مجموعة النقاط

لا يوجد سوى مجموعتين نقطيتين أحاديتي البعد، وهما مجموعة الهوية ومجموعة الانعكاس.

مجموعة	كوكسيتر	مخطط كوكسيتر	طلب	وصف
ج 1	[  ] +		1	هوية
د 1	[  ]		2	مجموعة تأملية

مجموعات النقاط في بعدين ، وتسمى أحيانًا مجموعات الوردة .

ينقسمون إلى عائلتين لا حصر لهما:

1. المجموعات الحلقية C _n من مجموعات الدوران n
2. مجموعات ثنائية السطوح D _n من مجموعات الدوران والانعكاس ذات n طية

إن تطبيق نظرية التقييد البلوري يقيد n إلى القيم 1 و 2 و 3 و 4 و 6 لكلا العائلتين، مما ينتج عنه 10 مجموعات.

يمكن أيضًا تمثيل مجموعة فرعية من مجموعات النقاط الانعكاسية البحتة، المُعرَّفة بمرآة واحدة أو اثنتين، بواسطة مجموعة كوكسيتر الخاصة بها والمضلعات المرتبطة بها. وتشمل هذه المجموعات خمس مجموعات بلورية. ويمكن مضاعفة تناظر مجموعات الانعكاس عن طريق التشاكل ، الذي يُسقط المرآتين على بعضهما البعض بواسطة مرآة منصفة، مما يُضاعف رتبة التناظر.

عاكس						التناوب			المضلعات ذات الصلة
مجموعة	مجموعة كوكسيتر		مخطط كوكسيتر		طلب	المجموعة الفرعية	كوكسيتر	طلب
د 1	أ 1	[  ]			2	ج 1	[] +	1	ديجون
د 2	أ 1 2	[2]			4	ج 2	[2] +	2	المستطيل
د 3	أ 2	[3]			6	ج 3	[3] +	3	المثلث متساوي الأضلاع
د 4	قبل الميلاد 2	[4]			8	ج 4	[4] +	4	مربع
د 5	H 2	[5]			10	ج 5	[5] +	5	خماسي منتظم
د 6	جي 2	[6]			12	ج 6	[6] +	6	سداسي منتظم
د ن	I 2 ( n )	[ ن ]			2 ن	سي إن	[ ن ] +	ن	مضلع منتظم
D 2 ×2	A 1 2 × 2	[[2]] = [4]		=	8
D 3 ×2	A 2 × 2	[[3]] = [6]		=	12
D 4 ×2	BC 2 × 2	[[4]] = [8]		=	16
D 5 ×2	H 2 ×2	[[5]] = [10]		=	20
D 6 ×2	G 2 × 2	[[6]] = [12]		=	24
D n ×2	I 2 ( n )×2	[[ن]] = [2 n ]		=	4 ن

مجموعات النقاط في ثلاثة أبعاد ، وتسمى أحيانًا مجموعات النقاط الجزيئية نظرًا لاستخدامها الواسع في دراسة تناظرات الجزيئات .

تأتي هذه المجموعات في 7 عائلات لا نهائية من المجموعات المحورية (وتسمى أيضًا المجموعات المنشورية)، و7 مجموعات متعددة السطوح إضافية (وتسمى أيضًا المجموعات الأفلاطونية). في تدوين شونفليس ،

• المجموعات المحورية: C _n ، S _{2 n} ، C _{n h} ، C _{n v} ، D _n ، D _{n d} ، D _{n h}
• المجموعات متعددة السطوح : T، Td _، Th _، O، Oh _، I، _Ih

يؤدي تطبيق نظرية التقييد البلوري على هذه المجموعات إلى الحصول على 32 مجموعة نقطية بلورية .

