أنظمة مزدوجة

أالاقتران أوالاقترانعبر حقل${\displaystyle \mathbb {K} }$هو ثلاثي${\displaystyle (X,Y,b),}$والتي يمكن الإشارة إليها أيضًا بـ${\displaystyle b(X,Y),}$يتكون من فضاءين متجهين${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$زيادة${\displaystyle \mathbb {K} }$وخريطة ثنائية الخطية${\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} }$يُطلق عليها اسم الخريطة الثنائية الخطية المرتبطة بالاقتران ، ^{[ 1 ]} أو ببساطة خريطة الاقتران أو شكلها الثنائي الخطي . وتصف الأمثلة هنا فقط الحالات التي${\displaystyle \mathbb {K} }$إما أن تكون أعدادًا حقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$أو الأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} }$لكن النظرية الرياضية عامة.

لكل${\displaystyle x\in X}$، يُعرِّف $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(x,\,\cdot \,):\,&Y&&\to &&\,\mathbb {K} \\&y&&\mapsto &&\,b(x,y)\end{alignedat}}}$$ ولكل${\displaystyle y\in Y,}$يُعرِّف $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(\,\cdot \,,y):\,&X&&\to &&\,\mathbb {K} \\&x&&\mapsto &&\,b(x,y).\end{alignedat}}}$$ كل${\displaystyle b(x,\,\cdot \,)}$دالة خطية على${\displaystyle Y}$وكل${\displaystyle b(\,\cdot \,,y)}$دالة خطية على${\displaystyle X}$لذلك كلاهما $${\displaystyle b(X,\,\cdot \,):=\{b(x,\,\cdot \,):x\in X\}\qquad {\text{ و }}\qquad b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\},}$$ تشكل فضاءات متجهة للدوال الخطية .

من الممارسات الشائعة كتابة${\displaystyle \langle x,y\rangle }$بدلاً من${\displaystyle b(x,y)}$، وفي بعض الحالات قد يُشار إلى الاقتران بـ${\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }$بدلاً من${\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ومع ذلك، سيحتفظ هذا المقال بحق استخدام${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$بالنسبة لخريطة التقييم المتعارف عليها (المحددة أدناه) وذلك لتجنب الالتباس لدى القراء غير الملمين بهذا الموضوع.

زوج${\displaystyle (X,Y,b)}$يُطلق عليه اسمنظام مزدوج ، أزوج مزدوج ، ^{[ 2 ]} أو أالازدواجية​${\displaystyle \mathbb {K} }$إذا كان الشكل الثنائي الخطي${\displaystyle b}$غير منحلة ، مما يعني أنها تحقق بديهيتي الفصل التاليتين:

1. ${\displaystyle Y}$يفصل (يميز) نقاط${\displaystyle X}$: لو${\displaystyle x\in X}$بحيث${\displaystyle b(x,\,\cdot \,)=0}$ثم${\displaystyle x=0}$أو بصورة مكافئة، لجميع القيم غير الصفرية${\displaystyle x\in X}$الخريطة${\displaystyle b(x,\,\cdot \,):Y\to \mathbb {K} }$ليس متطابقًا${\displaystyle 0}$(أي يوجد${\displaystyle y\in Y}$بحيث${\displaystyle b(x,y)\neq 0}$لكل${\displaystyle x\in X}$);
2. ${\displaystyle X}$يفصل (يميز) نقاط${\displaystyle Y}$: لو${\displaystyle y\in Y}$بحيث${\displaystyle b(\,\cdot \,,y)=0}$ثم${\displaystyle y=0}$أو بصورة مكافئة، لجميع القيم غير الصفرية${\displaystyle y\in Y,}$الخريطة${\displaystyle b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} }$ليس متطابقًا${\displaystyle 0}$(أي يوجد${\displaystyle x\in X}$بحيث${\displaystyle b(x,y)\neq 0}$لكل${\displaystyle y\in Y}$).

