التصميم الاحتمالي

التصميم الاحتمالي هو فرع من فروع التصميم الهندسي ، ويتناول بشكل أساسي دراسة وتقليل تأثيرات التباين العشوائي على أداء النظام الهندسي خلال مرحلة التصميم. عادةً ما ترتبط هذه التأثيرات، التي تُدرس وتُحسّن، بالجودة والموثوقية. ويختلف التصميم الاحتمالي عن النهج التقليدي في التصميم بافتراض احتمال ضئيل للفشل بدلاً من استخدام عامل الأمان . ^{[ 2 ] [ 3 ]} يُستخدم التصميم الاحتمالي في تطبيقات متنوعة لتقييم احتمالية الفشل. ومن بين التخصصات التي تستخدم مبادئ التصميم الاحتمالي على نطاق واسع: تصميم المنتجات، ومراقبة الجودة ، وهندسة النظم ، وتصميم الآلات ، والهندسة المدنية (وهو مفيد بشكل خاص في تصميم حالة الحد )، والتصنيع.

عند استخدام منهج احتمالي في التصميم، لا ينظر المصمم إلى كل متغير كقيمة أو رقم منفرد، بل يُنظر إليه كمتغير عشوائي متصل ذي توزيع احتمالي . من هذا المنظور، يتنبأ التصميم الاحتمالي بتدفق التباين (أو التوزيعات) عبر النظام. ^{[ 4 ]}

نظراً لكثرة مصادر التباين العشوائي والمنهجي عند تصميم المواد والمنشآت، يُعدّ نمذجة العوامل المدروسة كمتغيرات عشوائية أمراً بالغ الأهمية للمصمم. فمن خلال هذا النموذج، يستطيع المصمم إجراء تعديلات للحدّ من تدفق التباين العشوائي، وبالتالي تحسين جودة التصميم الهندسي. ويؤكد أنصار منهج التصميم الاحتمالي إمكانية التنبؤ بالعديد من مشكلات الجودة ومعالجتها خلال المراحل الأولى من التصميم بتكلفة أقل بكثير. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

عادةً، يهدف التصميم الاحتمالي إلى تحديد التصميم الذي يُظهر أقل تأثيرات للتغير العشوائي. يُعدّ تقليل التغير العشوائي أمرًا أساسيًا في التصميم الاحتمالي لأنه يحدّ من العوامل الخارجة عن السيطرة، مع توفير تحديد أكثر دقة لاحتمالية الفشل. قد يكون هذا هو خيار التصميم الوحيد من بين عدة خيارات الذي يُعتبر الأكثر متانة. أو قد يكون خيار التصميم الوحيد المتاح، ولكن مع المزيج الأمثل من متغيرات الإدخال والمعلمات. يُشار إلى هذا النهج الثاني أحيانًا باسم "التقوية " أو "تصميم المعلمات" أو "التصميم من أجل ستة سيجما" . ^{[ 4 ]}

على الرغم من أن قوانين الفيزياء تحدد العلاقات بين المتغيرات والكميات القابلة للقياس مثل القوة والإجهاد والانفعال والانحراف ، إلا أنه لا تزال هناك ثلاثة مصادر رئيسية للتغير عند النظر في هذه العلاقات. ^{[ 6 ]}

يُعدّ المصدر الأول للتباين إحصائيًا، نظرًا لمحدودية حجم العينة المتاحة لتقدير معلمات مثل إجهاد الخضوع، ومعامل يونغ ، والانفعال الحقيقي . ^{[ 7 ]} ويُعدّ عدم اليقين في القياس أسهل المصادر الثلاثة التي يُمكن تقليلها، حيث يتناسب التباين عكسيًا مع حجم العينة.

يمكننا تمثيل التباين الناتج عن عدم اليقين في القياس كعامل تصحيحي${\displaystyle B}$، والذي يُضرب في المتوسط ​​الحقيقي${\displaystyle X}$للحصول على المتوسط ​​المقاس لـ${\displaystyle {\bar {X}}}$أو بعبارة أخرى،${\displaystyle {\bar {X}}={\bar {B}}X}$.

وهذا يؤدي إلى النتيجة${\displaystyle {\bar {B}}={\frac {\bar {X}}{X}}}$، وتباين عامل التصحيح${\displaystyle B}$يُعطى على النحو التالي:

${\displaystyle Var[B]={\frac {Var[{\bar {X}}]}{X}}={\frac {Var[X]}{nX}}}$

أين${\displaystyle B}$هو عامل التصحيح،${\displaystyle X}$هو المتوسط ​​الحقيقي،${\displaystyle {\bar {X}}}$هو المتوسط ​​المقاس، و${\displaystyle n}$^{[ 6 ]} هو عدد القياسات التي تم إجراؤها.

