موجة مستوية جيبية

في الفيزياء ، تُعدّ الموجة المستوية الجيبية حالة خاصة من الموجات المستوية : وهي مجال تتغير قيمته كدالة جيبية للزمن والمسافة من مستوى ثابت. وتُسمى أيضاً الموجة المستوية أحادية اللون ، ذات التردد الثابت (كما في الإشعاع أحادي اللون ).

لأي وظيفة${\displaystyle {\vec {x}}}$في الفضاء وفي أي وقت${\displaystyle t}$يمكن كتابة قيمة هذا الحقل على النحو التالي: $${\displaystyle F({\vec {x}},t)=A\cos \left(2\pi \nu ({\vec {x}}\cdot {\hat {n}}-ct)+\varphi \right)}$$ أين${\displaystyle {\hat {n}}}$هو متجه ذو طول وحدة ، وهو اتجاه انتشار الموجة، و"${\displaystyle \cdot }$يرمز الرمز " إلى الضرب القياسي لمتجهين. المعامل${\displaystyle A}$يُطلق على الكمية، التي قد تكون كمية قياسية أو كمية متجهة، اسم سعة الموجة؛ والمعامل${\displaystyle \nu }$، كمية قياسية موجبة، ترددها المكاني ؛ والكمية القياسية عديمة الأبعاد${\displaystyle \varphi }$، وهي زاوية بالراديان، هي طورها الأولي أو إزاحة الطور .

الكمية القياسية${\displaystyle d={\vec {x}}\cdot {\hat {n}}}$يعطي الإزاحة (الموجهة) للنقطة${\displaystyle {\vec {x}}}$من المستوى العمودي على${\displaystyle {\hat {n}}}$ويمر عبر نقطة الأصل في نظام الإحداثيات. هذه الكمية ثابتة على كل مستوى عمودي على${\displaystyle {\hat {n}}}$.

في وقت${\displaystyle t=0}$، المجال${\displaystyle F}$يختلف باختلاف الإزاحة${\displaystyle d}$كدالة جيبية $${\displaystyle F({\vec {x}},0)=A\cos \left(2\pi \nu ({\vec {x}}\cdot {\hat {n}})+\varphi \right)}$$ التردد المكاني${\displaystyle \nu }$هو عدد الدورات الكاملة لكل وحدة طول على طول الاتجاه${\displaystyle {\hat {n}}}$. لأي قيمة أخرى لـ${\displaystyle t}$يتم إزاحة قيم الحقل بالمسافة${\displaystyle ct}$في الاتجاه${\displaystyle {\hat {n}}}$أي أن المجال بأكمله يبدو أنه يتحرك في ذلك الاتجاه بسرعة${\displaystyle c}$.

لكل إزاحة${\displaystyle d}$المستوى المتحرك العمودي على${\displaystyle {\hat {n}}}$عن بعد${\displaystyle d+ct}$يُطلق على المستوى الواقع من نقطة الأصل اسم جبهة الموجة . يقع هذا المستوى على مسافة${\displaystyle d}$من الأصل عندما${\displaystyle t=0}$ويسافر في الاتجاه${\displaystyle {\hat {n}}}$وأيضًا مع السرعة${\displaystyle c}$وقيمة الحقل تكون عندئذٍ هي نفسها، وثابتة مع مرور الوقت، عند كل نقطة من نقاطه.

قد تكون الموجة المستوية الجيبية نموذجًا مناسبًا لموجة صوتية داخل حجم من الهواء صغير مقارنةً بمسافة المصدر (شريطة عدم وجود أصداء من الأجسام القريبة). في هذه الحالة،${\displaystyle F({\vec {x}},t)\,}$سيكون حقلاً قياسياً، وهو انحراف ضغط الهواء عند نقطة${\displaystyle {\vec {x}}}$والوقت${\displaystyle t}$، بعيدًا عن مستواه الطبيعي.

عند أي نقطة ثابتة${\displaystyle {\vec {x}}}$سيتغير المجال أيضًا بشكل جيبي مع الزمن؛ وسيكون مضاعفًا قياسيًا للسعة${\displaystyle A}$، بين${\displaystyle +A}$و${\displaystyle -A}$

عندما تكون السعة${\displaystyle A}$هو متجه متعامد مع${\displaystyle {\hat {n}}}$يُقال إن الموجة مستعرضة . وقد تُظهر هذه الموجات استقطابًا ، إذا${\displaystyle A}$يمكن توجيهها على طول اتجاهين غير متوازيين . عندما${\displaystyle A}$هو متجه متوازي مع${\displaystyle {\hat {n}}}$ويُقال إن الموجة طولية . ويتجلى هذان الاحتمالان في موجات القص (S) وموجات الضغط (P) التي تُدرس في علم الزلازل .

