تخفيف أخطاء الفاصلة العائمة

تُعنى معالجة أخطاء الفاصلة العائمة بتقليل الأخطاء الناجمة عن عدم إمكانية تمثيل الأعداد الحقيقية بدقة في حيز ثابت. وبحسب التعريف، لا يمكن القضاء على أخطاء الفاصلة العائمة ، وفي أحسن الأحوال، لا يمكن إلا إدارتها.

أشار هوبيرتو إم. سييرا في براءة اختراعه لعام 1956 بعنوان "وسائل التحكم الحسابي ذات الفاصلة العشرية العائمة للآلة الحاسبة": ^{[ 1 ]}

وبالتالي، في بعض الحالات، قد يقع الجزء الأكبر من أرقام البيانات المهمة خارج سعة السجلات. لذلك، قد تكون النتيجة المُتحصَّل عليها عديمة الجدوى إن لم تكن خاطئة تمامًا.

كان جهاز Z1 ، الذي طوره كونراد تسوزه عام 1936، أول حاسوب يستخدم العمليات الحسابية ذات الفاصلة العائمة ، وبالتالي كان عرضة لأخطاء الفاصلة العائمة. مع ذلك، لم تكن الحواسيب المبكرة، التي كانت أزمنة عملياتها تُقاس بالمللي ثانية، قادرة على حل المشكلات الكبيرة والمعقدة ^{[ 2 ]} ، ولذلك نادراً ما كانت تعاني من أخطاء الفاصلة العائمة. أما اليوم، ومع قياس أداء أنظمة الحواسيب العملاقة بوحدات البيتافلوب ، تُعدّ أخطاء الفاصلة العائمة مصدر قلق بالغ لحلّ المشكلات الحسابية.

تصف الأقسام التالية نقاط القوة والضعف في الوسائل المختلفة للتخفيف من أخطاء الفاصلة العائمة.

على الرغم من أنها ليست محور التركيز الأساسي للتحليل العددي ، ^{[ 3 ] [ 4 ] : ​​5} يوجد تحليل الخطأ العددي لتحليل وتقليل خطأ التقريب ذي الفاصلة العائمة.

يتم إجراء تحليل الأخطاء بواسطة حساب مونت كارلو عن طريق إدخال أخطاء صغيرة بشكل متكرر في قيم بيانات الخوارزمية وتحديد التأثير النسبي على النتائج.

توسيع الدقة هو استخدام تمثيلات أكبر للقيم الحقيقية من التمثيل الأولي. يُعرّف معيار IEEE 754 الدقة بأنها عدد الأرقام المتاحة لتمثيل الأعداد الحقيقية. يمكن للغة برمجة أن تتضمن دقة أحادية (32 بت)، ودقة مزدوجة (64 بت)، ودقة رباعية (128 بت). مع أن توسيع الدقة يقلل من احتمالية حدوث الأخطاء أو أهميتها، إلا أن الدقة الحقيقية للنتائج لا تزال غير معروفة.

تمثل العمليات الحسابية ذات الطول المتغير الأرقام كسلسلة من الأرقام ذات طول متغير، لا يحده سوى الذاكرة المتاحة. وتُعد هذه العمليات أبطأ بكثير من تعليمات الفاصلة العائمة ذات الطول الثابت. وعندما لا يكون الأداء العالي شرطًا أساسيًا، ولكن الدقة العالية ضرورية، قد تكون العمليات الحسابية ذات الطول المتغير مفيدة، مع العلم أن دقة النتيجة الفعلية قد لا تكون معروفة.