المجالات الأساسية ذات الألوان الزوجية/الفردية للمجموعات العاكسة

ج 1v الترتيب 2	C 2v الطلب 4	C 3v الترتيب 6	C 4v الطلب 8	C 5 فولت، الترتيب 10	C 6v الطلب 12	...
D 1h الطلب 4	الطلب رقم 8 (ساعتان )	D 3h الطلب 12	D 4h الطلب رقم 16	D 5h الطلب 20	D 6h الطلب رقم 24	...
تي دي الأمر 24	أوه ، الطلب رقم 48	أنا أطلب رقم 120

مجموعات التفكير

يمكن أيضًا تمثيل مجموعات نقاط الانعكاس، المُعرَّفة من 1 إلى 3 مستويات انعكاس، بواسطة مجموعة كوكسيتر الخاصة بها والمجسمات متعددة السطوح المرتبطة بها. ويمكن مضاعفة المجموعة [3,3]، وكتابتها على النحو التالي: [[3.3]] ، حيث يتم رسم المرايا الأولى والأخيرة على بعضها البعض، مما يؤدي إلى مضاعفة التناظر إلى 48، ومتماثل مع المجموعة [4،3].

الذباب	مجموعة كوكسيتر		مخطط كوكسيتر			طلب	المجسمات متعددة الأوجه المنتظمة والمنشورية ذات الصلة
تي دي	أ 3	[3,3]				24	رباعي الأوجه
T d × Dih 1 = O h	A 3 × 2 = BC 3	[[3.3]] = [4,3]			=	48	ثماني السطوح النجمي
أوه​	3 قبل الميلاد	[4,3]				48	مكعب ، ثماني الأوجه
أنا​	H 3	[5,3]				120	المجسم العشري الوجوه ، المجسم الاثني عشري الوجوه
D 3 ساعات	A 2 × A 1	[3,2]				12	منشور ثلاثي
D 3h × Dih 1 = D 6h	A 2 × A 1 × 2	[[3],2]			=	24	منشور سداسي
D 4h	BC 2 ×A 1	[4,2]				16	منشور مربع
D 4h × Dih 1 = D 8h	BC 2 ×A 1 ×2	[[4],2] = [8,2]			=	32	منشور ثماني الأضلاع
D 5h	H 2 ×A 1	[5,2]				20	منشور خماسي
D 6 ساعات	G 2 ×A 1	[6,2]				24	منشور سداسي
Dn h​	I 2 ( n )×A 1	[ ن ،2]				4 ن	منشور ذو n ضلع
D n h × Dih 1 = D 2 n h	I 2 ( n )×A 1 ×2	[[ n ],2]			=	8 ن
D 2h	أ 1 3	[2,2]				8	متوازي المستطيلات
D 2h × Dih 1	A 1 3 × 2	[[2],2] = [4,2]			=	16
D 2h × Dih 3 = O h	A 1 3 × 6	[3[2,2]] = [4,3]			=	48
C 3v	أ 2	[1,3]				6	هوسوهيدرون
C 4v	قبل الميلاد 2	[1,4]				8
C 5 فولت	H 2	[1,5]				10
C 6 فولت	جي 2	[1,6]				12
سي إن في	I 2 ( n )	[1، ن ]				2 ن
C n v × Dih 1 = C 2 n v	I 2 ( n )×2	[1,[ n ]] = [1,2 n ]			=	4 ن
ج 2 ف	أ 1 2	[1,2]				4
C 2v × Dih 1	A 1 2 × 2	[1،[2]]			=	8
C s	أ 1	[1,1]				2

تم إدراج مجموعات النقاط رباعية الأبعاد (الكيرالية وكذلك غير الكيرالية) في كونواي وسميث، ^{[ 1 ]} القسم 4، الجداول 4.1-4.3.

تُقدّم القائمة التالية مجموعات الانعكاس رباعية الأبعاد (باستثناء تلك التي تُبقي فضاءً فرعيًا ثابتًا، وبالتالي تُعتبر مجموعات انعكاس منخفضة الأبعاد). تُحدّد كل مجموعة كمجموعة كوكسيتر ، ومثل مجموعات السطوح متعددة الأوجه ثلاثية الأبعاد، يُمكن تسميتها باسم متعدد السطوح الرباعي المنتظم المحدب المرتبط بها . توجد مجموعات دورانية بحتة مرتبطة بكل مجموعة بنصف الرتبة، ويُمكن تمثيلها باستخدام ترميز كوكسيتر بين قوسين مع أسّ "+"، على سبيل المثال [3,3,3] ⁺ لها ثلاث نقاط دوران ثلاثية ورتبة تناظر 60. يُمكن مضاعفة المجموعات المتناظرة من الأمام إلى الخلف مثل [3,3,3] و[3,4,3]، ويُشار إليها بأقواس مزدوجة في ترميز كوكسيتر، على سبيل المثال [[3،3،3]] مع مضاعفة طلبها إلى 240.

