تجربة عاملية

في الإحصاء ، تُجرى تجربة عاملية (تُعرف أيضًا بالتجربة العاملية الكاملة ) لدراسة كيفية تأثير عوامل متعددة على نتيجة محددة، تُسمى المتغير التابع . يُختبر كل عامل عند قيم أو مستويات مختلفة، وتشمل التجربة جميع التوليفات الممكنة لهذه المستويات عبر جميع العوامل. يُمكّن هذا النهج الشامل الباحثين من رؤية ليس فقط كيفية تأثير كل عامل على حدة على النتيجة، بل أيضًا كيفية تفاعل العوامل وتأثيرها المتبادل.

غالباً ما تُبسّط التجارب العاملية الأمور باستخدام مستويين فقط لكل عامل. فعلى سبيل المثال، يحتوي تصميم عاملي 2×2 على عاملين، لكل منهما مستويان، مما ينتج عنه أربع تركيبات فريدة للاختبار. وغالباً ما يكون التفاعل بين هذين العاملين هو النتيجة الأهم، حتى وإن كان لكل عامل تأثيره الخاص.

إذا أصبح تصميم العامل الكامل معقدًا للغاية بسبب العدد الهائل من التوليفات، يمكن للباحثين استخدام تصميم العامل الجزئي . تعتمد هذه الطريقة على حذف بعض التوليفات بشكل استراتيجي (عادةً النصف على الأقل) لجعل التجربة أكثر سهولة في الإدارة.

تُسمى هذه المجموعات من مستويات العوامل أحيانًا بالتشغيلات (للتجربة)، والنقاط (عند النظر إلى المجموعات على أنها رؤوس الرسم البياني )، والخلايا (التي تنشأ كتقاطعات بين الصفوف والأعمدة).

تم استخدام التصاميم العاملية في القرن التاسع عشر من قبل جون بينيت لوز وجوزيف هنري جيلبرت من محطة روثامستيد التجريبية . ^{[ 1 ]}

جادل رونالد فيشر في عام 1926 بأن التصاميم "المعقدة" (مثل التصاميم العاملية) كانت أكثر كفاءة من دراسة عامل واحد في كل مرة. ^{[ 2 ]} كتب فيشر،

لا توجد مقولة أكثر شيوعًا في سياق التجارب الميدانية من ضرورة طرح أسئلة قليلة على الطبيعة، أو سؤال واحد في كل مرة، إن أمكن. ويرى الكاتب أن هذا الرأي خاطئ تمامًا. ويشير إلى أن الطبيعة ستستجيب على أفضل وجه لاستبيان منطقي ومدروس بعناية؛ بل إنها غالبًا ما ترفض الإجابة إذا طرحنا عليها سؤالًا واحدًا فقط، إلى أن نناقش موضوعًا آخر.

يسمح التصميم العاملي بتحديد تأثير عدة عوامل وحتى التفاعلات بينها بنفس عدد التجارب اللازمة لتحديد أي من التأثيرات بمفردها بنفس درجة الدقة.

قدم فرانك ييتس مساهمات كبيرة، لا سيما في تحليل التصاميم، من خلال تحليل ييتس .

ربما لم يكن مصطلح "العامل" مستخدمًا في المطبوعات قبل عام 1935، عندما استخدمه فيشر في كتابه "تصميم التجارب" . ^{[ 3 ]}

يكتفي كثير من الباحثين بدراسة تأثير عامل أو متغير واحد فقط. وبالمقارنة مع تجارب دراسة عامل واحد في كل مرة ، توفر التجارب العاملية عدة مزايا ^{[ 4 ] [ 5 ].}

• تُعدّ التصاميم العاملية أكثر كفاءة من تجارب OFAT، إذ توفر معلومات أكثر بتكلفة مماثلة أو أقل، كما أنها قادرة على إيجاد الظروف المثلى بشكل أسرع.
• عندما يختلف تأثير أحد العوامل باختلاف مستويات عامل آخر، لا يمكن الكشف عن هذا التأثير باستخدام تصميم تجريبي أحادي العامل (OFAT). لذا، يتطلب الكشف عن هذه التفاعلات استخدام تصميمات عاملية . إن استخدام تصميم OFAT في وجود تفاعلات قد يؤدي إلى سوء فهم كبير لكيفية تغير الاستجابة بتغير العوامل.
• تسمح التصاميم العاملية بتقدير تأثيرات عامل ما على عدة مستويات من العوامل الأخرى، مما يؤدي إلى استنتاجات صالحة عبر مجموعة من الظروف التجريبية.

