المصفوفة المتعامدة

الموسوعة الحرة

في الرياضيات، المصفوفة المتعامدة (أو تحديدًا المصفوفة المتعامدة ذات المستوى الثابت ) هي جدول ("مصفوفة") تتكون عناصره من مجموعة محدودة وثابتة من الرموز (على سبيل المثال، {1، 2، ...، v })، مرتبة بحيث يوجد عدد صحيح t بحيث لكل اختيار لـ t عمودًا من الجدول، تظهر جميع المجموعات المرتبة المكونة من t عنصرًا من الرموز، والمُشكّلة بأخذ عناصر كل صف مُقتصر على هذه الأعمدة، العدد نفسه من المرات. يُسمى العدد t قوة المصفوفة المتعامدة. إليك مثالان:

111
221
122
212
0000
0011
0101
0110
1001
1010
1100
1111

المثال على اليسار هو مثال لمصفوفة متعامدة بمجموعة الرموز {1,2} وقوة 2. لاحظ أن الأزواج المرتبة الأربعة (الثنائيات) المُشكّلة من الصفوف المُقتصرة على العمودين الأول والثالث، وهي (1,1)، (2,1)، (1,2)، و(2,2)، هي جميع الأزواج المرتبة الممكنة لمجموعة العنصرين، ويظهر كل زوج منها مرة واحدة فقط. أما العمودان الثاني والثالث فيُعطيان (1,1)، (2,1)، (2,2)، و(1,2)؛ ومرة ​​أخرى، جميع الأزواج المرتبة الممكنة، ويظهر كل زوج منها مرة واحدة. وينطبق الأمر نفسه لو تم استخدام العمودين الأول والثاني. إذن، هذه مصفوفة متعامدة بقوة 2.

في المثال على اليمين، [ 1 ] تحتوي الصفوف المقتصرة على الأعمدة الثلاثة الأولى على 8 ثلاثيات مرتبة ممكنة تتكون من أصفار وواحدات، يظهر كل منها مرة واحدة. وينطبق الأمر نفسه على أي اختيار آخر لثلاثة أعمدة. وبالتالي، فإن هذا مصفوفة متعامدة من الرتبة 3.

المصفوفة المتعامدة ذات المستويات المختلطة هي مصفوفة قد يحتوي كل عمود فيها على عدد مختلف من الرموز. يُعطى مثال على ذلك أدناه.

تُعمم المصفوفات المتعامدة، في شكل جدولي، فكرة المربعات اللاتينية المتعامدة . وترتبط هذه المصفوفات ارتباطًا وثيقًا بالعديد من التصاميم التوافقية الأخرى، ولها تطبيقات في التصميم الإحصائي للتجارب ، ونظرية الترميز ، وعلم التشفير ، وأنواع مختلفة من اختبار البرمجيات .

تعريف

مصفوفة OA(18, 7, 3, 2) على الجانب الأيمن. أي زوج من الأعمدة (المستخرجة إلى الجانب الأيسر) يحتوي على كل زوج مرتب مرتين كصف له. هنا يتم تشغيل رسوم متحركة SVG مع تغيير زوج الأعمدة.

بالنسبة لـ t ≤ k ، فإن المصفوفة المتعامدة من النوع ( N, k, v, t ) - أو OA( N, k, v, t ) اختصارًا - هي مصفوفة N × k تُختار عناصرها من مجموعة X تحتوي على v نقطة ( مجموعة v ) بحيث في كل مجموعة جزئية من t أعمدة من المصفوفة، يتكرر كل زوج من النقاط t من X العدد نفسه من المرات. ويُرمز عادةً إلى عدد التكرارات بالرمز λ.  

في العديد من التطبيقات، تُعطى هذه المعلمات الأسماء التالية:

يمثل N عدد التجارب التي أجريت ،
يمثل k عدد العوامل ،
يمثل v عدد المستويات ،
إنها القوة ، و
λ هو المؤشر .

يؤدي تعريف القوة إلى علاقة المعلمات

N = λ v t .

تكون المصفوفة المتعامدة بسيطة إذا لم تحتوي على أي صفوف مكررة. ( قد تحتوي المصفوفات الفرعية المكونة من t عمودًا على صفوف مكررة، كما في مثال OA(18, 7, 3, 2) الموضح في هذا القسم).

