تحويل المويجات المنفصلة

تحويل المويجات المنفصلة للإشارة${\displaystyle x}$يتم حسابها بتمريرها عبر سلسلة من المرشحات. أولاً، تُمرر العينات عبر مرشح تمرير منخفض ذي استجابة نبضية.${\displaystyle g}$ مما ينتج عنه تداخل بين الاثنين:

${\displaystyle y[n]=(x*g)[n]=\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{x[k]g[nk]}}$

كما يتم تحليل الإشارة في الوقت نفسه باستخدام مرشح تمرير عالي${\displaystyle h}$تُعطي المخرجات معاملات التفاصيل (من مرشح الترددات العالية) ومعاملات التقريب (من مرشح الترددات المنخفضة). من المهم أن نلاحظ أن هذين المرشحين مرتبطان ببعضهما البعض، ويُعرفان معًا باسم مرشح المرآة التربيعية .

مع ذلك، بما أنه قد تم حذف نصف ترددات الإشارة، يمكن تجاهل نصف العينات وفقًا لقاعدة نايكويست. مخرج مرشح الترددات المنخفضة${\displaystyle g}$ثم يتم أخذ عينة فرعية من الإشارة الموضحة في الرسم البياني أعلاه بمقدار 2، ثم تتم معالجتها مرة أخرى بتمريرها عبر مرشح تمرير منخفض جديد.${\displaystyle g}$ومرشح تمرير عالي${\displaystyle h}$بنصف تردد القطع للتردد السابق، أي:

${\displaystyle y_{\mathrm {low} }[n]=\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{x[k]g[2n-k]}}$

${\displaystyle y_{\mathrm {high} }[n]=\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{x[k]h[2n-k]}}$

أدى هذا التفكيك إلى خفض الدقة الزمنية إلى النصف، حيث أن نصف مخرج كل مرشح فقط يمثل الإشارة. ومع ذلك، فإن كل مخرج يمتلك نصف نطاق تردد المدخل، وبالتالي تضاعفت دقة التردد.

باستخدام عامل أخذ العينات الفرعية${\displaystyle \downarrow }$

${\displaystyle (y\downarrow k)[n]=y[kn]}$

يمكن كتابة الملخص أعلاه بشكل أكثر إيجازاً.

${\displaystyle y_{\mathrm {low} }=(x*g)\downarrow 2}$

${\displaystyle y_{\mathrm {high} }=(x*h)\downarrow 2}$

لكن حساب الالتفاف الكامل${\displaystyle x*g}$سيؤدي تقليل حجم العينة لاحقًا إلى إهدار وقت الحساب.

مخطط الرفع هو عملية تحسين يتم فيها دمج هاتين العمليتين الحسابيتين.

تُكرر هذه العملية التحليلية لزيادة دقة التردد، ثم تُحلل معاملات التقريب باستخدام مرشحات تمرير الترددات العالية والمنخفضة، ثم تُخفض معدل أخذ العينات. يُمثل هذا بشجرة ثنائية ، حيث تُمثل كل عقدة فضاءً فرعيًا بموقع زمني-ترددي مختلف. تُعرف هذه الشجرة باسم بنك المرشحات .

في كل مستوى من مستويات الرسم التخطيطي أعلاه، يتم تحليل الإشارة إلى ترددات منخفضة وعالية. وبسبب عملية التحليل، يجب أن تكون إشارة الإدخال من مضاعفات الترددات المنخفضة والعالية.${\displaystyle 2^{n}}$أين${\displaystyle n}$هو عدد المستويات.

