عامل البنية

تعتمد وحدات سعة عامل البنية على الإشعاع الساقط. في علم البلورات بالأشعة السينية، تكون هذه الوحدات مضاعفات لوحدة التشتت بواسطة إلكترون واحد (2.82).${\displaystyle \times 10^{-15}}$م)؛ بالنسبة لتشتت النيوترونات بواسطة نوى الذرات، فإن وحدة طول التشتت هي${\displaystyle 10^{-14}}$يُستخدم الحرف m بشكل شائع.

تستخدم المناقشة أعلاه متجهات الموجة${\displaystyle |\mathbf {k} |=2\pi /\lambda }$و${\displaystyle |\mathbf {q} |=4\pi \sin \theta /\lambda }$ومع ذلك، غالبًا ما تستخدم علم البلورات متجهات الموجة.${\displaystyle |\mathbf {s} |=1/\lambda }$و${\displaystyle |\mathbf {g} |=2\sin \theta /\lambda }$لذلك، عند مقارنة المعادلات من مصادر مختلفة، فإن العامل${\displaystyle 2\pi }$قد تظهر وتختفي، ويتطلب الأمر عناية للحفاظ على كميات ثابتة للحصول على نتائج عددية صحيحة.

في علم البلورات، يُعامل الأساس والشبكة بشكل منفصل. بالنسبة للبلورة المثالية، تُعطي الشبكة الشبكة المقلوبة ، التي تُحدد مواقع (زوايا) الحزم المنعكسة، بينما يُعطي الأساس عامل البنية.${\displaystyle F_{hkl}}$والذي يحدد سعة وطور الحزم المنحرفة:

${\displaystyle F_{hk\ell }=\sum _{j=1}^{N}f_{j}\mathrm {e} ^{[-2\pi i(hx_{j}+ky_{j}+\ell z_{j})]},}$

8

حيث يكون المجموع على جميع الذرات في وحدة الخلية،${\displaystyle x_{j},y_{j},z_{j}}$هي الإحداثيات الموضعية لـ${\displaystyle j}$الذرة رقم -، و${\displaystyle f_{j}}$هو عامل التشتت لـ${\displaystyle j}$الذرة رقم -th. ^{[ 4 ]} الإحداثيات${\displaystyle x_{j},y_{j},z_{j}}$لها اتجاهات وأبعاد متجهات الشبكة${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$أي أن النقطة (0,0,0) تقع عند نقطة الشبكة، وهي نقطة الأصل في الخلية الأولية؛ والنقطة (1,0,0) تقع عند نقطة الشبكة التالية على طولها.${\displaystyle \mathbf {a} }$و (1/2، 1/2، 1/2) تقع في مركز جسم الخلية الأساسية. ${\displaystyle (hkl)}$يُحدد نقطة الشبكة المقلوبة عند${\displaystyle (h\mathbf {a^{*}} ,k\mathbf {b^{*}} ,l\mathbf {c^{*}} )}$والذي يتوافق مع مستوى الفضاء الحقيقي المحدد بواسطة مؤشرات ميلر${\displaystyle (hkl)}$(انظر قانون براغ ).

${\displaystyle F_{hk\ell }}$هي المجموع الاتجاهي للموجات من جميع الذرات داخل الخلية الأولية. وتكون زاوية الطور المرجعية للذرة عند أي نقطة شبكية صفرًا لجميع${\displaystyle hk\ell }$.منذ ذلك الحين${\displaystyle (hx_{j}+ky_{j}+\ell z_{j})}$يكون دائمًا عددًا صحيحًا. ستكون الموجة المتشتتة من ذرة عند (1/2، 0، 0) متوافقة في الطور إذا${\displaystyle h}$يكون متساوياً، خارج الطور إذا${\displaystyle h}$هذا غريب.