تتمثل العيوب الرئيسية للتصميم العاملي الكامل في حجم العينة المطلوب، والذي يزداد بشكل كبير مع عدد العوامل أو المدخلات التي يتم أخذها في الاعتبار. ^{[ 6 ]} تشمل الاستراتيجيات البديلة ذات الكفاءة الحسابية المحسّنة التصاميم العاملية الجزئية ، وأخذ عينات المكعب الفائق اللاتيني ، وتقنيات أخذ العينات شبه العشوائية .

مثال على مزايا التجارب العاملية

في كتابه " تحسين أي شيء تقريبًا: أفكار ومقالات" ، يقدم الإحصائي جورج بوكس ​​أمثلة عديدة على فوائد التجارب العاملية. إليكم أحدها: ^{[ 7 ]} أراد مهندسو شركة SKF، المتخصصة في تصنيع المحامل، معرفة ما إذا كان تغيير تصميم المحامل إلى تصميم "قفص" أقل تكلفة سيؤثر على عمرها الافتراضي . فطلب المهندسون من كريستر هيلستراند، وهو إحصائي، المساعدة في تصميم التجربة. ^{[ 8 ]}

يُبلغ الصندوق بما يلي. تم تقييم النتائج من خلال اختبار تسريع العمر الافتراضي. ... كانت التجارب مكلفة لأنها تطلبت إجراءها على خط إنتاج فعلي، وكان القائمون على التجربة يخططون لإجراء أربع تجارب باستخدام القفص القياسي وأربع تجارب أخرى باستخدام القفص المُعدَّل. سأل كريستر عما إذا كانت هناك عوامل أخرى يرغبون في اختبارها. فأجابوا بالإيجاب، لكن إجراء تجارب إضافية سيتجاوز ميزانيتهم. أوضح لهم كريستر كيف يمكنهم اختبار عاملين إضافيين "مجانًا" - دون زيادة عدد التجارب ودون تقليل دقة تقديرهم لتأثير القفص. في هذا الترتيب، المسمى تصميمًا عامليًا 2×2×2، يتم تشغيل كل عامل من العوامل الثلاثة على مستويين، مع تضمين جميع التركيبات الثمانية الممكنة. يمكن تمثيل التركيبات المختلفة بسهولة على شكل رؤوس مكعب ... في كل حالة، يُشار إلى الحالة القياسية بعلامة ناقص، وإلى الحالة المُعدَّلة بعلامة زائد. العوامل التي تم تغييرها هي المعالجة الحرارية، وتذبذب الحلقة الخارجية، وتصميم القفص. تُظهر الأرقام أعمار المحامل النسبية. إذا نظرت إلى [مخطط المكعب]، يمكنك أن ترى أن اختيار تصميم القفص لم يكن يُحدث ذلك فرقًا كبيرًا. ... ولكن، إذا قمت بحساب متوسط ​​أزواج الأرقام لتصميم القفص، فستحصل على [الجدول أدناه]، الذي يوضح تأثير العاملين الآخرين. ... وقد أدى ذلك إلى اكتشافٍ مذهل، وهو أنه في هذا التطبيق تحديدًا، يمكن زيادة عمر المحمل خمسة أضعاف إذا زادت معًا كلٌ من معالجة الحلقة الخارجية بالتمايل ومعالجة الحلقة الداخلية بالحرارة.

عمر المحمل مقابل الحرارة والتمغنط

	التقبيل -	التقبيل +
الحرارة -	18	23
حرارة +	21	106

"بالنظر إلى أن محامل كهذه تُصنع منذ عقود، فمن المثير للدهشة في البداية أن يستغرق اكتشاف هذا التحسين المهم كل هذا الوقت. والتفسير المحتمل هو أن معظم المهندسين، حتى وقت قريب، كانوا يستخدمون عاملاً واحداً فقط في كل تجربة، مما أدى إلى إغفال تأثيرات التفاعل ."