تُقدّم الصيغة أعلاه وصفًا "حركيًا" بحتًا للموجة، دون الإشارة إلى أي عملية فيزيائية قد تُسبب حركتها. في الموجة الميكانيكية أو الكهرومغناطيسية التي تنتشر عبر وسط متجانس الخواص ، يكون المتجه${\displaystyle {\hat {n}}}$إن اتجاه الانتشار الظاهري للموجة هو نفسه اتجاه تدفق الطاقة أو الزخم الفعلي. ومع ذلك، قد يختلف هذان الاتجاهان في وسط غير متجانس الخواص . (انظر أيضًا: متجه الموجة#اتجاه متجه الموجة ).

نفس الموجة المستوية الجيبية${\displaystyle F}$يمكن التعبير عن ما سبق بدلالة الجيب بدلاً من جيب التمام باستخدام المتطابقة الأساسية${\displaystyle \cos a=\sin(a+\pi /2)}$$${\displaystyle F({\vec {x}},t)=A\sin \left(2\pi \nu ({\vec {x}}\cdot {\hat {n}}-ct)+\varphi '\right)}$$ أين${\displaystyle \varphi '=\varphi +\pi /2}$وبالتالي فإن قيمة ومعنى إزاحة الطور تعتمد على ما إذا كانت الموجة معرفة بدلالة الجيب أو جيب التمام.

إضافة أي مضاعف صحيح لـ${\displaystyle 2\pi }$إلى المرحلة الأولية${\displaystyle \varphi }$ليس له أي تأثير على المجال. إضافة مضاعف فردي لـ${\displaystyle \pi }$له نفس تأثير إلغاء السعة${\displaystyle A}$إسناد قيمة سالبة للتردد المكاني${\displaystyle \nu }$يؤدي ذلك إلى عكس اتجاه الانتشار، مع تعديل مناسب للمرحلة الأولية.

يمكن كتابة صيغة الموجة المستوية الجيبية بعدة طرق أخرى:

يمكن أيضًا التعبير عن الموجة الجيبية المستوية بدلالة الدالة الأسية المركبة$${\displaystyle e^{\mathrm {i} z}=\exp(\mathrm {i} z)=\cos z+\mathrm {i} \sin z}$$ أين${\displaystyle e}$هي أساس الدالة الأسية الطبيعية ، و ${\displaystyle \mathrm {i} }$الوحدة التخيلية ، تُعرَّف بالمعادلة${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$باستخدام هذه الأدوات، يمكن تعريف الموجة المستوية الأسية المركبة على النحو التالي: $${\displaystyle U({\vec {x}},t)\;=\;A\exp[\mathrm {i} (2\pi \nu ({\vec {x}}\cdot {\hat {n}}-ct)+\varphi )]\;=\;A\exp[\mathrm {i} (2\pi {\vec {x}}\cdot {\vec {v}}-\omega t+\varphi )]}$$ أين${\displaystyle A,\nu ,{\hat {n}},c,{\vec {v}},\omega ,\varphi }$تُعرَّف هذه المعادلة كما هي مُعرَّفة للموجة المستوية الجيبية (الحقيقية). تُعطي هذه المعادلة مجالًا${\displaystyle U({\vec {x}},t)}$والتي قيمتها عدد مركب ، أو متجه ذو إحداثيات مركبة. يصبح التعبير الأصلي للموجة الآن ببساطة الجزء الحقيقي. $${\displaystyle F({\vec {x}},t)=\operatorname {Re} {\left[U({\vec {x}},t)\right]}}$$

لفهم علاقة هذه المعادلة بالمعادلات السابقة، إليكم المعادلة نفسها معبرًا عنها باستخدام دالتي الجيب وجيب التمام. لاحظ أن الحد الأول يساوي الشكل الحقيقي للموجة المستوية التي تم شرحها للتو.

$${\displaystyle {\begin{array}{rcccc}U({\vec {x}},t)&=&A\cos(2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t+\varphi )&+&\mathrm {i} A\sin(2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t+\varphi )\\[1ex]U({\vec {x}},t)&=&F({\vec {x}},t)&+&\mathrm {i} A\sin(2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t+\varphi )\end{array}}}$$