في هذه الحالة${\displaystyle b}$هو غير منحط ، ويمكن للمرء أن يقول ذلك${\displaystyle b}$أماكن${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$في الازدواجية (أو، بشكل زائد ولكن صريح، في الازدواجية المنفصلة )، و${\displaystyle b}$يُطلق عليه اسم اقتران الازدواجية للثلاثية${\displaystyle (X,Y,b)}$[ ^{1 ] [ 2 ]​}

مجموعة فرعية${\displaystyle S}$ل${\displaystyle Y}$يُطلق عليه اسمالمجموع إذا لكل${\displaystyle x\in X}$،$${\displaystyle b(x,s)=0\quad {\text{ لجميع }}s\in S}$$يشير إلى${\displaystyle x=0.}$ مجموعة فرعية كاملة من${\displaystyle X}$يُعرَّف بشكل مماثل (انظر الحاشية). ^{[ ملاحظة 1 ]} وبالتالي${\displaystyle X}$يفصل بين نقاط${\displaystyle Y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle X}$هي مجموعة جزئية كاملة من${\displaystyle X}$وبالمثل بالنسبة لـ${\displaystyle Y}$.

المتجهات${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$متعامدة ، مكتوبة${\displaystyle x\perp y}$، لو${\displaystyle b(x,y)=0}$مجموعتان فرعيتان${\displaystyle R\subseteq X}$و${\displaystyle S\subseteq Y}$متعامدة ، مكتوبة${\displaystyle R\perp S}$، لو${\displaystyle b(R,S)=\{0\}}$أي إذا${\displaystyle b(r,s)=0}$للجميع${\displaystyle r\in R}$و${\displaystyle s\in S}$يتم تعريف تعريف المجموعة الجزئية المتعامدة مع متجه بشكل مماثل .

المتمم المتعامد أو المبيد لمجموعة جزئية${\displaystyle R\subseteq X}$يكون $${\displaystyle R^{\perp }:=\{y\in Y:R\perp y\}:=\{y\in Y:b(R,y)=\{0\}\}}$$هكذا${\displaystyle R}$هي مجموعة جزئية كاملة من${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا${\displaystyle R^{\perp }}$يساوي${\displaystyle \{0\}}$.

بافتراض ثلاثة${\displaystyle (X,Y,b)}$تحديد اقتران على${\displaystyle \mathbb {K} }$المجموعة القطبية المطلقة أو المجموعة القطبية لمجموعة جزئية${\displaystyle A}$ل${\displaystyle X}$هي المجموعة:$${\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y:\sup _{x\in A}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}$$بشكل متناظر ، المجموعة القطبية المطلقة أو المجموعة القطبية لمجموعة جزئية${\displaystyle B}$ل${\displaystyle Y}$يُرمز إليه بـ${\displaystyle B^{\circ }}$ومحددة بواسطة $${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x\in X:\sup _{y\in B}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}$$

لاستخدام نظام محاسبي يساعد في تتبع التناظر العكسي بين جانبي الازدواجية، القطبية المطلقة لمجموعة فرعية${\displaystyle B}$ل${\displaystyle Y}$قد يُطلق عليه أيضًا اسم القطبية المطلقة أو القطبية لـ${\displaystyle B}$ويمكن الإشارة إليه بـ${\displaystyle ^{\circ }B}$[ ^{3 ]​}

القطب الشمالي${\displaystyle B^{\circ }}$هي بالضرورة مجموعة محدبة تحتوي على${\displaystyle 0\in Y}$أين إذا${\displaystyle B}$إذا كان متوازناً، فكذلك${\displaystyle B^{\circ }}$وإذا${\displaystyle B}$هو فضاء متجهي جزئي من${\displaystyle X}$وكذلك هو الحال${\displaystyle B^{\circ }}$فضاء متجهي جزئي من${\displaystyle Y.}$^{[ 4 ]}

لو${\displaystyle A}$هو فضاء متجهي جزئي من${\displaystyle X,}$ثم${\displaystyle A^{\circ }=A^{\perp }}$وهذا يساوي أيضًا القطب الحقيقي لـ${\displaystyle A.}$لو${\displaystyle A\subseteq X}$ثم ثنائي القطب${\displaystyle A}$، المشار إليه${\displaystyle A^{\circ \circ }}$، هو القطب المكمل المتعامد لـ${\displaystyle A}$أي المجموعة${\displaystyle {}^{\circ }\left(A^{\perp }\right).}$وبالمثل، إذا${\displaystyle B\subseteq Y}$ثم ثنائي القطب${\displaystyle B}$يكون${\displaystyle B^{\circ \circ }:=\left({}^{\circ }B\right)^{\circ }.}$

