كبير بشكل تعسفي

في الرياضيات ، تُستخدم عبارات "كبير جدًا" و "صغير جدًا" و "طويل جدًا" في العبارات لتوضيح أن شيئًا ما كبير أو صغير أو طويل دون قيود تُذكر، على التوالي. ويُستخدم مصطلح "بشكل تعسفي" غالبًا في سياق الأعداد الحقيقية (ومجموعاتها الجزئية )، مع أن معناه قد يختلف عن معنى "بشكل كافٍ" و"بشكل لانهائي".

البيان

"${\displaystyle f(x)}$تكون غير سالبة لأي قيمة كبيرة بشكل تعسفي${\displaystyle x}$"

هو اختصار لـ:

"لكل عدد حقيقي"${\displaystyle n}$،${\displaystyle f(x)}$تكون غير سالبة لقيمة معينة من${\displaystyle x}$أكبر من${\displaystyle n}$"

في اللغة الدارجة، يُستخدم مصطلح "طويل بشكل تعسفي" غالبًا في سياق متواليات الأعداد. على سبيل المثال، القول بوجود " متواليات حسابية طويلة بشكل تعسفي من الأعداد الأولية " لا يعني وجود أي متوالية حسابية لانهائية من الأعداد الأولية (فهي غير موجودة)، ولا يعني وجود أي متوالية حسابية محددة من الأعداد الأولية تُعتبر "طويلة بشكل تعسفي" بمعنى ما. بل يُستخدم هذا المصطلح للإشارة إلى حقيقة أنه مهما بلغ حجم العدد${\displaystyle n}$أي أن هناك متتالية حسابية من الأعداد الأولية بطول لا يقل عن${\displaystyle n}$[ ^{1 ]​}

على غرار مصطلح "كبير بشكل تعسفي"، يمكن تعريف عبارة "${\displaystyle P(x)}$ينطبق ذلك على الأعداد الحقيقية الصغيرة بشكل تعسفي، كما يلي: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \forall \epsilon \in \mathbb {R} _{+},\,\exists x\in \mathbb {R}$ :|x|<\epsilon \land P(x)}

بعبارة أخرى:

مهما كان العدد صغيراً، فسيكون هناك عدد${\displaystyle x}$أصغر منها بحيث${\displaystyle P(x)}$يحجز.

على الرغم من التشابه، فإنّ "كبير بشكل تعسفي" لا يُعادل " كبير بما فيه الكفاية ". فعلى سبيل المثال، صحيحٌ أن الأعداد الأولية يُمكن أن تكون كبيرة بشكل تعسفي (نظرًا لوجود عدد لا نهائي منها وفقًا لنظرية إقليدس )، إلا أنه ليس صحيحًا أن جميع الأعداد الكبيرة بما فيه الكفاية هي أعداد أولية.

كمثال آخر، العبارة "${\displaystyle f(x)}$تكون غير سالبة لأي قيمة كبيرة بشكل تعسفي${\displaystyle x}$يمكن إعادة كتابة العبارة على النحو التالي:

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {R} {\mbox{, }}\exists x\in \mathbb {R} {\mbox{ such that }}x>n\land f(x)\geq 0}$

لكن باستخدام عبارة " كبير بما فيه الكفاية "، تصبح العبارة نفسها كالتالي:

${\displaystyle \exists n\in \mathbb {R} {\mbox{ such that }}\forall x\in \mathbb {R} {\mbox{, }}x>n\Rightarrow f(x)\geq 0}$

علاوة على ذلك، فإن مصطلح "كبير بشكل تعسفي" لا يعني بالضرورة " كبير بلا حدود ". فعلى سبيل المثال، على الرغم من أن الأعداد الأولية يمكن أن تكون كبيرة بشكل تعسفي، إلا أنه لا يوجد عدد أولي كبير بلا حدود، لأن جميع الأعداد الأولية (وكذلك جميع الأعداد الصحيحة الأخرى) محدودة.

في بعض الحالات، عبارات مثل "الاقتراح"${\displaystyle P(x)}$ينطبق هذا على القيم الكبيرة بشكل تعسفي${\displaystyle x}$تُستخدم علامات التنصيص بشكل أساسي للتأكيد، كما في "${\displaystyle P(x)}$ينطبق هذا على الجميع${\displaystyle x}$بغض النظر عن حجمها${\displaystyle x}$في هذه الحالات، لا تحمل عبارة "كبيرة بشكل تعسفي" المعنى المذكور أعلاه (أي، "مهما كان العدد كبيرًا، فسيكون هناك عدد أكبر منه بحيث يكون${\displaystyle P(x)}$لا يزال قائماً." ^{[ 3 ]} ). بدلاً من ذلك، فإن الاستخدام في هذه الحالة مرادف منطقياً لكلمة "الكل".

• كبير بما فيه الكفاية
• المصطلحات الرياضية