أبسط تجربة عاملية تتضمن مستويين لكل عامل من عاملين. لنفترض أن مهندسًا يرغب في دراسة إجمالي الطاقة المستهلكة بواسطة محركين مختلفين، أ و ب، يعملان بسرعتين مختلفتين، 2000 أو 3000 دورة في الدقيقة. تتكون التجربة العاملية من أربع وحدات تجريبية: المحرك أ بسرعة 2000 دورة في الدقيقة، والمحرك ب بسرعة 2000 دورة في الدقيقة، والمحرك أ بسرعة 3000 دورة في الدقيقة، والمحرك ب بسرعة 3000 دورة في الدقيقة. كل تركيبة من مستوى واحد مُختار من كل عامل موجودة مرة واحدة.

تُعد هذه التجربة مثالاً على تجربة عاملية 2 ² (أو 2×2)، وقد سميت بهذا الاسم لأنها تأخذ في الاعتبار مستويين (الأساس) لكل عامل من عاملين (القوة أو الرقم العلوي)، أو عدد المستويات وعدد ^{العوامل} ، مما ينتج عنه 2 ² = 4 نقاط عاملية.

قد تتضمن التصاميم العديد من المتغيرات المستقلة. كمثال آخر، يمكن تقييم تأثيرات ثلاثة متغيرات إدخال في ثماني حالات تجريبية موضحة على شكل زوايا مكعب.

يمكن إجراء هذه الدراسة مع أو بدون تكرار، وذلك بحسب الغرض منها والموارد المتاحة. وستوضح الدراسة تأثيرات المتغيرات المستقلة الثلاثة على المتغير التابع والتفاعلات المحتملة بينها.

تُوصَف التجارب العاملية بعنصرين: عدد العوامل، وعدد مستويات كل عامل. على سبيل المثال، تحتوي تجربة عاملية 2×3 على عاملين، الأول بمستويين والثاني بثلاثة مستويات. تحتوي هذه التجربة على 6 مجموعات معالجة أو خلايا (2×3). وبالمثل، تحتوي تجربة 2×2×3 على ثلاثة عوامل، اثنان بمستويين وواحد بثلاثة مستويات، ليصبح المجموع 12 مجموعة معالجة. إذا كان لكل عامل s مستوى (ما يُسمى بالتصميم ذي المستوى الثابت أو المتناظر )، يُرمز للتجربة عادةً بـ s ^k ، حيث k هو عدد العوامل. وبالتالي، تحتوي تجربة 2 ⁵ على 5 عوامل، كل منها بمستويين. أما التجارب التي لا تكون ذات مستوى ثابت فتُسمى تجارب ذات مستوى مختلط أو غير متناظرة .

توجد تقاليد مختلفة للدلالة على مستويات كل عامل. إذا كان للعامل وحدات قياس طبيعية، تُستخدم هذه الوحدات. على سبيل المثال، قد تتضمن تجربة تربية الروبيان ^{[ 9 ]} عوامل مثل درجة الحرارة عند 25  درجة مئوية و35  درجة مئوية، والكثافة عند 80 أو 160 روبيان/40 لترًا، والملوحة عند 10% و25% و40%. مع ذلك، في كثير من الحالات، تكون مستويات العوامل مجرد فئات، ويكون ترميز المستويات اعتباطيًا إلى حد ما. على سبيل المثال، قد تُرمز مستويات عامل ذي 6 مستويات ببساطة بالأرقام 1، 2، ...، 6.

تُرمز إلى مجموعات المعالجة بأزواج مرتبة، أو بشكل أعم، بمجموعات مرتبة . في تجربة الاستزراع المائي، تمثل المجموعة المرتبة (25، 80، 10) مجموعة المعالجة التي تحتوي على أدنى مستوى لكل عامل. في تجربة عامة 2×3، يشير الزوج المرتب (2، 1) إلى الخلية التي يكون فيها العامل أ عند المستوى 2 والعامل ب عند المستوى 1. غالبًا ما تُحذف الأقواس، كما هو موضح في الجدول المرفق.

للدلالة على مستويات العوامل في تجارب 2k ^، تظهر ثلاثة أنظمة محددة في الأدبيات:

• القيمتان 1 و 0؛
• القيمتان 1 و -1، وغالبًا ما يتم اختصارهما ببساطة بواسطة + و -؛
• حرف صغير ذو أس 0 أو 1.

