تقدير المجموعة

في الإحصاء ، يُمثَّل المتجه العشوائي x عادةً بدالة كثافة احتمالية . في أسلوب الانتماء إلى مجموعة أو تقدير المجموعة ، يُمثَّل x بمجموعة X يُفترض انتماؤه إليها. هذا يعني أن نطاق دالة التوزيع الاحتمالي لـ x مُضمَّن داخل X. من جهة، يُتيح تمثيل المتجهات العشوائية بالمجموعات تقليل الافتراضات حول المتغيرات العشوائية (مثل الاستقلال ) ويُسهِّل التعامل مع اللاخطية . من جهة أخرى، تُقدِّم دالة التوزيع الاحتمالي معلومات أدق من المجموعة التي تُحيط بنطاقها .

تقدير عضوية المجموعة (أو تقدير المجموعة باختصار) هو أسلوب تقدير يعتبر أن القياسات ممثلة بمجموعة Y (في أغلب الأحيان صندوق من${\displaystyle \mathbb {R} ^{m},}$حيث m هو عدد القياسات في فضاء القياس. إذا كانp هو متجه المعلمات و f هي دالة النموذج، فإن مجموعة جميع متجهات المعلمات الممكنة هي

$${\displaystyle P=P_{0}\cap f^{-1}(Y),}$$

حيث P ₀ هي المجموعة المسبقة للمعاملات. وتوصيف P يتوافق مع مسألة عكس المجموعة . ^{[ 1 ]}

عندما تكون الدالة f خطية، يمكن وصف المجموعة الممكنة P بواسطة متباينات خطية ويمكن تقريبها باستخدام تقنيات البرمجة الخطية . ^{[ 2 ]}

عندما تكون الدالة f غير خطية، يمكن إجراء التحليل باستخدام تحليل الفترات . ثم يتم تقريب المجموعة الممكنة P بواسطة رصف فرعي داخلي وآخر خارجي . يتمثل القيد الرئيسي لهذه الطريقة في تعقيدها الأسي بالنسبة لعدد المعاملات. ^{[ 3 ]}

ضع في اعتبارك النموذج التالي

$${\displaystyle \phi (p_{1},p_{2},t)=(tp_{1})^{2}+tp_{2}^{2}+\sin(p_{1}+tp_{2}),}$$

حيث أن p ₁ و p ₂ هما المعلمتان المطلوب تقديرهما.

افترض أنه في الأوقات t ₁ = − 1 ، t ₂ = 1 ، t ₃ = 2 ، تم جمع قياسات الفترات التالية: $${\displaystyle {\begin{array}{rclr}[y_{1}]&=&[-4,&-2],\\{}[y_{2}]&=&[\quad \!4,&9],\\{}[y_{3}]&=&[\quad \!7,&11],\end{array}}}$$ كما هو موضح في الشكل 1. مجموعة القياس المقابلة (هنا صندوق) هي

$${\displaystyle Y=[y_{1}]\times [y_{2}]\times [y_{3}].}$$

يتم تعريف دالة النموذج بواسطة

$${\displaystyle f(p_{1},p_{2})={\begin{bmatrix}p_{1}^{2}-p_{2}^{2}+\sin(p_{1}-p_{2})\\p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+\sin(p_{1}+p_{2})\\(2p_{1})^{2}+2p_{2}^{2}+\sin(p_{1}+2p_{2})\end{bmatrix}}}$$

يتم الحصول على مكونات الدالة f باستخدام النموذج لكل قياس زمني. بعد حل مسألة عكس المجموعة، نحصل على التقريب الموضح في الشكل 2. المربعات الحمراء تقع داخل المجموعة الممكنة P ، والمربعات الزرقاء تقع خارجها .

يمكن استخدام تقدير المجموعة لتقدير حالة نظام موصوف بمعادلات الحالة باستخدام تطبيق تكراري. عندما يكون النظام خطيًا، يمكن وصف المجموعة الممكنة المقابلة لمتجه الحالة بواسطة متعددات الوجوه أو بواسطة أشكال بيضاوية ^{[ 4 ]} . ^{[ 5 ]} أما عندما يكون النظام غير خطي، فيمكن حصر المجموعة بواسطة مسارات فرعية. ^{[ 6 ]}

عند وجود قيم شاذة، تُرجع طريقة تقدير المجموعة عادةً مجموعة فارغة. ويعود ذلك إلى أن التقاطع بين مجموعات متجهات المعلمات المتوافقة مع شريط البيانات رقم i يكون فارغًا. ولضمان دقة النتائج في مواجهة القيم الشاذة، نقوم عادةً بتحديد مجموعة متجهات المعلمات المتوافقة مع جميع أشرطة البيانات باستثناء q منها. ويُمكن تحقيق ذلك باستخدام مفهوم التقاطع المُخفف q .

• تحديد المجموعة