على سبيل المثال، إشارة تحتوي على 32 عينة، ونطاق تردد من 0 إلى${\displaystyle f_{n}}$ويتم إنتاج 3 مستويات من التحلل، و4 مقاييس إخراج:

مستوى	الترددات	عينات
3	${\displaystyle 0}$ل${\displaystyle {f_{n}}/8}$	4
	${\displaystyle {f_{n}}/8}$ل${\displaystyle {f_{n}}/4}$	4
2	${\displaystyle {f_{n}}/4}$ل${\displaystyle {f_{n}}/2}$	8
1	${\displaystyle {f_{n}}/2}$ل${\displaystyle f_{n}}$	16

يمكن تفسير تطبيق بنك المرشحات للمويجات على أنه حساب معاملات المويجات لمجموعة منفصلة من المويجات الفرعية لمويجة أم معينة${\displaystyle \psi (t)}$في حالة تحويل المويجات المنفصلة، ​​يتم إزاحة المويجة الأم وتغيير حجمها بقوى العدد اثنين.

${\displaystyle \psi _{j,k}(t)={\frac {1}{\sqrt {2^{j}}}}\psi \left({\frac {t-k2^{j}}{2^{j}}}\right)}$

أين${\displaystyle j}$هو معامل المقياس و${\displaystyle k}$يمثل معامل الإزاحة، وكلاهما عدد صحيح.

تذكر أن معامل الموجة${\displaystyle \gamma }$إشارة${\displaystyle x(t)}$هو إسقاط${\displaystyle x(t)}$على موجة صغيرة، ودع${\displaystyle x(t)}$ليكن إشارة بطول${\displaystyle 2^{N}}$في حالة الموجة الفرعية في العائلة المنفصلة المذكورة أعلاه،

${\displaystyle \gamma _{jk}=\int _{-\infty }^{\infty }x(t){\frac {1}{\sqrt {2^{j}}}}\psi \left({\frac {t-k2^{j}}{2^{j}}}\right)dt}$

الآن قم بالإصلاح${\displaystyle j}$على نطاق معين، بحيث${\displaystyle \gamma _{jk}}$هي وظيفة من${\displaystyle k}$فقط. في ضوء المعادلة المذكورة أعلاه،${\displaystyle \gamma _{jk}}$يمكن اعتبارها عملية التفاف لـ${\displaystyle x(t)}$باستخدام نسخة موسعة، منعكسة، ومُعَيَّرة من الموجة الأم،${\displaystyle h(t)={\frac {1}{\sqrt {2^{j}}}}\psi \left({\frac {-t}{2^{j}}}\right)}$، تم أخذ عينات منها عند النقاط${\displaystyle 1,2^{j},2\cdot {2^{j}},...,2^{N}}$لكن هذا هو بالضبط ما تعطيه معاملات التفاصيل عند المستوى${\displaystyle j}$من تحويل المويجات المنفصلة. لذلك، لاختيار مناسب لـ${\displaystyle h[n]}$و${\displaystyle g[n]}$، تتوافق معاملات التفاصيل لمجموعة المرشحات تمامًا مع معامل الموجة لمجموعة منفصلة من الموجات الفرعية لموجة أم معينة${\displaystyle \psi (t)}$.

كمثال على ذلك، لنأخذ في الاعتبار موجة هار المنفصلة ، ​​التي تكون موجتها الأم هي${\displaystyle \psi =[1,-1]}$ثم يكون الشكل الموسع والمنعكس والمُعَيَّر لهذه الموجة هو${\displaystyle h[n]={\frac {1}{\sqrt {2}}}[-1,1]}$، وهو في الواقع مرشح التحلل عالي التمرير لتحويل موجة هار المنفصلة.

يستغرق تنفيذ بنك المرشحات لتحويل المويجات المنفصلة O( N ) فقط في بعض الحالات، مقارنةً بـ O( N  log N ) لتحويل فورييه السريع . 