مجموعة كوكسيتر / الترميز		مخطط كوكسيتر		طلب	متعددات الوجوه ذات الصلة
أ 4	[3,3,3]			120	5 خلايا
A 4 × 2	[[3،3،3]]			240	مركب مزدوج خماسي الخلايا
4 قبل الميلاد	[4,3,3]			384	16 خلية / تيسيراكت
د 4	[3 1,1,1 ]			192	حمض الديميتسيريك
D 4 × 2 = BC 4	<[3,3 1,1 ]> = [4,3,3]		=	384
D 4 × 6 = F 4	[3[3 1,1,1 ]] = [3,4,3]		=	1152
F 4	[3,4,3]			1152	24 خلية
F 4 ×2	[[3،4،3]]			2304	مركب مزدوج مكون من 24 خلية
H 4	[5,3,3]			14400	120 خلية / 600 خلية
A 3 × A 1	[3,3,2]			48	منشور رباعي الأوجه
A 3 × A 1 × 2	[[3,3],2] = [4,3,2]		=	96	منشور ثماني الأوجه
BC 3 ×A 1	[4,3,2]			96
H 3 ×A 1	[5,3,2]			240	منشور عشريني الوجوه
A 2 × A 2	[3,2,3]			36	المنشور المزدوج
A 2 × BC 2	[3,2,4]			48
A 2 × H 2	[3,2,5]			60
A 2 × G 2	[3,2,6]			72
BC 2 × BC 2	[4,2,4]			64
BC 2 2 ×2	[[4,2,4]]			128
BC 2 × H 2	[4,2,5]			80
BC 2 × G 2	[4,2,6]			96
H 2 ×H 2	[5,2,5]			100
H 2 × G 2	[5,2,6]			120
G 2 × G 2	[6,2,6]			144
I 2 ( p )×I 2 ( q )	[ p ,2, q ]			4 pq
I 2 (2 p )×I 2 ( q )	[[ p ],2, q ] = [2 p ,2, q ]		=	8 pq
I 2 (2 p )×I 2 (2 q )	[[ص]] ,2, [[q]] = [2 p ,2,2 q ]		=	16 pq
I 2 ( p ) 2 ×2	[[ص ، 2، ص]]			8 ص 2
I 2 (2 p ) 2 ×2	[ [[ p ]] ,2,[ p ]]] = [[2 ص ، 2، 2 ص]]		=	32 ص 2
A 2 × A 1 × A 1	[3,2,2]			24
BC 2 × A 1 × A 1	[4,2,2]			32
H 2 ×A 1 ×A 1	[5,2,2]			40
G 2 × A 1 × A 1	[6,2,2]			48
I 2 ( p )×A 1 ×A 1	[ ص 22]			8 بنس
I 2 (2 p )×A 1 ×A 1 ×2	[[ p ],2,2] = [2 p ,2,2]		=	16 بنساً
I 2 ( p )×A 1 2 ×2	[ p ,2,[2]] = [ p ,2,4]		=	16 بنساً
I 2 (2 p )×A 1 2 ×4	[[ص]] ,2, [[2]] = [2 p ,2,4]		=	32 بنساً
A 1 × A 1 × A 1 × A 1	[2,2,2]			16	4- أورثوتوب
A 1 2 × A 1 × A 1 × 2	[[2],2,2] = [4,2,2]		=	32
A 1 2 × A 1 2 × 4	[[2]] ,2, [[2]] = [4,2,4]		=	64
A 1 3 ×A 1 ×6	[3[2,2],2] = [4,3,2]		=	96
A 1 4 × 24	[3,3[2,2,2]] = [4,3,3]		=	384

يُبيّن الجدول التالي مجموعات الانعكاس خماسية الأبعاد (باستثناء مجموعات الانعكاس ذات الأبعاد الأقل)، مُصنّفةً كمجموعات كوكسيتر . توجد مجموعات كيرالية مُرتبطة بكل مجموعة بنصف الرتبة، ويمكن تمثيلها برمز كوكسيتر بين قوسين مع أسّ "+"، على سبيل المثال، [3,3,3,3] ⁺ لها أربع نقاط دوران ثلاثية ورتبة تناظر 360.

