الحساب الفاصل

لنفترض حساب مؤشر كتلة الجسم (BMI). يُحسب مؤشر كتلة الجسم بقسمة وزن الجسم بالكيلوغرام على مربع طوله بالمتر. لنفترض أن شخصًا ما يستخدم ميزانًا بدقة كيلوغرام واحد، حيث لا يمكن تمييز القيم المتوسطة، ويتم تقريب الوزن الحقيقي إلى أقرب عدد صحيح. على سبيل المثال، لا يمكن التمييز بين 79.6  كجم و80.3  كجم، لأن الميزان لا يعرض إلا القيم لأقرب كيلوغرام. من غير المرجح أن  يكون وزن الشخص 80.0 كجم بالضبط  عندما يُظهر الميزان 80 كجم. بالتالي، يشير الميزان الذي يُظهر 80  كجم إلى وزن يقع بين 79.5  كجم و80.5  كجم، أو ضمن النطاق [ 79.5، 80.5] .

يبلغ مؤشر كتلة الجسم لرجل يزن 80  كجم وطوله 1.80  متر حوالي 24.7. أما وزن 79.5  كجم ونفس الطول فيعطيان مؤشر كتلة جسم قدره 24.537، بينما وزن 80.5  كجم يعطي مؤشر كتلة جسم قدره 24.846. وبما أن كتلة الجسم متغيرة باستمرار وتزداد دائمًا لجميع القيم ضمن نطاق الوزن المحدد، فإن مؤشر كتلة الجسم الحقيقي يقع ضمن النطاق [ 24.537، 24.846 ] . ولأن النطاق بأكمله أقل من 25، وهو الحد الفاصل بين الوزن الطبيعي والوزن الزائد، يمكن الاستنتاج بيقين أن وزن الرجل طبيعي.

لا يؤثر الخطأ في هذا المثال على النتيجة (الوزن الطبيعي)، ولكن هذا ليس صحيحًا بشكل عام. فلو كان الرجل أثقل وزنًا بقليل، فقد يشمل نطاق مؤشر كتلة الجسم القيمة الحدية 25. في هذه الحالة، لن تكون دقة الميزان كافية للوصول إلى نتيجة قاطعة.

يمكن الإبلاغ عن نطاق أمثلة مؤشر كتلة الجسم على أنه [ 24.5، 24.9 ] لأن هذه الفترة هي مجموعة فرعية من الفترة المحسوبة. لكن لا يمكن الإبلاغ عن النطاق على أنه [ 24.6، 24.8 ] ، لأن هذه الفترة لا تحتوي على قيم محتملة لمؤشر كتلة الجسم.

فترات متعددة

يؤثر كل من الطول والوزن على قيمة مؤشر كتلة الجسم (BMI). مع أن المثال السابق اقتصر على دراسة تغير الوزن، إلا أن الطول أيضاً عرضة للخطأ. تُقرّب قياسات الطول بالمتر عادةً إلى أقرب سنتيمتر: فقياس 1.79 متر يُمثل طولاً ضمن النطاق [ 1.785، 1.795] . بما أن مؤشر كتلة الجسم يزداد مع زيادة الوزن وينخفض ​​مع زيادة الطول، يُمكن حساب هامش الخطأ باستبدال أدنى وأعلى قيم كل نطاق، ثم اختيار أدنى وأعلى القيمتين كحدود. بالتالي، يجب أن يقع مؤشر كتلة الجسم ضمن هذا النطاق.

${\displaystyle {\frac {[79.5,80.5)}{[1.785,1.795)^{2}}}\subseteq [24.673,25.266].}$

في هذه الحالة، قد يكون وزن الرجل طبيعياً أو يعاني من زيادة الوزن؛ لم تكن قياسات الوزن والطول دقيقة بما يكفي للتوصل إلى استنتاج نهائي.

يمكن استخدام الأقواس لتقصير تدوين الفترات.