ينشأ المصدر الثاني للتباين من عدم دقة وعدم يقين النموذج المستخدم لحساب هذه المعلمات. ويشمل ذلك النماذج الفيزيائية التي نستخدمها لفهم التحميل وتأثيراته المرتبطة به في المواد. ويمكن تحديد عدم اليقين الناتج عن نموذج قياس فيزيائي إذا توفرت كل من القيم النظرية وفقًا للنموذج والنتائج التجريبية.

القيمة المقاسة${\displaystyle {\hat {H}}(\omega )}$وهو ما يعادل التنبؤ النظري للنموذج${\displaystyle H(\omega )}$مضروبًا في خطأ النموذج البالغ${\displaystyle \phi (\omega )}$بالإضافة إلى الخطأ التجريبي${\displaystyle \varepsilon (\omega )}$[ ^{8 ]} وبالمثل ^،

${\displaystyle {\hat {H}}(\omega )=H(\omega )\phi (\omega )+\varepsilon (\omega )}$

ويأخذ خطأ النموذج الشكل العام التالي:

${\displaystyle \phi (\omega )=\sum _{i=0}^{n}a_{i}\omega ^{n}}$

أين${\displaystyle a_{i}}$^{[ 8 ]} هي معاملات الانحدار التي تم تحديدها من البيانات التجريبية.

أخيرًا، ينشأ مصدر التباين الأخير من التباين الجوهري لأي كمية فيزيائية قابلة للقياس. ثمة عدم يقين عشوائي أساسي مرتبط بجميع الظواهر الفيزيائية، ويُعدّ تقليل هذا التباين من أصعب الأمور نسبيًا. لذا، يمكن تمثيل كل متغير فيزيائي وكمية قابلة للقياس كمتغير عشوائي له متوسط ​​وتباين.

لنأخذ على سبيل المثال الطريقة التقليدية لإجراء اختبارات الشد على المواد. يُعطى الإجهاد الذي تتعرض له المادة كقيمة مفردة (أي القوة المطبقة مقسومة على مساحة المقطع العرضي العمودي على محور التحميل). كما يُعطى إجهاد الخضوع، وهو أقصى إجهاد يمكن أن تتحمله المادة قبل حدوث التشوه اللدن، كقيمة مفردة أيضًا. وفقًا لهذه الطريقة، تكون احتمالية فشل المادة صفرًا عند إجهاد الخضوع، و100% عند إجهاد الخضوع. إلا أن هذه الافتراضات لا تنطبق على أرض الواقع.

غالبًا ما تكون قيمة إجهاد الخضوع لمادة ما معروفة بدقة معينة فقط، مما يعني وجود هامش خطأ، وبالتالي توزيع احتمالي مرتبط بالقيمة المعروفة. ^{[ 6 ] [ 8 ]} لنفترض أن دالة التوزيع الاحتمالي لقوة الخضوع معطاة على النحو التالي:${\displaystyle f(R)}$.

وبالمثل، لا يمكن معرفة الحمل المطبق أو الحمل المتوقع إلا بدقة معينة، كما أن نطاق الإجهاد الذي ستتعرض له المادة غير معروف أيضًا. لنفترض أن توزيع الاحتمال هذا معطى على النحو التالي:${\displaystyle f(S)}$.

إن احتمال الفشل يعادل المساحة بين دالتي التوزيع هاتين، رياضياً:

${\displaystyle P_{f}=P(R<S)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(R)f(S)dSdR}$

أو بصورة مكافئة، إذا جعلنا الفرق بين إجهاد الخضوع والحمل المطبق يساوي دالة ثالثة${\displaystyle R-S=Q}$، ثم:

${\displaystyle P_{f}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(R)f(S)dSdR=\int \limits _{-\infty }^{0}f(Q)dQ}$

حيث يمثل تباين متوسط ​​الفرق${\displaystyle Q}$يُعطى بواسطة${\displaystyle \sigma _{Q}^{2}={\sqrt {\sigma _{R}^{2}+\sigma _{S}^{2}}}}$.

