الموجة المستعرضة

رسم توضيحي لموجة مستعرضة بسيطة (مستوية) تنتشر عبر وسط مرن في الاتجاه الأفقي، مع إزاحة الجسيمات في الاتجاه الرأسي. يظهر في الرسم طبقة واحدة فقط من المادة.

رسم توضيحي للمجالين الكهربائي (باللون الأحمر) والمغناطيسي (باللون الأزرق) على طول شعاع في موجة ضوئية بسيطة. بالنسبة لأي مستوى عمودي على الشعاع، يكون لكل مجال نفس القيمة عند جميع نقاط المستوى.

انتشار موجة كروية مستعرضة في شبكة ثنائية الأبعاد (نموذج تجريبي)

في الفيزياء ، الموجة المستعرضة هي موجة تتذبذب عموديًا على اتجاه انتشارها. في المقابل، تنتقل الموجة الطولية في اتجاه تذبذبها. تنقل جميع الموجات الطاقة من مكان إلى آخر دون نقل المادة في الوسط الناقل ، إن وُجد. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} الموجات الكهرومغناطيسية مستعرضة دون الحاجة إلى وسط. ^{[ 3 ]} يشير مصطلح "مستعرضة" إلى أن اتجاه الموجة عمودي على حركة جزيئات الوسط الذي تمر عبره، أو في حالة الموجات الكهرومغناطيسية، يكون التذبذب عموديًا على اتجاه الموجة. ^{[ 4 ]}

من الأمثلة البسيطة على ذلك الموجات التي يمكن توليدها على خيط أفقي بتثبيت أحد طرفيه وتحريك الطرف الآخر لأعلى ولأسفل. مثال آخر هو الموجات التي تتولد على غشاء الطبل . تنتشر هذه الموجات في اتجاهات موازية لمستوى الغشاء، لكن كل نقطة على الغشاء نفسه تتحرك لأعلى ولأسفل، عمودية على ذلك المستوى. الضوء مثال آخر على الموجة المستعرضة، حيث تمثل التذبذبات المجالين الكهربائي والمغناطيسي ، اللذين يشيران بزوايا قائمة على أشعة الضوء المثالية التي تصف اتجاه الانتشار.

تحدث الموجات المستعرضة عادةً في المواد الصلبة المرنة نتيجةً لإجهاد القص المتولد؛ وتتمثل التذبذبات في هذه الحالة في إزاحة جزيئات المادة الصلبة بعيدًا عن وضعها الأصلي، في اتجاهات عمودية على انتشار الموجة. تتوافق هذه الإزاحات مع تشوه قص موضعي للمادة. ولذلك، تُسمى الموجة المستعرضة من هذا النوع موجة قص . وبما أن السوائل لا تستطيع مقاومة قوى القص في حالة السكون، فإن انتشار الموجات المستعرضة داخل كتلة السوائل غير ممكن. ^{[ 5 ]} في علم الزلازل ، تُسمى موجات القص أيضًا بالموجات الثانوية أو موجات S.

تُقارن الموجات المستعرضة بالموجات الطولية ، حيث تحدث التذبذبات في اتجاه الموجة. والمثال الشائع للموجة الطولية هو الموجة الصوتية أو "موجة الضغط" في الغازات أو السوائل أو المواد الصلبة، والتي تتسبب تذبذباتها في انضغاط وتمدد المادة التي تنتشر فيها الموجة. تُسمى موجات الضغط أيضًا "الموجات الأولية" أو "موجات P" في الجيوفيزياء، لأنها تظهر أولًا في مخطط الزلازل نظرًا لسرعة انتشارها العالية مقارنةً بموجات القص التي تظهر لاحقًا.

تتضمن أمواج الماء حركات طولية وعرضية. ^{[ 6 ]}

الصياغة الرياضية

رياضياً، أبسط أنواع الموجات المستعرضة هي الموجة المستوية ذات الاستقطاب الخطي الجيبية . وكلمة "مستوية" هنا تعني أن اتجاه الانتشار ثابت وموحد في جميع أنحاء الوسط؛ و" ذات الاستقطاب الخطي " تعني أن اتجاه الإزاحة ثابت أيضاً وموحد في جميع أنحاء الوسط؛ وأن مقدار الإزاحة دالة جيبية للزمن والموقع فقط على طول اتجاه الانتشار.