لاحظ أنه إذا${\displaystyle g[n]}$و${\displaystyle h[n]}$إذا كان طول كليهما ثابتًا (أي أن طولهما مستقل عن N)، فإن${\displaystyle x*h}$و${\displaystyle x*g}$تستغرق كل عملية وقتًا قدره O( N ) . يقوم بنك مرشحات الموجات الصغيرة بإجراء كل من عمليتي الالتفاف هاتين، اللتين تبلغ مدة كل منهما O( N ) ، ثم يقسم الإشارة إلى فرعين بحجم N/2. ولكنه يقسم بشكل متكرر الفرع العلوي الملتف مع${\displaystyle g[n]}$(على عكس تحويل فورييه السريع، الذي يقسم الفرع العلوي والفرع السفلي بشكل متكرر). وهذا يؤدي إلى علاقة التكرار التالية

${\displaystyle T(N)=2N+T\left({\frac {N}{2}}\right)}$

مما يؤدي إلى زمن O( N ) للعملية بأكملها، كما يمكن إثباته من خلال توسيع متسلسلة هندسية للعلاقة المذكورة أعلاه.

على سبيل المثال، يكون تحويل هار الموجي المنفصل خطيًا، لأنه في هذه الحالة${\displaystyle h[n]}$و${\displaystyle g[n]}$طولها ثابت  2.

${\displaystyle h[n]=\left[{\frac {-{\sqrt {2}}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right]g[n]=\left[{\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right]}$

تضمن خاصية التمركز الموضعي للمويجات، بالإضافة إلى تعقيدها الزمني O( N )، إمكانية حساب التحويل بشكل فوري (على أساس التدفق). وتتناقض هذه الخاصية تمامًا مع تحويل فورييه السريع (FFT)، الذي يتطلب الوصول إلى الإشارة بأكملها دفعة واحدة. وينطبق هذا أيضًا على التحويل متعدد المقاييس والتحويلات متعددة الأبعاد (مثل تحويل المويجات المنفصلة ثنائي الأبعاد). ^{[ 1 ]}

اخترع عالم الرياضيات المجري ألفريد هار أول تحويل موجي منفصل (DWT) . وذلك لمدخلات ممثلة بقائمة من${\displaystyle 2^{n}}$يمكن اعتبار تحويل هار الموجي بمثابة اقتران بين قيم الإدخال، وتخزين الفرق، ثم تمرير المجموع. تتكرر هذه العملية بشكل متكرر، حيث يتم اقتران المجاميع لتحديد المقياس التالي، مما يؤدي إلى${\displaystyle 2^{n}-1}$الفروقات والمجموع النهائي.

صاغت عالمة الرياضيات البلجيكية إنغريد دوبيشيز في عام 1988 المجموعة الأكثر شيوعًا من تحويلات المويجات المنفصلة. تعتمد هذه الصياغة على استخدام علاقات التكرار لتوليد عينات منفصلة أدق تدريجيًا من دالة مويجة أم ضمنية؛ حيث تبلغ دقة كل عينة ضعف دقة العينة السابقة. في ورقتها البحثية الرائدة، اشتقّت دوبيشيز عائلة من المويجات ، أولها مويجة هار. وقد ازداد الاهتمام بهذا المجال بشكل كبير منذ ذلك الحين، وتم تطوير العديد من المتغيرات لمويجات دوبيشيز الأصلية. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

تحويل المويجات المعقدة ثنائية الشجرة (${\displaystyle \mathbb {C} }$يُعدّ تحويل المويجات المنفصلة (WT) تحسينًا حديثًا نسبيًا لتحويل المويجات المنفصلة (DWT)، ويتميز بخصائص إضافية مهمة: فهو يكاد يكون ثابتًا عند تغيير الإزاحة، وانتقائي الاتجاه في بُعدين أو أكثر. ويحقق ذلك بمعامل تكرار منخفض للغاية.${\displaystyle 2^{d}}$، وهي أقل بكثير من تحويل المويجات المنفصلة غير المُخفَّض. الشجرة الثنائية متعددة الأبعاد (MD)${\displaystyle \mathbb {C} }$تُعتبر WT غير قابلة للفصل ولكنها تعتمد على بنك مرشحات قابل للفصل وفعال حسابيًا (FB). ^{[ 5 ]}

