعي الأضلاع	أ = د ≠ ب = ج	α = β = γ = δ = ε = 90° ζ = 120°
16	متعامد ثنائي سداسي	أ = د ≠ ب = ج	α = ζ = 120° β = γ = δ = ε = 90°
17	مكعب متعامد	أ = ب = ج ≠ د	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
18	ثماني الأضلاع	أ = ب = ج = د	α = γ = ζ ≠ 90° β = ε = 90° δ = 180° − α
19	عشري	أ = ب = ج = د	α = γ = ζ ≠ β = δ = ε cos β = − ⁠ 1 / 2 ⁠ − cos α
20	اثنا عشري الأضلاع	أ = ب = ج = د	α = ζ = 90° β = ε = 120° γ = δ ≠ 90°
21	متعامد ثنائي متساوي السداسية	أ = ب = ج = د	α = ζ = 120° β = γ = δ = ε = 90°
22	عشروني الوجوه (عشري الوجوه)	أ = ب = ج = د	α = β = γ = δ = ε = ζ cos α = − ⁠ 1 / 4 ⁠
23	مكعب فائق	أ = ب = ج = د	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°

الأسماء الواردة هنا مُعطاة وفقًا لويتاكر. ^{[ 5 ]} وهي تكاد تكون مطابقة لتلك الواردة في براون وآخرون ، ^{[ 6 ]} باستثناء أسماء عائلات البلورات 9 و13 و22. ترد أسماء هذه العائلات الثلاث، وفقًا لبراون وآخرون، بين قوسين.

يوضح الجدول التالي العلاقة بين عائلات البلورات رباعية الأبعاد، وأنظمة البلورات، وأنظمة الشبكات البلورية. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} تُشير علامة النجمة (*) إلى الأنظمة المتماثلة. ويُذكر عدد الأزواج المتماثلة بين قوسين. هنا، يختلف معنى مصطلح "متماثل" عن معناه في جدول فئات البلورات ثلاثية الأبعاد. ففي الجدول الأخير، تعني المجموعات النقطية المتماثلة وصف بنى كيرالية (متماثلة). أما في الجدول الحالي، فيعني "متماثل" أن المجموعة نفسها (باعتبارها كائنًا هندسيًا) متماثلة، مثل الأزواج المتماثلة من مجموعات الفضاء ثلاثية الأبعاد P3 ₁ وP3 ₂ ، وP4 ₁ 22 وP4 ₃ 22. وانطلاقًا من الفضاء رباعي الأبعاد، يمكن أن تكون المجموعات النقطية متماثلة بهذا المعنى أيضًا.

