الحساب الأفيني

على سبيل المثال، بالنظر إلى الأشكال الأفينية${\displaystyle x,y}$ بالنسبة لـ X و Y ، يمكن الحصول على شكل خطي${\displaystyle z}$لإيجاد Z = X + Y ببساطة عن طريق جمع الصيغ — أي، وضع${\displaystyle z_{j}}$${\displaystyle \gets }$${\displaystyle x_{j}+y_{j}}$لكل j . وبالمثل، يمكن حساب شكل خطي${\displaystyle z}$لـ Z =${\displaystyle \alpha }$X ، حيث${\displaystyle \alpha }$ثابت معروف، عن طريق تحديد${\displaystyle z_{j}}$${\displaystyle \gets }$${\displaystyle \alpha x_{j}}$لكل j . هذا يعمم على العمليات الأفينية العشوائية مثل Z =${\displaystyle \alpha }$X +${\displaystyle \beta }$Y +${\displaystyle \gamma }$.

عملية غير خطية${\displaystyle Z}$${\displaystyle \gets }$${\displaystyle F(X,Y,}$${\displaystyle \dots }$${\displaystyle )}$مثل الضرب${\displaystyle Z}$${\displaystyle \gets }$${\displaystyle XY}$أو${\displaystyle Z}$${\displaystyle \gets }$${\displaystyle \sin(X)}$لا يمكن تنفيذ ذلك بدقة، لأن النتيجة لن تكون شكلاً خطياً من${\displaystyle \epsilon _{i}}$في هذه الحالة، ينبغي اختيار دالة خطية مناسبة G تُقارب F من الدرجة الأولى، في النطاقات التي تشير إليها${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$واحسب${\displaystyle z}$${\displaystyle \gets }$${\displaystyle G(x,y,}$${\displaystyle \dots }$${\displaystyle )+z_{k}\epsilon _{k}}$، أين${\displaystyle z_{k}}$يمثل حدًا أعلى للخطأ المطلق${\displaystyle |FG|}$في ذلك النطاق، و ${\displaystyle \epsilon _{k}}$هو متغير رمزي جديد لا يظهر بأي شكل سابق.

النموذج${\displaystyle z}$ثم يوفر ذلك غلافًا مضمونًا للكمية Z ؛ علاوة على ذلك، الأشكال الأفينية${\displaystyle x,y,}$${\displaystyle \dots }$${\displaystyle ,z}$توفر بشكل مشترك إحاطة مضمونة للنقطة ( X ، Y ، ...، Z )، والتي غالبًا ما تكون أصغر بكثير من حاصل الضرب الديكارتي لنطاقات الأشكال الفردية.

يُتيح الاستخدام المنهجي لهذه الطريقة استبدال العمليات الحسابية العشوائية على كميات مُعطاة بعمليات حسابية مُكافئة على صيغها الخطية، مع الحفاظ على الارتباطات من الدرجة الأولى بين المُدخلات والمُخرجات، وضمان التغطية الكاملة للنطاق المشترك. ببساطة، يتم استبدال كل عملية حسابية أو استدعاء دالة أساسية في الصيغة باستدعاء روتين مكتبة AA المُناسب.

بالنسبة للدوال السلسة، تتناسب أخطاء التقريب في كل خطوة مع مربع عرض ^فترات الإدخال h . ولهذا السبب، غالبًا ما تُعطي الحسابات الخطية حدودًا أدق بكثير من حسابات الفترات القياسية (التي تتناسب أخطاؤها مع h ).

