الأرقام المعتمدة

الحسابات العددية المُدققة ، أو الحسابات الدقيقة ، أو الحسابات المُؤكدة ، أو الحسابات الموثوقة ، أو التحقق العددي ( بالألمانية : Zuverlässiges Rechnen )، هي حسابات عددية تتضمن تقييمًا رياضيًا دقيقًا للأخطاء (أخطاء التقريب، وأخطاء الاقتطاع، وأخطاء التقطيع)، وهي أحد فروع التحليل العددي . في هذه الحسابات، يُستخدم غالبًا حساب الفترات ، حيث تُمثل جميع النتائج بفترات. استخدم وارويك تاكر الحسابات العددية المُدققة لحل المسألة الرابعة عشرة من مسائل سميل ، ^{[ 1 ]} وهي تُعتبر اليوم أداةً فعّالة لدراسة الأنظمة الديناميكية . ^{[ 2 ]}

أهمية

قد يؤدي إجراء الحسابات دون التحقق منها إلى نتائج غير مرغوب فيها. فيما يلي بعض الأمثلة.

مثال رامب

في ثمانينيات القرن العشرين، قدّم رامب مثالاً. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} أنشأ دالة معقدة وحاول الحصول على قيمتها. بدت نتائج الدقة المفردة، والدقة المزدوجة، والدقة الموسعة صحيحة، لكن إشارة الجمع والطرح كانت مختلفة عن القيمة الحقيقية.

حل وهمي

استخدم بروير-بلوم-ماكينا طريقة الطيف لحل مسألة القيمة الحدية لمعادلة إمدن، وأفادوا بالحصول على حل غير متماثل. ^{[ 5 ]} تتعارض هذه النتيجة مع الدراسة النظرية التي أجراها جيداس-ني-نيرنبرغ والتي زعمت عدم وجود حل غير متماثل. ^{[ 6 ]} كان الحل الذي توصل إليه بروير-بلوم-ماكينا حلاً وهمياً ناتجاً عن خطأ في التقطيع. هذه حالة نادرة، لكنها تُشير إلى أنه عند مناقشة المعادلات التفاضلية بدقة، يجب التحقق من صحة الحلول العددية.

الحوادث الناجمة عن الأخطاء العددية

تُعرف الأمثلة التالية بالحوادث الناجمة عن الأخطاء العددية:

فشل اعتراض الصواريخ في حرب الخليج (1991) ^{[ 7 ]}
فشل صاروخ أريان 5 (1996) ^{[ 8 ]}
أخطاء في تجميع نتائج الانتخابات ^{[ 9 ]}

المواضيع الرئيسية

تنقسم دراسة الأرقام المعتمدة إلى المجالات التالية:

التحقق في الجبر الخطي العددي
- التحقق من صحة الحلول العددية لنظام معين من المعادلات الخطية ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}
- التحقق من صحة القيم الذاتية التي تم الحصول عليها عدديًا ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}
- حساب المحددات بدقة ^{[ 15 ]}
- التحقق من صحة الحلول العددية لمعادلات المصفوفة ^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}^{[ 18 ]}^{[ 19 ]}^{[ 20 ]}^{[ 21 ]}^{[ 22 ]}
التحقق من الوظائف الخاصة :
التحقق من التكامل العددي ^{[ 31 ]}^{[ 32 ]}^{[ 33 ]}
التحقق من المعادلات غير الخطية ( تتم دراسة نظرية كانتوروفيتش ، ^{[ 34 ]} طريقة كراوتشيك، طريقة نيوتن الفاصلية، وطريقة دوراند-كيرنر-أبرث).
التحقق من حلول المعادلات التفاضلية العادية والجزئية ^{[ 35 ]} (بالنسبة للمعادلات التفاضلية الجزئية، يتم استخدام معرفة التحليل الوظيفي . ^{[ 34 ]} )
التحقق من البرمجة الخطية ^{[ 36 ]}
التحقق من الهندسة الحسابية
التحقق في بيئة الحوسبة عالية الأداء

أدوات

مكتبة INTLAB التي تم إنشاؤها بواسطة MATLAB / GNU Octave
مكتبة kv مصممة بلغة C++ . يمكن لهذه المكتبة الحصول على مخرجات متعددة الدقة باستخدام GNU MPFR .
- kv على GitHub
مكتبة Arb مصنوعة بلغة C. وهي قادرة على حساب وظائف خاصة متنوعة بدقة .
- arb على GitHub
CAPD هي مجموعة من وحدات C++ المرنة المصممة بشكل أساسي لحساب تماثل المجموعات والخرائط والأرقام التي تم التحقق من صحتها للأنظمة الديناميكية .
مكتبة JuliaIntervals على GitHub (مكتبة من تطوير جوليا )
Boost Safe Numerics - مكتبة C++ تحتوي على ملفات رأسية فقط، تتضمن بدائل مُدققة لجميع أنواع الأعداد الصحيحة المضمنة .
- الأرقام الآمنة على GitHub