تشمل الأشكال الأخرى لتحويل المويجات المنفصلة مويجة لو غال-تاباتاباي (LGT) 5/3 التي طورها ديدييه لو غال وعلي ج. تاباتاباي عام 1988 (المستخدمة في JPEG 2000 أو JPEG XS )، ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} ومويجة ذات الحدين QMF التي طورها علي ناجي أكانسو عام 1990، ^{[ 9 ]} وخوارزمية تقسيم المجموعات في الأشجار الهرمية (SPIHT) التي طورها أمير سعيد مع ويليام أ. بيرلمان عام 1996، ^{[ 10 ]} وتحويل المويجات غير المُخفَّض (حيث يتم حذف عملية تقليل العينات)، وتحويل نيولاند (حيث يتم تكوين أساس متعامد من المويجات من مرشحات القبعة العلوية المصممة بشكل مناسب في فضاء التردد ). كما ترتبط تحويلات حزم المويجات بتحويل المويجات المنفصلة. ويُعد تحويل المويجات المركب شكلاً آخر من أشكالها.

يتوفر كود جافا كامل لتحويل المويجات المنفصلة أحادي وثنائي الأبعاد باستخدام موجات هار ، ودوبيشيز ، وكويفليت ، وليجندر من مشروع JWave مفتوح المصدر. علاوة على ذلك، يمكن العثور هنا على تطبيق سريع لتحويل المويجات المنفصلة ثنائية التعامد CDF 9/7 بلغة C ، المستخدم في معيار ضغط الصور JPEG 2000 (مؤرشف بتاريخ 5 مارس 2012).

فيما يلي مثال على موجة هار في لغة جافا :

public static int [] discreteHaarWaveletTransform ( int [] input ) { // تفترض هذه الدالة أن طول المدخلات يساوي 2^n، حيث n> 1 int [ ] output = new int [ input.length ] ;for ( int length = input.length / 2 ; length = length / 2 ) { // length هو الطول الحالي لمنطقة العمل في مصفوفة الإخراج. // يبدأ length من نصف حجم المصفوفة، ويتم تقليله إلى النصف في كل تكرار حتى يصبح 1. for ( int i = 0 ; i < length ; ++ i ) { int sum = input [ i * 2 ] + input [ i * 2 + 1 ] ; int difference = input [ i * 2 ] - input [ i * 2 + 1 ] ; output [ i ] = sum ; output [ length + i ] = difference ; } if ( length == 1 ) { return output ; }// تبديل المصفوفات لتنفيذ التكرار التالي System.arraycopy ( output , 0 , input , 0 , length ); } }

يوضح الشكل على اليمين مثالاً لتطبيق الكود المذكور أعلاه لحساب معاملات موجة هار على شكل موجة صوتية. يُبرز هذا المثال خاصيتين أساسيتين لتحويل الموجة:

• تتميز الإشارات الطبيعية عادةً بدرجة من السلاسة، مما يجعلها متفرقة في مجال المويجات. يوجد عدد أقل بكثير من المكونات المهمة في مجال المويجات في هذا المثال مقارنةً بمجال الزمن ، وتتركز معظم المكونات المهمة نحو المعاملات الأقل دقة على اليسار. لذا، فإن الإشارات الطبيعية قابلة للضغط في مجال المويجات.
• يُعد تحويل المويجات تمثيلاً متعدد الدقة لنطاق تمرير الإشارة. ويتضح ذلك مباشرةً من تعريف بنك المرشحات لتحويل المويجات المنفصلة الوارد في هذه المقالة. بالنسبة لإشارة طولها${\displaystyle 2^{N}}$، المعاملات في النطاق${\displaystyle [2^{N-j},2^{N-j+1}]}$يمثل نسخة من الإشارة الأصلية التي تقع ضمن نطاق التمرير${\displaystyle \left[{\frac {\pi }{2^{j}}},{\frac {\pi }{2^{j-1}}}\right]}$لهذا السبب، عند تكبير هذه النطاقات من معاملات المويجات، تبدو بنيتها مشابهة جدًا للإشارة الأصلية. النطاقات الأقرب إلى اليسار (الأكبر)${\displaystyle j}$في الترميز أعلاه)، تمثل تمثيلات أكثر خشونة للإشارة، بينما تمثل النطاقات الموجودة على اليمين تفاصيل أدق.