بالنظر إلى زوج${\displaystyle (X,Y,b),}$حدد زوجًا جديدًا${\displaystyle (Y,X,d)}$أين${\displaystyle d(y,x):=b(x,y)}$للجميع${\displaystyle x\in X}$و${\displaystyle y\in Y}$[ ^{1 ]​}

هناك موضوع ثابت في نظرية الازدواجية مفاده أن أي تعريف للاقتران${\displaystyle (X,Y,b)}$يوجد تعريف ثنائي مماثل للاقتران${\displaystyle (Y,X,d).}$

الاصطلاح والتعريف : بالنظر إلى أي تعريف للاقتران${\displaystyle (X,Y,b),}$يمكن الحصول على تعريف مزدوج بتطبيقه على الاقتران${\displaystyle (Y,X,d).}$تنطبق هذه الاتفاقيات أيضاً على النظريات.

على سبيل المثال، إذا "${\displaystyle X}$يميز نقاط${\displaystyle Y}$"(على التوالي، "${\displaystyle S}$هي مجموعة جزئية كاملة من${\displaystyle Y}$إذا تم تعريف ") كما هو مذكور أعلاه، فإن هذا الاصطلاح ينتج عنه على الفور التعريف المزدوج لـ "${\displaystyle Y}$يميز نقاط${\displaystyle X}$"(على التوالي، "${\displaystyle S}$هي مجموعة جزئية كاملة من${\displaystyle X}$").

هذه الصيغة التالية شائعة الاستخدام تقريبًا وتسمح لنا بتجنب تخصيص رمز لـ${\displaystyle d.}$

الاصطلاحات والرموز : إذا كان تعريفًا ورموزه للزوج${\displaystyle (X,Y,b)}$يعتمد ذلك على ترتيب${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$(على سبيل المثال، تعريف طوبولوجيا ماكي)${\displaystyle \tau (X,Y,b)}$على${\displaystyle X}$ثم عن طريق تبديل ترتيب${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y,}$إذن، المقصود هو أن التعريف ينطبق على${\displaystyle (Y,X,d)}$(استمرارًا للمثال نفسه، الطوبولوجيا)${\displaystyle \tau (Y,X,b)}$في الواقع، سيشير ذلك إلى الطوبولوجيا${\displaystyle \tau (Y,X,d)}$).

على سبيل المثال، بمجرد أن تصبح الطوبولوجيا الضعيفة${\displaystyle X}$يُعرَّف، ويُشار إليه بـ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ثم سيتم تطبيق هذا التعريف المزدوج تلقائيًا على عملية الاقتران.${\displaystyle (Y,X,d)}$وذلك للحصول على تعريف الطوبولوجيا الضعيفة على${\displaystyle Y}$ويمكن الإشارة إلى هذه البنية الطوبولوجية بـ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$بدلاً من${\displaystyle \sigma (Y,X,d)}$.

لنفترض أن${\displaystyle (X,Y,b)}$هو اقتران،${\displaystyle M}$هو فضاء متجهي جزئي من${\displaystyle X,}$و${\displaystyle N}$هو فضاء متجهي جزئي من${\displaystyle Y}$ثم تقييد​${\displaystyle (X,Y,b)}$ل${\displaystyle M\times N}$هو الاقتران${\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right).}$لو${\displaystyle (X,Y,b)}$إذا كانت ثنائية، فمن الممكن أن يفشل القيد في أن يكون ثنائية (على سبيل المثال إذا${\displaystyle Y\neq \{0\}}$و${\displaystyle N=\{0\}}$).

ستستخدم هذه المقالة الممارسة الشائعة للإشارة إلى القيد.${\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right)}$بواسطة${\displaystyle (M,N,b).}$

لنفترض أن${\displaystyle X}$فضاء متجهي ولتكن${\displaystyle X^{\#}}$يرمز إلى الفضاء الجبري الثنائي لـ${\displaystyle X}$(أي فضاء جميع الدوال الخطية على${\displaystyle X}$هناك ازدواجية أساسية.${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$أين${\displaystyle c\left(x,x^{\prime }\right)=\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x),}$والتي تسمى خريطة التقييم أو الدالة الثنائية الخطية الطبيعية أو المتعارف عليها${\displaystyle X\times X^{\#}.}$ لاحظ على وجه الخصوص أنه بالنسبة لأي${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\#},}$${\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)}$هي مجرد طريقة أخرى للدلالة على${\displaystyle x^{\prime }}$؛ أي${\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)=x^{\prime }(\,\cdot \,)=x^{\prime }.}$