يمكن تبسيط الشكل المركب للموجة المستوية باستخدام سعة ذات قيمة مركبة${\displaystyle C\,}$استبدل السعة ذات القيمة الحقيقية${\displaystyle A\,}$على وجه التحديد ، بما أن الشكل المركب $${\displaystyle \exp[\mathrm {i} (2\pi {\vec {x}}\cdot {\vec {v}}-\omega t+\varphi )]\;=\;\exp[\mathrm {i} (2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t)]\,e^{\mathrm {i} \varphi }}$$ يمكن للمرء استيعاب عامل الطور${\displaystyle e^{\mathrm {i} \varphi }}$إلى سعة مركبة عن طريق السماح${\displaystyle C=Ae^{\mathrm {i} \varphi }}$مما ينتج عنه معادلة أكثر إيجازًا $${\displaystyle U({\vec {x}},t)=C\exp[\mathrm {i} (2\pi {\vec {x}}\cdot {\vec {v}}-\omega t)]}$$

بينما يحتوي الشكل المركب على مكون تخيلي، بعد إجراء الحسابات اللازمة في المستوى المركب، يمكن استخراج قيمته الحقيقية (التي تتوافق مع الموجة التي يمكن للمرء ملاحظتها أو قياسها فعليًا) مما يعطي معادلة ذات قيمة حقيقية تمثل موجة مستوية فعلية. $${\displaystyle \operatorname {Re} [U({\vec {x}},t)]=F({\vec {x}},t)=A\cos(2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t+\varphi )}$$

السبب الرئيسي لاختيار العمل مع الصيغة الأسية المركبة للموجات المستوية هو سهولة التعامل معها جبريًا مقارنةً بدوال الجيب وجيب التمام المثلثية. وبالتحديد، فإن قواعد جمع الزوايا في الدوال الأسية بسيطة للغاية.

بالإضافة إلى ذلك، عند استخدام تقنيات تحليل فورييه للموجات في وسط ذي فقد ، يكون التعامل مع التوهين الناتج أسهل باستخدام معاملات فورييه المركبة . إذا كانت الموجة تنتقل عبر وسط ذي فقد، فإن سعة الموجة لم تعد ثابتة، وبالتالي لم تعد الموجة، بالمعنى الدقيق للكلمة، موجة مستوية حقيقية.

في ميكانيكا الكم، تكون حلول معادلة شرودنغر الموجية بطبيعتها ذات قيم مركبة، وفي أبسط الحالات تتخذ شكلاً مطابقاً لتمثيل الموجة المستوية المركبة المذكور أعلاه. مع ذلك، لم يُضَمَّن الجزء التخيلي في هذه الحالة لغرض التبسيط الرياضي، بل هو في الواقع جزء لا يتجزأ من "الموجة".

في النسبية الخاصة ، يمكن للمرء استخدام تعبير أكثر إيجازًا باستخدام المتجهات الرباعية .

هكذا، $${\displaystyle U({\vec {x}},t)=C\exp[\mathrm {i} (2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t)]}$$ يصبح $${\displaystyle U({\vec {x}})=C\exp[-\mathrm {i} (2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}})]}$$

تقبل المعادلات التي تصف الإشعاع الكهرومغناطيسي في وسط عازل متجانس حلولاً خاصة عبارة عن موجات مستوية جيبية. في الكهرومغناطيسية ، المجال${\displaystyle F}$وهو عادةً المجال الكهربائي أو المجال المغناطيسي أو الكمون الشعاعي ، والذي يكون في وسط متجانس عموديًا على اتجاه الانتشار.${\displaystyle {\hat {n}}}$السعة${\displaystyle A}$ثم يكون متجهًا من نفس النوع، يساوي المجال ذو القوة القصوى. سرعة الانتشار${\displaystyle c}$ستكون سرعة الضوء في الوسط.

تسمح المعادلات التي تصف الاهتزازات في جسم صلب مرن متجانس بحلول على شكل موجات مستوية جيبية، سواء كانت مستعرضة أو طولية. يختلف هذان النوعان في سرعة انتشارهما، والتي تعتمد على كثافة الوسط ومعاملات لاميه .

حقيقة أن الوسط يفرض سرعة انتشار تعني أن المعلمات${\displaystyle \omega }$و${\displaystyle k}$يجب أن تستوفي علاقة تشتت مميزة للوسط. وغالبًا ما تُعبّر علاقة التشتت كدالة.${\displaystyle \omega (k)}$النسبة${\displaystyle \omega /|k|}$يُعطي مقدار سرعة الطور ، والمشتقة${\displaystyle \partial \omega /\partial k}$تعطي سرعة المجموعة . بالنسبة للكهرومغناطيسية في وسط متجانس الخواص ذي معامل انكسار${\displaystyle r}$، سرعة الطور هي${\displaystyle c/r}$، وهو ما يساوي سرعة المجموعة إذا لم يكن المؤشر يعتمد على التردد.