يمكن التعبير عن حركة هذه الموجة رياضياً على النحو التالي. ${\widehat {د}}$ ليكن اتجاه الانتشار ( متجه طوله وحدة واحدة)، و ${\vec {o}}$ أي نقطة مرجعية في الوسط. ليكن ${\widehat {u}}$ ليكن اتجاه التذبذبات (متجه آخر بطول وحدة عمودي على d ). إزاحة الجسيم عند أي نقطة ${\vec {p}}$ من الوسط وفي أي وقت t (بالثواني) سيكون $S({\vec {p}},t)=A\sin \left((2\pi ){\frac {t-{\frac {({\vec {p}}-{\vec {o}})}{v}}\cdot {\widehat {d}}}{T}}+\phi \right){\widehat {u}}$ حيث A هي سعة الموجة أو قوتها ، و T هي دورتها ، وv هي سرعة انتشارها، و $\phi$ وهي طورها عند t = 0 ثانية عند ${\vec {o}}$ جميع هذه المعاملات أعداد حقيقية . يرمز الرمز "•" إلى الضرب الداخلي لمتجهين.

وبحسب هذه المعادلة، تنتقل الموجة في الاتجاه ${\widehat {د}}$ وتحدث التذبذبات ذهابًا وإيابًا على طول الاتجاه ${\widehat {u}}$ يقال إن الموجة مستقطبة خطياً في الاتجاه ${\widehat {u}}$ .

مراقب ينظر إلى نقطة ثابتة ${\vec {p}}$ سنرى الجسيم يتحرك حركة توافقية بسيطة (جيبية) بفترة زمنية T ثانية، وبأقصى إزاحة للجسيم A في كل اتجاه؛ أي بتردد f = 1/ T دورة تذبذب كاملة كل ثانية. ستُظهر لقطة لجميع الجسيمات عند زمن ثابت t نفس الإزاحة لجميع الجسيمات على كل مستوى عمودي على ${\widehat {د}}$ ، حيث تشكل الإزاحات في المستويات المتتالية نمطًا جيبيًا، مع امتداد كل دورة كاملة على طول ${\widehat {د}}$ حسب الطول الموجي λ = v T = v / f . يتحرك النمط بأكمله في الاتجاه ${\widehat {د}}$ بسرعة V.

تصف المعادلة نفسها موجة ضوئية جيبية مستوية مستقطبة خطيًا، باستثناء أن "الإزاحة" S ( ${\vec {p}}$ يمثل t المجال الكهربائي عند النقطة ${\vec {p}}$ والزمن t . (سيتم وصف المجال المغناطيسي بنفس المعادلة، ولكن باتجاه "إزاحة" عمودي على كليهما) ${\widehat {د}}$ و ${\widehat {u}}$ وسعة مختلفة.)

مبدأ التراكب

في وسط خطي متجانس ، يمكن وصف التذبذبات المعقدة (الاهتزازات في مادة أو تدفقات الضوء) بأنها تراكب للعديد من الموجات الجيبية البسيطة، سواء كانت مستعرضة أو طولية.

تُحدث اهتزازات وتر الكمان موجات مستقرة ، ^{[ 7 ]} على سبيل المثال، والتي يمكن تحليلها على أنها مجموع العديد من الموجات المستعرضة ذات الترددات المختلفة التي تتحرك في اتجاهات متعاكسة، مما يؤدي إلى إزاحة الوتر إما لأعلى أو لأسفل أو من اليسار إلى اليمين. وتصطف بطون هذه الموجات في حالة تراكب.

الاستقطاب الدائري

إذا كان الوسط خطيًا ويسمح باتجاهات إزاحة مستقلة متعددة لنفس اتجاه الحركة ${\widehat {د}}$ ، يمكننا اختيار اتجاهين متعامدين للاستقطاب، والتعبير عن أي موجة مستقطبة خطيًا في أي اتجاه آخر كمزيج خطي (خلط) من هاتين الموجتين.