مجموعة كوكسيتر / الترميز		مخططات كوكسيتر		طلب	متعددات الوجوه المنتظمة والمنشورية ذات الصلة
5​	[3,3,3,3]			720	5-simplex
A 5 × 2	[[3،3،3،3]]			1440	مركب ثنائي بسيط 5
5 قبل الميلاد	[4,3,3,3]			3840	مكعب 5 ، أورثوبليكس 5
د 5	[3 2,1,1 ]			1920	5-نصف مكعب
D 5 ×2	<[3,3,3 1,1 ]>		=	3840
A 4 × A 1	[3,3,3,2]			240	موشور ذو 5 خلايا
A 4 × A 1 × 2	[[3,3,3],2]			480
BC 4 ×A 1	[4,3,3,2]			768	منشور تيسيراكت
F 4 ×A 1	[3,4,3,2]			2304	موشور ذو 24 خلية
F 4 ×A 1 ×2	[[3,4,3],2]			4608
H 4 ×A 1	[5,3,3,2]			28800	موشور ذو 600 خلية أو 120 خلية
D 4 ×A 1	[3 1,1,1 ,2]			384	منشور ديميتسيراكت
A 3 × A 2	[3,3,2,3]			144	المنشور المزدوج
A 3 × A 2 × 2	[[3,3],2,3]||		288
A 3 × BC 2	[3,3,2,4]			192
A 3 × H 2	[3,3,2,5]			240
A 3 × G 2	[3,3,2,6]			288
A 3 × I 2 ( p )	[3,3,2,p]			48 بنساً
BC 3 ×A 2	[4,3,2,3]			288
BC 3 × BC 2	[4,3,2,4]			384
BC 3 × H 2	[4,3,2,5]			480
BC 3 × G 2	[4,3,2,6]			576
BC 3 ×I 2 ( p )	[4,3,2,p]			96 بنساً
H 3 ×A 2	[5,3,2,3]			720
H 3 × BC 2	[5,3,2,4]			960
H 3 × H 2	[5,3,2,5]			1200
H 3 × G 2	[5,3,2,6]			1440
H 3 ×I 2 ( p )	[5,3,2, p ]			240 بنساً
A 3 × A 1 2	[3,3,2,2]			96
BC 3 ×A 1 2	[4,3,2,2]			192
H 3 ×A 1 2	[5,3,2,2]			480
A 2 2 × A 1	[3,2,3,2]			72	منشور مزدوج
A 2 × BC 2 × A 1	[3,2,4,2]			96
A 2 × H 2 × A 1	[3,2,5,2]			120
A 2 × G 2 × A 1	[3,2,6,2]			144
BC 2 2 ×A 1	[4,2,4,2]			128
BC 2 × H 2 × A 1	[4,2,5,2]			160
BC 2 × G 2 × A 1	[4,2,6,2]			192
H 2 2 ×A 1	[5,2,5,2]			200
H 2 × G 2 × A 1	[5,2,6,2]			240
G 2 2 ×A 1	[6,2,6,2]			288
I 2 ( p )×I 2 ( q )×A 1	[ p ,2, q ,2]			8 pq
A 2 × A 1 3	[3,2,2,2]			48
BC 2 ×A 1 3	[4,2,2,2]			64
H 2 ×A 1 3	[5,2,2,2]			80
G 2 × A 1 3	[6,2,2,2]			96
I 2 ( p )×A 1 3	[ ص 2222]			16 بنساً
أ 1 5	[2,2,2,2]			32	5- أورثوتوب
A 1 5 ×(2 ! )	[[2],2,2,2]||	=	64
A 1 5 ×(2!×2 ! )	[[2]] ,2,[2],2]		=	128
A 1 5 × (3 ! )	[3[2,2],2,2]		=	192
A 1 5 ×(3!×2 ! )	[3[2,2],2, [[2]]		=	384
A 1 5 × (4 ! )	[3,3[2,2,2],2]]		=	768
A 1 5 × (5 ! )	[3,3,3[2,2,2,2]]		=	3840

