مخطط الصندوق

الموسوعة الحرة
مخطط الصندوق لبيانات تجربة ميكلسون

في الإحصاء الوصفي ، يُعد مخطط الصندوق أو مخطط الصندوق طريقة لعرض مجموعات البيانات العددية بيانياً من خلال أرباعها . [ 1 ]

مخطط الصندوق الذي يمثل البيانات

بالإضافة إلى الصندوق في مخطط الصندوق، قد تظهر خطوط (تُسمى الشعيرات ) تمتد من الصندوق، تشير إلى التباين خارج الربيعين العلوي والسفلي، ولذلك يُسمى المخطط أيضًا بمخطط الصندوق والشعيرات . ويمكن تمثيل القيم الشاذة التي تختلف اختلافًا كبيرًا عن بقية مجموعة البيانات [ 2 ] كنقاط فردية خارج الشعيرات في مخطط الصندوق. مخططات الصندوق غير معلمية : فهي تُظهر التباين في عينات من مجتمع إحصائي دون افتراض أي شيء عن التوزيع الإحصائي الأساسي [ 3 ] (مع أن مخطط صندوق توكي يفترض تناظر الشعيرات وتوزيعها الطبيعي).

تشير المسافات في كل قسم فرعي من مخطط الصندوق إلى درجة تشتت البيانات وانحرافها، والتي تُوصف عادةً باستخدام ملخص الأرقام الخمسة . بالإضافة إلى ذلك، يسمح مخطط الصندوق بتقدير مختلف مُقدِّرات L بصريًا ، ولا سيما المدى الربيعي ، والمفصل الأوسط ، والمدى ، ومتوسط ​​المدى ، والمتوسط ​​الثلاثي . يمكن رسم مخططات الصندوق أفقيًا أو رأسيًا.

تاريخ

تم تقديم طريقة النطاق الشريطي لأول مرة من قبل ماري إليانور سبير في كتابها "Charting Statistics" عام 1952 [ 4 ] ومرة ​​أخرى في كتابها "Practical Charting Techniques" عام 1969. [ 5 ] تم تقديم مخطط الصندوق والشارب لأول مرة عام 1970 من قبل جون توكي ، الذي نشر لاحقًا عن هذا الموضوع في كتابه "Exploratory Data Analysis" عام 1977. [ 6 ]

عناصر

مخطط الصندوق مع شوارب من الحد الأدنى إلى الحد الأقصى
نفس مخطط الصندوق مع رسم الشوارب ضمن قيمة المدى الربيعي 1.5

مخطط الصندوق هو طريقة موحدة لعرض مجموعة البيانات بناءً على ملخص الأرقام الخمسة : الحد الأدنى، والحد الأقصى، ووسيط العينة، والربيع الأول والثالث.

  • الحد الأدنى ( النسبة المئوية 0 أو النسبة المئوية الصفرية ) : أدنى نقطة بيانات في مجموعة البيانات باستثناء أي قيم متطرفة
  • القيمة القصوى ( الربع الرابع أو النسبة المئوية المئة) : أعلى نقطة بيانات في مجموعة البيانات باستثناء أي قيم متطرفة
  • الوسيط ( الربيع الثاني أو النسبة المئوية الخمسون) : القيمة الوسطى في مجموعة البيانات
  • الربيع الأول ( Q1 أو النسبة المئوية الخامسة والعشرون) : يُعرف أيضًا بالربيع الأدنى qn (0.25) ، وهو الوسيط للنصف الأدنى من مجموعة البيانات
  • الربع الثالث ( Q 3 أو النسبة المئوية 75) : يُعرف أيضًا باسم الربع الأعلى q n (0.75)، وهو الوسيط للنصف العلوي من مجموعة البيانات [ 7 ].