بدمج موجتين لهما نفس التردد والسرعة واتجاه الانتشار، ولكن بأطوار مختلفة واتجاهات إزاحة مستقلة، نحصل على موجة مستقطبة دائريًا أو إهليلجيًا . في هذه الموجة، تسلك الجسيمات مسارات دائرية أو إهليلجية، بدلًا من التحرك ذهابًا وإيابًا.

قد يُساعد إعادة النظر في التجربة الفكرية المذكورة سابقًا حول الوتر المشدود على فهم الموضوع بشكل أفضل. لاحظ أنه يمكنك أيضًا توليد موجات على الوتر بتحريك يدك يمينًا ويسارًا بدلًا من أعلى وأسفل. هذه نقطة مهمة. هناك اتجاهان مستقلان (متعامدان) يمكن أن تتحرك فيهما الموجات. (ينطبق هذا على أي اتجاهين متعامدين، وقد تم اختيار أعلى وأسفل ويمين ويسار للتوضيح). أي موجات تتولد بتحريك يدك في خط مستقيم هي موجات مستقطبة خطيًا.

والآن، تخيل أنك تحرك يدك في دائرة. ستُطلق حركتك موجة حلزونية على الوتر. أنت تحرك يدك في آنٍ واحد لأعلى ولأسفل ومن جانب إلى آخر. تقع أقصى قيمة للحركة الجانبية على بُعد ربع طول الموجة (أو ربع المسافة حول الدائرة، أي 90 درجة أو π/2 راديان) من أقصى قيمة للحركة لأعلى ولأسفل. عند أي نقطة على طول الوتر، سترسم إزاحة الوتر نفس الدائرة التي ترسمها يدك، ولكن بتأخير زمني يُعادل سرعة انتشار الموجة. لاحظ أيضًا أنه يمكنك اختيار تحريك يدك في دائرة باتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة. تُنتج هذه الحركات الدائرية المتناوبة موجات مستقطبة دائريًا يمينًا ويسارًا.

بقدر ما تكون دائرتك غير منتظمة، فإن الحركة المنتظمة سترسم شكلاً بيضاوياً، وتنتج موجات مستقطبة بيضاوياً. عند أقصى درجات الانحراف المركزي، يتحول الشكل البيضاوي إلى خط مستقيم، مما ينتج استقطاباً خطياً على طول محوره الرئيسي. يمكن دائماً تحليل الحركة البيضاوية إلى حركتين خطيتين متعامدتين مختلفتين في السعة ومتعاكستين في الطور بمقدار 90 درجة، مع كون الاستقطاب الدائري حالة خاصة حيث تتساوى سعة الحركتين الخطيتين.

يتم توليد الاستقطاب الدائري ميكانيكياً على خيط مطاطي، ثم يتم تحويله إلى استقطاب خطي بواسطة مرشح استقطاب ميكانيكي.

الطاقة في موجة مستعرضة في وتر

(لتكن الكثافة الكتلية الخطية للخيط هي μ.)

تُعطى الطاقة الحركية لعنصر كتلة في موجة مستعرضة بالصيغة التالية: $dK={\frac {1}{2}}\ dm\ v_{y}^{2}={\frac {1}{2}}\ \mu dx\ A^{2}\omega ^{2}\cos ^{2}\left({\frac {2\pi x}{\lambda }}-\omega t\right)$

في طول موجي واحد، الطاقة الحركية $K={\frac {1}{2}}\mu A^{2}\omega ^{2}\int _{0}^{\lambda }\cos ^{2}\left({\frac {2\pi x}{\lambda }}-\omega t\right)dx={\frac {1}{4}}\mu A^{2}\omega ^{2}\lambda$

باستخدام قانون هوك، طاقة الوضع في عنصر الكتلة $dU={\frac {1}{2}}\ dm\omega ^{2}\ y^{2}={\frac {1}{2}}\ \mu dx\omega ^{2}\ A^{2}\sin ^{2}\left({\frac {2\pi x}{\lambda }}-\omega t\right)$

والطاقة الكامنة لطول موجي واحد $U={\frac {1}{2}}\mu A^{2}\omega ^{2}\int _{0}^{\lambda }\sin ^{2}\left({\frac {2\pi x}{\lambda }}-\omega t\right)dx={\frac {1}{4}}\mu A^{2}\omega ^{2}\lambda$