انعكاس المجموعة

في الرياضيات ، يُعرف انعكاس المجموعة بأنه مشكلة تحديد الصورة العكسية X لمجموعة Y بواسطة دالة f ، أي X = f ⁻¹ ( Y ) = { x ∈ R ⁿ | f ( x ) ∈ Y }. ويمكن أيضًا النظر إليه على أنه مشكلة وصف مجموعة حلول القيد الكمي " Y ( f ( x ))"، حيث Y ( y ) هو قيد، مثل متباينة ، يصف المجموعة Y.

في معظم التطبيقات، f هي دالة من R ⁿ إلى R ^p والمجموعة Y هي صندوق من R ^p (أي حاصل ضرب ديكارتي لـ p فترات من R ).

عندما تكون الدالة f غير خطية، يمكن حل مشكلة عكس المجموعة ^{[ 1 ]} باستخدام تحليل الفترات المقترن بخوارزمية التفرع والتقييد . ^{[ 2 ]}

تتلخص الفكرة الرئيسية في بناء رصف من R ^p باستخدام مربعات غير متداخلة. لكل مربع [ x ]، نجري الاختبارات التالية:

1. إذا كان f ([ x ]) ⊂ Y نستنتج أن [ x ] ⊂ X ؛
2. إذا كان f ([ x ]) ∩ Y = ∅ نستنتج أن [ x ] ∩ X = ∅؛
3. وإلا، يتم تقسيم المربع [ x ] إلى نصفين إلا إذا كان عرضه أصغر من دقة معينة.

للتحقق من الاختبارين الأولين، نحتاج إلى امتداد فاصل زمني (أو دالة تضمين) [ f ] لـ f . تُخزَّن المربعات المصنفة في مجموعات فرعية ، أي اتحاد مربعات غير متداخلة. يمكن تحسين كفاءة الخوارزمية باستبدال اختبارات التضمين بمعاملات الربط .

يتم تمثيل المجموعة X = f ⁻¹ ([4,9]) حيث f ( x ₁ , x ₂ ) = x ² ₁ + x ² ₂ في الشكل.

على سبيل المثال، بما أن [−2,1] ^² + [4,5] ^² = [0,4] + [16,25] = [16,29] لا يتقاطع مع الفترة [4,9]، نستنتج أن المربع [−2,1] × [4,5] يقع خارج X. وبما أن [−1,1] ^² + [2, √5 ] ^{² = [0,1] +} [ 4,5] = [4,6] يقع داخل الفترة [4,9]، نستنتج أن المربع بأكمله [−1,1] × [2, √5 ] يقع داخل X.

يُستخدم عكس المجموعة بشكل أساسي لتخطيط المسار ، ولتقدير مجموعة المعلمات غير الخطية ، ^{[ 3 ] [ 4 ]} ولتحديد الموقع ^{[ 5 ] [ 6 ]} أو لتوصيف مجالات استقرار الأنظمة الديناميكية الخطية . ^{[ 7 ]}