بسبب عوامل تغيير المعدل في مجموعة المرشحات، فإن تحويل المويجات المنفصل ليس ثابتًا مع الزمن، بل هو في الواقع شديد الحساسية لمحاذاة الإشارة زمنيًا. ولمعالجة مشكلة التغير الزمني في تحويلات المويجات، اقترح مالات وزونغ خوارزمية جديدة لتمثيل الإشارة باستخدام المويجات، وهي خوارزمية ثابتة مع الإزاحات الزمنية. ^{[ 11 ]} وفقًا لهذه الخوارزمية، المسماة TI-DWT، يتم أخذ عينات من معامل المقياس فقط على طول المتتالية الثنائية 2^j (حيث j ∈ Z)، ويتم حساب تحويل المويجات لكل نقطة زمنية. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

تُستخدم الموجات الصغيرة غالبًا لإزالة التشويش من الإشارات ثنائية الأبعاد، مثل الصور. يوضح المثال التالي ثلاث خطوات لإزالة التشويش الأبيض الغاوسي غير المرغوب فيه من الصورة المشوشة المعروضة. تم استخدام برنامج Matlab لاستيراد الصورة وتصفيتها.

تتمثل الخطوة الأولى في اختيار نوع الموجة ومستوى التحلل N. في هذه الحالة، تم اختيار موجات ثنائية التعامد 3.5 بمستوى N يساوي 10. تُستخدم الموجات ثنائية التعامد بشكل شائع في معالجة الصور للكشف عن الضوضاء البيضاء الغاوسية وتصفيتها، ^{[ 22 ]} نظرًا لتباينها العالي بين قيم شدة البكسلات المتجاورة. باستخدام هذه الموجات، يتم إجراء تحويل موجي على الصورة ثنائية الأبعاد.

بعد تحليل ملف الصورة، تتمثل الخطوة التالية في تحديد قيم العتبة لكل مستوى من 1 إلى N. تُعد استراتيجية بيرجيه-ماسارت ^{[ 23 ]} طريقة شائعة لاختيار هذه العتبات. باستخدام هذه العملية، يتم تحديد عتبات فردية لـ N = 10 مستويات. ويُمثل تطبيق هذه العتبات الجزء الأكبر من عملية ترشيح الإشارة.

تتمثل الخطوة الأخيرة في إعادة بناء الصورة من المستويات المُعدّلة. ويتم ذلك باستخدام تحويل المويجات العكسي. تظهر الصورة الناتجة، بعد إزالة الضوضاء الغاوسية البيضاء، أسفل الصورة الأصلية. عند ترشيح أي نوع من البيانات، من المهم تحديد نسبة الإشارة إلى الضوضاء للنتيجة. في هذه الحالة، بلغت نسبة الإشارة إلى الضوضاء للصورة المشوشة مقارنةً بالصورة الأصلية 30.4958%، بينما بلغت نسبة الإشارة إلى الضوضاء للصورة بعد إزالة الضوضاء 32.5525%. وبذلك، بلغ التحسن الناتج عن ترشيح المويجات زيادة في نسبة الإشارة إلى الضوضاء قدرها 2.0567%. ^{[ 24 ]}

يمكن أن يؤدي اختيار موجات ومستويات واستراتيجيات عتبة مختلفة إلى أنواع مختلفة من الترشيح. في هذا المثال، تم اختيار إزالة الضوضاء الغاوسية البيضاء. مع ذلك، كان من الممكن تضخيمها بسهولة باستخدام عتبة مختلفة.