مرة أخرى، قد يكون استخدام منظور بديل يعتمد على الالتفاف مفيدًا. بما أن [بنية البلورة] = [الشبكة البلورية]${\displaystyle \ast }$[أساس]،${\displaystyle {\mathcal {F}}}$[بنية البلورة] =${\displaystyle {\mathcal {F}}}$[شعرية]${\displaystyle \times {\mathcal {F}}}$[الأساس]؛ أي التشتت${\displaystyle \propto }$[شبكة متبادلة]${\displaystyle \times }$[عامل البنية].

يمكن إنشاء الشبكة المقلوبة بسهولة في بُعد واحد: للجسيمات على خط ذي دورة${\displaystyle a}$الشبكة المقلوبة عبارة عن مصفوفة لانهائية من النقاط ذات تباعد${\displaystyle 2\pi /a}$في بُعدين، لا يوجد سوى خمس شبكات برافي . تتمتع الشبكات المقلوبة المقابلة بنفس تناظر الشبكة المباشرة. تُعد الشبكات ثنائية الأبعاد مثالية لعرض هندسة حيود بسيطة على شاشة مسطحة، كما هو موضح أدناه. المعادلات (1) إلى (7) لحساب عامل البنية${\displaystyle S(\mathbf {q} )}$يمكن تطبيق ذلك باستخدام متجه تشتت ذي أبعاد محدودة، ويمكن تعريف عامل البنية البلورية في بعدين على النحو التالي:${\displaystyle F_{hk}=\sum _{j=1}^{N}f_{j}\mathrm {e} ^{[-2\pi i(hx_{j}+ky_{j})]}}$.

لكن تذكر أن البلورات ثنائية الأبعاد الحقيقية، مثل الجرافين، موجودة في ثلاثة أبعاد. الشبكة المقلوبة لطبقة سداسية ثنائية الأبعاد موجودة في الفضاء ثلاثي الأبعاد في${\displaystyle xy}$المستوى عبارة عن مصفوفة سداسية من الخطوط المتوازية مع${\displaystyle z}$أو${\displaystyle z^{*}}$المحاور التي تمتد إلى${\displaystyle \pm \infty }$وتتقاطع مع أي مستوى ثابت${\displaystyle z}$في مصفوفة سداسية من النقاط.

يوضح الشكل بناء متجه واحد من شبكة متبادلة ثنائية الأبعاد وعلاقته بتجربة التشتت.

شعاع متوازٍ، ذو متجه موجي${\displaystyle \mathbf {k} _{i}}$يسقط على شبكة مربعة ذات معلمات${\displaystyle a}$يتم الكشف عن الموجة المتناثرة عند زاوية معينة، والتي تحدد متجه الموجة للشعاع الخارج.${\displaystyle \mathbf {k} _{o}}$(بافتراض التشتت المرن ،${\displaystyle |\mathbf {k} _{o}|=|\mathbf {k} _{i}|}$يمكن تعريف متجه التشتت بنفس الطريقة.${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {k} _{o}-\mathbf {k} _{i}}$وبناء النمط التوافقي${\displaystyle \exp(i\mathbf {q} \mathbf {r} )}$في المثال الموضح، تتطابق المسافة بين عناصر هذا النمط مع المسافة بين صفوف الجسيمات:${\displaystyle q=2\pi /a}$وبالتالي، تكون مساهمات جميع الجسيمات في التشتت متوافقة في الطور (تداخل بناء). ومن ثم، تكون الإشارة الكلية في اتجاه${\displaystyle \mathbf {k} _{o}}$قوي، و${\displaystyle \mathbf {q} }$ينتمي إلى الشبكة المقلوبة. ومن السهل إثبات أن هذا التكوين يحقق قانون براغ .