إذا كانت هذه القيم تمثل مستويات "منخفضة" و"عالية" للمعالجة، فمن الطبيعي أن يُمثل الرقم 1 المستوى "العالي"، سواءً باستخدام 0 و1 أو -1 و1. يوضح الجدول المرفق هذا الأمر لتجربة 2×2. أما إذا كانت مستويات العامل مجرد فئات، فقد يختلف التوافق؛ فعلى سبيل المثال، من الطبيعي تمثيل حالتي "التحكم" و"التجريبي" بترميز "التحكم" بالرقم 0 عند استخدام 0 و1، وبالرقم 1 عند استخدام 1 و-1. ^{[ ملاحظة 1 ]} يرد أدناه مثال على الحالة الأخيرة . يوضح هذا المثال استخدامًا آخر للترميز +1 و-1.

في التجارب الأخرى ذات المستوى الثابت ( s ^k )، تُستخدم القيم 0، 1، ...، s −1 غالبًا للدلالة على مستويات العوامل. هذه هي قيم الأعداد الصحيحة بتردد s عندما يكون s عددًا أوليًا. ^{[ ملاحظة 2 ]}

يُطلق على الاستجابة المتوقعة لمجموعة علاجية معينة اسم متوسط ​​الخلية ، ^{[ 12 ]} ويُرمز إليه عادةً بالحرف اليوناني μ. (مصطلح الخلية مُستعار من استخدامه في جداول البيانات ). يتم توضيح هذه الرموز هنا لتجربة 2 × 3.

إن التباين في متوسطات الخلايا هو عبارة عن تركيبة خطية من متوسطات الخلايا التي يكون مجموع معاملاتها صفرًا. وتُعد التباينات ذات أهمية في حد ذاتها، وهي اللبنات الأساسية التي يتم من خلالها تحديد التأثيرات الرئيسية والتفاعلات.

في تجربة 2 × 3 الموضحة هنا، التعبير

هو تباين يقارن متوسط ​​استجابات مجموعتي العلاج 11 و12. (المعاملات هنا هي 1 و-1).

ويُقال إنها تنتمي إلى التأثير الرئيسي للعامل أ، حيث إنها تقارن الاستجابات للمستوى "1" من العامل${\displaystyle A}$مع تلك الخاصة بالمستوى "2". يُقال إن التأثير الرئيسي لـ A غائب إذا كانت القيم الحقيقية لمتوسطات الخلايا${\displaystyle \mu _{ij}}$اجعل هذا التعبير يساوي 0. بما أن المتوسطات الحقيقية للخلايا غير قابلة للملاحظة من حيث المبدأ، يتم استخدام اختبار الفرضية الإحصائية لتقييم ما إذا كان هذا التعبير يساوي 0.

التفاعل في التجربة العاملية هو غياب خاصية الجمع بين العوامل، ويُعبَّر عنه أيضًا بالتباينات. في تجربة 2 × 3، تكون التباينات

ينتمي إلى التفاعل A × B ؛ ويكون التفاعل غائبًا (الجمعية موجودة ) إذا كانت هذه التعبيرات تساوي صفرًا. ^{[ 13 ] [ 14 ]} يمكن النظر إلى الجمعية على أنها نوع من التوازي بين العوامل، كما هو موضح في قسم التحليل أدناه . وكما هو الحال مع التأثيرات الرئيسية، يتم تقييم فرضية الجمعية من خلال إجراء اختبار فرضية.

بما أن معاملات هذه التباينات هي التي تحمل المعلومات الأساسية، فإنها غالبًا ما تُعرض كمتجهات عمودية . بالنسبة للمثال أعلاه، قد يبدو هذا الجدول كما يلي: ^{[ 15 ]}

متجهات التباين لتجربة العاملية 2 × 3

خلية	${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$		${\displaystyle A\times B}$
11	1	1	0	1	1
12	1	-1	1	-1	0
13	1	0	-1	0	-1
21	-1	1	0	-1	-1
22	-1	-1	1	1	0
23	-1	0	-1	0	1

تُسمى أعمدة هذا الجدول متجهات التباين : مجموع مكوناتها يساوي صفرًا. يتم تحديد كل تأثير من خلال نمط المكونات في أعمدته وعدد الأعمدة .