تتيح مبادئ التصميم الاحتمالي تحديدًا دقيقًا لاحتمالية الفشل، بينما يفترض النموذج التقليدي عدم حدوث أي فشل قبل بلوغ حد المرونة. ^{[ 9 ]} من الواضح أن نموذج الحمل المطبق مقابل إجهاد المرونة التقليدي له قيود، لذا فإن نمذجة هذه المتغيرات باستخدام توزيع احتمالي لحساب احتمالية الفشل يُعدّ نهجًا أكثر دقة. يسمح نهج التصميم الاحتمالي بتحديد فشل المادة في جميع ظروف التحميل، من خلال ربط احتمالات كمية بفرصة الفشل بدلًا من الإجابة بنعم أو لا بشكل قاطع.

يركز التصميم الاحتمالي، في جوهره، على التنبؤ بآثار التباين. وللتنبؤ بالتباين المرتبط بعدم اليقين في النموذج وحسابه، طُورت العديد من الطرق واستُخدمت في مختلف التخصصات لتحديد القيم النظرية لمعلمات مثل الإجهاد والانفعال. ومن أمثلة النماذج النظرية المستخدمة جنبًا إلى جنب مع التصميم الاحتمالي ما يلي:

• تحليل العناصر المحدودة ^{[ 10 ]}
• طريقة العناصر المحدودة العشوائية ^{[ 11 ]}
• طريقة العناصر الحدية
• طرق بدون شبكة
• الأساليب التحليلية (بالرجوع إلى مبادئ التصميم الكلاسيكية)

بالإضافة إلى ذلك، توجد العديد من الأساليب الإحصائية المستخدمة لتحديد وقياس التباين العشوائي في المتغير المراد قياسه. ومن بين الأساليب المستخدمة للتنبؤ بالتباين العشوائي للمخرجات ما يلي:

• طريقة مونت كارلو (بما في ذلك المكعبات الفائقة اللاتينية )؛ ^{[ 12 ]}
• انتشار الخطأ ؛
• تصميم التجارب (DOE)
• طريقة العزوم
• التداخل الإحصائي
• نشر وظائف الجودة
• تحليل أنماط الفشل وتأثيراتها

• عنصر الفاصل المحدود
• النمذجة العشوائية
• طريقة العزم الثاني من الدرجة الأولى
• توزيع ويبول

• أنج وتانج (2006) مفاهيم الاحتمالات في الهندسة: التركيز على التطبيقات في الهندسة المدنية والبيئية. جون وايلي وأولاده. ISBN 0-471-72064-X
• آش (1993) كتاب تعليم الاحتمالات: دورة بديهية للمهندسين والعلماء ( ولكل شخص آخر ). مطبعة وايلي-IEEE. رقم ISBN 0-7803-1051-9
• كلاوسينغ (1994) تطوير الجودة الشاملة: دليل خطوة بخطوة للهندسة المتزامنة ذات المستوى العالمي. الجمعية الأمريكية للمهندسين الميكانيكيين. ISBN 0-7918-0035-0
• هاوجن (1980) التصميم الميكانيكي الاحتمالي. وايلي. ISBN 0-471-05847-5
• بابوليس (2002) الاحتمالات، والمتغيرات العشوائية، والعمليات العشوائية. شركة ماكجرو هيل للنشر. ISBN 0-07-119981-0
• سيدال (1982) التصميم الهندسي الأمثل. سي آر سي. رقم ISBN 0-8247-1633-7
• دودسون، ب.، وهاميت، ب.، وكليركس، ر. (2014) التصميم الاحتمالي للتحسين والمتانة للمهندسين، جون وايلي وأولاده، رقم ISBN 978-1-118-79619-1
• سيدرباوم، جي.، إليشاكوف، آي.، عبودي، ج.، وليبريسكو، إل.، الاهتزاز العشوائي وموثوقية الهياكل المركبة، تكنوميك، لانكستر، 1992، 13 +  191 صفحة؛ ISBN 0 87762 865 3
• إليشاكوف، آي.، لين، واي. كيه.، وزو، إل. بي.، النمذجة الاحتمالية والمحدبة للهياكل المهتزة صوتيًا، دار نشر إلسيفير للعلوم، أمستردام، 1994، 8 +  296 صفحة؛ ISBN 0 444 81624 0
• إليشاكوف، آي.، الأساليب الاحتمالية في نظرية الهياكل: المقاومة العشوائية للمواد، والاهتزاز العشوائي، والانبعاج، دار النشر العالمية، سنغافورة، رقم ISBN 978-981-3149-84-7، 2017

• التصميم الاحتمالي
• المناهج غير الحتمية في الهندسة