خاصية التقريب

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 23 صور
الموسوعة الحرة
إن بناء مساحة باناش بدون خاصية التقريب أكسب بير إنفلو أوزة حية في عام 1972، والتي وعد بها ستانيسواف مازور (يسار) في عام 1936. [ 1 ]

في الرياضيات ، وتحديداً في التحليل الوظيفي ، يُقال إن فضاء باناخ يتمتع بخاصية التقريب (AP) إذا كان كل مؤثر مضغوط هو نهاية لمؤثرات ذات رتبة منتهية . والعكس صحيح دائماً.

تتمتع جميع فضاءات هيلبرت بهذه الخاصية. مع ذلك، توجد فضاءات باناخ لا تتمتع بها؛ وقد نشر بير إنفلو أول مثال مضاد في مقال عام 1973. لكنّ الكثير من العمل في هذا المجال قام به غروتينديك (1955).

وفي وقت لاحق، تم العثور على العديد من الأمثلة المضادة الأخرى. المساحةل(ح){\displaystyle {\mathcal {L}}(H)}المؤثرات المحدودة على فضاء هيلبرت لا نهائي الأبعادح{\displaystyle H}لا يمتلك خاصية التقريب. [ 2 ] المساحاتℓص{\displaystyle \ell ^{p}}لص≠2{\displaystyle p\neq 2}وج0{\displaystyle c_{0}}(انظر فضاء التسلسل ) لها فضاءات فرعية مغلقة لا تمتلك خاصية التقريب.

تعريف

يُقال إن الفضاء المتجهي الطوبولوجي المحدب محليًا X يتمتع بخاصية التقريب ، إذا كان من الممكن تقريب تطبيق التطابق، بشكل منتظم على المجموعات شبه المدمجة ، بواسطة تطبيقات خطية متصلة ذات رتبة محدودة. [ 3 ]

بالنسبة للفضاء المحدب محليًا X ، فإن ما يلي متكافئ: [ 3 ]

  1. يتمتع X بخاصية التقريب؛
  2. إغلاقX′⊗X{\displaystyle X^{\prime }\otimes X}فيلص⁡(X،X){\displaystyle \operatorname {L} _{p}(X,X)}يحتوي على خريطة الهويةبطاقة تعريف:X→X{\displaystyle \operatorname {Id} :X\to X}؛
  3. X′⊗X{\displaystyle X^{\prime }\otimes X}كثيف فيلص⁡(X،X){\displaystyle \operatorname {L} _{p}(X,X)}؛
  4. لكل فضاء محدب محليًا Y ،X′⊗Y{\displaystyle X^{\prime }\otimes Y}كثيف فيلص⁡(X،Y){\displaystyle \operatorname {L} _{p}(X,Y)}؛
  5. لكل فضاء محدب محليًا Y ،Y′⊗X{\displaystyle Y^{\prime }\otimes X}كثيف فيلص⁡(Y،X){\displaystyle \operatorname {L} _{p}(Y,X)}؛

أينلص⁡(X،Y){\displaystyle \operatorname {L} _{p}(X,Y)}يشير إلى فضاء المؤثرات الخطية المستمرة من X إلى Y المزودة بطوبولوجيا التقارب المنتظم على المجموعات الفرعية المدمجة مسبقًا من X.

إذا كان X فضاء باناخ، فإن هذا الشرط يصبح أنه لكل مجموعة متراصةك⊂X{\displaystyle K\subset X}وكلε>0{\displaystyle \varepsilon >0}يوجد مشغلتي:X→X{\displaystyle T\colon X\to X}ذات رتبة محدودة بحيث‖تيx-x‖≤ε{\displaystyle \|Tx-x\|\leq \varepsilon }لكلx∈ك{\displaystyle x\in K}.

تمت دراسة بعض النكهات الأخرى لـ AP:

يتركX{\displaystyle X}كن مساحة باناش ودع1≤λ<∞{\displaystyle 1\leq \lambda <\infty }نقول إن X يمتلكλ{\displaystyle \lambda }خاصية التقريب (λ{\displaystyle \lambda }-AP )، إذا، لكل مجموعة مضغوطةك⊂X{\displaystyle K\subset X}وكلε>0{\displaystyle \varepsilon >0}يوجد مشغلتي:X→X{\displaystyle T\colon X\to X}ذات رتبة محدودة بحيث‖تيx-x‖≤ε{\displaystyle \|Tx-x\|\leq \varepsilon }لكلx∈ك{\displaystyle x\in K}، و‖تي‖≤λ{\displaystyle \|T\|\leq \lambda }.

يُقال إن فضاء باناخ يتمتع بخاصية التقريب المحدود ( BAP )، إذا كان يمتلكλ{\displaystyle \lambda }-AP لبعضλ{\displaystyle \lambda }.

يقال أن فضاء باناخ يتمتع بخاصية التقريب المتري ( MAP ) إذا كان 1-AP.