تكون المصفوفة المتعامدة خطية إذا كان X حقلاً منتهياً F q من الرتبة q ( حيث q عدد أولي موجب) وكانت صفوف المصفوفة تشكل فضاءً جزئياً من الفضاء المتجهي ( F q ) k . [ 2 ] المثال الموجود على اليمين في المقدمة خطي على الحقل F 2. كل مصفوفة متعامدة خطية بسيطة.

في المصفوفة المتعامدة ذات المستويات المختلطة، يمكن اختيار الرموز في الأعمدة من مجموعات مختلفة تحتوي على أعداد مختلفة من النقاط، كما في المثال التالي: [ 3 ]

00000
11110
00111
11001
01012
10102
01103
10013

قوة هذه المصفوفة هي 2:

  • أي زوج من الأعمدة الأربعة الأولى يحتوي على كل من الأزواج المرتبة (0، 0)، (0، 1)، (1، 0) و (1، 1) مرتين.
  • العمودان 4 و 5 - أو العمود 5 مع أي من الأعمدة الأخرى - يحتويان على كل زوج مرتب ( i ، j ) مرة واحدة، حيث i = 0 أو 1 و j = 0 أو 1 أو 2 أو 3.  

وبالتالي، يمكن الإشارة إليه بالرمز OA(8, 5, 2 4 4 1 , 2)، كما سيتم توضيحه لاحقًا. يشير التعبير 2 4 4 1 إلى أن أربعة عوامل لها مستويان، وعامل واحد له أربعة مستويات.

كما هو الحال في هذا المثال، لا يوجد "فهرس" واحد أو رقم تكرار λ في مصفوفة متعامدة مختلطة المستويات بقوة t : يمكن أن يكون لكل مصفوفة فرعية من t أعمدة قيمة λ مختلفة.

المصطلحات والرموز

يُستخدم مصطلحا "متناظر" و "غير متناظر" أحيانًا للإشارة إلى "المستويات الثابتة" و "المستويات المختلطة" . يشير التناظر هنا إلى خاصية امتلاك جميع العوامل نفس عدد المستويات، وليس إلى "شكل" المصفوفة: فالمصفوفة المتعامدة المتناظرة نادرًا ما تكون مصفوفة متناظرة .

يُستخدم أحيانًا اختصار الصيغة OA( N, k, v, t ) بحيث يمكن، على سبيل المثال، كتابة OA( k, v ), [ 4 ] ببساطة ، شريطة أن يوضح النص قيم المعاملات غير المذكورة. في المقابل، يمكن توسيعها للمصفوفات متعددة المستويات. هنا، تُكتب OA( N, k, v1 , ... , vk , t )، حيث يحتوي العمود i على v1 مستوى. عادةً ما تُختصر هذه الصيغة عند تكرار القيم v ، بحيث تُكتب OA(8, 5, 2441 , 2 ) للمثال في نهاية القسم الأخير، بدلًا من OA(8, 5, 2·2·2·2·4, 2). وبالمثل، يمكن اختصار OA( N, k, v, t ) إلى OA( N, vk , t ) للمصفوفات ذات المستويات الثابتة.

لا تتضمن هذه الصيغة لـ OA المؤشر λ صراحةً، ولكن يمكن استنتاج λ من المعاملات الأخرى عبر العلاقة N = λ v t . تكون هذه الطريقة فعّالة عندما تكون جميع المعاملات ذات قيم عددية محددة، ولكنها أقل فعالية عند الإشارة إلى فئة من المصفوفات المتعامدة. على سبيل المثال، عند الإشارة إلى فئة المصفوفات ذات القوة t = 2 والمؤشر λ = 1، فإن الصيغة OA( N, k, v, 2 ) غير كافية لتحديد λ بمفردها. عادةً ما يتم تدارك هذا الأمر بكتابة OA( v 2 , k, v, 2) بدلاً من ذلك. بينما لا تعاني الصيغ التي تتضمن المعامل λ صراحةً من هذه المشكلة، إلا أنه لا يمكن توسيعها بسهولة لتمثيل المصفوفات ذات المستويات المختلطة.

يُعرّف بعض المؤلفين مصفوفة OA( N, k, v, t ) بأنها k × N بدلاً من N × k . في هذه الحالة، تُحدد قوة المصفوفة من خلال مجموعة فرعية من t صفوف بدلاً من الأعمدة.