بالإضافة إلى القيم الدنيا والقصوى المستخدمة لإنشاء مخطط الصندوق، هناك عنصر مهم آخر يمكن استخدامه أيضًا للحصول على مخطط الصندوق وهو المدى الربيعي (IQR)، كما هو موضح أدناه:

المدى الربيعي=سؤال3-سؤال1=qن(0.75)-qن(0.25){\displaystyle {\text{IQR}}=Q_{3}-Q_{1}=q_{n}(0.75)-q_{n}(0.25)}

صندوق

يُرسم المربع من الربع الأول ( Q1 ) إلى الربع الثالث (Q3 ) ، مع رسم خط أفقي داخله للدلالة على الوسيط. تتضمن بعض مخططات الصندوق رمزًا إضافيًا لتمثيل متوسط ​​البيانات. [ 8 ] [ 9 ]

شوارب

يجب أن تنتهي الخطوط عند نقطة بيانات مُلاحظة، ولكن يمكن تحديدها بطرق مختلفة. في أبسط الطرق، يكون حد الخط السفلي هو القيمة الدنيا لمجموعة البيانات، وحد الخط العلوي هو القيمة القصوى. ونظرًا لهذا التباين، من المناسب وصف الاصطلاح المُستخدم للخطوط والقيم الشاذة في شرح مخطط الصندوق.

يُعدّ استخدام قيمة 1.5 IQR خيارًا شائعًا آخر لتحديد حدود خطوط التوزيع. فمن أعلى الربيع الأعلى ( Q3 ) ، تُقاس مسافة تساوي 1.5 ضعف قيمة IQR، ويُرسم خط توزيع لأعلى حتى أكبر نقطة بيانات مُلاحظة في مجموعة البيانات تقع ضمن هذه المسافة. وبالمثل، تُقاس مسافة تساوي 1.5 ضعف قيمة IQR أسفل الربيع الأدنى ( Q1 ) ، ويُرسم خط توزيع لأسفل حتى أصغر نقطة بيانات مُلاحظة في مجموعة البيانات تقع ضمن هذه المسافة. ولأن خطوط التوزيع يجب أن تنتهي عند نقطة بيانات مُلاحظة، فقد تبدو أطوالها غير متساوية، على الرغم من أن قيمة 1.5 IQR متساوية على كلا الجانبين. تُمثل جميع نقاط البيانات المُلاحظة الأخرى خارج حدود خطوط التوزيع كقيم شاذة . [ 10 ] ويمكن تمثيل هذه القيم الشاذة على مخطط الصندوق كنقطة، أو دائرة صغيرة، أو نجمة، وما إلى ذلك (انظر المثال أدناه).

توجد تمثيلات أخرى يمكن أن ترمز فيها الشعيرات إلى عدة أشياء أخرى، مثل:

  • انحراف معياري واحد أعلى وأسفل متوسط ​​مجموعة البيانات
  • النسبة المئوية التاسعة والنسبة المئوية الحادية والتسعون لمجموعة البيانات
  • النسبة المئوية الثانية والنسبة المئوية الثامنة والتسعون لمجموعة البيانات

في حالات نادرة، يمكن رسم مخطط الصندوق بدون الشوارب. قد يكون هذا مناسبًا للمعلومات الحساسة لتجنب كشف الشوارب (والقيم الشاذة) عن القيم الفعلية المرصودة. [ 11 ]

تُستخدم النسب المئوية غير المعتادة 2%، 9%، 91%، 98% أحيانًا لتظليل أطراف الشوارب وتوضيح ملخص الأرقام السبعة . إذا كانت البيانات موزعة توزيعًا طبيعيًا ، فستكون مواقع العلامات السبعة على مخطط الصندوق متساوية التباعد. في بعض مخططات الصندوق، يُوضع تظليل قبل نهاية كل شارب.

الاختلافات

أربعة مخططات صندوقية، مع وبدون شقوق وعرض متغير

منذ أن قام عالم الرياضيات جون دبليو توكي بنشر هذا النوع من عرض البيانات المرئية لأول مرة في عام 1969، تم تطوير العديد من الاختلافات في مخطط الصندوق الكلاسيكي، وأكثر الاختلافات شيوعًا هي مخططات الصندوق ذات العرض المتغير ومخططات الصندوق المشقوقة.

توضح مخططات الصندوق ذات العرض المتغير حجم كل مجموعة يتم تمثيل بياناتها بيانيًا، وذلك بجعل عرض الصندوق متناسبًا مع حجم المجموعة. ومن المتعارف عليه أن يكون عرض الصندوق متناسبًا مع الجذر التربيعي لحجم المجموعة. [ 12 ]

تُطبّق مخططات الصندوق ذات الشقوق "شقًا" أو تضييقًا للصندوق حول الوسيط. تُفيد هذه الشقوق في تقديم دليل تقريبي على دلالة الفرق بين الوسيطين؛ فإذا لم تتداخل شقوق صندوقين، فهذا يُشير إلى وجود فرق ذي دلالة إحصائية بينهما. يتناسب ارتفاع الشقوق طرديًا مع المدى الربيعي (IQR) للعينة، وعكسيًا مع الجذر التربيعي لحجمها. مع ذلك، ثمة غموض حول المُضاعِف الأمثل (إذ قد يختلف باختلاف تشابه تباينات العينات). [ 12 ] يُختار عرض الشق بشكل اعتباطي ليكون مُرضيًا بصريًا، ويجب أن يكون متسقًا بين جميع مخططات الصندوق المعروضة على الصفحة نفسها.

