النظام المتعامد ثنائياً

في الرياضيات ، النظام المتعامد الثنائي هو زوج من عائلات المتجهات المفهرسة$${\displaystyle {\tilde {v}}_{i}{\text{ في }}E{\text{ و }}{\tilde {u}}_{i}{\text{ في }}F}$$ بحيث $${\displaystyle \left\langle {\tilde {v}}_{i},{\tilde {u}}_{j}\right\rangle =\delta _{i,j},}$$ أين${\displaystyle E}$و${\displaystyle F}$تشكل زوجًا من الفضاءات المتجهة الطوبولوجية التي تكون في حالة ازدواجية ،${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$هي عملية تحويل ثنائية الخطية و${\displaystyle \delta _{i,j}}$هي دلتا كرونكر .

ومن الأمثلة على ذلك زوج من مجموعات المتجهات الذاتية اليسرى واليمنى لمصفوفة، مفهرسة بالقيمة الذاتية ، إذا كانت القيم الذاتية متميزة. ^{[ 1 ]}

نظام ثنائي التعامد يكون فيه${\displaystyle E=F}$و${\displaystyle {\tilde {v}}_{i}={\tilde {u}}_{i}}$هو نظام متعامد معياري .

يرتبط بالنظام المتعامد الثنائي الإسقاط $${\displaystyle P:=\sum _{i\in I}{\tilde {u}}_{i}\otimes {\tilde {v}}_{i},}$$ أين${\displaystyle (u\otimes v)(x):=u\langle v,x\rangle$ ;} صورتها هي الامتداد الخطي لـ${\displaystyle \left\{{\tilde {u}}_{i}:i\in I\right\},}$والنواة هي​${\displaystyle \left\{\left\langle {\tilde {v}}_{i},\cdot \right\rangle =0:i\in I\right\}.}$

بالنظر إلى مجموعة من المتجهات التي قد تكون غير متعامدة${\displaystyle \mathbf {u} =\left(u_{i}\right)}$و${\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{i}\right)}$الإسقاط ذو الصلة هو $${\displaystyle P=\sum _{i,j}u_{i}\left(\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle ^{-1}\right)_{j,i}\otimes v_{j},}$$ أين${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }$هي المصفوفة ذات المدخلات${\displaystyle \left(\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle \right)_{i,j}=\left\langle v_{i},u_{j}\right\rangle .}$

• ${\displaystyle {\tilde {u}}_{i}:=(IP)u_{i},}$و${\displaystyle {\tilde {v}}_{i}:=(IP)^{*}v_{i}}$إذن فهو نظام ثنائي التعامد.

• مفهوم الأساس المزدوج في الجبر الخطي 
• الفضاء الثنائي - في الرياضيات، هو فضاء متجهي للأشكال الخطية 
• زوج ثنائي – زوج ثنائي من مساحات المتجهات. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• التعامد – معاني مختلفة للمصطلحات 
• التعامد – عملية في الجبر الخطي 

• جان ديودوني ، في الأنظمة البيولوجية المتعامدة، ميشيغان الرياضيات. ج.2 (1953)، رقم. 1، 7-20