تقاطع هادئ

يُشابه التقاطع المُخفف لـ m مجموعة التقاطع الكلاسيكي بين المجموعات، باستثناء أنه يُسمح بتخفيف بعض المجموعات لتجنب التقاطع الفارغ. يُمكن استخدام هذا المفهوم لحل مسائل إرضاء القيود غير المتسقة عن طريق تخفيف عدد قليل من القيود . عند اعتماد نهج الخطأ المحدود لتقدير المعلمات ، يُتيح التقاطع المُخفف إمكانية تحقيق متانة في مواجهة بعض القيم الشاذة .

التقاطع المُرخى q للمجموعات الفرعية m${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m}}$ ل${\displaystyle R^{n}}$، ويرمز إليه بـ ${\displaystyle X^{\{q\}}=\bigcap ^{\{q\}}X_{i}}$ هي مجموعة الكل ${\displaystyle x\in R^{n}}$ التي تنتمي إلى الجميع ${\displaystyle X_{i}}$ باستثناء ${\displaystyle q}$ على الأكثر. يوضح الشكل 1 هذا التعريف.

يُعرِّف ${\displaystyle \lambda (x)={\text{card}}\left\{i\ |\ x\in X_{i}\right\}.}$

لدينا ${\displaystyle X^{\{q\}}=\lambda ^{-1}([mq,m]).}$

وبالتالي فإن توصيف التقاطع المُرخى q هو مسألة عكس المجموعة . ^{[ 1 ]}

ضع في اعتبارك 8 فترات: ${\displaystyle X_{1}=[1,4],}$${\displaystyle X_{2}=\ [2,4],}$${\displaystyle X_{3}=[2,7],}$${\displaystyle X_{4}=[6,9],}$${\displaystyle X_{5}=[3,4],}$${\displaystyle X_{6}=[3,7].}$

لدينا

${\displaystyle X^{\{0\}}=\emptyset ,}$${\displaystyle X^{\{1\}}=[3,4],}$${\displaystyle X^{\{2\}}=[3,4],}$${\displaystyle X^{\{3\}}=[2,4]\cup [6,7],}$${\displaystyle X^{\{4\}}=[2,7],}$${\displaystyle X^{\{5\}}=[1,9],}$${\displaystyle X^{\{6\}}=]-\infty ,\infty [.}$

إن التقاطع المرن للفترات ليس بالضرورة فترة. لذلك نأخذ غلاف الفترة للنتيجة. إذا${\displaystyle X_{i}}$بما أن 's عبارة عن فترات، يمكن حساب التقاطع المُخفف بتعقيد زمني قدره m.log ( m ) باستخدام خوارزمية مارزولو . يكفي ترتيب جميع الحدود الدنيا والعليا للفترات m لتمثيل الدالة${\displaystyle \lambda }$ثم، نحصل بسهولة على المجموعة

${\displaystyle X^{\{q\}}=\lambda ^{-1}([mq,m])}$

وهو ما يتوافق مع اتحاد فترات. ثم نعيد أصغر فترة تحتوي على هذا الاتحاد.

يوضح الشكل 2 الوظيفة ${\displaystyle \lambda (x)}$ مرتبط بالمثال السابق.

لحساب التقاطع المُرخى q لـ m مربعات من ${\displaystyle R^{n}}$نقوم بإسقاط جميع المربعات m بالنسبة للمحاور n . لكل مجموعة من مجموعات الفترات m ، نحسب التقاطع المُرخى q . ثم نعيد حاصل الضرب الديكارتي للفترات n الناتجة. ^{[ 2 ]} يوضح الشكل 3 التقاطع المُرخى 4 لستة مربعات. تنتمي كل نقطة من المربع الأحمر إلى أربعة من المربعات الستة.

الاتحاد المُرخى q لـ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m}}$يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle {\overset {\{q\}}{\bigcup }}X_{i}=\bigcap ^{\{m-1-q\}}X_{i}}$

لاحظ أنه عندما تكون قيمة q تساوي صفرًا، فإن الاتحاد/التقاطع المُخفف يُطابق الاتحاد/التقاطع الكلاسيكي. وبشكل أدق، لدينا

${\displaystyle \bigcap ^{\{0\}}X_{i}=\bigcap X_{i}}$

و

${\displaystyle {\overset {\{0\}}{\bigcup }}X_{i}=\bigcup X_{i}}$

لو${\displaystyle {\overline {X}}}$يشير إلى المجموعة المكملة لـ${\displaystyle X_{i}}$لدينا

${\displaystyle {\overline {\bigcap ^{\{q\}}X_{i}}}={\overset {\{q\}}{\bigcup }}{\overline {X_{i}}}}$

${\displaystyle {\overline {{\overset {\{q\}}{\bigcup }}X_{i}}}=\bigcap ^{\{q\}}{\overline {X_{i}}}.}$

ونتيجة لذلك

${\displaystyle {\overline {\bigcap \limits ^{\{q\}}X_{i}}}={\overline {{\overset {\{m-q-1\}}{\bigcup }}X_{i}}}=\bigcap ^{\{m-q-1\}}{\overline {X_{i}}}}$

يترك${\displaystyle C_{1},\dots ,C_{m}}$كن مقاولين لمجموعات التصوير${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m}}$، ثم

${\displaystyle C([x])=\bigcap ^{\{q\}}C_{i}([x]).}$

هو مقاول لـ${\displaystyle X^{\{q\}}}$ و

${\displaystyle {\overline {C}}([x])=\bigcap ^{\{m-q-1\}}{\overline {C}}_{i}([x])}$

هو مقاول لـ${\displaystyle {\overline {X}}^{\{q\}}}$، أين

${\displaystyle {\overline {C}}_{1},\dots ,{\overline {C}}_{m}}$

هم مقاولون لـ

${\displaystyle {\overline {X}}_{1},\dots ,{\overline {X}}_{m}.}$

بالإضافة إلى خوارزمية التفرع والتقييد مثل SIVIA (انعكاس المجموعة عبر تحليل الفترات)، فإن التقاطع المُرخى q لـ m مجموعة فرعية من${\displaystyle R^{n}}$يمكن حسابها.

يمكن استخدام التقاطع المُرخى q لتحديد الموقع بدقة [ 3 ^{] [ 4 ] أو للتتبع} . ^{[ 5 ]}

يمكن أيضًا تطبيق المراقبين الأقوياء باستخدام التقاطعات المخففة ليكونوا أقوياء فيما يتعلق بالقيم الشاذة. ^{[ 6 ]}

نقترح هنا مثالًا بسيطًا ^{[ 7 ]} لتوضيح الطريقة. لنفترض نموذجًا يكون ناتج النموذج رقم i فيه معطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle f_{i}(p)={\frac {1}{\sqrt {2\pi p_{2}}}}\exp(-{\frac {(t_{i}-p_{1})^{2}}{2p_{2}}})}$

أين${\displaystyle p\in R^{2}}$لنفترض أن لدينا

${\displaystyle f_{i}(p)\in [y_{i}]}$

أين${\displaystyle t_{i}}$و${\displaystyle [y_{i}]}$يتم تقديمها من خلال القائمة التالية

${\displaystyle \{(1,[0;0.2]),(2,[0.3;2]),(3,[0.3;2]),(4,[0.1;0.2]),(5,[0.4;2]),(6,[-1;0.1])\}}$

المجموعات${\displaystyle \lambda ^{-1}(q)}$لأنواع مختلفة${\displaystyle q}$موضحة في الشكل 4.