باستثناء البادئة OA، فإنّ الصيغة OA( N, k, v, t ) هي نفسها التي قدّمها راو. [ 5 ] ورغم شيوع هذه الصيغة، إلا أنها ليست عالمية. يوصي هدايت وسلون وستوفكن [ 6 ] بها كمعيار، لكنهم يذكرون ثمانية بدائل موجودة في المراجع، وهناك بدائل أخرى. [ 8 ]

أمثلة

مثال على OA(16, 5, 4, 2)؛ تصميم ذو قوة 2، و4 مستويات، ومؤشر 1 مع 16 جولة:

11111
12222
13333
14444
21423
22314
23241
24132
31234
32143
33412
34321
41342
42431
43124
44213

مثال على OA(27, 5, 3, 2) (مكتوب على شكل منقوله لتسهيل العرض): [ 9 ]

000000000111111111222222222
000111222000111222000111222
012012012012012012012012012
000111222222000111111222000
012120201012120201012120201

هذا المثال له مؤشر λ = 3.

أمثلة بسيطة

المصفوفة التي تتكون من جميع العناصر المكونة من k عنصرًا في مجموعة v ، مرتبة بحيث تكون هذه العناصر صفوفًا، تمتلك تلقائيًا ( بشكل بديهي ) قوة k ، وبالتالي فهي مصفوفة OA( v , k , k, v, k ). أي مصفوفة OA( N, k, v, k ) تُعتبر بديهية لأن مثل هذه المصفوفات يُمكن إنشاؤها بسهولة عن طريق سرد جميع العناصر المكونة من k عنصرًا في مجموعة v عددًا λ من المرات.

المربعات اللاتينية المتعامدة المتبادلة

المصفوفة المتعامدة OA( n² , 3, n , 2) تُكافئ مربعًا لاتينيًا من الرتبة n . أما بالنسبة لـ k ≤ n + 1، فإن المصفوفة المتعامدة OA( n² , k, n , 2) تُكافئ مجموعة من k  −  2 مربعات لاتينية متعامدة من الرتبة n . تُعرف هذه المصفوفات المتعامدة ذات المؤشر واحد والقوة 2 أيضًا باسم تصميمات المربع اللاتيني اليوناني الفائق في الأدبيات الإحصائية.

ليكن A مصفوفة متعامدة من الرتبة 2، ذات فهرس 1، على مجموعة من n عنصرًا، مُعرَّفة بمجموعة الأعداد الطبيعية {1، ...، n }. اختر عمودين من A ، وثبتهما بالترتيب ، يُسميان عمودي الفهرسة . بما أن الرتبة 2 والفهرس 1، فإن جميع الأزواج المرتبة ( i , j ) حيث 1 ≤ i ، j ≤ n تظهر مرة واحدة فقط في صفوف عمودي الفهرسة. هنا، سيُفهرس i و j بدورهما صفوف وأعمدة مربع n × n . خذ أي عمود آخر من A واملأ الخلية ( i , j ) في هذا المربع بالعنصر الموجود في هذا العمود من A وفي صف A الذي يحتوي عمودا فهرسة هذا العنصر فيه على ( i , j ). المربع الناتج هو مربع لاتيني من الرتبة n . على سبيل المثال، انظر إلى OA(9, 4, 3, 2):

1111
1222
1333
2123
2231
2312
3132
3213
3321

باختيار العمودين 3 و4 (بهذا الترتيب) كأعمدة فهرسة، ينتج العمود الأول المربع اللاتيني

123
312
231

بينما ينتج العمود الثاني المربع اللاتيني

132
321
213

علاوة على ذلك، فإن هذين المربعين متعامدان. وبشكل عام، فإن المربعات اللاتينية الناتجة بهذه الطريقة من مصفوفة متعامدة ستكون مربعات لاتينية متعامدة، لذا فإن الأعمدة k  −  2 باستثناء أعمدة الفهرسة ستنتج مجموعة من k  −  2 مربعات لاتينية متعامدة .

هذا البناء قابل للعكس تمامًا، وبالتالي يمكن إنشاء مصفوفات متعامدة من القوة 2 والمؤشر 1 من مجموعات من المربعات اللاتينية المتعامدة فيما بينها. [ 10 ]

المربعات اللاتينية، والمكعبات اللاتينية، والمكعبات الفائقة اللاتينية

توفر المصفوفات المتعامدة طريقة موحدة لوصف هذه الكائنات المتنوعة التي تهم التصميم الإحصائي للتجارب .