لضمان التغطية المضمونة، يجب أن تأخذ عمليات الحساب الأفيني في الاعتبار أخطاء التقريب في حساب المعاملات الناتجة.${\displaystyle z_{j}}$لا يمكن القيام بذلك عن طريق تقريب كل${\displaystyle z_{j}}$في اتجاه محدد، لأن أي تقريب من هذا القبيل من شأنه أن يزيف التبعيات بين الأشكال الأفينية التي تشترك في الرمز${\displaystyle \epsilon _{j}}$بدلاً من ذلك، يجب حساب حد أعلى${\displaystyle \delta _{j}}$إلى خطأ التقريب لكل${\displaystyle z_{j}}$ثم أضف كل ذلك${\displaystyle \delta _{j}}$إلى المعامل${\displaystyle z_{k}}$الرمز الجديد${\displaystyle \epsilon _{k}}$(التقريب لأعلى). وبالتالي، بسبب أخطاء التقريب، حتى العمليات الخطية مثل Z =${\displaystyle \alpha }$X و Z = X + Y ستضيف الحد الإضافي${\displaystyle z_{k}\epsilon _{k}}$.

تؤدي معالجة أخطاء التقريب إلى زيادة تعقيد الكود ووقت تنفيذ عمليات AA. في التطبيقات التي تكون فيها هذه الأخطاء غير مهمة (لأنها تتأثر بشكل كبير بعدم اليقين في بيانات الإدخال و/أو أخطاء التخطيط الخطي)، يمكن استخدام مكتبة AA مبسطة لا تتضمن معالجة أخطاء التقريب.

يمكن تنفيذ العمليات الحسابية الأفينية باستخدام مصفوفة عامة A ومتجه عام b ، كما هو موضح أعلاه. يُعد هذا الأسلوب مناسبًا إلى حد كبير عندما تكون مجموعة الكميات المراد حسابها صغيرة ومعروفة مسبقًا. في هذا الأسلوب، يجب على المبرمج الاحتفاظ خارجيًا بالتطابق بين مؤشرات الصفوف والكميات المطلوبة. تحتوي المتغيرات العامة على عدد m من الأشكال الأفينية (الصفوف) المحسوبة حتى الآن، وعدد n من الرموز (الأعمدة) المستخدمة حتى الآن؛ ويتم تحديث هذه المتغيرات تلقائيًا في كل عملية حسابية أفينية.

بدلاً من ذلك، يمكن تنفيذ كل صيغة خطية كمتجه معاملات منفصل. يُعد هذا الأسلوب أكثر ملاءمةً للبرمجة، خاصةً عند استدعاء إجراءات المكتبة التي قد تستخدم AA داخليًا. يمكن إعطاء كل صيغة خطية اسمًا مختصرًا؛ ويمكن تخصيصها عند الحاجة، وتمريرها إلى الإجراءات، واستعادتها عند انتهاء الحاجة إليها. يصبح كود AA حينها أقرب بكثير إلى الصيغة الأصلية. يحتوي متغير عام على عدد الرموز n المستخدمة حتى الآن.

في العمليات الحسابية الطويلة نسبيًا، تكون مجموعة الكميات "الحية" (التي ستُستخدم في العمليات الحسابية المستقبلية) أصغر بكثير من مجموعة جميع الكميات المحسوبة؛ وينطبق الشيء نفسه على مجموعة الرموز "الحية".${\displaystyle \epsilon _{j}}$في هذه الحالة، تعتبر تطبيقات المصفوفة والمتجه مضيعة للوقت والمساحة.

في مثل هذه الحالات، ينبغي استخدام تطبيق متفرق . أي أن كل شكل خطي يُخزن كقائمة من الأزواج (j،${\displaystyle x_{j}}$، والتي تحتوي فقط على الحدود ذات المعاملات غير الصفرية${\displaystyle x_{j}}$لتحقيق الكفاءة، يجب ترتيب الحدود حسب ترتيب j . هذا التمثيل يجعل عمليات AA أكثر تعقيدًا إلى حد ما؛ ومع ذلك، تصبح تكلفة كل عملية متناسبة مع عدد الحدود غير الصفرية التي تظهر في المعاملات، بدلاً من عدد الرموز الإجمالية المستخدمة حتى الآن.

هذا هو التمثيل المستخدم من قبل LibAffa.