ل${\displaystyle S(q)}$البلورة المحدودة تعني أن المجاميع في المعادلات من 1 إلى 7 أصبحت الآن على نطاق محدود${\displaystyle N}$يُمكن توضيح هذا التأثير بسهولة باستخدام شبكة أحادية البعد من النقاط. مجموع عوامل الطور هو متسلسلة هندسية، ويصبح عامل البنية كما يلي:

${\displaystyle S(q)={\frac {1}{N}}\left|{\frac {1-\mathrm {e} ^{-iNqa}}{1-\mathrm {e} ^{-iqa}}}\right|^{2}={\frac {1}{N}}\left[{\frac {\sin(Nqa/2)}{\sin(qa/2)}}\right]^{2}.}$

يوضح الشكل هذه الوظيفة لقيم مختلفة من${\displaystyle N}$عندما يكون التشتت من كل جسيم متوافقًا في الطور، أي عندما يكون التشتت عند نقطة شبكية متبادلة${\displaystyle q=2k\pi /a}$يجب أن يكون مجموع السعات${\displaystyle \propto N}$وبالتالي فإن أقصى درجات الشدة هي ${\displaystyle \propto N^{2}}$بأخذ التعبير أعلاه لـ${\displaystyle S(q)}$وتقدير الحد${\displaystyle S(q\to 0)}$باستخدام قاعدة لوبيتال ، على سبيل المثال، يتضح أن ${\displaystyle S(q=2k\pi /a)=N}$كما هو موضح في الشكل. عند نقطة المنتصف${\displaystyle S(q=(2k+1)\pi /a)=1/N}$(عن طريق التقييم المباشر) ويتناقص عرض الذروة مثل${\displaystyle 1/N}$في الغالب${\displaystyle N}$عند الحد، تصبح القمم حادة بشكل لانهائي، وهي دوال ديراك دلتا، والشبكة المقلوبة للشبكة المثالية أحادية البعد.

في علم البلورات عندما${\displaystyle F_{hkl}}$يُستخدم،${\displaystyle N}$كبير، ويُؤخذ تأثير الحجم الرسمي على الانعراج على النحو التالي${\displaystyle \left[{\frac {\sin(Nqa/2)}{(qa/2)}}\right]^{2}}$وهو نفس التعبير عن${\displaystyle S(q)}$أعلى بالقرب من نقاط الشبكة المتبادلة،${\displaystyle q\approx 2k\pi /a}$باستخدام الالتفاف، يمكننا وصف بنية البلورة الحقيقية المحدودة على أنها [شبكة]${\displaystyle \ast }$[أساس]${\displaystyle \times }$الدالة المستطيلة ، حيث تكون قيمة الدالة المستطيلة 1 داخل البلورة و0 خارجها. ثم${\displaystyle {\mathcal {F}}}$[بنية البلورة] =${\displaystyle {\mathcal {F}}}$[شعرية]${\displaystyle \times {\mathcal {F}}}$[أساس]${\displaystyle \ast {F}}$[الدالة المستطيلة]؛ أي التشتت${\displaystyle \propto }$[شبكة متبادلة]${\displaystyle \times }$[عامل البنية]${\displaystyle \ast }$[ دالة sinc ]. وبالتالي، تصبح الشدة، التي هي دالة دلتا للموضع بالنسبة للبلورة المثالية،${\textstyle \operatorname {sinc} ^{2}}$دالة حول كل نقطة ذات قيمة عظمى${\displaystyle \propto N^{2}}$عرض${\displaystyle \propto 1/N}$، منطقة${\displaystyle \propto N}$.

يبدأ هذا النموذج للاضطراب في البلورة بعامل البنية لبلورة مثالية. في بُعد واحد للتبسيط، ومع N مستوى، نبدأ بالتعبير المذكور أعلاه لشبكة مثالية محدودة، ثم يتغير هذا الاضطراب فقط.${\displaystyle S(q)}$بضربها بعامل ضربي، لإعطاء ^{[ 1 ]}

${\displaystyle S(q)={\frac {1}{N}}\left[{\frac {\sin(Nqa/2)}{\sin(qa/2)}}\right]^{2}\exp \left(-q^{2}\langle \delta x^{2}\rangle \right)}$