يُبيّن الجدول التالي مجموعات الانعكاس السداسية الأبعاد (باستثناء مجموعات الانعكاس ذات الأبعاد الأقل)، مُصنّفةً كمجموعات كوكسيتر . توجد مجموعات دورانية نقية مُرتبطة بكل مجموعة، بنصف الرتبة، ويمكن تمثيلها برمز كوكسيتر بين قوسين مع أسّ موجب (+)، على سبيل المثال، [3,3,3,3,3] ⁺ لها خمس نقاط دوران ثلاثية ورتبة تناظر 2520.

مجموعة كوكسيتر		مخطط كوكسيتر	طلب	متعددات الوجوه المنتظمة والمنشورية ذات الصلة
أ 6	[3,3,3,3,3]		5040 (7!)	6-simplex
A 6 × 2	[[3,3,3,3,3]]		10080 (2×7!)	مركب ثنائي 6-بسيط
6 قبل الميلاد	[4,3,3,3,3]		46080 (2 6 ×6!)	مكعب 6 ، حلزون 6
د 6	[3,3,3,3 1,1 ]		23040 (2 5 × 6!)	6-نصف مكعب
E 6	[3,3 2,2 ]		51840 (72×6!)	1 22 ، 2 21
A 5 × A 1	[3,3,3,3,2]		1440 (2×6!)	منشور خماسي بسيط
BC 5 ×A 1	[4,3,3,3,2]		7680 (2 6 × 5!)	منشور مكعب خماسي
D 5 ×A 1	[3,3,3 1,1 ,2]		3840 (2 5 × 5!)	منشور ذو 5 مكعبات نصفية
A 4 × I 2 ( p )	[3,3,3,2, p ]		240 بنساً	المنشور المزدوج
BC 4 ×I 2 ( p )	[4,3,3,2, p ]		768 صفحة
F 4 × I 2 ( p )	[3,4,3,2, p ]		2304 صفحة
H 4 ×I 2 ( p )	[5,3,3,2, p ]		28800 ب
D 4 ×I 2 ( p )	[3,3 1,1 ,2, p ]		384 صفحة
A 4 × A 1 2	[3,3,3,2,2]		480
BC 4 ×A 1 2	[4,3,3,2,2]		1536
F 4 ×A 1 2	[3,4,3,2,2]		4608
H 4 ×A 1 2	[5,3,3,2,2]		57600
D 4 ×A 1 2	[3,3 1,1 ,2,2]		768
A 3 2	[3,3,2,3,3]		576
A 3 × BC 3	[3,3,2,4,3]		1152
A 3 × H 3	[3,3,2,5,3]		2880
3 2 قبل الميلاد	[4,3,2,4,3]		2304
BC 3 × H 3	[4,3,2,5,3]		5760
H 3 2	[5,3,2,5,3]		14400
A 3 × I 2 ( p )×A 1	[3,3,2, p ,2]		96 بنساً	منشور مزدوج
BC 3 × I 2 ( p )×A 1	[4,3,2, p ,2]		192 صفحة
H 3 × I 2 ( p )×A 1	[5,3,2, p ,2]		480 صفحة
A 3 × A 1 3	[3,3,2,2,2]		192
BC 3 ×A 1 3	[4,3,2,2,2]		384
H 3 ×A 1 3	[5,3,2,2,2]		960
I² ( p ) × I² ( q ) × I² ( r )	[ p ,2, q ,2, r ]		8 pqr	المنشور الثلاثي
I 2 ( p )×I 2 ( q )×A 1 2	[ p ,2, q ,2,2]		16 pq
I 2 ( p )×A 1 4	[ ص 222222]		32 بنساً
أ 1 6	[2,2,2,2,2]		64	6- أورثوتوب