المربعات اللاتينية

كما ذُكر في القسم السابق، يمكن اعتبار المربع اللاتيني من الرتبة n بمثابة مصفوفة متعامدة OA( n² , 3, n , 2). في الواقع، يمكن أن تُنتج المصفوفة المتعامدة ستة مربعات لاتينية، إذ يُمكن استخدام أي زوج مرتب من الأعمدة المختلفة كأعمدة فهرسة. مع ذلك، تُعتبر جميع هذه المربعات متماثلة وتُعتبر متكافئة. وللتوضيح، سنفترض دائمًا استخدام أول عمودين بترتيبهما الطبيعي كأعمدة فهرسة.

مكعبات لاتينية

في أدبيات الإحصاء، المكعب اللاتيني هو مصفوفة ثلاثية الأبعاد من الرتبة n × n × n تتكون من n طبقة، كل منها تحتوي على n صفًا و n عمودًا بحيث تتكرر العناصر n المميزة التي تظهر n مرة ، ويتم ترتيبها بحيث تظهر جميع العناصر n المميزة في كل طبقة موازية لكل زوج من الأوجه المتقابلة الثلاثة للمكعب، ويتكرر كل عنصر n مرة بالضبط في تلك الطبقة. [ 11 ]

لاحظ أنه وفقًا لهذا التعريف، لا يشترط أن تكون طبقة المكعب اللاتيني مربعًا لاتينيًا. في الواقع، لا يشترط أن يكون أي صف أو عمود أو مجموعة (خلايا موضع معين في الطبقات المختلفة) تبديلًا للرموز n . [ 12 ]

المكعب اللاتيني من الرتبة n يكافئ OA( n 3 , 4 ,n , 2). [ 9 ]

يُقال إن مكعبين لاتينيين من الرتبة n متعامدان إذا كان كل زوج مرتب مختلف من العناصر، من بين n³ زوجًا مُختارًا من الخلايا المتناظرة في المكعبين، يظهر n مرة بالضبط. مجموعة من k − 3 مكعبات لاتينية متعامدة من الرتبة n تُكافئ OA( n³ , k, n , 2). [ 9 ] وقد ذُكر مثال على زوج من المكعبات اللاتينية المتعامدة من الرتبة 3 على أنه OA(27, 5, 3, 2) في قسم الأمثلة أعلاه.  

بخلاف حالة المربعات اللاتينية، حيث لا توجد قيود، يجب اختيار أعمدة الفهرسة لتمثيل المصفوفة المتعامدة للمكعب اللاتيني بحيث تشكل OA( n 3 , 3, n , 3 ).

المكعبات الفائقة اللاتينية

المكعب اللاتيني الفائق ذو البعد m من الرتبة n من الفئة r هو مصفوفة n × n × ... × n ذات البعد m تحتوي على n r عنصرًا مميزًا، يتكرر كل منها n m − r مرة، بحيث يظهر كل عنصر n m − r − 1 مرة بالضبط في كل مجموعة من مجموعاتها m المكونة من n فضاءات فرعية خطية متوازية ذات البعد ( m − 1) (أو "طبقات"). يُقال إن مكعبين لاتينيين فائقين من نفس الرتبة n والفئة r ، يتميزان بخاصية أنه عند تراكب أحدهما على الآخر، يظهر كل عنصر من الأول n m − 2 r مرة بالضبط مع كل عنصر من الآخر، متعامدان . [ 13 ]          

مجموعة من k  − m من المكعبات اللاتينية المتعامدة المتبادلة ذات البعد m من الرتبة n تعادل OA( n m , k, n, 2 )، حيث تشكل أعمدة الفهرسة OA( n m , m, n, m ). 

تاريخ

قام كيشن (1942) بتعميم مفاهيم المربعات اللاتينية والمربعات اللاتينية المتعامدة لتشمل المكعبات اللاتينية والمكعبات الفائقة، والمكعبات اللاتينية المتعامدة والمكعبات الفائقة . [ 14 ] ثم عمم راو (1946) هذه النتائج لتشمل المصفوفات ذات القوة t . ويظهر المفهوم الحالي للمصفوفة المتعامدة، كتعميم لهذه الأفكار، بفضل العالم الأسطوري سي آر راو ، في كتاب راو (1947) ، [ 15 ] مع تعميمه للمصفوفات المختلطة المستويات الذي ظهر عام 1973. [ 16 ]

استخدم راو في البداية مصطلح "المصفوفة" دون أي وصف، وعرّفه ببساطة على أنه مجموعة فرعية من جميع تركيبات العلاج - أي مصفوفة بسيطة . وقد برزت إمكانية وجود مصفوفات غير بسيطة بشكل طبيعي عند اعتبار تركيبات العلاج صفوفًا في مصفوفة. وينسب هدايت وسلون وستوفكن [ 17 ] مصطلح "المصفوفة المتعامدة" إلى ك. بوش [ 18 ] . 