انظر أيضاً

مراجع

↑ تاكر، وارويك . (1999). "جاذبية لورينز موجودة." Comptes Rendus de l'Académie des Sciences-Series I-Mathematics , 328(12), 1197–1202.
↑ زين أراي، هيروشي كوكوبو، باويل بيلارتشيك. التطورات الحديثة في الأساليب الحسابية الدقيقة في الأنظمة الديناميكية .
↑ رامب، سيغفريد م. (1988). "خوارزميات للتحقق من صحة عمليات الإدراج: النظرية والتطبيق". في كتاب الموثوقية في الحوسبة (ص 109-126). دار النشر الأكاديمية.
↑ لوه، يوجين؛ والستر، جي. ويليام (2002). إعادة النظر في مثال رامب. الحوسبة الموثوقة، 8(3)، 245-248.
↑ بروير، ب.؛ بلوم، مايكل؛ ماكينا، باتريك ج. (2001). "الاشتمالات وإثباتات الوجود لحلول مسألة القيمة الحدية غير الخطية باستخدام الطرق العددية الطيفية." في موضوعات في التحليل العددي (ص 61-77). سبرينغر، فيينا.
↑ جيداس، ب.؛ ني، وي مينغ؛ نيرنبرغ، لويس (1979). "التناظر والخصائص ذات الصلة عبر مبدأ الحد الأقصى." الاتصالات في الفيزياء الرياضية ، 68(3)، 209-243.
↑ "فشل صاروخ باتريوت" .
↑ فشل رحلة أريان 5 رقم 501، http://sunnyday.mit.edu/nasa-class/Ariane5-report.html
↑ خطأ التقريب يُغيّر تركيبة البرلمان
↑ ياماموتو، ت. (1984). حدود الخطأ للحلول التقريبية لأنظمة المعادلات. المجلة اليابانية للرياضيات التطبيقية، 1(1)، 157.
^ أويشي، س.، & رامب، إس إم (2002). التحقق السريع من حلول المعادلات المصفوفية. الرياضيات الرقمية, 90(4)، 755-773.
^ ياماموتو، ت. (1980). حدود الخطأ للقيم الذاتية والمتجهات الذاتية المحسوبة. الرياضيات الرقمية, 34(2)، 189-199.
^ ياماموتو، ت. (1982). حدود الخطأ للقيم الذاتية والمتجهات الذاتية المحسوبة. ثانيا. الرياضيات الرقمية, 40(2), 201-206.
↑ ماير، ج. (1994). التحقق من نتائج المتجهات الذاتية والقيم الذاتية. موضوعات في الحسابات المعتمدة، إلسيفير، أمستردام، 209-276.
↑ أوجيتا، ت. (2008). حساب عددي مُدقَّق لمحدد المصفوفة. SCAN'2008 إل باسو، تكساس، 29 سبتمبر - 3 أكتوبر 2008، 86.
↑ شينيا مياجيما، حساب تم التحقق منه للحل الهيرميتي الموجب المحدد لمعادلة ريكاتي الجبرية المترافقة ذات الوقت المنفصل، مجلة الرياضيات الحسابية والتطبيقية، المجلد 350، الصفحات 80-86، أبريل 2019.
↑ شينيا مياجيما، حساب سريع تم التحقق منه للحل الأدنى غير السالب لمعادلة ريكاتي الجبرية غير المتناظرة، الرياضيات الحسابية والتطبيقية، المجلد 37، العدد 4، الصفحات 4599-4610، سبتمبر 2018.
↑ شينيا مياجيما، حساب سريع تم التحقق منه لحل معادلة سيلفستر للتطابق T، مجلة اليابان للرياضيات الصناعية والتطبيقية، المجلد 35، العدد 2، الصفحات 541-551، يوليو 2018.
↑ شينيا مياجيما، حساب سريع تم التحقق منه لحل معادلة المصفوفة التربيعية، المجلة الإلكترونية للجبر الخطي، المجلد 34، الصفحات 137-151، مارس 2018
↑ شينيا مياجيما، حساب سريع تم التحقق منه لحلول معادلات ريكاتي الجبرية الناشئة في نظرية النقل، الجبر الخطي العددي مع التطبيقات، المجلد 24، العدد 5، الصفحات 1-12، أكتوبر 2017.