إحدى الطرق المتبعة لتحديد حدود هذه الشقوق هي استخدام مسافة قدرها±1.58 المدى الربيعين{\displaystyle \pm {\frac {1.58{\text{ IQR}}}{\sqrt {n}}}}حول الوسيط. [ 13 ]

تهدف مخططات الصندوق المعدلة إلى وصف التوزيعات الملتوية ، وتعتمد على إحصائية medcouple للانحراف. [ 14 ] بالنسبة لقيمة medcouple تساوي MC، يتم تحديد أطوال الشعيرات العلوية والسفلية على مخطط الصندوق على النحو التالي:

1.5المدى الربيعي⋅هـ3مقدم الحفل،1.5 المدى الربيعي⋅هـ-4مقدم الحفل لو مقدم الحفل≥0،1.5المدى الربيعي⋅هـ4مقدم الحفل،1.5 المدى الربيعي⋅هـ-3مقدم الحفل لو مقدم الحفل≤0.{\displaystyle {\begin{matrix}1.5{\text{IQR}}\cdot e^{3{\text{MC}}},&1.5{\text{ IQR}}\cdot e^{-4{\text{MC}}}{\text{ if }}{\text{MC}}\geq 0,\\1.5{\text{IQR}}\cdot e^{4{\text{MC}}},&1.5{\text{ IQR}}\cdot e^{-3{\text{MC}}}{\text{ if }}{\text{MC}}\leq 0.\end{matrix}}}

في حالة التوزيع المتماثل للبيانات، ستكون قيمة medcouple صفرًا، وهذا يُختزل مخطط الصندوق المُعدَّل إلى مخطط صندوق توكي بأطوال متساوية للشعيرات.1.5 المدى الربيعي{\displaystyle 1.5{\text{ IQR}}}لكلا الشاربين.

يمكن لأنواع أخرى من مخططات الصندوق ، مثل مخططات الكمان ومخططات الفاصوليا، أن تُظهر الفرق بين التوزيعات أحادية النمط ومتعددة الأنماط ، وهو ما لا يمكن ملاحظته من مخطط الصندوق الكلاسيكي الأصلي. [ 6 ]

أمثلة

مثال بدون قيم متطرفة

مخطط صندوقي بدون قيم متطرفة

تم قياس درجات الحرارة على مدار اليوم بالساعة بوحدة فهرنهايت. وفيما يلي القيم المسجلة بالترتيب: 57، 57، 57، 58، 63، 66، 66، 67، 67، 68، 69، 70، 70، 70، 70، 72، 73، 75، 75، 76، 76، 78، 79، 81.

يمكن إنشاء مخطط الصندوق لمجموعة البيانات عن طريق حساب خمس قيم ذات صلة بهذه المجموعة من البيانات أولاً: الحد الأدنى، والحد الأقصى، والوسيط ( Q 2 )، والربيع الأول ( Q 1 )، والربيع الثالث ( Q 3 ).

الحد الأدنى هو أصغر قيمة في مجموعة البيانات. في هذه الحالة، تبلغ أدنى درجة حرارة مسجلة خلال النهار 57 درجة فهرنهايت.

القيمة القصوى هي أكبر رقم في مجموعة البيانات. في هذه الحالة، تبلغ أعلى درجة حرارة مسجلة خلال النهار 81 درجة فهرنهايت.

الوسيط هو القيمة الوسطى في مجموعة البيانات المرتبة. وهذا يعني أن 50% من العناصر تقع أسفل الوسيط، و50% منها تقع أعلى منه. الوسيط لهذه المجموعة المرتبة هو 70 درجة فهرنهايت.