إنشاءات أخرى

مصفوفات هادامارد

توجد مصفوفة OA( 4λ, 4λ  −  1, 2, 2) إذا وفقط إذا وُجدت مصفوفة هادامارد من الرتبة 4λ . [ 19 ] للمضي قدمًا في اتجاه واحد، لنفترض أن H هي مصفوفة هادامارد من الرتبة 4m في صورتها المعيارية (جميع عناصر الصف الأول والعمود الأول تساوي +1). احذف الصف الأول، ثم خذ منقولة المصفوفة للحصول على المصفوفة المتعامدة المطلوبة. [ 20 ] يوضح المثال التالي ذلك. (البناء العكسي مشابه).

مصفوفة هادامارد المعيارية من الرتبة 8 أدناه (يُشار إلى المدخلات ±1 فقط بالإشارة)،

++++++++
++++----
++--++--
++----++
+-+-+-+-
+-+--+-+
+--++--+
+--+-++-

ينتج OA(8, 7, 2, 2): [ 21 ]

+++++++
+++----
+--++--
+----++
-+-+-+-
-+--+-+
--++--+
--+-++-

باستخدام الأعمدة 1 و 2 و 4 كأعمدة فهرسة، تنتج الأعمدة المتبقية أربعة مكعبات لاتينية متعامدة من الرتبة 2.

الرموز

ليكن C ⊆ ( F q ) n رمزًا خطيًا ذا بُعد m بمسافة دنيا d . عندئذٍ، يكون C ⊥ (المتمم المتعامد للفضاء المتجهي C ) عبارة عن OA (خطي)( q n -m , n, q, d  −  1) حيث λ  = q n − m − d + 1. [ 22 ]       

التطبيقات

مخططات العتبة

تتألف مشاركة السر (وتُسمى أيضًا تقسيم السر ) من طرق لتوزيع سرٍّ ما بين مجموعة من المشاركين، حيث يُخصَّص لكلٍّ منهم جزءٌ من السر. ولا يُمكن استعادة السر إلا عند دمج عددٍ كافٍ من الأجزاء، والتي قد تكون من أنواعٍ مختلفة؛ إذ لا فائدة من الأجزاء الفردية بمفردها. وتكون آلية مشاركة السر مثالية إذا لم يكن لدى أي مجموعة من المشاركين، ممن لا يستوفون معايير الحصول على السر، أي معرفة إضافية حول ماهية السرّ أكثر مما لدى فردٍ ليس لديه أي جزء منه.

في أحد أنواع أنظمة مشاركة الأسرار، يوجد موزع واحد وعدد n من اللاعبين . يُعطي الموزع حصصًا من السر للاعبين، ولكن فقط عند استيفاء شروط محددة، سيتمكن اللاعبون من استعادة السر. يحقق الموزع ذلك بمنح كل لاعب حصة بحيث يمكن لأي مجموعة من t (لنظام العتبة ) أو أكثر استعادة السر معًا، بينما لا يمكن لأي مجموعة من أقل من t لاعبًا فعل ذلك. يُسمى هذا النظام بنظام العتبة ( t , n ). 

يمكن استخدام OA( v t , n+1, v, t ) لإنشاء مخطط عتبة مثالي ( t , n ). [ 23 ]

لنفترض أن A هي المصفوفة المتعامدة. تُستخدم الأعمدة n الأولى لتوزيع الحصص على اللاعبين، بينما يُمثل العمود الأخير السر المراد مشاركته. إذا رغب الموزع في مشاركة سر S ، فسيتم استخدام صفوف A التي يكون آخر عنصر فيها هو S فقط . يختار الموزع عشوائيًا أحد هذه الصفوف، ويُعطي اللاعب i العنصر الموجود في هذا الصف في العمود i كحصة.