يمكن استخدام [ x ] ≡ [ x1 _, x2 ] لتمثيل فترة. لاحظ أنه في هذا الترميز المختصر، _يجب عدم الخلط بين [ x ] وفترة النقطة الواحدة _[ x1 , x2 ] _{والفترة} العامة. بالنسبة لمجموعة جميع الفترات، يمكننا استخدام

${\displaystyle [\mathbb {R} ]:=\left\{\,[x_{1},x_{2}]\,|\,x_{1}\leq x_{2}{\text{ and }}x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}\right\}}$

كاختصار. بالنسبة لمتجه الفترات، يمكننا استخدام خط غامق:

${\displaystyle [\mathbf {x} ]=\left([x]_{1},\ldots ,[x]_{n}\right)\in [\mathbb {R} ]^{n}.}$

يمكن أيضاً تعريف دوال الفترات التي تتجاوز العوامل الأساسية الأربعة.

بالنسبة للدوال الرتيبة في متغير واحد، يكون حساب نطاق القيم بسيطًا. إذا كانت الدالة f  : ℝ → ℝ متزايدة بشكل رتيب في الفترة [ x ₁ , x ₂ ] ، فإنه لكل y ₁ , y ₂ ∈ [ x ₁ , x ₂ ] بحيث y ₁ < y ₂ ، فإن f ( y ₁ ) ≤ f ( y ₂ ) (وإذا كانت f متناقصة، فإن f ( y ₁ ) ≥ f ( y ₂ ) ).

وبالتالي، يمكن حساب المدى المقابل للفترة [ y ₁ , y ₂ ] ⊆ [ x ₁ , x ₂ ] عن طريق تطبيق الدالة على نقاط نهايتها:

${\displaystyle f([y_{1},y_{2}])=\left[\min \left\{f(y_{1}),f(y_{2})\right\},\max \left\{f(y_{1}),f(y_{2})\right\}\right].}$

ومن هذا، يمكن بسهولة تحديد الخصائص الأساسية التالية لدوال الفترات:

• الدالة الأسية :$${\displaystyle a^{[x_{1},x_{2}]}=[a^{x_{1}},a^{x_{2}}]\qquad {\text{for }}a>1,}$$
• اللوغاريتم :$${\displaystyle \log _{a}[x_{1},x_{2}]=[\log _{a}{x_{1}},\log _{a}{x_{2}}]\quad {\text{for positive intervals }}[x_{1},x_{2}]{\text{ and }}a>1,}$$
• قوى غريبة:$${\displaystyle [x_{1},x_{2}]^{n}=[x_{1}^{n},x_{2}^{n}]\qquad {\text{for odd }}n\in \mathbb {N} .}$$

بالنسبة للقوى الزوجية، يُعد نطاق القيم المُراد دراستها مهمًا ويجب تحديده قبل إجراء أي عملية ضرب. على سبيل المثال، xⁿ حيث x ^∈ [ −1, 1 ] يجب أن يُنتج الفترة [ 0, 1 ] لأي عدد زوجي n ∈ ℕ . ولكن إذا تم الحصول على [ −1, 1 ] ^ⁿ بتكرار ضرب الفترات بالشكل [ −1, 1 ] · [ −1, 1 ] · ⋯ · [ −1, 1 ]، فإن النتيجة ستكون [ −1, 1 ] ، وهي أوسع من اللازم.

بشكل عام ، يمكن القول إنه بالنسبة للدوال الرتيبة جزئيًا، يكفي النظر إلى نقطتي النهاية x₁ _و x₂ لفترة ما، بالإضافة إلى ما يُسمى بالنقاط الحرجة داخل هذه الفترة، وهي النقاط _التي يتغير عندها اتجاه رتابة الدالة. بالنسبة لدالتي الجيب وجيب التمام ، تقع النقاط الحرجة عند ( n + 1/2 ) π و nπ على التوالي ، حيث n ∈ ℤ . وبالتالي، يكفي النظر إلى خمس نقاط فقط داخل الفترة، لأن الفترة الناتجة هي [ -1 , 1 ] إذا كانت تحتوي على قيمتين قصوى على الأقل. بالنسبة لدالتي الجيب وجيب التمام، لا يلزم سوى حساب نقاط النهاية بالكامل، لأن النقاط الحرجة تؤدي إلى قيم يمكن حسابها مسبقًا بسهولة، وهي -1 و 0 و 1.

بشكل عام، قد لا يكون من السهل إيجاد وصف بسيط لفترة الإخراج للعديد من الدوال. ولكن قد يظل من الممكن توسيع الدوال لتشمل حساب الفترات. إذا كانت f  : ℝ ⁿ → ℝ دالة من متجه حقيقي إلى عدد حقيقي، فإن [ f ]  : [ℝ] ⁿ → [ℝ] تُسمى امتدادًا لفترة f إذا

${\displaystyle [f]([\mathbf {x} ])\supseteq \{f(\mathbf {y} )\mid \mathbf {y} \in [\mathbf {x} ]\}.}$

لا يُعطي هذا التعريف لتمديد الفترة نتيجة دقيقة. على سبيل المثال، يُعد كل من [f]([x1, x2 ] ) = [ _e ^ x1 , e ^ ^{_x2 ]} و [ ^{g _]} ( [ x1 , x2 ] ) ₌ [ −∞ , ∞ _] تمديدين مقبولين للدالة الأسية. يُفضّل استخدام تمديدات أدق، مع مراعاة التكاليف النسبية للحساب وعدم الدقة؛ في هذه الحالة، _يُنصح باختيار [ f ] لأنه يُعطي أدق نتيجة ممكنة.

بالنظر إلى تعبير حقيقي، يتم تحقيق امتداده الطبيعي للفترة باستخدام امتدادات الفترة لكل من تعبيراته الفرعية ووظائفه ومعاملاته.

امتداد فترة تايلور ( من الدرجة k ) هو دالة قابلة للتفاضل k + 1 مرة f معرفة بـ

${\displaystyle [f]([\mathbf {x} ]):=f(\mathbf {y} )+\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{i!}}\mathrm {D} ^{i}f(\mathbf {y} )\cdot ([\mathbf {x} ]-\mathbf {y} )^{i}+[r]([\mathbf {x} ],[\mathbf {x} ],\mathbf {y} ),}$

لبعض y ∈ [ x ] ، حيث D ⁱ f ( y ) هو التفاضل من الرتبة i لـ f عند النقطة y و [ r ] هو امتداد فترة لباقي تايلور .

${\displaystyle r(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\xi }},\mathbf {y} )={\frac {1}{(k+1)!}}\mathrm {D} ^{k+1}f({\boldsymbol {\xi }})\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {y} )^{k+1}.}$

يقع المتجه ξ بين x و y حيث x و y ∈ [ x ] ؛ ξ محمي بواسطة [ x ] . عادةً ما يتم اختيار y ليكون نقطة منتصف الفترة، ويتم استخدام امتداد الفترة الطبيعي لتقييم الباقي.

تُعرف الحالة الخاصة لتمديد فترة تايلور من الدرجة k = 0 أيضًا باسم شكل القيمة المتوسطة .

لضمان فعالية التطبيق العملي، يجب أن تكون الفترات الزمنية متوافقة مع حسابات الفاصلة العائمة. كانت العمليات السابقة تعتمد على الحساب الدقيق، ولكن بشكل عام، قد لا تتوفر طرق حل عددية سريعة لها. في هذا المثال، تتراوح قيم الدالة f ( x , y ) = x + y عندما x ∈ [ 0.1, 0.8 ] و y ∈ [ 0.06, 0.08 ] بين [ 0.16, 0.88 ] . أما عند إجراء الحساب نفسه بدقة رقم واحد، فستكون النتيجة عادةً [ 0.2, 0.9 ] . لكن [ 0.2, 0.9 ] ⊉ [ 0.16, 0.88 ] ، لذا فإن هذا الأسلوب يتعارض مع المبادئ الأساسية لحساب الفترات، حيث سيُفقد جزء من مجال الدالة f ( [ 0.1, 0.8 ] , [ 0.06, 0.08 ] ) . لذا، يُستخدم الحل المُقَرَّب للخارج [ 0.1, 0.9 ] .

يحدد معيار IEEE 754 للحسابات الثنائية ذات الفاصلة العائمة إجراءات لتنفيذ التقريب. يسمح النظام المتوافق مع معيار IEEE 754 للمبرمجين بالتقريب إلى أقرب عدد ذي فاصلة عائمة؛ وتشمل البدائل التقريب نحو الصفر (التقريب إلى أقرب عدد صحيح)، أو التقريب نحو اللانهاية الموجبة (التقريب إلى الأعلى)، أو التقريب نحو اللانهاية السالبة (التقريب إلى الأسفل).

يمكن تحقيق التقريب الخارجي المطلوب لحسابات الفترات بتغيير إعدادات التقريب في المعالج عند حساب الحد الأعلى (up) والحد الأدنى (down). أو بدلاً من ذلك، يمكن إضافة فترة _{صغيرة مناسبة} [ ε1 , ε2 ] .

تم أيضًا تطبيق الحساب الفاصل باستخدام حسابات الفاصلة العائمة ذات الدقة العشوائية ، حيث تكون الدقة أعلى بكثير (لكنها لا تزال محدودة، وبالتالي لا تزال تتطلب التقريب). تستغرق الأعداد ذات الدقة العشوائية الكبيرة وقتًا طويلاً في الحساب وتستهلك مساحة تخزين كبيرة. يُطلق على أحد أنواع الحساب الفاصل اسميخزن حساب الكرة نقطة منتصف عالية الدقة ونصف قطر منخفض الدقة بدلاً من حدين أدنى وأعلى عاليي الدقة كما هو الحال في حساب الفترات التقليدي (الحد الأدنى - الحد الأعلى)، ^{[ 4 ]} مما يقلل من تكلفة الحساب. ^{[ 5 ]}

تُعدّ مشكلة التبعية عائقًا رئيسيًا أمام تطبيق الحساب الفتري. فعلى الرغم من قدرة طرق الفترات على تحديد نطاق العمليات والدوال الحسابية الأساسية بدقة عالية، إلا أن هذا لا ينطبق دائمًا على الدوال الأكثر تعقيدًا. فإذا تكررت فترة ما عدة مرات في عملية حسابية باستخدام معاملات، وتمّ أخذ كل تكرار على حدة، فقد يؤدي ذلك إلى توسع غير مرغوب فيه في الفترات الناتجة.

كمثال توضيحي، لنأخذ الدالة f المعرفة بالعلاقة f ( x ) = x² + x . قيم هذه الدالة على الفترة [ -1 , 1 ^] هي [ -1/4 , 2 ] . وباعتبارها امتدادًا طبيعيًا للفترة ، تُحسب على النحو التالي :

${\displaystyle [-1,1]^{2}+[-1,1]=[0,1]+[-1,1]=[-1,2],}$

وهو أكبر قليلاً؛ بدلاً من ذلك ^، قمنا بحساب الحد الأدنى والحد الأعلى للدالة h ( x , y ) = x² + y على الفترة [ -1, 1 ] . يوجد تعبير أفضل للدالة f حيث يظهر المتغير x مرة واحدة فقط، وذلك بإعادة كتابة المعادلة التربيعية f ( x ) = x² ⁺ x بإكمال المربع .

${\displaystyle f(x)=\left(x+{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{4}}.}$

لذا فإن حساب الفترة المناسب هو

${\displaystyle \left([-1,1]+{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{4}}=\left[-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}}\right]^{2}-{\tfrac {1}{4}}=\left[0,{\tfrac {9}{4}}\right]-{\tfrac {1}{4}}=\left[-{\tfrac {1}{4}},2\right]}$

ويعطي القيم الصحيحة.

بشكل عام، يمكن إثبات إمكانية الوصول إلى النطاق الدقيق للقيم، إذا ظهر كل متغير مرة واحدة فقط وكانت الدالة f متصلة داخل المربع. مع ذلك، لا يمكن إعادة كتابة كل دالة بهذه الطريقة.

قد يصل اعتماد المشكلة التي تسبب المبالغة في تقدير نطاق القيمة إلى حد تغطية نطاق واسع، مما يمنع التوصل إلى استنتاجات أكثر جدوى.

ينتج عن حل المناطق التي لا تأخذ شكل متجه فاصل زيادة إضافية في المدى. مجموعة حلول النظام الخطي

${\displaystyle {\begin{cases}x=p\\y=p\end{cases}}\qquad p\in [-1,1]}$

هو بالضبط الخط الواصل بين النقطتين (−1, −1) و (1, 1) . باستخدام طرق الفترات، نحصل على المربع ذي الوحدة، [ −1, 1 ] × [ −1, 1 ] . يُعرف هذا بتأثير الالتفاف .

يتكون نظام الفترات الخطية من امتداد فترة المصفوفة [ A ] ∈ [ℝ] ^{n × m} ومتجه فترة [ b ] ∈ [ℝ] ⁿ . نريد أصغر متوازي مستطيلات [ x ] ∈ [ℝ] ^m ، لكل متجه x ∈ ℝ ^m يوجد زوج ( A , b ) حيث A ∈ [ A ] و b ∈ [ b ] يحقق الشرط التالي:

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {x} =\mathbf {b} }$.

بالنسبة للأنظمة التربيعية (أي عندما n = m )، يمكن إيجاد متجه فترات [ x ] يغطي جميع الحلول الممكنة، وذلك ببساطة باستخدام طريقة جاوس للفترات. تحل هذه الطريقة محل العمليات العددية، حيث تصبح طريقة الجبر الخطي المعروفة باسم حذف جاوس هي النسخة الخاصة بها من طريقة الفترات. مع ذلك، ولأن هذه الطريقة تستخدم عناصر الفترات [ A ] و [ b ] بشكل متكرر في الحساب، فقد تُنتج نتائج غير دقيقة لبعض المسائل. لذا، فإن استخدام نتيجة جاوس ذات القيم الفتراتية لا يوفر سوى تقديرات أولية تقريبية، لأنه على الرغم من احتوائها على مجموعة الحلول كاملة، إلا أنها تحتوي أيضًا على مساحة كبيرة خارجها.

يمكن تحسين الحل التقريبي [ x ] غالبًا باستخدام نسخة فاصلية من طريقة جاوس-سيدل . والدافع وراء ذلك هو أن الصف i من امتداد الفاصل للمعادلة الخطية

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{[a_{11}]}&\cdots &{[a_{1n}]}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{[a_{n1}]}&\cdots &{[a_{nn}]}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{x_{1}}\\\vdots \\{x_{n}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{[b_{1}]}\\\vdots \\{[b_{n}]}\end{pmatrix}}}$

يمكن تحديدها بواسطة المتغير xᵢ إذا سُمح بالقسمة 1 / [ aᵢᵢ ] . _{وبالتالي ،} فهي في آن _واحد

${\displaystyle x_{j}\in [x_{j}]\quad {\text{and}}\quad x_{j}\in {\frac {[b_{i}]-\sum \limits _{k\neq j}[a_{ik}]\cdot [x_{k}]}{[a_{ii}]}}.}$

لذا يمكننا الآن استبدال [ x _j ] بـ

${\displaystyle [x_{j}]\cap {\frac {[b_{i}]-\sum \limits _{k\neq j}[a_{ik}]\cdot [x_{k}]}{[a_{ii}]}},}$

وبالتالي فإن المتجه [ x ] لكل عنصر.

بما أن الإجراء أكثر كفاءة للمصفوفة ذات المصفوفة القطرية المهيمنة ، فبدلاً من النظام [ A ] · x = [ b ] ، يمكن للمرء غالبًا محاولة ضربه بمصفوفة كسرية مناسبة M مع معادلة المصفوفة الناتجة

${\displaystyle (\mathbf {M} \cdot [\mathbf {A} ])\cdot \mathbf {x} =\mathbf {M} \cdot [\mathbf {b} ]}$

بقي حلها. إذا اخترنا، على سبيل المثال، M = A ⁻¹ للمصفوفة المركزية A ∈ [ A ] ، فإن M · [ A ] هي امتداد خارجي لمصفوفة الوحدة.

لا تُجدي هذه الطرق نفعًا إلا إذا كانت أطوال الفترات صغيرة بما يكفي. أما في حالة الفترات الأوسع، فقد يكون من المفيد استخدام نظام خطي فتري على أنظمة خطية مكافئة للأعداد الحقيقية المحدودة (وإن كانت كبيرة). إذا كانت جميع المصفوفات A ∈ [ A ] قابلة للعكس، يكفي النظر في جميع التوليفات الممكنة (العليا والسفلى) لنقاط النهاية الواقعة في الفترات. ويمكن حل المسائل الناتجة باستخدام الطرق العددية التقليدية. ولا يزال حساب الفترات يُستخدم لتحديد أخطاء التقريب.

هذا الأسلوب مناسب فقط للأنظمة ذات الأبعاد الصغيرة، لأنه مع مصفوفة n × n ممتلئة تمامًا ، يلزم عكس 2n² مصفوفة حقيقية، مع 2n ^{متجهًا للطرف} الأيمن . وقد طوّر جيري رون هذا الأسلوب، ولا يزال قيد التطوير ^{. [ 6 ]}

يمكن اشتقاق صيغة فترة من طريقة نيوتن لإيجاد أصفار متجه فترة [ x ] من امتداد القيمة المتوسطة. ^{[ 7 ]} بالنسبة لمتجه مجهول z ∈ [ x ] مطبق على y ∈ [ x ] ، نحصل على

${\displaystyle f(\mathbf {z} )\in f(\mathbf {y} )+[J_{f}](\mathbf {[x]} )\cdot (\mathbf {z} -\mathbf {y} ).}$

بالنسبة لقيمة z تساوي صفرًا ، أي f ( z ) = 0 ، يجب أن تحقق الشرط التالي:

${\displaystyle f(\mathbf {y} )+[J_{f}](\mathbf {[x]} )\cdot (\mathbf {z} -\mathbf {y} )=0.}$

هذا يعادل

${\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbf {y} -[J_{f}](\mathbf {[x]} )^{-1}\cdot f(\mathbf {y} ).}$

يمكن تحديد تقدير خارجي لـ [ J _f ]([ x ]) ⁻¹ · f ( y ) باستخدام الطرق الخطية.

في كل خطوة من خطوات طريقة نيوتن الفاصلية، يتم استبدال قيمة ابتدائية تقريبية [ x ] ∈ [ℝ] ^{n بـ}

${\displaystyle [\mathbf {x} ]\cap \left(\mathbf {y} -[J_{f}](\mathbf {[x]} )^{-1}\cdot f(\mathbf {y} )\right)}$

وبالتالي يمكن تحسين النتيجة. على عكس الطرق التقليدية، تقترب طريقة الفترات من النتيجة باحتوائها على الأصفار. وهذا يضمن أن النتيجة تُنتج جميع الأصفار في النطاق الأولي. وعلى العكس، تُثبت هذه الطريقة أنه لم تكن هناك أي أصفار للدالة f في النطاق الأولي [ x ] إذا أنتجت خطوة نيوتن المجموعة الفارغة.

تتقارب هذه الطريقة على جميع الأصفار في المنطقة الابتدائية. يمكن أن تؤدي القسمة على صفر إلى فصل الأصفار المتميزة، على الرغم من أن الفصل قد لا يكون كاملاً؛ ويمكن استكماله بطريقة التنصيف .

كمثال، لنفترض الدالة f ( x ) = x² - 2 ، والمدى الابتدائي [ x ] = [ -2, 2 ] ، والنقطة y = 0. عندئذٍ ^، يكون لدينا Jf ₍ x ) = 2x ، وتعطينا خطوة نيوتن الأولى

${\displaystyle [-2,2]\cap \left(0-{\frac {1}{2\cdot [-2,2]}}(0-2)\right)=[-2,2]\cap \left(\left[-\infty ,-{\tfrac {1}{2}}\right]\cup \left[{\tfrac {1}{2}},\infty \right]\right)=\left[-2,-{\tfrac {1}{2}}\right]\cup \left[{\tfrac {1}{2}},2\right].}$

تُستخدم خطوات نيوتن الإضافية بشكل منفصل على x ∈ [ −2, − ⁠ 1 / 2 ⁠ ] و x ∈ [ ⁠ 1 / 2 ⁠ , 2 ] . وتتقارب هذه الخطوات إلى فترات صغيرة بشكل تعسفي حول − √ 2 و + √ 2 على التوالي.

يمكن استخدام طريقة نيوتن للفترات مع الدوال السميكة مثل g ( x ) = x² - [ 2, 3 ^] ، والتي ستكون نتائجها فترات في جميع الأحوال . ينتج عن ذلك فترات تحتوي على [ −√3 , −√2 ] ∪ [ √2 , √3 ] .

تُقدّم طرق الفترات المختلفة نتائج متحفظة لأنها لا تأخذ في الحسبان التبعيات بين أحجام امتدادات الفترات المختلفة. ومع ذلك، تصبح مشكلة التبعية أقل أهمية بالنسبة للفترات الأضيق.

تغطية متجه الفترة [ x ] بمربعات أصغر _[ x1 ] ، ...، [ xk ] _، بحيث

${\displaystyle [\mathbf {x} ]=\bigcup _{i=1}^{k}[\mathbf {x} _{i}],}$

ويكون صالحاً ضمن نطاق القيم.

${\displaystyle f([\mathbf {x} ])=\bigcup _{i=1}^{k}f([\mathbf {x} _{i}]).}$

لذا، بالنسبة لتمديدات الفترات الموصوفة أعلاه، ينطبق ما يلي:

${\displaystyle [f]([\mathbf {x} ])\supseteq \bigcup _{i=1}^{k}[f]([\mathbf {x} _{i}]).}$

بما أن [ f ]([ x ]) غالباً ما تكون مجموعة فائقة حقيقية للجانب الأيمن، فإن هذا عادة ما يؤدي إلى تقدير محسّن.

يمكن توليد مثل _هذا الغطاء باستخدام طريقة التنصيف، _مثل العناصر السميكة _[ xi1 , xi2 ] _لمتجه الفاصل الزمني

${\displaystyle [\mathbf {x} ]=([x_{11},x_{12}],\ldots ,[x_{n1},x_{n2}])}$

بتقسيمها في المنتصف إلى فترتين

${\displaystyle \left[x_{i1},{\frac {x_{i1}+x_{i2}}{2}}\right]\quad {\text{and}}\quad \left[{\frac {x_{i1}+x_{i2}}{2}},x_{i2}\right].}$

إذا لم تكن النتيجة مناسبة، فمن الممكن إجراء تقسيم تدريجي إضافي. ينتج عن تقسيم عناصر المتجه إلى r ^فترات تغطية تساوي 2r ، مما يزيد بشكل كبير من تكاليف الحساب.

في حالة الفترات الواسعة جدًا، قد يكون من المفيد تقسيم جميع الفترات إلى عدة فترات فرعية ذات عرض ثابت (وأصغر)، وهي طريقة تُعرف باسم التقطيع . وهذا يُجنّبنا حسابات خطوات التنصيف الوسيطة. كلا الطريقتين مناسبتان فقط للمسائل ذات الأبعاد المنخفضة.

تُستخدم حسابات الفترات مع تحليل الأخطاء للتحكم في أخطاء التقريب الناتجة عن كل عملية حسابية. وتكمن ميزة حسابات الفترات في وجود فترة بعد كل عملية تتضمن النتيجة الحقيقية بدقة. وتعطي المسافة بين حدود هذه الفترة حساب أخطاء التقريب الحالي بشكل مباشر.

الخطأ = القيمة المطلقة ( أ - ب ) لفترة معينة [ أ ، ب ] .

يُضيف تحليل الفترات إلى الطرق التقليدية لتقليل الأخطاء، مثل التمحور ، بدلاً من أن يحل محلها .