تُتيح خوارزمية الفاصلة العائمة المعروفة باسم TwoSum ^{[ 5 ]} أو 2Sum ، والتي طُوّرت بواسطة كنوت ومولر، ونسختها الأبسط ولكن المحدودة FastTwoSum أو Fast2Sum (بثلاث عمليات بدلاً من ست)، الحصول على حد الخطأ (الدقيق) لعملية جمع الفاصلة العائمة مُقرّبًا إلى أقرب عدد صحيح. كما يُمكن الحصول على حد الخطأ (الدقيق) لعملية ضرب الفاصلة العائمة مُقرّبًا إلى أقرب عدد صحيح في عمليتين باستخدام عملية الضرب والجمع المدمجة (FMA)، أو في 17 عملية إذا لم تكن عملية الضرب والجمع المدمجة متاحة (باستخدام خوارزمية من تطوير ديكر). يُمكن استخدام حدود الخطأ هذه في الخوارزميات لتحسين دقة النتيجة النهائية، على سبيل المثال باستخدام توسعات الفاصلة العائمة أو الخوارزميات المُعوّضة .

تم توحيد العمليات التي تعطي نتيجة الجمع أو الضرب ذي الفاصلة العائمة المقربة إلى أقرب عدد صحيح مع حد الخطأ الخاص بها (ولكنها تختلف قليلاً عن الخوارزميات المذكورة أعلاه) والتوصية بها في معيار IEEE 754-2019.

إن تغيير الأساس ، وخاصة من النظام الثنائي إلى النظام العشري، يمكن أن يساعد في تقليل الخطأ وتحسين التحكم في التقريب في بعض التطبيقات، مثل التطبيقات المالية .

الحساب الفتري هو أسلوب رياضي يُستخدم لوضع حدود لأخطاء التقريب وأخطاء القياس في العمليات الحسابية . القيم عبارة عن فترات، يمكن تمثيلها بطرق مختلفة، مثل: ^{[ 6 ]}

• inf-sup: حد أدنى وحد أعلى للقيمة الحقيقية؛
• منتصف نصف القطر: تقريب وحدود الخطأ (تسمى نقطة المنتصف ونصف قطر الفترة)؛
• المصفوفة الثلاثية: تقريب، حد أدنى وحد أعلى للخطأ.

بدلاً من استخدام عدد عشري واحد كتقريب لقيمة متغير حقيقي في النموذج الرياضي قيد الدراسة، فإن الحساب الفتري يُقر بالدقة المحدودة من خلال ربط المتغير بمجموعة من الأعداد الحقيقية كقيم محتملة. ولتسهيل التخزين والحساب، تقتصر هذه المجموعات على الفترات. ^{[ 7 ]}

قد يوفر تقييم التعبير الحسابي للفترات نطاقًا واسعًا من القيم، ^{[ 7 ]} وقد يبالغ بشكل كبير في تقدير حدود الخطأ الحقيقية. ^{[ 8 ] : 8}

الأعداد العالمية ( Unums ) هي امتداد للحساب ذي الطول المتغير، اقترحها جون غوستافسون . ^{[ 9 ]} تحتوي الأعداد العالمية على حقول ذات أطوال متغيرة للأس والجزء الكسري ، وتُحمل معلومات الخطأ في بت واحد، يُسمى البت العالمي (ubit)، والذي يُمثل الخطأ المُحتمل في أقل بت دلالة في الجزء الكسري ( ULP ). ^{[ 9 ] : 4}

يشكك ويليام كاهان في فعالية الأونوم . ^{[ 8 ]}

تُعدّ طريقة الفاصلة العائمة المحدودة طريقةً اقترحها آلان يورغنسن وحصل على براءة اختراع لها. ^{[ 10 ]} يتضمن هيكل البيانات بنية بيانات IEEE 754 القياسية وتفسيرها، بالإضافة إلى معلومات حول الخطأ بين القيمة الحقيقية المُمثلة والقيمة المخزنة بواسطة تمثيل الفاصلة العائمة. ^{[ 11 ]}

تعرض نظام الفاصلة العائمة المحدود لانتقادات باعتباره مشتقًا من عمل غوستافسون حول الأعداد الفريدة والحساب الفاصل. ^{[ 10 ] [ 12 ]}