التصاميم العاملية

التجربة العاملية هي تجربة مُهيكلة إحصائيًا ، تُطبَّق فيها عدة عوامل (مستويات الري، والمضادات الحيوية، والأسمدة، إلخ) على كل وحدة تجريبية بمستويات محدودة ، قد تكون كمية أو نوعية. [ 24 ] في التجربة العاملية الكاملة، يجب اختبار جميع تركيبات مستويات العوامل. أما في التصميم العاملي الجزئي ، فيُستخدم فقط جزء من تركيبات المعالجة.

يمكن استخدام المصفوفة المتعامدة لتصميم تجربة عاملية جزئية. تمثل الأعمدة العوامل المختلفة، بينما تمثل المدخلات مستويات رصد هذه العوامل. تمثل كل دورة تجريبية صفًا من المصفوفة المتعامدة، أي توليفة محددة من مستويات العوامل. تحدد قوة المصفوفة دقة التصميم الجزئي. عند استخدام أحد هذه التصاميم، ينبغي توزيع وحدات المعالجة وترتيب التجارب عشوائيًا قدر الإمكان. على سبيل المثال، يُوصى باختيار مصفوفة متعامدة ذات حجم مناسب عشوائيًا من بين المصفوفات المتاحة، ثم توزيع ترتيب التجارب عشوائيًا.

تحدث التصاميم ذات المستويات المختلطة بشكل طبيعي في البيئة الإحصائية.

ضبط الجودة

لعبت المصفوفات المتعامدة دورًا محوريًا في تطوير أساليب تاغوتشي على يد جينيتشي تاغوتشي ، وذلك خلال زيارته للمعهد الإحصائي الهندي في أوائل خمسينيات القرن العشرين. وقد طُبقت أساليبه بنجاح واعتمدتها الصناعات اليابانية والهندية، ثم تبنتها لاحقًا الصناعة الأمريكية أيضًا، وإن كان ذلك مع بعض التحفظات . ويحتوي فهرس تاغوتشي [ 25 ] على كلٍ من المصفوفات ذات المستويات الثابتة والمختلطة.

الاختبار

اختبار المصفوفات المتعامدة هو أسلوب اختبار الصندوق الأسود، وهو طريقة إحصائية منهجية لاختبار البرمجيات . [ 26 ] [ 27 ] يُستخدم هذا الأسلوب عندما يكون عدد مدخلات النظام صغيرًا نسبيًا، ولكنه كبير جدًا بحيث لا يسمح بإجراء اختبار شامل لكل مدخل ممكن للنظام . [ 26 ] وهو فعال بشكل خاص في اكتشاف الأخطاء المرتبطة بالمنطق المعيب في أنظمة برمجيات الحاسوب . [ 26 ] يمكن تطبيق المصفوفات المتعامدة في اختبار واجهة المستخدم ، واختبار النظام ، واختبار الانحدار ، واختبار الأداء . يتم اختيار تباديل مستويات العوامل المكونة لمعالجة واحدة بحيث تكون استجاباتها غير مترابطة، وبالتالي تُقدم كل معالجة معلومة فريدة . والنتيجة النهائية لتنظيم التجربة في مثل هذه المعالجات هي جمع نفس المعلومة بأقل عدد ممكن من التجارب .

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ^ هدايت وسلون وستوفكين 1999 ، جدول 1.3
  2. ↑ ستينسون 2003 ، صفحة 225
  3. ^ هدايت وسلون وستوفكين 1999 ، جدول 9.10 (ب)
  4. ↑ ستينسون 2003 ، ص 140 
  5. ↑ راو 1947 ، ص 129 
  6. ^ هدايت وسلون وستوفكين 1999 ، ص. 2 
  7. ↑ ستينسون 2003 ، ص 225
  8. ↑ انظر، على سبيل المثال، [ 7 ] .
  9. 1 2 3 دينيس وكيدويل 1974 ، ص. 191
  10. ↑ ستينسون 2003 ، الصفحات 140-141، القسم 6.5.1
  11. ^ دينيس وكيدويل 1974 ، ص. 187 نسب التعريف إلى كيشين (1950 ، ص 21)
  12. ↑ في التعريف المفضل لعالم التوافقية، سيحتوي كل صف وعمود وملف على تبديل للرموز، ولكن هذا مجرد نوع خاص من المكعب اللاتيني يسمى مكعب التبديل .
  13. ^ دينيس وكيدويل 1974 ، ص. 189
  14. ↑ راغافاراو 1988 ، صفحة 9
  15. ↑ راغافاراو 1988 ، صفحة 10
  16. ↑ راو 1973 ، ص 354 
  17. ^ هدايت وسلون وستوفكين 1999 ، ص. 4 
  18. ↑ بوش 1950
  19. ^ هدايت وسلون وستوفكين 1999 ، النظرية 7.5
  20. ↑ ستينسون 2003 ، صفحة 225، النظرية 10.2
  21. ↑ ستينسون 2003 ، صفحة 226، مثال 10.3
  22. ↑ ستينسون 2003 ، صفحة 231، النظرية 10.17
  23. ↑ ستينسون 2003 ، صفحة 262، النظرية 11.5
  24. ↑ ستريت وستريت 1987 ، صفحة 194، القسم 9.2
  25. ^ تاجوتشي 1986
  26. 1 2 3 بريسمان، روجر س. (2005). هندسة البرمجيات: منهج عملي (  الطبعة السادسة). ماكجرو هيل. ISBN 0-07-285318-2.
  27. ↑ فادكي، مادهاف س. "تخطيط اختبارات برمجيات فعّالة" . فادكي أسوشيتس، إنك. مؤرشف من الأصل بتاريخ 25 أبريل 2012. تم الاطلاع عليه بتاريخ 6 أغسطس 2012. العديد من المقالات حول استخدام المصفوفات المتعامدة لاختبار البرمجيات والأنظمة.