الأنظمة البلورية في الفضاء رباعي الأبعاد
عدد عائلات الكريستال	عائلة الكريستال	النظام البلوري	نظام شبكي	عدد الأنظمة البلورية	مجموعات النقاط	المجموعات الفضائية	شبكات برافي
أنا	سداسي الأضلاع		هيكساكلينيك ب	1	2	2	1
٢	عيادة ثلاثية الانحناء		عيادة ثلاثية P، S	2	3	13	2
3	عيادة ثنائية		ثنائي الميل P، S، D	3	2	12	3
رابعاً	عيادة أحادية		أحادي الميل P، S، S، I، D، F	4	4	207	6
V	متعامد	متعامد غير محوري	KU المتعامد	5	2	2	1
		متعامد غير محوري	متعامد P، S، I، Z، D، F، G، U	5	2	112	8
		محوري متعامد	متعامد P، S، I، Z، D، F، G، U	6	3	887	8
السادس	أحادي الميل رباعي الأضلاع		رباعي الأضلاع أحادي الميل P، I	7	7	88	2
السابع	أحادي الميل سداسي	أحادي الميل ثلاثي الزوايا	أحادي الميل سداسي R	8	5	9	1
		أحادي الميل ثلاثي الزوايا	أحادي الميل سداسي P	8	5	15	1
		أحادي الميل سداسي	أحادي الميل سداسي P	9	7	25	1
الثامن	ثنائي الميل رباعي الأضلاع*		ثنائي التناظر ثنائي الميل P*	10	1 (+1)	1 (+1)	1 (+1)
9	ثنائي الميل المثلثي*		ثنائي الميل المثلثي P*	11	2 (+2)	2 (+2)	1 (+1)
X	رباعي الأضلاع متعامد	رباعي معكوس متعامد	رباعي الأضلاع متعامد KG	12	5	7	1
		رباعي معكوس متعامد	رباعي الأضلاع متعامد P، S، I، Z، G	12	5	351	5
		رباعي الأضلاع متعامد صحيح	رباعي الأضلاع متعامد P، S، I، Z، G	13	10	1312	5
الحادي عشر	سداسي متعامد	مثلث متعامد	سداسي متعامد R، RS	14	10	81	2
		مثلث متعامد	سداسي متعامد P، S	14	10	150	2
		سداسي متعامد	سداسي متعامد P، S	15	12	240	2
الثاني عشر	أحادي الميل ثنائي التناظر*		أحادي الميل ثنائي التناظر P، S، D*	16	1 (+1)	6 (+6)	3 (+3)
الثالث عشر	أحادي الميل ثنائي التناظر*		أحادي الميل ثنائي التناظر P، RR	17	2 (+2)	5 (+5)	2 (+2)
الرابع عشر	متعامد رباعي الأضلاع	متعامد خفي ثنائي الأضلاع	ثنائي رباعي الأضلاع متعامد D	18	5	10	1
		متعامد خفي ثنائي الأضلاع	ثنائي رباعي الأضلاع متعامد P، Z	18	5	165 (+2)	2
		متعامد رباعي الأضلاع	ثنائي رباعي الأضلاع متعامد P، Z	19	6	127	2
الخامس عشر	سداسي رباعي الأضلاع		سداسي رباعي الأضلاع P	20	22	108	1
السادس عشر	متعامد ثنائي سداسي	متعامد ثلاثي مشفر*	ثنائي سداسي متعامد G*	21	4 (+4)	5 (+5)	1 (+1)
		متعامد ثلاثي مشفر*	ثنائي سداسي متعامد P	21	4 (+4)	5 (+5)	1
		متعامد ثنائي سداسي		23	11	20
		متعامد ثنائي التثليث		22	11	41
		متعامد ثنائي التثليث	ثنائي سداسي متعامد RR	22	11	16	1
السابع عشر	مكعب متعامد	مكعب بسيط متعامد	مكعب متعامد KU	24	5	9	1
		مكعب بسيط متعامد	مكعب متعامد P، I، Z، F، U	24	5	96	5
		مكعب معقد متعامد	مكعب متعامد P، I، Z، F، U	25	11	366	5
الثامن عشر	ثماني الأضلاع*		ثماني الأضلاع P*	26	2 (+2)	3 (+3)	1 (+1)
التاسع عشر	عشري		مصفوفة عشرية P	27	4	5	1
XX	الشكل الاثني عشري*		مصفوفة اثني عشرية P*	28	2 (+2)	2 (+2)	1 (+1)
الحادي والعشرون	متعامد ثنائي متساوي السداسية	مصفوفة ثنائية متساوية الأضلاع بسيطة متعامدة	ثنائي متساوي السداسية متعامد RR	29	9 (+2)	19 (+5)	1
		مصفوفة ثنائية متساوية الأضلاع بسيطة متعامدة	ثنائي متساوي السداسية متعامد P	29	9 (+2)	19 (+3)	1
		معقد ثنائي متساوي السداسية متعامد	ثنائي متساوي السداسية متعامد P	30	13 (+8)	15 (+9)	1
XXII	عشروني الأضلاع		إيكوساجونال P، SN	31	7	20	2
الثالث والعشرون	مكعب فائق	مكعب مثمن الأضلاع	مكعب زائد P	32	21 (+8)	73 (+15)	1
		مكعب مثمن الأضلاع	مكعب Z	32	21 (+8)	107 (+28)	1
		مضلع ذو اثني عشر ضلعًا مكعبًا زائدًا	مكعب Z	33	16 (+12)	25 (+20)	1
المجموع	23 (+6)	33 (+7)	33 (+7)		227 (+44)	4783 (+111)	64 (+10)