حيث يتم قياس الاضطراب عن طريق متوسط ​​مربع إزاحة المواضع${\displaystyle x_{j}}$من مواقعها في شبكة أحادية البعد مثالية: ${\displaystyle a(j-(N-1)/2)}$، أي،${\displaystyle x_{j}=a(j-(N-1)/2)+\delta x}$، أين${\displaystyle \delta x}$صغير (أقل بكثير من${\displaystyle a}$) إزاحة عشوائية. بالنسبة للاضطراب من النوع الأول، كل إزاحة عشوائية${\displaystyle \delta x}$مستقلة عن غيرها، وبالنسبة لشبكة مثالية. وبالتالي فإن الإزاحات${\displaystyle \delta x}$لا تُدمر الترتيب الانتقالي للبلورة. وهذا يترتب عليه أنه بالنسبة للبلورات اللانهائية (${\displaystyle N\to \infty }$لا يزال عامل البنية يحتوي على قمم براغ لدالة دلتا - ولا يزال عرض القمة يؤول إلى الصفر عندما${\displaystyle N\to \infty }$مع هذا النوع من الاضطراب. ومع ذلك، فإنه يقلل من سعة القمم، وذلك بسبب عامل${\displaystyle q^{2}}$في العامل الأسي، يقلل من الذروات عند القيم الكبيرة${\displaystyle q}$أكثر بكثير من الذروات عند الصغر${\displaystyle q}$.

يتم تقليص الهيكل ببساطة بواسطة${\displaystyle q}$والمصطلح المعتمد على الاضطراب لأن كل ما يفعله الاضطراب من النوع الأول هو تشويه مستويات التشتت، مما يقلل بشكل فعال من عامل الشكل.

في ثلاثة أبعاد، يكون التأثير هو نفسه، حيث يتم تقليل البنية مرة أخرى بعامل ضربي، ويُطلق على هذا العامل غالبًا اسم عامل ديباي-والر . تجدر الإشارة إلى أن عامل ديباي-والر يُعزى غالبًا إلى الحركة الحرارية، أي${\displaystyle \delta x}$يرجع ذلك إلى الحركة الحرارية، ولكن أي إزاحات عشوائية حول شبكة مثالية، وليس فقط الإزاحات الحرارية، ستساهم في عامل ديباي-والر.

مع ذلك، فإن التقلبات التي تؤدي إلى انخفاض الارتباطات بين أزواج الذرات مع ازدياد المسافة بينها، تتسبب في اتساع قمم براغ في عامل البنية للبلورة. لفهم كيفية حدوث ذلك، نأخذ نموذجًا مبسطًا أحادي البعد: مجموعة من الصفائح ذات تباعد متوسط${\displaystyle a}$يتبع الاشتقاق ما ورد في الفصل التاسع من كتاب غينير. ^{[ 6 ]} وقد طوّر هوسمان وزملاؤه هذا النموذج وطبّقوه على عدد من المواد ^{[ 7 ]} على مدى سنوات عديدة. أطلق غينير وزملاؤه على هذا النوع من الاضطراب اسم "الاضطراب من النوع الثاني"، وأشار هوسمان تحديدًا إلى هذا الترتيب البلوري غير الكامل باسم " الترتيب شبه البلوري" . يُعدّ الاضطراب من النوع الأول مصدر عامل ديباي-والر .

لاستخلاص النموذج، نبدأ بتعريف (في بُعد واحد)

${\displaystyle S(q)={\frac {1}{N}}\sum _{j,k=1}^{N}\mathrm {e} ^{-iq(x_{j}-x_{k})}}$

لنبدأ، من باب التبسيط، باعتبار بلورة لا نهائية، أي${\displaystyle N\to \infty }$سننظر فيما يلي في بلورة محدودة ذات اضطراب من النوع الثاني.