لتوضيح الاختلافات والتشابهات بين تحويل المويجات المنفصلة وتحويل فورييه المنفصل ، ضع في اعتبارك DWT وDFT للتسلسل التالي: (1,0,0,0)، نبضة وحدة .

تحتوي تحويلة فورييه المنفصلة على أساس متعامد ( مصفوفة تحويلة فورييه المنفصلة ):

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-i&-1&i\\1&-1&1&-1\\1&i&-1&-i\end{bmatrix}}}$

بينما يمتلك تحويل المويجات المنفصلة باستخدام موجات هار للبيانات ذات الطول 4 أساسًا متعامدًا في صفوف:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&0&0\\0&0&1&-1\end{bmatrix}}}$

(لتبسيط الترميز، يتم استخدام الأعداد الصحيحة، لذا فإن القواعد متعامدة ولكنها ليست متعامدة معيارية .)

تشمل الملاحظات الأولية ما يلي:

• تختلف الموجات الجيبية فقط في ترددها. فالأولى لا تُكمل أي دورة، والثانية تُكمل دورة كاملة، والثالثة تُكمل دورتين، والرابعة تُكمل ثلاث دورات (وهو ما يُعادل إكمال دورة واحدة في الاتجاه المعاكس). ويمكن تمثيل اختلافات الطور بضرب متجه أساس مُعطى بثابت مُركب.
• على النقيض من ذلك، تتميز الموجات الصغيرة بترددها وموقعها. وكما في السابق، تُكمل الموجة الأولى صفر دورة، بينما تُكمل الثانية دورة واحدة. مع ذلك، فإن للموجتين الثالثة والرابعة نفس التردد، وهو ضعف تردد الموجة الأولى. وبدلاً من الاختلاف في التردد، يكمن الاختلاف في الموقع ؛ فالموجة الثالثة لا تساوي الصفر في أول عنصرين، والموجة الرابعة لا تساوي الصفر في آخر عنصرين.

${\displaystyle {\begin{aligned}(1,0,0,0)&={\frac {1}{4}}(1,1,1,1)+{\frac {1}{4}}(1,1,-1,-1)+{\frac {1}{2}}(1,-1,0,0)\qquad {\text{Haar DWT}}\\(1,0,0,0)&={\frac {1}{4}}(1,1,1,1)+{\frac {1}{4}}(1,i,-1,-i)+{\frac {1}{4}}(1,-1,1,-1)+{\frac {1}{4}}(1,-i,-1,i)\qquad {\text{DFT}}\end{aligned}}}$

يوضح تحويل المويجات المنفصلة (DWT) عملية التموضع: يعطي الحد (1,1,1,1) متوسط ​​قيمة الإشارة، ويضع الحد (1,1,–1,–1) الإشارة في الجانب الأيسر من المجال، ويضعها الحد (1,–1,0,0) في الجانب الأيسر من الجانب الأيسر، ويؤدي الاقتطاع في أي مرحلة إلى نسخة مخفضة من الإشارة:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}}\right)\\&\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},0,0\right)\qquad {\text{2-term truncation}}\\&\left(1,0,0,0\right)\end{aligned}}}$

وعلى النقيض من ذلك، تعبر تحويلة فورييه المنفصلة عن التسلسل من خلال تداخل الموجات ذات الترددات المختلفة - وبالتالي فإن اقتطاع السلسلة ينتج عنه نسخة مرشحة بترددات منخفضة من السلسلة:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}}\right)\\&\left({\frac {3}{4}},{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}}\right)\qquad {\text{2-term truncation}}\\&\left(1,0,0,0\right)\end{aligned}}}$