تعكس أنماط مكونات هذه الأعمدة التعريفات العامة التي قدمها بوز : ^{[ 16 ]}

• ينتمي متجه التباين إلى التأثير الرئيسي لعامل معين إذا كانت قيم مكوناته تعتمد فقط على مستوى ذلك العامل.
• ينتمي متجه التباين إلى تفاعل عاملين ، ولنقل A و B ، إذا (1) كانت قيم مكوناته تعتمد فقط على مستويات A و B ، و(2) كان متعامدًا ( ^{عموديًا} ) على متجهات التباين التي تمثل التأثيرات الرئيسية لـ A و B. ^{[ ملاحظة 3} ]

تنطبق تعريفات مماثلة على تفاعلات أكثر من عاملين. ففي مثال 2 × 3، على سبيل المثال، يتبع نمط العمود A نمط مستويات العامل A ، المشار إليه بالمكون الأول لكل خلية. وبالمثل، يتبع نمط الأعمدة B مستويات العامل B (ويسهل فرز البيانات حسب B ملاحظة ذلك).

عدد الأعمدة اللازمة لتحديد كل تأثير هو درجات حرية ذلك التأثير، ^{[ ملاحظة 4 ]} وهو كمية أساسية في تحليل التباين . الصيغة كما يلي: ^{[ 18 ] [ 19 ]}

• التأثير الرئيسي لعامل ذي s مستويات له s −1 درجة حرية.
• إن تفاعل عاملين بمستويين s ₁ و s ₂ على التوالي له ( s ₁ −1)( s ₂ −1) درجة من درجات الحرية.

تتبع الصيغة الخاصة بأكثر من عاملين هذا النمط. في المثال 2 × 3 أعلاه، تكون درجات الحرية للتأثيرين الرئيسيين والتفاعل - أي عدد الأعمدة لكل منهما - 1 و2 و2 على التوالي.

أمثلة

في الجداول الواردة في الأمثلة التالية، تمثل القيم في عمود "الخلية" مجموعات العلاج: المكون الأول لكل مجموعة هو مستوى العامل أ ، والثاني هو مستوى العامل ب ، والثالث (في مثال 2 × 2 × 2) هو مستوى العامل ج . مجموع القيم في كل عمود من الأعمدة الأخرى يساوي صفرًا، بحيث يكون كل عمود متجه تباين.

متجهات التباين في أ${\displaystyle 3\times 3}$تجربة

خلية	${\displaystyle A}$		${\displaystyle B}$		${\displaystyle A\times B}$
٠٠	1	1	1	1	1	1	1	1
01	1	1	-1	0	-1	0	-1	0
02	1	1	0	-1	0	-1	0	-1
10	-1	0	1	1	-1	-1	0	0
11	-1	0	-1	0	1	0	0	0
12	-1	0	0	-1	0	1	0	0
20	0	-1	1	1	0	0	-1	-1
21	0	-1	-1	0	0	0	1	0
22	0	-1	0	-1	0	0	0	1

تجربة 3 × 3: نتوقع هنا درجتي حرية لكل من التأثيرين الرئيسيين للعاملين A و B (3-1 = 2 )، و4 درجات حرية للتفاعل A × B (3-1)(3-1) = 4. وهذا يفسر عدد الأعمدة لكل تأثير في الجدول المرفق.

يعتمد متجهي التباين للمتغير A فقط على مستوى العامل A. ويتضح ذلك من خلال ملاحظة أن نمط القيم في كل عمود من أعمدة A هو نفسه نمط المكون الأول من "الخلية". (إذا لزم الأمر، سيظهر ذلك عند فرز الجدول حسب A ). وبالتالي، ينتمي هذان المتجهان إلى التأثير الرئيسي للمتغير A. وبالمثل، يعتمد متجهي التباين للمتغير B فقط على مستوى العامل B ، أي المكون الثاني من "الخلية"، لذا فهما ينتميان إلى التأثير الرئيسي للمتغير B.

تنتمي متجهات الأعمدة الأربعة الأخيرة إلى التفاعل A × B ، حيث تعتمد قيمها على قيم كلا العاملين، ولأن جميع الأعمدة الأربعة متعامدة مع أعمدة A و B. ويمكن التحقق من ذلك بحساب الضرب النقطي .

تجربة 2 × 2 × 2: ستكون لكل تأثير رئيسي وتفاعل درجة حرية واحدة. على سبيل المثال، سيكون للتفاعل بين عاملين (2-1)(2-1) = درجة حرية واحدة. وبالتالي، يكفي عمود واحد لتحديد كل تأثير من التأثيرات السبعة.