قيمة الربيع الأول ( Q1 أو النسبة المئوية الخامسة والعشرون) هي القيمة التي تمثل ربع مجموعة البيانات المرتبة. بعبارة أخرى، هناك 25% من العناصر التي تقل عن قيمة الربيع الأول، و75% من العناصر التي تزيد عنها. يمكن تحديد قيمة الربيع الأول بسهولة بإيجاد القيمة الوسطى بين الحد الأدنى والوسيط. بالنسبة لدرجات الحرارة بالساعة، فإن القيمة الوسطى بين 57 درجة فهرنهايت و70 درجة فهرنهايت هي 66 درجة فهرنهايت.

قيمة الربيع الثالث ( Q3 أو النسبة المئوية 75) هي القيمة التي تمثل ثلاثة أرباع مجموعة البيانات المرتبة. بعبارة أخرى، هناك 75% من العناصر التي تقل عن الربيع الثالث، و25% من العناصر التي تزيد عنه. يمكن الحصول على قيمة الربيع الثالث بسهولة من خلال إيجاد القيمة الوسطى بين الوسيط والقيمة القصوى. بالنسبة لدرجات الحرارة بالساعة، فإن القيمة الوسطى بين 70 درجة فهرنهايت و81 درجة فهرنهايت هي 75 درجة فهرنهايت.

يمكن حساب المدى الربيعي، أو IQR، عن طريق طرح قيمة الربيع الأول ( Q1 ) من قيمة الربيع الثالث ( Q3 ) :

المدى الربيعي=سؤال3-سؤال1=75∘F-66∘F=9∘F.{\displaystyle {\text{IQR}}=Q_{3}-Q_{1}=75^{\circ }F-66^{\circ }F=9^{\circ }F.}

لذلك،1.5المدى الربيعي=1.5⋅9∘F=13.5∘F.{\displaystyle 1.5{\text{IQR}}=1.5\cdot 9^{\circ }F=13.5^{\circ }F.}

1.5 IQR أعلى من الربع الثالث هو:

سؤال3+1.5 المدى الربيعي=75∘F+13.5∘F=88.5∘F.{\displaystyle Q_{3}+1.5{\text{ IQR}}=75^{\circ }F+13.5^{\circ }F=88.5^{\circ }F.}

1.5 IQR أسفل الربع الأول هو:

سؤال1-1.5 المدى الربيعي=66∘F-13.5∘F=52.5∘F.{\displaystyle Q_{1}-1.5{\text{ IQR}}=66^{\circ }F-13.5^{\circ }F=52.5^{\circ }F.}

يمثل الحد العلوي للخط العريض في مخطط الصندوق أكبر قيمة بيانات تقع ضمن نطاق 1.5 من المدى الربيعي (IQR) فوق الربيع الثالث. هنا، يبلغ 1.5 من المدى الربيعي فوق الربيع الثالث 88.5 درجة فهرنهايت، بينما تبلغ القيمة القصوى 81 درجة فهرنهايت. لذلك، يُرسم الخط العريض عند القيمة القصوى، وهي 81 درجة فهرنهايت.

وبالمثل، يُمثل الحد السفلي للخط العريض في مخطط الصندوق أصغر قيمة بيانات تقع ضمن نطاق 1.5 من المدى الربيعي (IQR) أسفل الربيع الأول. هنا، يبلغ 1.5 من المدى الربيعي أسفل الربيع الأول 52.5 درجة فهرنهايت، والحد الأدنى هو 57 درجة فهرنهايت. لذلك، يُرسم الخط العريض السفلي عند قيمة الحد الأدنى، وهي 57 درجة فهرنهايت.

مثال مع القيم المتطرفة

مخطط الصندوق مع القيم المتطرفة

المثال أعلاه يوضح كيفية إنشاء مخطط الصندوق بدون القيم المتطرفة. إليك مثال لاحق لإنشاء مخطط الصندوق مع القيم المتطرفة:

المجموعة المرتبة لدرجات الحرارة المسجلة هي (°F): 52، 57، 57، 58، 63، 66، 66، 67، 67، 68، 69، 70، 70، 70، 70، 72، 73، 75، 75، 76، 76، 78، 79، 89.

في هذا المثال، تم تغيير الرقم الأول والأخير فقط. أما الوسيط والربيع الثالث والربيع الأول فتبقى كما هي.