↑ شينيا مياجيما، حساب سريع تم التحقق منه لحلول تثبيت معادلات ريكاتي الجبرية ذات الوقت المنفصل، مجلة الرياضيات الحسابية والتطبيقية، المجلد 319، الصفحات 352-364، أغسطس 2017.
↑ شينيا مياجيما، حساب سريع تم التحقق منه لحلول معادلات ريكاتي الجبرية ذات الزمن المستمر، مجلة اليابان للرياضيات الصناعية والتطبيقية، المجلد 32، العدد 2، الصفحات 529-544، يوليو 2015.
↑ رومب، سيغفريد م. (2014). حدود دقيقة مُثبتة لدالة غاما الحقيقية على كامل نطاق الفاصلة العائمة. النظرية غير الخطية وتطبيقاتها، IEICE، 5(3)، 339-348.
↑ ياماناكا، ناويا؛ أوكاياما، توموكي؛ أويشي، شينئيتشي (نوفمبر 2015). حدود خطأ مُثبتة لدالة غاما الحقيقية باستخدام صيغة الأسية المزدوجة على فترة شبه لانهائية. في المؤتمر الدولي حول الجوانب الرياضية لعلوم الحاسوب والمعلومات (ص 224-228). سبرينغر.
↑ يوهانسون، فريدريك (2019). التقييم العددي للدوال الإهليلجية والتكاملات الإهليلجية والأشكال النمطية. في التكاملات الإهليلجية والدوال الإهليلجية والأشكال النمطية في نظرية الحقل الكمومي (ص 269-293). سبرينغر، تشام.
↑ يوهانسون، فريدريك (2019). حساب الدوال الهندسية الفائقة بدقة. معاملات ACM في البرمجيات الرياضية (TOMS)، 45(3)، 30.
↑ يوهانسون، فريدريك (2015). حساب دقيق وعالي الدقة لدالة زيتا لهورويتز ومشتقاتها. الخوارزميات العددية، 69(2)، 253-270.
↑ مياجيما، س. (2018). حساب سريع ومُدقَّق للجذر الرئيسي للمصفوفة من الرتبة p. en: مجلة الرياضيات الحسابية والتطبيقية ، 330، 276-288.
↑ مياجيما، س. (2019). حساب موثق للوغاريتم الرئيسي للمصفوفة. الجبر الخطي وتطبيقاته، 569، 38-61.
↑ مياجيما، س. (2019). حساب موثق للدالة الأسية للمصفوفة. التقدم في الرياضيات الحاسوبية، 45(1)، 137-152.
↑ يوهانسون، فريدريك (2017). Arb: حساب فترات نصف القطر بنقطة المنتصف بدقة اختيارية فعالة. معاملات IEEE للحواسيب، 66(8)، 1281-1292.
↑ يوهانسون، فريدريك (يوليو 2018). التكامل العددي في حساب الكرة بدقة عشوائية. في المؤتمر الدولي للبرمجيات الرياضية (ص 255-263). سبرينغر، تشام.
↑ يوهانسون، فريدريك؛ ميزاروبا، مارك (2018). حساب سريع ودقيق بدقة عشوائية لعقد وأوزان تربيع غاوس-ليجندر. مجلة SIAM للحوسبة العلمية ، 40(6)، C726-C747.
1 2 إيبرهارد زايدلر ، التحليل الوظيفي غير الخطي وتطبيقاته IV. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا .
↑ ميتسوهيرو تي. ناكاو، مايكل بلوم، يوشيتاكا واتانابي (2019) طرق التحقق العددي والبراهين بمساعدة الحاسوب للمعادلات التفاضلية الجزئية (سلسلة سبرينغر في الرياضيات الحسابية).
↑ أويشي، شين إيتشي؛ تانابي، كونيو (2009). الإدراج العددي للنقطة المثلى للبرمجة الخطية. رسائل JSIAM، 1، 5-8.

للمزيد من القراءة

تاكر، وارويك (2011). الحسابات العددية المعتمدة: مقدمة موجزة للحسابات الدقيقة. مطبعة جامعة برينستون .
مور، رامون إدغار ، كيرفوت، آر. بيكر، كلاود، مايكل جيه. (2009). مقدمة في تحليل الفترات. جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية .
رامب، سيغفريد م. (2010). أساليب التحقق: نتائج دقيقة باستخدام الحساب ذي الفاصلة العائمة. أكتا نوميريكا ، 19، 287-449.