تجدر الإشارة إلى أن التقريب الأوسط (ذو الحدين) يختلف. فمن منظور مجال التردد، يُعد هذا التقريب أفضل، لكن من منظور مجال الزمن، يعاني من عيوب، منها: انخفاض القيمة ، ووجود قيمة سالبة في إحدى القيم، على الرغم من أن السلسلة الأصلية غير سالبة في جميع المواضع، بالإضافة إلى ظاهرة الرنين حيث يكون الطرف الأيمن غير صفري، على عكس تحويل المويجات. في المقابل، يُظهر تقريب فورييه ذروةً بشكل صحيح، وتقع جميع النقاط ضمن النطاق المحدد.${\displaystyle 1/4}$على الرغم من وجود خطأ في جميع النقاط، إلا أن تقريب المويجات يضع ذروة في النصف الأيسر، لكنه لا يضع ذروة عند النقطة الأولى، وبينما يكون دقيقًا تمامًا لنصف القيم (مما يعكس الموقع)، إلا أن لديه خطأً بنسبة${\displaystyle 1/2}$أما بالنسبة للقيم الأخرى.

يوضح هذا أنواع المقايضات بين هذه التحويلات، وكيف أن تحويل DWT يوفر سلوكًا مفضلًا في بعض النواحي، لا سيما لنمذجة العابرين.

تعتمد تقنية العلامات المائية باستخدام تحويل المويجات المنفصلة (DCT-DWT) على تغيير معاملات المويجات لمجموعات معاملات التردد المتوسط ​​في الصورة الأصلية المحولة باستخدام تحويل المويجات المنفصلة (DWT) ذي الخمسة مستويات، ثم تطبيق تحويلات DCT على مجموعات المعاملات المختارة. وقد اقترحت براسانالاكشمي ب. طريقةً ^{[ 25 ]} تستخدم النطاق الفرعي للتردد HL في مجموعات معاملات التردد المتوسط ​​LHx وHLx في صورة محولة باستخدام تحويل المويجات المنفصلة (DWT) ذي الخمسة مستويات.

تختار هذه الخوارزمية مستوىً أقل دقةً من تحويل المويجات المنفصلة (DWT) من حيث عدم وضوح الصورة ومتانتها، لتطبيق تحويل جيب التمام المنفصل (DCT) القائم على كتل 4×4 عليها. ونتيجةً لذلك، يمكن تحقيق مستويات أعلى من عدم وضوح الصورة ومتانتها . كما تُستخدم عملية الترشيح المسبق قبل استخراج العلامة المائية، والتحسين، وترشيح لابلاس غاوس (LoG) ، مما يزيد من الفرق بين معلومات العلامة المائية والصورة الأصلية.

يتم وصف الفكرة الأساسية لتحويل المويجات المنفصلة (DWT) للصورة ثنائية الأبعاد على النحو التالي: يتم أولاً تقسيم الصورة إلى أربعة أجزاء من المكونات الفرعية عالية ومتوسطة ومنخفضة التردد (أي LL1 وHL1 وLH1 وHH1) عن طريق أخذ عينات فرعية حرجة من القنوات الأفقية والرأسية باستخدام مرشحات المكونات الفرعية.

تمثل المكونات الفرعية HL1 وLH1 وHH1 معاملات الموجة ذات المقياس الأدق. يتم تحليل المكون الفرعي LL1 وإعادة أخذ عينات منه بشكل دقيق للحصول على مكونات الموجة التالية ذات المقياس الأوسع. تُكرر هذه العملية عدة مرات، حسب التطبيق المستخدم.

تُعتبر المكونات عالية التردد مناسبة لتضمين العلامة المائية لاحتوائها على معلومات الحواف، ولأن العين البشرية أقل حساسية لتغيرات الحواف. في خوارزميات العلامات المائية، إلى جانب إخفاء العلامة، يكمن الشاغل الرئيسي في اختيار مكونات التردد المناسبة لتضمينها، لضمان مقاومتها للهجمات المحتملة التي قد تتعرض لها الصورة المرسلة. تتميز تقنيات مجال التحويل بخصائص فريدة للمجالات البديلة، ما يُتيح لها معالجة قيود المجال المكاني، بالإضافة إلى مزايا إضافية.