في هذه الحالة، تبلغ أعلى قيمة في مجموعة البيانات 89 درجة فهرنهايت، و1.5 ضعف المدى الربيعي فوق الربيع الثالث تساوي 88.5 درجة فهرنهايت. وبما أن القيمة القصوى أكبر من مجموع 1.5 ضعف المدى الربيعي والربيع الثالث، فإنها تُعتبر قيمة شاذة. لذلك، يُرسم الخط العلوي عند أعلى قيمة أصغر من 1.5 ضعف المدى الربيعي فوق الربيع الثالث، وهي 79 درجة فهرنهايت.

وبالمثل، فإن أدنى قيمة في هذه المجموعة من البيانات هي 52 درجة فهرنهايت، و1.5 من المدى الربيعي (IQR) أسفل الربيع الأول هي 52.5 درجة فهرنهايت. وبما أن القيمة الدنيا أصغر من 1.5 من المدى الربيعي ناقص الربيع الأول، فإنها تُعتبر قيمة شاذة. لذا، يُرسم الخط السفلي عند أصغر قيمة أكبر من 1.5 من المدى الربيعي أسفل الربيع الأول، وهي 57 درجة فهرنهايت.

في حالة مجموعات البيانات الكبيرة

مثال إضافي للحصول على مخطط الصندوق من مجموعة بيانات تحتوي على عدد كبير من نقاط البيانات هو:

معادلة عامة لحساب الكميات التجريبية

qن(ص)=x(ك)+α(x(ك+1)-x(ك)){\displaystyle q_{n}(p)=x_{(k)}+\alpha (x_{(k+1)}-x_{(k)})}
مع ك=[ص(ن+1)] و α=ص(ن+1)-ك{\displaystyle {\text{مع }}k=[p(n+1)]{\text{ و }}\alpha =p(n+1)-k}
هناx(ك){\displaystyle x_{(k)}}يرمز إلى الترتيب العام لنقاط البيانات (أي إذاأنا<ك{\displaystyle i<k}، ثمx(أنا)<x(ك){\displaystyle x_{(i)}<x_{(k)}})

باستخدام المثال أعلاه الذي يحتوي على 24 نقطة بيانات ( n = 24)، يمكن للمرء حساب الوسيط والربيع الأول والثالث إما رياضيا أو بصريا.

متوسط

qن(0.5)=x(12)+(0.5⋅25-12)⋅(x(13)-x(12))=70+(0.5⋅25-12)⋅(70-70)=70∘F\begin{aligned}q_{n}(0.5)&=x_{(12)}+(0.5\cdot 25-12)\cdot (x_{(13)}-x_{(12)})\\[5pt]&=70+(0.5\cdot 25-12)\cdot (70-70)=70^{\circ }{\text{F}}\end{aligned}}}

الربع الأول

qن(0.25)=x(6)+(0.25⋅25-6)⋅(x(7)-x(6))=66+(0.25⋅25-6)⋅(66-66)=66∘F{\displaystyle {\begin{aligned}q_{n}(0.25)&=x_{(6)}+(0.25\cdot 25-6)\cdot (x_{(7)}-x_{(6)})\\[5pt]&=66+(0.25\cdot 25-6)\cdot (66-66)=66^{\circ }{\text{F}}\end{aligned}}}

الربع الثالث

qن(0.75)=x(18)+(0.75⋅25-18)⋅(x(19)-x(18))=75+(0.75⋅25-18)⋅(75-75)=75∘F{\displaystyle {\begin{aligned}q_{n}(0.75)&=x_{(18)}+(0.75\cdot 25-18)\cdot (x_{(19)}-x_{(18)})\\[5pt]&=75+(0.75\cdot 25-18)\cdot (75-75)=75^{\circ }{\text{F}}\end{aligned}}}
مخطط الصندوق ودالة كثافة الاحتمال (pdf) لمجتمع طبيعي N(0,1σ 2 )
مخططات الصندوق التي توضح مدى انحراف مجموعة البيانات

التصور

على الرغم من أن مخططات الصندوق قد تبدو أبسط من المدرجات التكرارية أو تقديرات كثافة النواة ، إلا أنها تتمتع بعدة مزايا. أولًا، تُمكّن مخططات الصندوق الإحصائيين من إجراء فحص بياني سريع لمجموعة بيانات واحدة أو أكثر. كما أنها تشغل مساحة أقل، ما يجعلها مفيدة بشكل خاص لمقارنة التوزيعات بين عدة مجموعات أو مجموعات بيانات في آنٍ واحد. أخيرًا، يمكن أن يتأثر الهيكل العام للمدرجات التكرارية وتقديرات كثافة النواة بشكل كبير باختيار عدد وعرض الفئات، واختيار عرض النطاق، على التوالي.

