الحد الأقصى والحد الأدنى للعينة

بالنسبة لمجموعة عينة، تكون دالة القيمة القصوى غير ملساء، وبالتالي غير قابلة للتفاضل. في مسائل التحسين التي تظهر في الإحصاء، غالباً ما يلزم تقريبها بدالة ملساء قريبة من القيمة القصوى للمجموعة.

مثال على قيمة عظمى سلسة

g ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) = log( exp( x ₁ ) + exp( x ₂ ) + … + exp( x _n ) )

يمثل تقريبًا جيدًا لأقصى قيمة للعينة.

الحد الأقصى والحد الأدنى للعينة هما إحصائيات موجزة أساسية ، تُظهر أكثر الملاحظات تطرفًا، ويتم استخدامها في ملخص الأرقام الخمسة ونسخة من ملخص الأرقام السبعة ومخطط الصندوق المرتبط به .

يوفر الحد الأقصى والحد الأدنى للعينة فترة تنبؤ غير معلمية : في عينة من مجتمع، أو بشكل عام سلسلة قابلة للتبادل من المتغيرات العشوائية، يكون احتمال أن تكون كل ملاحظة هي الحد الأقصى أو الحد الأدنى متساوياً.

وبالتالي إذا كان لدى المرء عينة${\displaystyle \{X_{1},\dots ,X_{n}\},}$ويختار المرء ملاحظة أخرى${\displaystyle X_{n+1},}$ثم هذا لديه${\displaystyle 1/(n+1)}$احتمالية أن تكون أكبر قيمة تم رصدها حتى الآن،${\displaystyle 1/(n+1)}$احتمال أن تكون هذه القيمة هي الأصغر التي تم رصدها حتى الآن، وبالتالي القيمة الأخرى${\displaystyle (n-1)/(n+1)}$في ذلك الوقت،${\displaystyle X_{n+1}}$يقع بين الحد الأقصى والحد الأدنى للعينة من${\displaystyle \{X_{1},\dots ,X_{n}\}.}$ وبالتالي، إذا رمزنا لأقصى وأدنى قيمة في العينة بالرمزين M و m، فإن هذا ينتج عنه${\displaystyle (n-1)/(n+1)}$فترة التنبؤ لـ [ m , M ].

على سبيل المثال، إذا كانت قيمة n  تساوي  19، فإنّ [ m , M ] تُعطي فترة تنبؤ بنسبة 90% (18/20) - أي أن القيمة العشرون تقع بين أصغر وأكبر قيمة مُشاهدة سابقًا في 90% من الحالات. وبالمثل، فإنّ n  =  39 تُعطي فترة تنبؤ بنسبة 95%، و n  =  199 تُعطي فترة تنبؤ بنسبة 99%.

نظراً لحساسيتها للقيم المتطرفة، لا يمكن استخدام القيم المتطرفة للعينة كمقدرات موثوقة إلا إذا كانت البيانات نظيفة - وتشمل البدائل القوية العشير الأول والأخير .

ومع ذلك، في حالة البيانات النظيفة أو في الأطر النظرية، يمكن أن تثبت هذه الأساليب أحيانًا أنها مقدرات جيدة جدًا، لا سيما بالنسبة للتوزيعات المسطحة ، حيث يكون المدى المتوسط ​​هو المقدر الأكثر كفاءة لمجموعات البيانات الصغيرة .

ومع ذلك ، فهي مقدّرات غير فعالة للموقع بالنسبة للتوزيعات متوسطة التفرطح، مثل التوزيع الطبيعي ، والتوزيعات ذات التفرطح العالي.

يمكن استخدام القيم القصوى للعينة لاختبار بسيط للتوزيع الطبيعي ، وتحديداً لاختبار التفرطح: حيث يتم حساب إحصائية t للحد الأقصى والحد الأدنى للعينة (يطرح متوسط ​​العينة ويقسم على الانحراف المعياري للعينة )، وإذا كانت كبيرة بشكل غير عادي بالنسبة لحجم العينة (وفقًا لقاعدة الانحراف المعياري الثلاثة والجدول الوارد فيها، أو بشكل أدق توزيع t للطالب )، فإن تفرطح توزيع العينة ينحرف بشكل كبير عن تفرطح التوزيع الطبيعي.

على سبيل المثال، من المتوقع أن يحدث حدثٌ بانحراف معياري قدره 3σ مرة واحدة سنويًا (من أيام التقويم؛ مرة كل عام ونصف من أيام العمل)، بينما يحدث حدث بانحراف معياري قدره 4σ في المتوسط ​​كل 40 عامًا من أيام التقويم، و60 عامًا من أيام العمل (مرة واحدة في العمر)، وتحدث أحداث بانحراف معياري قدره 5σ كل 5000 عام (مرة واحدة في التاريخ المسجل)، وتحدث أحداث بانحراف معياري قدره 6σ كل 1.5 مليون عام (نادرًا جدًا). ​​وبالتالي، إذا كانت القيم القصوى للعينة تبعد 6 انحرافات معيارية عن المتوسط، فهذا يُعدّ خللًا كبيرًا في التوزيع الطبيعي.

علاوة على ذلك، فإن هذا الاختبار سهل التوصيل للغاية دون الحاجة إلى إحصائيات معقدة.

يمكن تطبيق هذه الاختبارات الخاصة بالوضع الطبيعي إذا واجه المرء خطر التفرطح ، على سبيل المثال.

تلعب القيم القصوى للعينات دورين رئيسيين في نظرية القيم المتطرفة :

• أولاً، إنها تعطي حداً أدنى للأحداث المتطرفة - يمكن أن تكون الأحداث متطرفة على الأقل بهذا الشكل، ولحجم العينة هذا؛
• ثانياً، يمكن استخدامها أحياناً في تقدير احتمالية وقوع أحداث أكثر تطرفاً.

مع ذلك، يجب توخي الحذر عند استخدام القيم القصوى للعينات كإرشادات: ففي التوزيعات ذات الذيول السميكة أو العمليات غير المستقرة ، قد تكون الأحداث المتطرفة أكثر تطرفًا بشكل ملحوظ من أي حدث تم رصده سابقًا. وقد تم توضيح ذلك في نظرية البجعة السوداء .