متجهات التباين في أ${\displaystyle 2\times 2\times 2}$تجربة

خلية	${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle C}$	${\displaystyle AB}$	${\displaystyle AC}$	${\displaystyle BC}$	${\displaystyle ABC}$
٠٠٠	1	1	1	1	1	1	1
001	1	1	-1	1	-1	-1	-1
010	1	-1	1	-1	1	-1	-1
011	1	-1	-1	-1	-1	1	1
100	-1	1	1	-1	-1	1	-1
101	-1	1	-1	-1	1	-1	1
110	-1	-1	1	1	-1	-1	1
111	-1	-1	-1	1	1	1	-1

تمثل الأعمدة A و B و C التأثيرات الرئيسية المقابلة، حيث تعتمد القيم في كل عمود على مستوى العامل المقابل فقط. على سبيل المثال، تتبع القيم في العمود B نفس نمط المكون الأوسط لـ "الخلية"، كما يتضح من خلال فرز البيانات حسب B.

تمثل الأعمدة AB و AC و BC التفاعلات الثنائية المقابلة. على سبيل المثال، (أ) تعتمد القيم في العمود BC على المكونين الثاني والثالث ( B و C ) للخلية ، وهي مستقلة عن المكون الأول ( A )، كما يتضح من خلال الفرز حسب BC ؛ و(ب) العمود BC متعامد مع العمودين B و C ، كما يمكن التحقق من ذلك بحساب حاصل الضرب النقطي.

وأخيرًا، يمثل عمود ABC التفاعل الثلاثي العوامل: تعتمد مدخلاته على مستويات العوامل الثلاثة جميعها، وهو متعامد مع متجهات التباين الستة الأخرى.

عند دمجها وقراءتها صفًا تلو الآخر، تعطي الأعمدة A وB وC تدوينًا بديلًا، كما ذكر أعلاه، لمجموعات المعالجة (الخلايا) في هذه التجربة: الخلية 000 تتوافق مع +++، و001 مع ++−، وما إلى ذلك.

في الأعمدة من A إلى ABC ، يمكن استبدال الرقم 1 بأي ثابت، لأن الأعمدة الناتجة ستظل متجهات تباين. على سبيل المثال، من الشائع استخدام الرقم 1/4 في تجارب 2 × 2 × 2 ^{[ ملاحظة 5 ]} لتحديد كل تأثير رئيسي أو تفاعل، وللإعلان، على سبيل المثال، أن التباين

${\displaystyle (\mu _{000}+\mu _{001}+\mu _{010}+\mu _{011})/4-(\mu _{100}+\mu _{101}+\mu _{110}+\mu _{111})/4}$

^{[ 20 ]} هو التأثير الرئيسي للعامل أ ، وهو كمية عددية يمكن تقديرها.

بالنسبة لأكثر من عاملين، يمكن عادةً تصميم تجربة عاملية من الرتبة ^2k بشكل متكرر انطلاقًا من تجربة عاملية من الرتبة 2k-1، وذلك بتكرار التجربة 2k ^{- 1 ، وتخصيص} التكرار الأول للمستوى الأول (أو الأدنى) من العامل الجديد، والتكرار الثاني للمستوى الثاني (أو الأعلى). ويمكن تعميم هذا الإطار، على سبيل المثال ، لتصميم ثلاثة تكرارات لعوامل من ثلاثة مستويات، وهكذا .

تتيح التجربة العاملية تقدير الخطأ التجريبي بطريقتين: إما بتكرار التجربة ، أو بالاستفادة من مبدأ قلة التأثيرات . يُعد التكرار أكثر شيوعًا في التجارب الصغيرة، وهو طريقة موثوقة للغاية لتقييم الخطأ التجريبي. عندما يكون عدد العوامل كبيرًا (عادةً أكثر من 5 عوامل، ولكن هذا يختلف باختلاف التطبيق)، قد يصبح تكرار التصميم صعبًا عمليًا. في هذه الحالات، من الشائع إجراء نسخة واحدة فقط من التصميم، مع افتراض أن تفاعلات العوامل من رتبة معينة (مثلًا، بين ثلاثة عوامل أو أكثر) ضئيلة. بناءً على هذا الافتراض، تُعد تقديرات هذه التفاعلات عالية الرتبة تقديرات للصفر تمامًا، وبالتالي فهي في الواقع تقدير للخطأ التجريبي.

عند وجود عوامل متعددة، يصبح إجراء العديد من التجارب ضروريًا، حتى بدون تكرار. على سبيل المثال، ينتج عن تجربة 10 عوامل بمستويين لكل منها 2 ^{^10} = 1024 تركيبة. عند نقطة معينة، يصبح هذا غير عملي بسبب التكلفة العالية أو نقص الموارد. في هذه الحالة، يمكن استخدام تصميمات العوامل الجزئية .