على الرغم من أن النظر إلى التوزيع الإحصائي أكثر شيوعًا من النظر إلى مخطط الصندوق، إلا أنه يمكن أن يكون من المفيد مقارنة مخطط الصندوق بدالة كثافة الاحتمال (المخطط التكراري النظري) لتوزيع طبيعي N(0, σ 2 ) وملاحظة خصائصها مباشرة.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ سي.، دوتوا، إس إتش (2012). تحليل البيانات الاستكشافي الرسومي . سبرينغر. ISBN 978-1-4612-9371-2. OCLC 1019645745 . {{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  2. ↑ جروبس، فرانك إي. (فبراير 1969). "إجراءات للكشف عن القيم الشاذة في العينات" . تكنومتركس . 11 (1): 1-21 . doi : 10.1080/00401706.1969.10490657 . ISSN 0040-1706 . 
  3. ↑ ريتشارد، بودي (2009). الأساليب الإحصائية في الممارسة : للعلماء والتقنيين . جون وايلي وأولاده. ISBN  978-0-470-74664-6. OCLC 940679163 . 
  4. ↑ سبير، ماري إليانور (2024). رسم الإحصاءات . ماكجرو هيل. ص 166. 
  5. ↑ سبير، ماري إليانور. (1969). تقنيات التخطيط العملي . نيويورك: ماكجرو هيل. ISBN 0070600104. OCLC 924909765 . 
  6. 1 2 ويكهام، هادلي؛ ستريجوسكي، ليزا. "40 عامًا من المخططات الصندوقية" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 ديسمبر 2020 .
  7. ↑ هولمز، ألكسندر؛ إيلوسكي، باربرا؛ دين، سوزان (31 مارس 2015). "مقدمة في إحصاءات الأعمال" . أوبن ستاكس . مؤرشف من الأصل في 27 يوليو 2020. تم الاطلاع عليه في 29 أبريل 2020 .
  8. ↑ فريج، مايكل؛ هوغلين، ديفيد سي؛ إيغليفيتش، بوريس (فبراير 1989). "بعض تطبيقات مخطط الصندوق". الإحصائي الأمريكي . 43 (1): 50-54 . doi : 10.2307/2685173 . JSTOR 2685173 . 
  9. ↑ مارمولخو-راموس، ف.؛ تيان، س. (2010). "مخطط الصندوق المتحرك: مخطط صندوق قائم على إحصاءات موجزة أساسية حول المتوسط" . المجلة الدولية للبحوث النفسية . 3 (1): 37-46 . doi : 10.21500/20112084.823 . hdl : 10819/6492 .
  10. ↑ ديكينج، إف إم (2005). مقدمة حديثة في الاحتمالات والإحصاء . سبرينغر. ص 234-238 . ISBN  1-85233-896-2.
  11. ↑ ديريك، بن؛ غرين، إليزابيث؛ ريتشي، فيليكس؛ وايت، بول (سبتمبر 2022). "مخاطر الإفصاح عند الإبلاغ عن الإحصاءات أحادية المتغير شائعة الاستخدام". الخصوصية في قواعد البيانات الإحصائية . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 13463. الصفحات 119-129 . doi : 10.1007/978-3-031-13945-1_9 . ISBN   978-3-031-13944-4.
  12. 1 2 ماكجيل، روبرت؛ توكي، جون دبليو ؛ لارسن، واين أ. (فبراير 1978). "تنوعات مخططات الصندوق". الإحصائي الأمريكي . 32 (1): 12-16 . doi : 10.2307/2683468 . JSTOR 2683468 . 
  13. ↑ "R: إحصائيات مخطط الصندوق" . دليل R. تم الاطلاع عليه بتاريخ 26 يونيو 2011 .
  14. ↑ هوبرت، م .؛ فاندرفيرين، إ. (2008). "مخطط الصندوق المعدل للتوزيع الملتوي". الإحصاءات الحاسوبية وتحليل البيانات . 52 (12): 5186-5201 . CiteSeerX 10.1.1.90.9812 . doi : 10.1016/j.csda.2007.11.008 . 

للمزيد من القراءة