تحويل المويجات المستمر

في الرياضيات ، يعتبر تحويل المويجات المستمر ( CWT ) أداة رسمية (أي غير عددية) توفر تمثيلاً كاملاً للإشارة من خلال السماح لمعاملات الإزاحة والمقياس للمويجات بالتغير بشكل مستمر.

التحويل الموجي المستمر للدالة${\displaystyle x(t)}$على نطاق واسع${\displaystyle a\in \mathbb {R^{+*}} }$والقيمة الترجمية${\displaystyle b\in \mathbb {R} }$يُعبَّر عنه بالتكامل التالي

$${\displaystyle X_{w}(a,b)={\frac {1}{|a|^{1/2}}}\int _{-\infty }^{\infty }x(t){\overline {\psi }}\left({\frac {tb}{a}}\right)\,\mathrm {d} t}$$

أين${\displaystyle \psi (t)}$ هي دالة متصلة في كل من المجال الزمني ومجال التردد تُسمى الموجة الأم، ويمثل الخط العلوي عملية المرافق المركب . الغرض الرئيسي من الموجة الأم هو توفير دالة مصدر لتوليد الموجات الابنة، وهي ببساطة نسخ مُترجمة ومُقاسة من الموجة الأم. لاستعادة الإشارة الأصلية${\displaystyle x(t)}$، ويمكن استغلال التحويل الموجي المستمر العكسي الأول.

${\displaystyle x(t)=C_{\psi }^{-1}\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }X_{w}(a,b){\frac {1}{|a|^{1/2}}}{\tilde {\psi }}\left({\frac {tb}{a}}\right)\,\mathrm {d} b\ {\frac {\mathrm {d} a}{a^{2}}}}$

${\displaystyle {\tilde {\psi }}(t)}$الوظيفة المزدوجة لـ${\displaystyle \psi (t)}$و

${\displaystyle C_{\psi }=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\overline {\hat {\psi }}}(\omega ){\hat {\tilde {\psi }}}(\omega )}{|\omega |}}\,\mathrm {d} \omega }$

ثابت مقبول، حيث تعني عامل تحويل فورييه. أحيانًا،${\displaystyle {\tilde {\psi }}(t)=\psi (t)}$ثم يصبح الثابت المسموح به

${\displaystyle C_{\psi }=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\left|{\hat {\psi }}(\omega )\right|^{2}}{\left|\omega \right|}}\,\mathrm {d} \omega }$

يُطلق على هذا الثابت تقليديًا اسم ثابت السماح للمويجة. المويجة التي يحقق ثابت السماح لها الشرط التالي:

${\displaystyle 0<C_{\psi }<\infty }$

يُطلق عليه اسم الموجة المقبولة. لاستعادة الإشارة الأصلية${\displaystyle x(t)}$، ويمكن الاستفادة من التحويل الموجي العكسي المستمر الثاني.

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{2\pi {\overline {\hat {\psi }}}(1)}}\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a^{2}}}X_{w}(a,b)\exp \left(i{\frac {t-b}{a}}\right)\,\mathrm {d} b\ \mathrm {d} a}$

يشير هذا التحويل العكسي إلى أنه ينبغي تعريف الموجة الصغيرة على النحو التالي:

${\displaystyle \psi (t)=w(t)\exp(it)}$

أين${\displaystyle w(t)}$هي نافذة. يمكن تسمية هذه الموجة المحددة بموجة تحليلية، لأنها تسمح بتحليل الزمن والتردد. الموجة التحليلية ليست شرطًا أساسيًا لقبولها.

عامل المقياس${\displaystyle a}$إما أن يمدد عامل المقياس الإشارة أو يضغطها. عندما يكون عامل المقياس منخفضًا نسبيًا، تنكمش الإشارة أكثر، مما ينتج عنه رسم بياني أكثر تفصيلًا. مع ذلك، فإن عيب انخفاض عامل المقياس هو أنه لا يستمر طوال مدة الإشارة. من ناحية أخرى، عندما يكون عامل المقياس مرتفعًا، تتمدد الإشارة، مما يعني أن الرسم البياني الناتج سيُعرض بتفاصيل أقل. ومع ذلك، فإنه عادةً ما يستمر طوال مدة الإشارة.

يُعرَّف تحويل المويجات المستمر بأنه عملية التفاف لتسلسل بيانات الإدخال مع مجموعة من الدوال المولدة بواسطة المويجة الأم. ويمكن حساب هذا الالتفاف باستخدام خوارزمية تحويل فورييه السريع (FFT). عادةً، يكون الناتج${\displaystyle X_{w}(a,b)}$هي دالة حقيقية القيمة باستثناء حالة الموجة الأم المركبة. فالموجة الأم المركبة تحول تحويل الموجة المستمرة إلى دالة مركبة القيمة. ويمكن تمثيل طيف القدرة لتحويل الموجة المستمرة بواسطة${\displaystyle {\frac {1}{a}}\cdot |X_{w}(a,b)|^{2}}$[ ^{1 ] [ 2 ]​}

يُعدّ ضغط الصور أحد أكثر تطبيقات تحويل المويجات شيوعًا. وتكمن ميزة استخدام الترميز القائم على المويجات في ضغط الصور في تحسين جودة الصورة بشكل ملحوظ عند نسب ضغط أعلى مقارنةً بالتقنيات التقليدية. ونظرًا لقدرة تحويل المويجات على تحليل المعلومات والأنماط المعقدة إلى أشكال أولية، فإنه يُستخدم على نطاق واسع في معالجة الصوتيات والتعرف على الأنماط، كما تم اقتراحه أيضًا كمُقدِّر للتردد اللحظي. ^{[ 3 ]} علاوة على ذلك، يُمكن تطبيق تحويلات المويجات في مجالات البحث العلمي التالية: كشف الحواف والزوايا ، وحل المعادلات التفاضلية الجزئية ، وكشف الظواهر العابرة، وتصميم المرشحات ، وتحليل تخطيط كهربية القلب (ECG)، وتحليل النسيج، وتحليل معلومات الأعمال، وتحليل المشية. ^{[ 4 ]} كما يُمكن استخدام تحويلات المويجات في تحليل بيانات تخطيط كهربية الدماغ (EEG) لتحديد النوبات الصرعية الناتجة عن الصرع . ^{[ 5 ]} كما تم استخدام تحويل المويجات بنجاح لتفسير السلاسل الزمنية للانهيارات الأرضية ^{[ 6 ]} وهبوط الأرض، ^{[ 7 ]} ولحساب التغيرات الدورية للأوبئة. ^{[ 8 ]}

يُعدّ تحويل المويجات المستمر (CWT) فعالاً للغاية في تحديد نسبة التخميد للإشارات المتذبذبة (مثل تحديد التخميد في الأنظمة الديناميكية). كما يتميز CWT بمقاومته العالية للضوضاء في الإشارة. ^{[ 9 ]}

• الموجة المستمرة
• تحويل S
• تحليل التردد الزمني
• موجة كوشي

• الموجات الصغيرة: مجهر رياضي على يوتيوب