بالنسبة لبلورتنا اللانهائية، نريد أن نأخذ في الاعتبار أزواجًا من مواقع الشبكة. لكل مستوى كبير من مستويات البلورة اللانهائية، يوجد جاران.${\displaystyle m}$ على بعد مستويات، لذا يصبح المجموع المزدوج أعلاه مجموعًا واحدًا على أزواج من الجيران على جانبي الذرة، في المواضع${\displaystyle -m}$و${\displaystyle m}$مسافات الشبكة، مرات${\displaystyle N}$إذن،

${\displaystyle S(q)=1+2\sum _{m=1}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\rm {d}}(\Delta x)p_{m}(\Delta x)\cos \left(q\Delta x\right)}$

أين${\displaystyle p_{m}(\Delta x)}$هي دالة كثافة الاحتمال للفصل${\displaystyle \Delta x}$زوج من الطائرات،${\displaystyle m}$المسافات الشبكية بينها. بالنسبة لفصل المستويات المتجاورة، نفترض، تبسيطًا، أن التقلبات حول متوسط ​​المسافة بين المستويات المتجاورة هي تقلبات غاوسية، أي أن

${\displaystyle p_{1}(\Delta x)={\frac {1}{\left(2\pi \sigma _{2}^{2}\right)^{1/2}}}\exp \left[-\left(\Delta x-a\right)^{2}/(2\sigma _{2}^{2})\right]}$

ونفترض أيضاً أن التقلبات بين طائرة وجارتها، وبين هذه الجار والطائرة التالية، مستقلة. عندئذٍ${\displaystyle p_{2}(\Delta x)}$هو مجرد التفاف اثنين${\displaystyle p_{1}(\Delta x)}$إلخ. بما أن التفاف دالتين غاوسيتين هو مجرد دالة غاوسية أخرى، فإننا نحصل على ذلك

${\displaystyle p_{m}(\Delta x)={\frac {1}{\left(2\pi m\sigma _{2}^{2}\right)^{1/2}}}\exp \left[-\left(\Delta x-ma\right)^{2}/(2m\sigma _{2}^{2})\right]}$

المجموع في${\displaystyle S(q)}$إذن، هي مجرد مجموع تحويلات فورييه لدوال غاوسية، وهكذا

${\displaystyle S(q)=1+2\sum _{m=1}^{\infty }r^{m}\cos \left(mqa\right)}$

ل${\displaystyle r=\exp[-q^{2}\sigma _{2}^{2}/2]}$المجموع هو الجزء الحقيقي من المجموع${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }[r\exp(iqa)]^{m}}$وبالتالي فإن عامل البنية للبلورة اللانهائية ولكن غير المنتظمة هو

${\displaystyle S(q)={\frac {1-r^{2}}{1+r^{2}-2r\cos(qa)}}}$

ويبلغ هذا ذروته عند أقصى حد${\displaystyle q_{p}=2n\pi /a}$، أين${\displaystyle \cos(q_{P}a)=1}$لهذه القمم ارتفاعات

${\displaystyle S(q_{P})={\frac {1+r}{1-r}}\approx {\frac {4}{q_{P}^{2}\sigma _{2}^{2}}}={\frac {a^{2}}{n^{2}\pi ^{2}\sigma _{2}^{2}}}}$

أي أن ارتفاع القمم المتتالية يتناقص مع تناقص ترتيب القمة (وهكذا).${\displaystyle q}$) تربيع. على عكس تأثيرات الحجم المحدود التي توسع القمم دون أن تقلل من ارتفاعها، فإن الاضطراب يقلل من ارتفاع القمم. لاحظ أننا نفترض هنا أن الاضطراب ضعيف نسبيًا، بحيث لا تزال لدينا قمم محددة جيدًا نسبيًا. هذه هي النهاية${\displaystyle q\sigma _{2}\ll 1}$، أين${\displaystyle r\simeq 1-q^{2}\sigma _{2}^{2}/2}$في هذه الحالة، بالقرب من الذروة، يمكننا التقريب${\displaystyle \cos(qa)\simeq 1-(\Delta q)^{2}a^{2}/2}$، مع${\displaystyle \Delta q=q-q_{P}}$والحصول على

${\displaystyle S(q)\approx {\frac {S(q_{P})}{1+{\frac {r}{(1-r)^{2}}}{\frac {\Delta q^{2}a^{2}}{2}}}}\approx {\frac {S(q_{P})}{1+{\frac {\Delta q^{2}}{[q_{P}^{2}\sigma _{2}^{2}/a]^{2}/2}}}}}$

وهي دالة لورنتزية أو كوشي ، ذات عرض نصف القيمة القصوى (FWHM).${\displaystyle q_{P}^{2}\sigma _{2}^{2}/a=4\pi ^{2}n^{2}(\sigma _{2}/a)^{2}/a}$أي أن عرض نصف الارتفاع (FWHM) يزداد مع مربع رتبة الذروة، وبالتالي مع مربع متجه الموجة.${\displaystyle q}$في القمة.