روابط خارجية

الأرقام المعتمدة للمشاة
الحوسبة الموثوقة ، مجلة إلكترونية مفتوحة مخصصة للحسابات العددية ذات الدقة المضمونة، وتحديد النطاقات، والبراهين الرياضية القائمة على حساب الفاصلة العائمة، وغيرها من النظريات والتطبيقات لحساب الفترات والتقريب الموجه.

[Tucker_1999-1] تاكر، وارويك . (1999). "جاذبية لورينز موجودة." Comptes Rendus de l'Académie des Sciences-Series I-Mathematics , 328(12), 1197–1202.

[Kokubu-2] زين أراي، هيروشي كوكوبو، باويل بيلارتشيك. التطورات الحديثة في الأساليب الحسابية الدقيقة في الأنظمة الديناميكية .

[Rump_1988-3] رامب، سيغفريد م. (1988). "خوارزميات للتحقق من صحة عمليات الإدراج: النظرية والتطبيق". في كتاب الموثوقية في الحوسبة (ص 109-126). دار النشر الأكاديمية.

[Loh_2002-4] لوه، يوجين؛ والستر، جي. ويليام (2002). إعادة النظر في مثال رامب. الحوسبة الموثوقة، 8(3)، 245-248.

[Breuer_2001-5] بروير، ب.؛ بلوم، مايكل؛ ماكينا، باتريك ج. (2001). "الاشتمالات وإثباتات الوجود لحلول مسألة القيمة الحدية غير الخطية باستخدام الطرق العددية الطيفية." في موضوعات في التحليل العددي (ص 61-77). سبرينغر، فيينا.

[Gidas_1979-6] جيداس، ب.؛ ني، وي مينغ؛ نيرنبرغ، لويس (1979). "التناظر والخصائص ذات الصلة عبر مبدأ الحد الأقصى." الاتصالات في الفيزياء الرياضية ، 68(3)، 209-243.

[Arnold-7] "فشل صاروخ باتريوت" .

[Ariane-8] فشل رحلة أريان 5 رقم 501، http://sunnyday.mit.edu/nasa-class/Ariane5-report.html

[Makeup-9] خطأ التقريب يُغيّر تركيبة البرلمان

[10] ياماموتو، ت. (1984). حدود الخطأ للحلول التقريبية لأنظمة المعادلات. المجلة اليابانية للرياضيات التطبيقية، 1(1)، 157.

[11] أويشي، س.، & رامب، إس إم (2002). التحقق السريع من حلول المعادلات المصفوفية. الرياضيات الرقمية, 90(4)، 755-773.

[12] ياماموتو، ت. (1980). حدود الخطأ للقيم الذاتية والمتجهات الذاتية المحسوبة. الرياضيات الرقمية, 34(2)، 189-199.

[13] ياماموتو، ت. (1982). حدود الخطأ للقيم الذاتية والمتجهات الذاتية المحسوبة. ثانيا. الرياضيات الرقمية, 40(2), 201-206.

[14] ماير، ج. (1994). التحقق من نتائج المتجهات الذاتية والقيم الذاتية. موضوعات في الحسابات المعتمدة، إلسيفير، أمستردام، 209-276.

[15] أوجيتا، ت. (2008). حساب عددي مُدقَّق لمحدد المصفوفة. SCAN'2008 إل باسو، تكساس، 29 سبتمبر - 3 أكتوبر 2008، 86.

[16] شينيا مياجيما، حساب تم التحقق منه للحل الهيرميتي الموجب المحدد لمعادلة ريكاتي الجبرية المترافقة ذات الوقت المنفصل، مجلة الرياضيات الحسابية والتطبيقية، المجلد 350، الصفحات 80-86، أبريل 2019.

[17] شينيا مياجيما، حساب سريع تم التحقق منه للحل الأدنى غير السالب لمعادلة ريكاتي الجبرية غير المتناظرة، الرياضيات الحسابية والتطبيقية، المجلد 37، العدد 4، الصفحات 4599-4610، سبتمبر 2018.

[18] شينيا مياجيما، حساب سريع تم التحقق منه لحل معادلة سيلفستر للتطابق T، مجلة اليابان للرياضيات الصناعية والتطبيقية، المجلد 35، العدد 2، الصفحات 541-551، يوليو 2018.