لو${\displaystyle N}$هو فضاء متجهي جزئي من${\displaystyle X^{\#}}$ثم تقييد${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$ل${\displaystyle X\times N}$يُطلق عليه اسم الاقتران المتعارف عليه، أما إذا كان هذا الاقتران ثنائيًا، فيُطلق عليه اسم الثنائية المتعارف عليها . من الواضح أن${\displaystyle X}$يميز دائماً بين نقاط${\displaystyle N}$لذا فإن الاقتران المتعارف عليه هو نظام ثنائي إذا وفقط إذا${\displaystyle N}$يفصل بين نقاط${\displaystyle X.}$ أصبحت الرموز التالية شائعة الاستخدام في نظرية الازدواجية.

سيتم الإشارة إلى خريطة التقييم بواسطة${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x)}$(بدلاً من بواسطة${\displaystyle c}$) و${\displaystyle \langle X,N\rangle }$سيتم كتابتها بدلاً من${\displaystyle (X,N,c).}$

الافتراض : كما هو شائع، إذا${\displaystyle X}$هو فضاء متجهي و${\displaystyle N}$هو فضاء متجهي للدوال الخطية على${\displaystyle X,}$ثم، ما لم يُذكر خلاف ذلك، سيُفترض أنها مرتبطة بالاقتران المتعارف عليه.${\displaystyle \langle X,N\rangle .}$

لو${\displaystyle N}$هو فضاء متجهي جزئي من${\displaystyle X^{\#}}$ثم${\displaystyle X}$يميز نقاط${\displaystyle N}$(أو ما يعادل ذلك،${\displaystyle (X,N,c)}$(ثنائية) إذا وفقط إذا${\displaystyle N}$يميز نقاط${\displaystyle X,}$أو ما يعادل ذلك إذا${\displaystyle N}$هو إجمالي (أي،${\displaystyle n(x)=0}$للجميع${\displaystyle n\in N}$يشير إلى${\displaystyle x=0}$). ^{[ 1 ]}

يفترض${\displaystyle X}$هو فضاء متجهي طوبولوجي (TVS) ذو فضاء ثنائي متصل${\displaystyle X^{\prime }.}$ ثم تقييد الازدواجية المتعارف عليها${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$ل${\displaystyle X}$×${\displaystyle X^{\prime }}$يُحدد عملية الاقتران${\displaystyle \left(X,X^{\prime },c{\big \vert }_{X\times X^{\prime }}\right)}$والتي${\displaystyle X}$يفصل بين نقاط${\displaystyle X^{\prime }.}$ لو${\displaystyle X^{\prime }}$يفصل بين نقاط${\displaystyle X}$(وهذا صحيح إذا، على سبيل المثال،${\displaystyle X}$إذا كان فضاء هاوسدورف محدبًا محليًا، فإن هذا الاقتران يشكل ازدواجية. ^{[ 2 ]}

الافتراض : كما هو شائع، كلما${\displaystyle X}$إذا كان TVS، فسيتم افتراض ارتباطه بالزوج المتعارف عليه ما لم يُذكر خلاف ذلك، دون تعليق.${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .}$

تُظهر النتيجة التالية أن الدوال الخطية المستمرة على TVS هي بالضبط تلك الدوال الخطية المحدودة في جوار الأصل.

مساحة ما قبل هيلبرت${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$يكون الاقتران ثنائيًا إذا وفقط إذا${\displaystyle H}$هو فضاء متجهي على${\displaystyle \mathbb {R} }$أو${\displaystyle H}$له أبعاد${\displaystyle 0.}$يفترض هنا أن الشكل شبه الخطي${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$المرافق متجانس في إحداثيته الثانية ومتجانس في إحداثيته الأولى.