وأخيرًا، فإن حاصل ضرب ارتفاع الذروة وعرضها عند نصف الارتفاع (FWHM) ثابت ويساوي${\displaystyle 4/a}$، في${\displaystyle q\sigma _{2}\ll 1}$الحد. بالنسبة للقمم القليلة الأولى حيث${\displaystyle n}$ليس كبيرًا، هذا مجرد${\displaystyle \sigma _{2}/a\ll 1}$حد.

في الحالة الحدية لانعدام التفاعل، يكون النظام عبارة عن غاز مثالي ويكون عامل البنية خالياً تماماً من السمات المميزة:${\displaystyle S(q)=1}$لأنه لا توجد علاقة بين المواضع${\displaystyle \mathbf {R} _{j}}$و${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$من الجسيمات المختلفة (فهي متغيرات عشوائية مستقلة )، لذا فإن متوسط ​​الحدود غير القطرية في المعادلة ( 9 ) يساوي صفرًا:${\displaystyle \langle \exp[-i\mathbf {q} (\mathbf {R} _{j}-\mathbf {R} _{k})]\rangle =\langle \exp(-i\mathbf {q} \mathbf {R} _{j})\rangle \langle \exp(i\mathbf {q} \mathbf {R} _{k})\rangle =0}$.

حتى بالنسبة للجسيمات المتفاعلة، عند متجه تشتت عالٍ، يقترب عامل البنية من 1. وتنتج هذه النتيجة من المعادلة ( 10 )، حيث${\displaystyle S(q)-1}$هو تحويل فورييه للدالة "العادية"${\displaystyle g(r)}$وبالتالي، يؤول إلى الصفر عند القيم العالية للوسيط.${\displaystyle q}$. هذا المنطق لا ينطبق على البلورة المثالية، حيث تظهر دالة التوزيع قممًا حادة بشكل لا نهائي.

في المنخفض-${\displaystyle q}$عند الحد، حيث يتم فحص النظام على نطاقات طول كبيرة، يحتوي عامل البنية على معلومات ديناميكية حرارية، ويرتبط بالانضغاطية متساوية الحرارة${\displaystyle \chi _{T}}$من السائل بواسطة معادلة الانضغاطية :

${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 0}S(q)=\rho \,k_{\mathrm {B} }T\,\chi _{T}=k_{\mathrm {B} }T\left({\frac {\partial \rho }{\partial p}}\right)}$.

في نموذج الكرة الصلبة ، توصف الجسيمات بأنها كرات غير قابلة للاختراق بنصف قطر${\displaystyle R}$وبالتالي، المسافة بين مركزيهما${\displaystyle r\geq 2R}$ولا يحدث أي تفاعل بينهما خارج هذه المسافة. ويمكن كتابة إمكانية تفاعلهما على النحو التالي:

${\displaystyle V(r)={\begin{cases}\infty &{\text{for }}r<2R,\\0&{\text{for }}r\geq 2R.\end{cases}}}$

يمتلك هذا النموذج حلاً تحليلياً ^{[ 9 ]} بتقريب بيركوس-يفيك . وعلى الرغم من تبسيطه الشديد، إلا أنه يوفر وصفاً جيداً للأنظمة التي تتراوح من المعادن السائلة ^{[ 10 ]} إلى المعلقات الغروية ^{[ 11 ]} . في الشكل التوضيحي، يظهر عامل البنية لسائل الكرات الصلبة، وذلك بالنسبة للكسور الحجمية.${\displaystyle \Phi }$من 1% إلى 40%.