[19] شينيا مياجيما، حساب سريع تم التحقق منه لحل معادلة المصفوفة التربيعية، المجلة الإلكترونية للجبر الخطي، المجلد 34، الصفحات 137-151، مارس 2018

[20] شينيا مياجيما، حساب سريع تم التحقق منه لحلول معادلات ريكاتي الجبرية الناشئة في نظرية النقل، الجبر الخطي العددي مع التطبيقات، المجلد 24، العدد 5، الصفحات 1-12، أكتوبر 2017.

[21] شينيا مياجيما، حساب سريع تم التحقق منه لحلول تثبيت معادلات ريكاتي الجبرية ذات الوقت المنفصل، مجلة الرياضيات الحسابية والتطبيقية، المجلد 319، الصفحات 352-364، أغسطس 2017.

[22] شينيا مياجيما، حساب سريع تم التحقق منه لحلول معادلات ريكاتي الجبرية ذات الزمن المستمر، مجلة اليابان للرياضيات الصناعية والتطبيقية، المجلد 32، العدد 2، الصفحات 529-544، يوليو 2015.

[Rump_2014-23] رومب، سيغفريد م. (2014). حدود دقيقة مُثبتة لدالة غاما الحقيقية على كامل نطاق الفاصلة العائمة. النظرية غير الخطية وتطبيقاتها، IEICE، 5(3)، 339-348.

[Yamanaka_2015-24] ياماناكا، ناويا؛ أوكاياما، توموكي؛ أويشي، شينئيتشي (نوفمبر 2015). حدود خطأ مُثبتة لدالة غاما الحقيقية باستخدام صيغة الأسية المزدوجة على فترة شبه لانهائية. في المؤتمر الدولي حول الجوانب الرياضية لعلوم الحاسوب والمعلومات (ص 224-228). سبرينغر.

[Johansson_2019_1-25] يوهانسون، فريدريك (2019). التقييم العددي للدوال الإهليلجية والتكاملات الإهليلجية والأشكال النمطية. في التكاملات الإهليلجية والدوال الإهليلجية والأشكال النمطية في نظرية الحقل الكمومي (ص 269-293). سبرينغر، تشام.

[Johansson_2019_2-26] يوهانسون، فريدريك (2019). حساب الدوال الهندسية الفائقة بدقة. معاملات ACM في البرمجيات الرياضية (TOMS)، 45(3)، 30.

[Johansson_2015-27] يوهانسون، فريدريك (2015). حساب دقيق وعالي الدقة لدالة زيتا لهورويتز ومشتقاتها. الخوارزميات العددية، 69(2)، 253-270.

[28] مياجيما، س. (2018). حساب سريع ومُدقَّق للجذر الرئيسي للمصفوفة من الرتبة p. en: مجلة الرياضيات الحسابية والتطبيقية ، 330، 276-288.

[29] مياجيما، س. (2019). حساب موثق للوغاريتم الرئيسي للمصفوفة. الجبر الخطي وتطبيقاته، 569، 38-61.

[30] مياجيما، س. (2019). حساب موثق للدالة الأسية للمصفوفة. التقدم في الرياضيات الحاسوبية، 45(1)، 137-152.

[Johansson_2017-31] يوهانسون، فريدريك (2017). Arb: حساب فترات نصف القطر بنقطة المنتصف بدقة اختيارية فعالة. معاملات IEEE للحواسيب، 66(8)، 1281-1292.

[Johansson_2018_1-32] يوهانسون، فريدريك (يوليو 2018). التكامل العددي في حساب الكرة بدقة عشوائية. في المؤتمر الدولي للبرمجيات الرياضية (ص 255-263). سبرينغر، تشام.

[Johansson_2018_2-33] يوهانسون، فريدريك؛ ميزاروبا، مارك (2018). حساب سريع ودقيق بدقة عشوائية لعقد وأوزان تربيع غاوس-ليجندر. مجلة SIAM للحوسبة العلمية ، 40(6)، C726-C747.

[zeidler-34] 1 2 إيبرهارد زايدلر ، التحليل الوظيفي غير الخطي وتطبيقاته IV. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا .

[nakao-35] ميتسوهيرو تي. ناكاو، مايكل بلوم، يوشيتاكا واتانابي (2019) طرق التحقق العددي والبراهين بمساعدة الحاسوب للمعادلات التفاضلية الجزئية (سلسلة سبرينغر في الرياضيات الحسابية).

[Oishi_2009-36] أويشي، شين إيتشي؛ تانابي، كونيو (2009). الإدراج العددي للنقطة المثلى للبرمجة الخطية. رسائل JSIAM، 1، 5-8.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