كما هو الحال في أي تجربة إحصائية، ينبغي أن تكون التجارب في التجربة العاملية عشوائية لتقليل تأثير التحيز على نتائج التجربة. عمليًا، قد يمثل هذا تحديًا تشغيليًا كبيرًا.

يمكن استخدام التجارب العاملية عندما يكون هناك أكثر من مستويين لكل عامل. مع ذلك، فإن عدد التجارب المطلوبة للتصاميم العاملية ذات المستويات الثلاثة (أو أكثر) سيكون أكبر بكثير من نظيراتها ذات المستويين. لذا، تُعدّ التصاميم العاملية أقل جاذبية إذا رغب الباحث في دراسة أكثر من مستويين.

يمكن تحليل التجربة العاملية باستخدام تحليل التباين (ANOVA) أو تحليل الانحدار . ^{[ 21 ]} لحساب التأثير الرئيسي للعامل "أ" في تجربة ذات مستويين، اطرح متوسط ​​استجابة جميع التجارب التي كان فيها العامل "أ" عند مستواه المنخفض (أو الأول) من متوسط ​​استجابة جميع التجارب التي كان فيها العامل "أ" عند مستواه العالي (أو الثاني).

تشمل أدوات التحليل الاستكشافي المفيدة الأخرى للتجارب العاملية مخططات التأثيرات الرئيسية ، ومخططات التفاعل ، ومخططات باريتو ، ومخطط الاحتمالية الطبيعية للتأثيرات المقدرة.

عندما تكون العوامل متصلة، تفترض التصاميم العاملية ثنائية المستوى أن التأثيرات خطية . أما إذا كان من المتوقع وجود تأثير تربيعي لأحد العوامل، فينبغي استخدام تجربة أكثر تعقيدًا، مثل تصميم المركب المركزي . ويُعدّ تحسين العوامل التي قد يكون لها تأثيرات تربيعية الهدف الأساسي لمنهجية سطح الاستجابة .

مثال تحليلي

يقدم مونتغمري ^{[ 4 ]} المثال التالي لتحليل تجربة عاملية:

يرغب مهندس في زيادة معدل الترشيح (الإنتاج) لعملية إنتاج مادة كيميائية، وتقليل كمية الفورمالديهايد المستخدمة في هذه العملية. وقد أدت المحاولات السابقة لتقليل الفورمالديهايد إلى خفض معدل الترشيح، والذي يبلغ حاليًا 75 جالونًا في الساعة. تُؤخذ أربعة عوامل في الاعتبار: درجة الحرارة (أ)، والضغط (ب)، وتركيز الفورمالديهايد (ج)، وسرعة التحريك (د). سيتم اختبار كل عامل من هذه العوامل الأربعة على مستويين.

من الآن فصاعدًا، ستشير علامات السالب (−) والموجب (+) إلى ما إذا كان العامل يعمل عند مستوى منخفض أو مرتفع، على التوالي.

مصفوفة التصميم ومعدل الترشيح الناتج

أ	ب	ج	د	معدل الترشيح
-	-	-	-	45
+	-	-	-	71
-	+	-	-	48
+	+	-	-	65
-	-	+	-	68
+	-	+	-	60
-	+	+	-	80
+	+	+	-	65
-	-	-	+	43
+	-	-	+	100
-	+	-	+	45
+	+	-	+	104
-	-	+	+	75
+	-	+	+	86
-	+	+	+	70
+	+	+	+	96

• 
  رسم بياني للتأثيرات الرئيسية يوضح معدلات الترشيح للإعدادات المنخفضة (-) والعالية (+) لكل عامل.
• 
  رسم بياني لتأثيرات التفاعل يوضح متوسط ​​معدل الترشيح عند كل من التركيبات الأربعة الممكنة للمستويات لزوج معين من العوامل.

تشير الخطوط غير المتوازية في مخطط التفاعل بين A وC إلى أن تأثير العامل A يعتمد على مستوى العامل C. وينطبق الأمر نفسه على التفاعل بين A وD. توضح الرسوم البيانية أن العامل B له تأثير ضئيل على معدل الترشيح. وقد أسفر تحليل التباين (ANOVA) الذي يشمل جميع العوامل الأربعة وجميع حدود التفاعل الممكنة بينها عن تقديرات المعاملات الموضحة في الجدول أدناه.