• لو${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$إذن، هل هذا فضاء هيلبرت حقيقي ؟${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$يشكل نظامًا مزدوجًا.
• لو${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$إذا كان فضاء هيلبرت معقدًا${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$يشكل نظامًا ثنائيًا إذا وفقط إذا${\displaystyle \operatorname {dim} H=0.}$لو${\displaystyle H}$إذا كان الأمر غير تافه${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$لا يشكل حتى اقترانًا لأن الناتج الداخلي خطي نصفي وليس خطيًا ثنائيًا. ^{[ 1 ]}

لنفترض أن${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$هو فضاء ما قبل هيلبرت معقد، ويُشار إلى الضرب القياسي فيه كالمعتاد بالتجاور أو بنقطة.${\displaystyle \cdot .}$ حدد الخريطة $${\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,:\mathbb {C} \times H\to H\quad {\text{ by }}\quad c\perp x:={\overline {c}}x,}$$ حيث يستخدم الجانب الأيمن الضرب القياسي لـ${\displaystyle H.}$ يترك${\displaystyle {\overline {H}}}$يرمز إلى فضاء المتجهات المترافقة المعقدة لـ${\displaystyle H,}$أين${\displaystyle {\overline {H}}}$يشير إلى المجموعة الجمعية لـ${\displaystyle (H,+)}$(لذا فإن جمع المتجهات في${\displaystyle {\overline {H}}}$هو مطابق لجمع المتجهات في${\displaystyle H}$) ولكن مع الضرب القياسي في${\displaystyle {\overline {H}}}$كونها الخريطة${\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,}$(بدلاً من الضرب القياسي الذي${\displaystyle H}$(مُزوَّد بـ).

الخريطة${\displaystyle b:H\times {\overline {H}}\to \mathbb {C} }$محدد بواسطة${\displaystyle b(x,y):=\langle x,y\rangle }$هي خطية في كلا الإحداثيين ^{[ ملاحظة 2 ]،} وبالتالي${\displaystyle \left(H,{\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}$يشكل اقترانًا ثنائيًا.

• يفترض${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2},}$${\displaystyle Y=\mathbb {R} ^{3},}$وللجميع${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\in X{\text{ and }}\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\in Y,}$يترك$${\displaystyle b\left(\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\right):=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}.}$$ثم${\displaystyle (X,Y,b)}$هو اقتران بحيث${\displaystyle X}$يميز نقاط${\displaystyle Y,}$لكن${\displaystyle Y}$لا يميز بين نقاط${\displaystyle X.}$بالإضافة إلى،${\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:X\perp y\}=\{(0,0,z):z\in \mathbb {R} \}.}$
• يترك${\displaystyle 0<p<\infty ,}$${\displaystyle X:=L^{p}(\mu ),}$${\displaystyle Y:=L^{q}(\mu )}$(أين${\displaystyle q}$بحيث${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$)، و${\displaystyle b(f,g):=\int fg\,\mathrm {d} \mu .}$ثم${\displaystyle (X,Y,b)}$هو نظام ثنائي.
• يترك${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$لتكن فضاءات متجهة على نفس الحقل${\displaystyle \mathbb {K} .}$ثم الشكل الثنائي الخطي${\displaystyle b\left(x\otimes y,x^{*}\otimes y^{*}\right)=\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \left\langle y^{\prime },y\right\rangle }$أماكن${\displaystyle X\times Y}$و${\displaystyle X^{\#}\times Y^{\#}}$في الازدواجية. ^{[ 2 ]}
• فضاء التسلسل${\displaystyle X}$ونسختها التجريبية المزدوجة${\displaystyle Y:=X^{\beta }}$مع تعريف الخريطة الثنائية الخطية على النحو التالي${\displaystyle \langle x,y\rangle$ :=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}} لـ${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle y\in X^{\beta }}$يشكل نظامًا مزدوجًا.

مجموعة فرعية${\displaystyle S}$ل${\displaystyle X}$يكون${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-محدود إذا وفقط إذا $${\displaystyle \sup _{}|b(S,y)|<\infty \quad {\text{ for all }}y\in Y,}$$أين${\displaystyle b(S,y):=\{b(s,y):s\in S\}.}$

لو${\displaystyle (X,Y,b)}$إذا كان هناك اقتران، فإن ما يلي متكافئ:

1. ${\displaystyle X}$يميز نقاط${\displaystyle Y}$؛
2. الخريطة${\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}$يُعرّف الحقن من${\displaystyle Y}$في الفضاء الجبري الثنائي لـ${\displaystyle X}$; ^{[ 1 ]}
3. ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$هو هاوسدورف . ^{[ 1 ]}

تُعدّ النظرية التالية ذات أهمية جوهرية لنظرية الازدواجية لأنها تُحدد بشكل كامل الفضاء المزدوج المتصل لـ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$