يقال أن فضاء باناخ يتمتع بخاصية التقريب المضغوط ( CAP )، إذا تم استبدال عامل ذي رتبة محدودة بعامل مضغوط في تعريف AP.

أمثلة

  • كل فضاء جزئي من أي حاصل ضرب لفضاءات هيلبرت يمتلك خاصية التقريب. [ 3 ] على وجه الخصوص،
    • تتمتع جميع فضاءات هيلبرت بخاصية التقريب.
    • كل حد إسقاطي لفضاءات هيلبرت، وكذلك أي فضاء جزئي من هذا الحد الإسقاطي، يمتلك خاصية التقريب. [ 3 ]
    • كل فضاء نووي يمتلك خاصية التقريب.
  • كل فضاء فريشيه قابل للفصل يحتوي على أساس شاودر يمتلك خاصية التقريب. [ 3 ]
  • كل فضاء ذي أساس شاودر له نقطة ارتكاز (يمكننا استخدام الإسقاطات المرتبطة بالأساس كـتي{\displaystyle T}(كما هو موضح في التعريف)، وبالتالي يمكن العثور على العديد من المساحات التي تحتوي على AP. على سبيل المثال،ℓص{\displaystyle \ell ^{p}}الفضاءات ، أو فضاء تسيريلسون المتناظر .

مراجع

  1. ↑ ميغينسون، روبرت إي. مقدمة في نظرية فضاء باناخ، ص 336
  2. ↑ شانكوفسكي، أندريه (1981). "لا يمتلك B(H) خاصية التقريب" . مجلة أكتا ماتيماتيكا . 147 : 89-108 . doi : 10.1007/BF02392870 .
  3. 1 2 3 4 5 Schaefer & Wolff 1999 ، ص. 108-115.

فهرس

  • بارتل، آر جي (1977). "MR0402468 (53 #6288) (مراجعة لكتاب بير إنفلو "مثال مضاد لمشكلة التقريب في فضاءات باناخ" Acta Mathematica 130 (1973)، 309-317)". مراجعات رياضية . MR 0402468 . 
  • إنفلو، ب. : مثال مضاد لخاصية التقريب في فضاءات باناخ. أكتا ماث. 130، 309-317 (1973).
  • جروتينديك، أ .: منتجات الشد والطوبولوجيا والفضاءات النووية . مذكرة. عامر. الرياضيات. شركة نفط الجنوب. 16 (1955).
  • هالموس، بول ر. (1978). "قواعد شاودر". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 85 (4): 256-257 . doi : 10.2307/2321165 . JSTOR 2321165. MR 0488901 .  
  • بول ر. هالموس ، "هل تباطأ التقدم في الرياضيات؟" المجلة الأمريكية للرياضيات الشهرية 97 (1990)، العدد 7، 561-588. MR 1066321 
  • ويليام ب. جونسون "فضاءات باناخ القابلة للفصل بشكل شامل ومكمل" في روبرت ج. بارتل (محرر)، 1980 دراسات في التحليل الوظيفي ، الجمعية الرياضية الأمريكية.
  • Kwapień، S. “في مثال Enflo لمساحة Banach بدون خاصية التقريب”. Séminaire Goulaouic–Schwartz 1972—1973: المعادلات المشتقة جزئيًا وتحليل الوظائف، Exp. العدد 8، 9 ص.  مركز الرياضيات، مدرسة الفنون التطبيقية، باريس، 1973. ر.م. 0407569 
  • ليندنشتراوس، ج. ؛ تزافريري، ل.: فضاءات باناخ الكلاسيكية I، فضاءات التسلسل، 1977.
  • نيديفسكي، ب.؛ ترويانسكي، س. (1973). "حلّ ب. إنفلو مسألة باناخ السلبية حول وجود أساس لكل فضاء باناخ قابل للفصل". مجلة الفيزياء والرياضيات، الأكاديمية البلغارية للعلوم ، 16 (49): 134-138 . MR 0458132 . 
  • بيتش، ألبريشت (2007). تاريخ فضاءات باناخ والمؤثرات الخطية . بوسطن، ماساتشوستس: بيركهاوزر بوسطن، المحدودة.  24 صفحة + 855 صفحة. ISBN 978-0-8176-4367-6MR 2300779 .​ 
  • كارين ساكس ، مقدمة في التحليل الوظيفي ، نصوص جامعية في الرياضيات ، 2002 سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك.
  • شيفر، هيلموت هـ .؛ وولف، إم بي (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة GTM . المجلد  3. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 9780387987262.
  • المغني، إيفان. قواعد في مساحات باناخ. ثانيا . Editura Academiei Republicii Socialiste România، بوخارست؛ سبرينغر-فيرلاغ، برلين-نيويورك، 1981. الثامن+880 ص. ISBN  3-540-10394-5MR 0610799​