نتائج تحليل التباين (ANOVA)

المعاملات	تقدير
الاعتقال	70.063
أ	10.813
ب	1.563
ج	4.938
د	7.313
أ:ب	0.063
أ:ج	-9.063
قبل الميلاد	1.188
إعلان	8.313
ب:د	-0.188
ج:د	-0.563
أ:ب:ج	0.938
أ:ب:د	2.063
أ:ج:د	-0.813
ب:ج:د	-1.313
أ:ب:ج:د	0.688

نظرًا لوجود 16 مشاهدة و16 معاملًا (الحد الثابت، والتأثيرات الرئيسية، والتفاعلات)، لا يمكن حساب قيم p لهذا النموذج. تشير قيم المعاملات والرسوم البيانية إلى أن العوامل المهمة هي A وC وD، بالإضافة إلى تفاعلات A:C وA:D.

معاملات A وC وD جميعها موجبة في تحليل التباين، مما يوحي بإمكانية تشغيل العملية مع ضبط جميع المتغيرات الثلاثة على أعلى قيمة. مع ذلك، فإن التأثير الرئيسي لكل متغير هو المتوسط ​​على مستويات المتغيرات الأخرى. يوضح مخطط التفاعل A:C أعلاه أن تأثير العامل A يعتمد على مستوى العامل C، والعكس صحيح. العامل A (درجة الحرارة) له تأثير ضئيل جدًا على معدل الترشيح عندما يكون العامل C عند المستوى الموجب. لكن تأثير العامل A كبير على معدل الترشيح عندما يكون العامل C (الفورمالديهايد) عند المستوى السالب. يؤدي الجمع بين A عند المستوى الموجب وC عند المستوى السالب إلى أعلى معدل ترشيح. تشير هذه الملاحظة إلى كيف يمكن لتحليلات تغيير عامل واحد في كل مرة أن تغفل تفاعلات مهمة. فقط من خلال تغيير كل من العاملين A وC في الوقت نفسه، يمكن للمهندس اكتشاف أن تأثير العامل A يعتمد على مستوى العامل C.

تُلاحظ أفضل معدلات الترشيح عندما يكون كل من A وD عند مستوى عالٍ، بينما يكون C عند مستوى منخفض. وتُحقق هذه النتيجة أيضًا هدف تقليل الفورمالديهايد (العامل C). ولأن B لا يبدو ذا أهمية، يُمكن حذفه من النموذج. يُعطي إجراء تحليل التباين (ANOVA) باستخدام العوامل A وC وD، بالإضافة إلى تفاعلات A:C وA:D، النتيجة الموضحة في الجدول التالي، حيث جميع الحدود ذات دلالة إحصائية (قيمة p < 0.05).

نتائج تحليل التباين (ANOVA)

المعامل	تقدير	الخطأ المعياري	قيمة t	قيمة p
الاعتقال	70.062	1.104	63.444	2.3  ×  10 −14
أ	10.812	1.104	9.791	1.9  ×  10 −6
ج	4.938	1.104	4.471	1.2  ×  10 −3
د	7.313	1.104	6.622	5.9  ×  10 −5
أ:ج	-9.063	1.104	-8.206	9.4  ×  10 −6
إعلان	8.312	1.104	7.527	2  ×  10 −5

تتوفر إرشادات لإعداد التقارير الخاصة بالتجارب المعشاة ذات الشواهد العاملية، مثل ملحق CONSORT 2010 لإعداد تقارير مقالات التجارب العاملية، وملحق SPIRIT 2013 لإعداد تقارير بروتوكولات التجارب العاملية. ^{[ 22 ] [ 23 ]} وقد قُدِّمت شروحات وأمثلة تفصيلية حول إعداد التقارير والسلوكيات الجيدة في ورقة شرح وتفصيل لملحقي CONSORT وSPIRIT. ^{[ 24 ]}

• التصميم التوافقي
• تصميم التجارب
• المصفوفة المتعامدة
• تصميم بلاكيت-بورمان
• أساليب تاغوشي
• اختبار ويلش تي

• التصاميم العاملية (جامعة ولاية كاليفورنيا، فريسنو)
• التجارب المعشاة ذات الشواهد العاملية (هيئة الصحة العامة في إنجلترا)