تظهر في كثير من الأحيان أثناء محاكاة العمليات التقنية والفيزيائية معايير لا يمكن تحديد قيم دقيقة لها. تسمح عملية إنتاج المكونات التقنية ببعض التفاوتات، لذا تتذبذب بعض المعايير ضمن نطاقات محددة. إضافةً إلى ذلك، فإن العديد من الثوابت الأساسية غير معروفة بدقة. ^{[ 1 ]}

إذا كان سلوك مثل هذا النظام المتأثر بالتفاوتات يحقق، على سبيل المثال، f ( x , p ) = 0 ، لـ p ∈ [ p ] و x غير معروف ، فإن مجموعة الحلول الممكنة.

${\displaystyle \{\mathbf {x} \,|\,\exists \mathbf {p} \in [\mathbf {p} ],f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} )=0\}}$،

يمكن إيجاد الحل باستخدام طرق الفترات. يوفر هذا بديلاً عن التحليل التقليدي لانتشار الخطأ . على عكس طرق النقاط، مثل محاكاة مونت كارلو ، تضمن منهجية حساب الفترات عدم إغفال أي جزء من منطقة الحل. مع ذلك، فإن النتيجة دائمًا ما تكون تحليلًا لأسوأ الحالات لتوزيع الخطأ، حيث لا تُؤخذ التوزيعات الأخرى القائمة على الاحتمالات في الاعتبار.

يمكن استخدام حساب الفترات مع دوال الانتماء للكميات الضبابية كما هو الحال في المنطق الضبابي . إلى جانب العبارات الصارمة x ∈ [ x ] و x ∉ [ x ] ، توجد قيم وسيطة تُسند إليها أعداد حقيقية μ ∈ [ 0, 1 ] . μ = 1 تعني انتماءً مؤكدًا، بينما μ = 0 تعني عدم الانتماء. تُحدد دالة التوزيع عدم اليقين، والذي يمكن فهمه على أنه فترة إضافية.

في الحساب الضبابي ^{[ 9 ]} ، يُؤخذ في الاعتبار عدد محدود فقط من مراحل الانتماء المنفصلة μ _i ∈ [ 0, 1 ] . ويمكن تمثيل شكل هذا التوزيع لقيمة غير محددة بسلسلة من الفترات.

${\displaystyle \left[x^{(1)}\right]\supset \left[x^{(2)}\right]\supset \cdots \supset \left[x^{(k)}\right].}$

تتوافق الفترة [ x ^{( i )} ] تمامًا مع نطاق التذبذب للمرحلة μ _i .

التوزيع المناسب للدالة f ( x1 _, …, xn ) فيما يتعلق _بالقيم غير المميزة x1 _, …, xn والمتتابعات المقابلة _لها

${\displaystyle \left[x_{1}^{(1)}\right]\supset \cdots \supset \left[x_{1}^{(k)}\right],\ldots ,\left[x_{n}^{(1)}\right]\supset \cdots \supset \left[x_{n}^{(k)}\right]}$

يمكن تقريبها بواسطة المتتالية

${\displaystyle \left[y^{(1)}\right]\supset \cdots \supset \left[y^{(k)}\right],}$

أين

${\displaystyle \left[y^{(i)}\right]=f\left(\left[x_{1}^{(i)}\right],\ldots \left[x_{n}^{(i)}\right]\right)}$

ويمكن حسابها باستخدام طرق الفترات. القيمة [ y ⁽¹⁾ ] تتوافق مع نتيجة حساب الفترة.

استخدم وارويك تاكر حساب الفترات لحل المسألة الرابعة عشرة من مسائل سميل ، أي لإثبات أن جاذب لورنز هو جاذب غريب . ^{[ 10 ]} استخدم توماس هيلز حساب الفترات لحل حدسية كبلر .

يسرد موقع Fast Library for Number Theory الإلكتروني العديد من استخدامات مكتبة FLINT/Arb للحساب الكروي في الأوراق المنشورة والمطبوعات الأولية. ^{[ 11 ]}