وبالتالي، فإن الفضاء الثنائي المستمر لـ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$يكون $${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))^{\prime }=b(\,\cdot \,,Y):=\left\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\right\}.}$$

فيما يتعلق بالاقتران المتعارف عليه، إذا${\displaystyle X}$هو جهاز تلفزيوني ذو فضاء مزدوج مستمر${\displaystyle X^{\prime }}$يفصل النقاط على${\displaystyle X}$(أي بحيث${\displaystyle \left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)}$هو هاوسدورف، مما يعني أن${\displaystyle X}$(هو بالضرورة هاوسدورف) ثم الفضاء الثنائي المستمر لـ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$يساوي مجموعة جميع "التقييم عند نقطة"${\displaystyle x}$"الخرائط كـ${\displaystyle x}$نطاقات${\displaystyle X}$(أي الخريطة التي ترسل${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$ل${\displaystyle x^{\prime }(x)}$). يُكتب هذا عادةً على النحو التالي $${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)^{\prime }=X\qquad {\text{ or }}\qquad \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }=X.}$$ هذه الحقيقة المهمة للغاية هي السبب في أن نتائج الطوبولوجيا القطبية على الفضاءات الثنائية المستمرة، مثل الطوبولوجيا الثنائية القوية،${\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right)}$على${\displaystyle X^{\prime }}$على سبيل المثال، يمكن تطبيق ذلك أيضًا في كثير من الأحيان على TVS الأصلي${\displaystyle X}$؛ على سبيل المثال،${\displaystyle X}$يتم التعرف عليه من خلال${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$يعني ذلك أن الطوبولوجيا${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\sigma }^{\prime }\right)}$على${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$يمكن بدلاً من ذلك اعتبارها طوبولوجيا على${\displaystyle X.}$ علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle X^{\prime }}$تتمتع ببنية طوبولوجية أدق من${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ثم الفضاء الثنائي المتصل لـ${\displaystyle X^{\prime }}$سيحتوي بالضرورة على${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$كمجموعة فرعية. على سبيل المثال، عندما${\displaystyle X^{\prime }}$تتمتع بطوبولوجيا ثنائية قوية (ويرمز لها بـ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$) ثم $${\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }~\supseteq ~\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }~=~X}$$ وهذا (من بين أمور أخرى) يسمح بـ${\displaystyle X}$أن يكون مزودًا بطوبولوجيا الفضاء الجزئي المستحثة عليه، على سبيل المثال، الطوبولوجيا الثنائية القوية${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)}$(تُسمى هذه الطوبولوجيا أيضًا بالطوبولوجيا الثنائية القوية ، وتظهر في نظرية الفضاءات الانعكاسية : فضاءات هاوسدورف المحدبة محليًا TVS)${\displaystyle X}$يُقال إنها شبه انعكاسية إذا${\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }=X}$وسيُطلق عليه اسم انعكاسي إذا كان بالإضافة إلى ذلك، الطوبولوجيا الثنائية القوية${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)}$على${\displaystyle X}$يساوي${\displaystyle X}$الطوبولوجيا الأصلية/الابتدائية).

لو${\displaystyle (X,Y,b)}$إذن، يكون اقترانًا لأي مجموعة جزئية${\displaystyle S}$ل${\displaystyle X}$:

• ${\displaystyle S^{\perp }=(\operatorname {span} S)^{\perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\operatorname {span} S\right)^{\perp }=S^{\perp \perp \perp }}$وهذه المجموعة هي${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$مغلق؛ ^{[ 1 ]}
• ${\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}\operatorname {span} S\right)}$; ^{[ 1 ]}
  • وبالتالي إذا${\displaystyle S}$هو${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$الفضاء المتجهي المغلق لـ${\displaystyle X}$ثم${\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }.}$
• لو${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}$هي عائلة من${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$الفضاءات المتجهة المغلقة لـ${\displaystyle X}$ثم $${\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\left(\operatorname {span} \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}^{\perp }\right)\right).}$$^{[ 1 ]}
• لو${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}$هي عائلة من المجموعات الفرعية من${\displaystyle X}$ثم ${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\bigcap _{i\in I}S_{i}^{\perp }.}$^{[ 1 ]}