تُخضع الصورة الأصلية لعملية دمج العلامات المائية باستخدام تحويل المويجات المنفصلة (DWT) بخمسة مستويات. يضمن تضمين العلامة المائية في نطاقات الترددات المتوسطة LLx درجة عالية من عدم الكشف عنها ومتانتها. ونتيجة لذلك، يتم اختيار مجموعات معاملات LLx في المستوى الخامس لزيادة متانة العلامة المائية ضد هجمات العلامات المائية الشائعة، وخاصة هجمات إضافة الضوضاء والتشويش، مع تأثير ضئيل أو معدوم على جودة الصورة. بعد ذلك، يتم تطبيق تحويل جيب التمام المنفصل (DCT) على مجموعات معاملات DWT المختارة، ويتم تضمين متواليات شبه عشوائية في الترددات المتوسطة. يرد أدناه شرح لإجراء تضمين العلامة المائية:

1. اقرأ صورة الغلاف الأولى، بحجم N×N.
2. يتم الحصول مبدئيًا على مجموعات المعاملات متعددة الدقة الأربعة غير المتداخلة LL1 و HL1 و LH1 و HH1.
3. يتم إجراء عملية التحلل حتى 5 مستويات ويتم الحصول على المكونات الفرعية للتردد {HH1، HL1، LH1، {{HH2، HL2، LH2، {HH3، HL3، LH3، {HH4، HL4، LH4، {HH5، HL5، LH5، LL5}} }} }} عن طريق حساب DWT المستوى الخامس للصورة I.
4. قسّم مجموعات المعاملات الأربع الأخيرة: HH5 و HL5 و LH5 و LL5 إلى كتل 4 × 4.
5. يتم تطبيق تحويل جيب التمام المنفصل (DCT) على كل كتلة في مجموعات المعاملات المختارة. وقد تم اختيار هذه المجموعات من المعاملات للتحقق من عدم إمكانية إدراك الخوارزميات وقوتها على حد سواء.
6. قم بتشويش صورة بصمة الإصبع للحصول على العلامة المائية المشوشة WS (i, j).
7. أعد صياغة صورة العلامة المائية المشوشة إلى متجه من الأصفار والآحاد.
8. يتم توليد سلسلتين عشوائيتين زائفتين غير مرتبطتين من المفتاح المستخرج من وريد راحة اليد. يجب أن يساوي عدد العناصر في السلسلتين العشوائيتين الزائفتين عدد عناصر النطاق المتوسط ​​لمجموعات معاملات تحويل المويجات المنفصلة (DWT) بعد تحويلها باستخدام تحويل جيب التمام المنفصل (DCT).
9. يتم تضمين سلسلتين شبه عشوائيتين بمعامل تضخيم α في كتل 4x4 المحولة باستخدام تحويل جيب التمام المنفصل (DCT) لمجموعات معاملات تحويل المويجات المنفصلة (DWT) المختارة للصورة الأصلية. بدلاً من تضمين جميع معاملات كتلة DCT، يتم تطبيق التضمين فقط على معاملات النطاق المتوسط. إذا رُمز إلى X على أنها مصفوفة معاملات النطاق المتوسط ​​للكتلة المحولة باستخدام DCT، فسيتم التضمين باستخدام بت العلامة المائية 0، ويتم تحديث X' لتصبح X+∝*PN ₀ ، watermarkbit=0، ثم يتم التضمين باستخدام بت العلامة المائية 1، ويتم تحديث X' لتصبح X+∝*PN _1. يتم إجراء تحويل جيب التمام المنفصل العكسي (IDCT) على كل كتلة بعد تعديل معاملات النطاق المتوسط ​​لتضمين بتات العلامة المائية.
10. لإنتاج صورة المضيف ذات العلامة المائية، قم بإجراء تحويل DWT العكسي (IDWT) على الصورة المحولة بواسطة DWT، بما في ذلك مجموعات المعاملات المعدلة.