في الأوساط الخطية المنتظمة، يمكن التعبير عن الحل العام لمعادلة الموجة على أنه تراكب لموجات مستوية جيبية. يُعرف هذا النهج بطريقة الطيف الزاوي . يُعد شكل حل الموجة المستوية في الواقع نتيجة عامة للتناظر الانتقالي . وبشكل أعم، بالنسبة للهياكل الدورية ذات التناظر الانتقالي المنفصل، تأخذ الحلول شكل موجات بلوخ ، وأشهرها في المواد الذرية البلورية ، ولكن أيضًا في البلورات الضوئية ومعادلات الموجات الدورية الأخرى. وكتعميم آخر، بالنسبة للهياكل المنتظمة فقط على طول اتجاه واحد.${\displaystyle x}$(مثل دليل الموجة على طول${\displaystyle x}$الاتجاه)، تكون الحلول (أوضاع الموجات الدليلية) على الشكل التالي${\displaystyle exp[i(kx-\omega t)]}$مضروبًا في دالة سعة معينة${\displaystyle a(y,z)}$هذه حالة خاصة من معادلة تفاضلية جزئية قابلة للفصل .

الضوء المستقطب خطيًا

الضوء المستقطب دائريًا

تمثل كتل المتجهات كيف أن مقدار واتجاه المجال الكهربائي ثابتان لمستوى كامل عمودي على اتجاه الحركة.

يُمثل الرسم التوضيحي الأول على اليمين موجة كهرومغناطيسية مستقطبة خطيًا . ولأنها موجة مستوية، فإن كل متجه أزرق ، يُشير إلى الإزاحة العمودية من نقطة على المحور إلى الموجة الجيبية، يُمثل مقدار واتجاه المجال الكهربائي لمستوى كامل عمودي على المحور.

يُمثل الشكل الثاني موجة كهرومغناطيسية مستوية مستقطبة دائريًا . كل متجه أزرق يشير إلى الإزاحة العمودية من نقطة على المحور إلى الحلزون، كما يُمثل أيضًا مقدار واتجاه المجال الكهربائي لمستوى كامل عمودي على المحور.

في كلا الرسمين التوضيحيين، يمتد على طول المحاور سلسلة من المتجهات الزرقاء القصيرة، وهي نسخ مصغرة من المتجهات الزرقاء الطويلة. تُمدد هذه المتجهات الزرقاء القصيرة لتشكل كتلة من المتجهات السوداء التي تملأ حيزًا معينًا. لاحظ أنه بالنسبة لمستوى معين، تكون المتجهات السوداء متطابقة، مما يدل على أن مقدار واتجاه المجال الكهربائي ثابتان على طول ذلك المستوى.

في حالة الضوء المستقطب خطيًا، تتغير شدة المجال من مستوى إلى آخر من قيمة عظمى في اتجاه واحد، إلى الصفر، ثم تعود إلى قيمة عظمى في الاتجاه المعاكس.

في حالة الضوء المستقطب دائريًا، تظل شدة المجال ثابتة من مستوى إلى آخر، لكن اتجاهها يتغير بثبات بطريقة دورانية.

لا يُظهر أيٌّ من الرسمين التوضيحيين المجال المغناطيسي المقابل للمجال الكهربائي ، والذي يتناسب في شدته مع شدة المجال الكهربائي عند كل نقطة في الفضاء، ولكنه عمودي عليه. ستكون رسومات متجهات المجال المغناطيسي مطابقةً تقريبًا لهذه الرسومات، باستثناء أن جميع المتجهات ستُدار بزاوية 90 درجة حول محور الانتشار بحيث تكون عمودية على كلٍّ من اتجاه الانتشار ومتجه المجال الكهربائي.

تُعرف نسبة سعات مكونات المجال الكهربائي والمغناطيسي لموجة مستوية في الفضاء الحر باسم معاوقة الموجة في الفضاء الحر ، وتساوي 376.730313 أوم.

• طريقة الطيف الزاوي
• حزمة متوازية
• الموجات المستوية في الفراغ
• توسيع الموجة المستوية
• الانتشار المستقيم
• معادلة الموجة