لو${\displaystyle X}$إذا كان فضاءً معيارياً في ظل الازدواجية المتعارف عليها،${\displaystyle S^{\perp }}$هل تم إغلاق المعيار في${\displaystyle X^{\prime }}$و${\displaystyle S^{\perp \perp }}$هل تم إغلاق المعيار في${\displaystyle X.}$^{[ 1 ]}

لنفترض أن${\displaystyle M}$هو فضاء متجهي جزئي من${\displaystyle X}$ودع${\displaystyle (M,Y,b)}$يشير إلى تقييد${\displaystyle (X,Y,b)}$ل${\displaystyle M\times Y.}$ الطوبولوجيا الضعيفة${\displaystyle \sigma (M,Y,b)}$على${\displaystyle M}$وهي مطابقة لطوبولوجيا الفضاء الفرعي التي${\displaystyle M}$يرث من${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$

أيضًا،${\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}$هو فضاء مزدوج (حيث${\displaystyle Y/M^{\perp }}$وسائل${\displaystyle Y/\left(M^{\perp }\right)}$) أين${\displaystyle b{\big \vert }_{M}:M\times Y/M^{\perp }\to \mathbb {K} }$يتم تعريفها بواسطة $${\displaystyle \left(m,y+M^{\perp }\right)\mapsto b(m,y).}$$

الطوبولوجيا${\displaystyle \sigma \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}$يساوي طوبولوجيا الفضاء الجزئي التي${\displaystyle M}$يرث من${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$^{[ 5 ]} علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$إذا كان نظامًا مزدوجًا، فهو كذلك${\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right).}$^{[ 5 ]}

لنفترض أن${\displaystyle M}$هو فضاء متجهي جزئي من${\displaystyle X.}$ ثم${\displaystyle \left(X/M,M^{\perp },b/M\right)}$هو مساحة مزدوجة حيث${\displaystyle b/M:X/M\times M^{\perp }\to \mathbb {K} }$يتم تعريفها بواسطة $${\displaystyle (x+M,y)\mapsto b(x,y).}$$

الطوبولوجيا${\displaystyle \sigma \left(X/M,M^{\perp }\right)}$وهي مطابقة لطوبولوجيا القسمة المعتادة الناتجة عن${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$على${\displaystyle X/M.}$^{[ 5 ]}

لو${\displaystyle X}$هو فضاء محدب محليًا، وإذا${\displaystyle H}$هي مجموعة جزئية من الفضاء الثنائي المتصل${\displaystyle X^{\prime },}$ثم${\displaystyle H}$يكون${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$-محدود إذا وفقط إذا${\displaystyle H\subseteq B^{\circ }}$لبعض البراميل${\displaystyle B}$في${\displaystyle X.}$^{[ 1 ]}

النتائج التالية مهمة لتحديد التضاريس القطبية.

لو${\displaystyle (X,Y,b)}$هو اقتران و${\displaystyle A\subseteq X,}$ثم: ^{[ 1 ]}

1. القطب الشمالي${\displaystyle A^{\circ }}$ل${\displaystyle A}$هي مجموعة فرعية مغلقة من${\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b)).}$
2. الأقطاب الخاصة بالمجموعات التالية متطابقة: (أ)${\displaystyle A}$(ب) الغلاف المحدب لـ${\displaystyle A}$(ج) الهيكل المتوازن لـ${\displaystyle A}$(د) الـ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$إغلاق${\displaystyle A}$(هـ) الـ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$- إغلاق الهيكل المحدب المتوازن لـ${\displaystyle A.}$
3. نظرية ثنائية القطب : ثنائية القطب${\displaystyle A,}$يرمز إليه بـ${\displaystyle A^{\circ \circ },}$يساوي${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$- إغلاق الهيكل المحدب المتوازن لـ${\displaystyle A.}$
   • إن نظرية ثنائية القطب على وجه الخصوص "تعتبر أداة لا غنى عنها في التعامل مع الثنائيات". ^{[ 4 ]}
4. ${\displaystyle A}$يكون${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-محدود إذا وفقط إذا${\displaystyle A^{\circ }}$يستوعب​​${\displaystyle Y.}$
5. بالإضافة إلى ذلك${\displaystyle Y}$يميز نقاط${\displaystyle X}$ثم${\displaystyle A}$يكون${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$- محدود إذا وفقط إذا كان${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$- مقيد تمامًا .