انظر أيضاً

مجموعة بلورية – مجموعة من البلورات تتشكل في فضاء مفتوح
البنية البلورية – ترتيب منتظم للذرات أو الأيونات أو الجزيئات في مادة بلورية
علم البلورات الهندسي قبل الأشعة السينية - تاريخ علم البلورات الهندسي حتى عام 1895
قائمة المجموعات الفضائية
مجموعة النقطة القطبية

مراجع

↑ فلاك، هوارد د. (2003). "البنى البلورية الكيرالية وغير الكيرالية". مجلة هيلفيتيكا كيميكا أكتا . 86 (4): 905-921 . CiteSeerX 10.1.1.537.266 . doi : 10.1002/hlca.200390109 .
↑ هان 2002 ، ص 804.
↑ جياكوفاتزو، كارميلو (10 فبراير 2011). أساسيات علم البلورات ( الطبعة الثالثة). مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-957366-0.
↑ هان، ثيو (2005). الجداول الدولية لعلم البلورات، المجلد أ: تناظر المجموعة الفراغية ( الطبعة الخامسة). الجدول 2.1.2.1: سبرينغر. {{cite book}}: CS1 maint: location ( link )
1 2 ويتاكر، إي جيه دبليو (1985). أطلس الصور المجسمة الفائقة لفئات البلورات رباعية الأبعاد . أكسفورد : مطبعة كلارندون . ISBN 978-0-19-854432-6. OCLC 638900498 .
1 2 براون، هـ.؛ بولو، ر.؛ نويبوزر، ج.؛ وندراتشيك، هـ.؛ زاسنهاوس، هـ. (1978). المجموعات البلورية للفضاء رباعي الأبعاد . نيويورك : وايلي . ISBN 978-0-471-03095-9. OCLC 939898594 .

المراجع

هان، ثيو، محرر. (2002). الجداول الدولية لعلم البلورات، المجلد أ: تناظر المجموعة الفراغية . المجلد أ (الطبعة الخامسة ). برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . doi : 10.1107/97809553602060000100 . ISBN 978-0-7923-6590-7.

روابط خارجية

نظرة عامة على المجموعات الـ 32
معارض المعادن – التناظر
جميع فئات البلورات المكعبة وأشكالها وإسقاطاتها المجسمة (تطبيق جافا تفاعلي)
النظام البلوري في القاموس الإلكتروني لعلم البلورات
عائلة البلورات في القاموس الإلكتروني لعلم البلورات
نظام الشبكة في القاموس الإلكتروني لعلم البلورات
تحويل البيانات الأولية إلى التنسيق القياسي التقليدي لملفات إدخال VASP. مؤرشف بتاريخ 26 نوفمبر 2021 على موقع Wayback Machine.
تعلم علم البلورات

[1] فلاك، هوارد د. (2003). "البنى البلورية الكيرالية وغير الكيرالية". مجلة هيلفيتيكا كيميكا أكتا . 86 (4): 905-921 . CiteSeerX 10.1.1.537.266 . doi : 10.1002/hlca.200390109 .

[FOOTNOTEHahn2002804-2] هان 2002 ، ص 804.

[Giacovazzo-3] جياكوفاتزو، كارميلو (10 فبراير 2011). أساسيات علم البلورات ( الطبعة الثالثة). مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-957366-0.

[ITA-4] هان، ثيو (2005). الجداول الدولية لعلم البلورات، المجلد أ: تناظر المجموعة الفراغية ( الطبعة الخامسة). الجدول 2.1.2.1: سبرينغر. {{cite book}}: CS1 maint: location ( link )

[Whittaker-5] 1 2 ويتاكر، إي جيه دبليو (1985). أطلس الصور المجسمة الفائقة لفئات البلورات رباعية الأبعاد . أكسفورد : مطبعة كلارندون . ISBN 978-0-19-854432-6. OCLC 638900498 .

[Brown-6] 1 2 براون، هـ.؛ بولو، ر.؛ نويبوزر، ج.؛ وندراتشيك، هـ.؛ زاسنهاوس، هـ. (1978). المجموعات البلورية للفضاء رباعي الأبعاد . نيويورك : وايلي . ISBN 978-0-471-03095-9. OCLC 939898594 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