مراجع

  • بوكس، جي إي بي؛ هنتر، دبليو جي؛ هنتر، جيه إس (1978). الإحصاء للمُجَرِّبين: مقدمة في التصميم، وتحليل البيانات، وبناء النماذج . جون وايلي وأولاده. ISBN 9780471093152.
  • بوش، ك.أ. (1950). المصفوفات المتعامدة (دكتوراه). جامعة نورث كارولينا.
  • دينيس، ج.؛ كيدويل، أ.د. (1974)، المربعات اللاتينية وتطبيقاتها ، نيويورك-لندن: أكاديميك برس، رقم ISBN 0-12-209350-X، MR 0351850 
  • هدايت، ع. سلون، NJA؛ Stufken، J. (1999)، المصفوفات المتعامدة، النظرية والتطبيقات ، نيويورك: سبرينغر
  • كيشن، ك. (1942)، "حول المكعبات والمكعبات الفائقة اللاتينية واليونانية الفائقة"، العلوم الحالية ، 11 : 98-99
  • كيشن، ك. (1950)، "حول بناء المكعبات اللاتينية والهجينة اليونانية اللاتينية والمكعبات الفائقة"، مجلة الجمعية الهندية للإحصاء الزراعي ، 2 : 20-48
  • راغافاراو، داماراجو (1988). الإنشاءات والمسائل التوافقية في تصميم التجارب (طبعة منقحة من طبعة وايلي لعام 1971  ). نيويورك: دوفر.
  • راغافاراو، داماراجو وبادجيت، إل في (2005). تصميمات الكتل: التحليل، التوافقية والتطبيقات . وورلد ساينتيفيك.{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  • راو، سي آر ( 1946)، "المكعبات الفائقة ذات القوة "د" التي تؤدي إلى تصميمات مشوشة في التجارب العاملية"، نشرة جمعية كلكتا الرياضية ، 38 : 67-78
  • راو، سي آر (1947)، "التجارب العاملية المستمدة من الترتيبات التوافقية للمصفوفات"، ملحق لمجلة الجمعية الإحصائية الملكية ، 9 (1): 128-139 ، doi : 10.2307/2983576 ، JSTOR 2983576 
  • راو، سي آر (1973). "بعض المسائل التوافقية للمصفوفات وتطبيقاتها في تصميم التجارب". في سريفاستافا، جاغديش ن. (محرر). مسح لنظرية التوافقية . نورث هولاند. ISBN 0-7204-22620.
  • ستينسون، دوغلاس ر. (2003)، التصاميم التوافقية: الإنشاءات والتحليل ، نيويورك: سبرينغر، ISBN 0-387-95487-2
  • ستريت، آن بينفولد وستريت ، ديبورا جيه. (1987). توافيق التصميم التجريبي . مطبعة جامعة أكسفورد [كلارندون]. ISBN 0-19-853256-3.
  • تاغوتشي، جينيتشي (1986). المصفوفات المتعامدة والرسوم البيانية الخطية . ديربورن، ميشيغان: معهد الموردين الأمريكي.

المجال العام تتضمن هذه المقالة موادًا متاحة للعموم من المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا