مقدر L

في الإحصاء ، يُعرف مُقدِّر L (أو إحصائية L ) بأنه مُقدِّر عبارة عن توليفة خطية من إحصاءات الترتيب للقياسات. قد يكون هذا التقدير بسيطًا كقيمة واحدة، كما في الوسيط (لعدد فردي من القيم)، أو شاملًا لجميع القيم، كما في المتوسط.

تتمثل المزايا الرئيسية لمُقدِّرات L في بساطتها الشديدة وقوتها الإحصائية في كثير من الأحيان : فبافتراض ترتيب البيانات، يسهل حسابها وتفسيرها، كما أنها غالبًا ما تكون مقاومة للقيم الشاذة. ولذلك، فهي مفيدة في الإحصاءات القوية، والإحصاءات الوصفية ، وفي تعليم الإحصاء ، وعندما تكون الحسابات معقدة. مع ذلك، فهي غير فعالة ، وفي العصر الحديث، تُفضَّل مُقدِّرات M القوية ، على الرغم من أنها أكثر تعقيدًا من الناحية الحسابية. في كثير من الحالات، تكون مُقدِّرات L فعالة إلى حد معقول، وبالتالي فهي مناسبة للتقدير الأولي.

من الأمثلة الأساسية على ذلك الوسيط . بفرض وجود n قيمة${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$، لو${\displaystyle n=2k+1}$إذا كان العدد فرديًا، فإن الوسيط يساوي${\displaystyle x_{(k+1)}}$، ال${\displaystyle (n+1)/2}$إحصائية الترتيب رقم -؛ إذا${\displaystyle n=2k}$إذا كان زوجيًا، فهو متوسط ​​إحصائيتين ترتيبيتين:${\displaystyle (x_{(k)}+x_{(k+1)})/2}$هاتان كلتاهما عبارة عن تركيبات خطية لإحصاءات الترتيب، وبالتالي فإن الوسيط هو مثال بسيط على مقدر L.

تتضمن قائمة الأمثلة الأكثر تفصيلاً ما يلي: مع نقطة واحدة، الحد الأقصى، الحد الأدنى، أو أي إحصائية ترتيبية أو كمية واحدة ؛ مع نقطة واحدة أو نقطتين، الوسيط؛ مع نقطتين، المدى المتوسط ، المدى ، الملخص المتوسط ​​( المدى المتوسط ​​المقتطع ، بما في ذلك نقطة المنتصف )، والمدى المقتطع (بما في ذلك المدى الربيعي والمدى العشري )؛ مع ثلاث نقاط، المتوسط ​​الثلاثي ؛ مع نسبة ثابتة من النقاط، المتوسط ​​المقتطع (بما في ذلك المتوسط ​​الربيعي ) والمتوسط ​​المعدل ؛ مع جميع النقاط، المتوسط.

لاحظ أن بعض هذه المقاييس (مثل الوسيط أو المدى المتوسط) هي مقاييس للنزعة المركزية ، وتستخدم كمقدرات لمعلمة الموقع ، مثل متوسط ​​التوزيع الطبيعي، بينما البعض الآخر (مثل المدى أو المدى المقطوع) هي مقاييس للتشتت الإحصائي ، وتستخدم كمقدرات لمعلمة المقياس ، مثل الانحراف المعياري للتوزيع الطبيعي.

يمكن لمقاييس L أيضًا قياس شكل التوزيع، بما يتجاوز الموقع والمقياس. على سبيل المثال، يُعدّ الفرق بين نقطة المنتصف والوسيط مقياس L ثلاثي الحدود يقيس الالتواء ، كما تُعطي الفروق الأخرى بين المجاميع الوسطى مقاييس لعدم التماثل عند نقاط مختلفة في الذيل. ^{[ 1 ]}

تُعدّ العزوم L للعينة مُقدِّرات L للعزوم L للمجتمع، ولها صيغ معقدة نوعًا ما. تُعالج العزوم L عادةً بشكل منفصل؛ راجع تلك المقالة لمزيد من التفاصيل.

تتميز مُقدِّرات L عادةً بمقاومتها الإحصائية ، إذ تمتلك نقطة انهيار عالية . تُعرَّف هذه النقطة بأنها نسبة القياسات التي يمكن تغييرها بشكل عشوائي دون أن يؤدي ذلك إلى انحراف التقدير الناتج نحو اللانهاية (أي "انهياره"). تُحدد نقطة انهيار مُقدِّر L بأقرب إحصائية ترتيبية إلى الحد الأدنى أو الأقصى: على سبيل المثال، يبلغ حد انهيار الوسيط 50% (وهو أعلى حد ممكن)، ويبلغ حد انهيار المتوسط ​​المُقَصَّر أو المُعدَّل (Winsorized ) n %.

ليست جميع تقديرات L قوية؛ فإذا تضمنت القيمة الدنيا أو القصوى، فإنها تصبح غير فعالة. وتشمل هذه التقديرات غير القوية القيم الدنيا والقصوى والمتوسطة والمدى المتوسط. أما التقديرات المكافئة المُقَصَّصة فهي قوية.

توفر مقاييس L القوية المستخدمة لقياس التشتت، مثل IQR، مقاييس قوية للمقياس .

في الاستخدام العملي في الإحصاءات القوية ، تم استبدال مقدرات L بمقدرات M ، والتي توفر إحصاءات قوية تتمتع أيضًا بكفاءة نسبية عالية ، على حساب كونها أكثر تعقيدًا من الناحية الحسابية وأكثر غموضًا.

مع ذلك، فإن بساطة مُقدِّرات L تعني سهولة تفسيرها وتصورها، مما يجعلها مناسبة للإحصاء الوصفي وتعليم الإحصاء ؛ بل يمكن حساب العديد منها ذهنيًا من ملخص مكون من خمسة أرقام أو سبعة ، أو تصورها من خلال مخطط الصندوق . وتلعب مُقدِّرات L دورًا أساسيًا في العديد من مناهج الإحصاء غير البارامتري .

على الرغم من كونها غير معلمية، تُستخدم مُقدِّرات L بشكل متكرر لتقدير المعلمات ، كما يشير اسمها، إلا أنها غالبًا ما تحتاج إلى تعديل للحصول على مُقدِّر متسق وغير متحيز . ويعتمد اختيار مُقدِّر L وتعديله على التوزيع الذي تُقدَّر معلماته.

على سبيل المثال، عند تقدير معلمة الموقع ، يكون مقدِّر L المتماثل (مثل الوسيط أو نقطة المنتصف) غير متحيز في حالة التوزيع المتماثل. أما إذا كان التوزيع ملتويًا ، فإن مقدِّرات L المتماثلة تكون متحيزة عمومًا وتتطلب تعديلًا. فعلى سبيل المثال، في التوزيع الملتوي، يقيس الالتواء غير البارامتري ( ومعاملات التواء بيرسون ) مدى تحيز الوسيط كمقدِّر للمتوسط.

عند تقدير معلمة المقياس ، كما هو الحال عند استخدام مقدر L كمقياس قوي للمقياس ، مثل تقدير تباين المجتمع أو الانحراف المعياري للمجتمع ، يجب عمومًا الضرب بعامل المقياس لجعله مقدرًا متسقًا غير متحيز؛ انظر معلمة المقياس: التقدير .

على سبيل المثال، قسمة المدى الربيعي على${\displaystyle 2{\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(1/2)\approx 1.349}$(باستخدام دالة الخطأ ) يجعلها مقدرًا غير متحيز ومتسق للانحراف المعياري للمجتمع إذا كانت البيانات تتبع التوزيع الطبيعي .

يمكن أيضًا استخدام مقاييس L كإحصاءات مستقلة؛ فعلى سبيل المثال، يُعد الوسيط مقياسًا للموقع، بينما يُعد المدى الربيعي مقياسًا للتشتت. في هذه الحالات، يمكن أن تعمل إحصاءات العينة كمُقدِّرات لقيمتها المتوقعة ؛ فعلى سبيل المثال، يُعد وسيط العينة مُقدِّرًا لوسيط المجتمع.

إلى جانب البساطة، فإن تقديرات L سهلة الحساب وقوية في كثير من الأحيان.

بافتراض ترتيب البيانات، يمكن حساب مُقدِّرات L التي تتضمن نقاطًا قليلة فقط باستخدام عمليات حسابية أقل بكثير من التقديرات الفعّالة. ^{[ 2 ] [ 3 ]} قبل ظهور الآلات الحاسبة الإلكترونية وأجهزة الحاسوب ، كانت هذه الأدوات وسيلةً مفيدةً لاستخلاص معظم المعلومات من العينة بأقل جهد. وظلت هذه الأدوات قيد الاستخدام العملي خلال أوائل ومنتصف القرن العشرين، عندما أصبح فرز بيانات البطاقات المثقبة آليًا ممكنًا، ولكن الحساب ظل صعبًا، ^{[ 2 ]} ولا تزال هذه الأدوات مفيدةً حتى اليوم، لتقدير البيانات المُعطاة بقائمة من القيم العددية بصيغة غير قابلة للقراءة آليًا ، حيث يكون إدخال البيانات أكثر تكلفةً من الفرز اليدوي. كما أنها تسمح بالتقدير السريع.

غالباً ما تكون تقديرات L أكثر قوة من الطرق التقليدية ذات الكفاءة القصوى - فالوسيط مقاوم إحصائياً إلى أقصى حد ، حيث تبلغ نقطة انهياره 50٪ ، ويبلغ متوسط ​​المدى المقطوع X٪ نقطة انهيار X٪، في حين أن متوسط ​​العينة (وهو الأكثر كفاءة) يكون ضعيفاً إلى حد أدنى، حيث ينهار بسبب قيمة شاذة واحدة.

على الرغم من أن تقديرات L ليست بنفس كفاءة الإحصاءات الأخرى، إلا أنها غالبًا ما تتمتع بكفاءة نسبية عالية، وتُظهر أن جزءًا كبيرًا من المعلومات المستخدمة في التقدير يمكن الحصول عليه باستخدام عدد قليل من النقاط - نقطة واحدة أو اثنتين أو ثلاث فقط. كما تُظهر أيضًا أن إحصاءات الترتيب تحتوي على قدر كبير من المعلومات.

على سبيل المثال، من حيث الكفاءة، بالنظر إلى عينة من معلمة عددية موزعة توزيعًا طبيعيًا ، يمكن تقدير المتوسط ​​الحسابي (المعدل) للمجتمع بأقصى قدر من الكفاءة عن طريق حساب متوسط ​​العينة - جمع جميع أعضاء العينة وقسمتها على عدد الأعضاء.

مع ذلك، بالنسبة لمجموعة بيانات كبيرة (أكثر من 100 نقطة) من مجتمع متماثل، يمكن تقدير المتوسط ​​بكفاءة معقولة مقارنةً بأفضل تقدير باستخدام مُقدِّرات L. عند استخدام نقطة واحدة، يتم ذلك بأخذ وسيط العينة، دون الحاجة إلى أي حسابات (باستثناء الترتيب)؛ وهذا يُعطي كفاءة بنسبة 64% أو أفضل (لجميع قيم n ). عند استخدام نقطتين، يكون التقدير البسيط هو نقطة المنتصف ( المدى المتوسط ​​المُقَصَّر بنسبة 25% )، ولكن التقدير الأكثر كفاءة هو المدى المتوسط ​​المُقَصَّر بنسبة 29%، أي حساب متوسط ​​القيمتين الواقعتين عند 29% من المسافة بين أصغر وأكبر قيمة: المئين 29 والمئين 71؛ وهذه الطريقة تُعطي كفاءة تبلغ حوالي 81%. ^{[ 3 ]} بالنسبة لثلاث نقاط، يمكن استخدام المتوسط ​​الثلاثي (متوسط ​​الوسيط ونقطة المنتصف)، على الرغم من أن متوسط ​​المئين 20 و50 و80 يُعطي كفاءة بنسبة 88%. يؤدي استخدام المزيد من النقاط إلى كفاءة أعلى، على الرغم من أنه من الجدير بالذكر أن 3 نقاط فقط مطلوبة لتحقيق كفاءة عالية جدًا.

لتقدير الانحراف المعياري للتوزيع الطبيعي، يوفر نطاق ما بين العُشيرات المُقاس مُقدِّرًا فعالًا إلى حد معقول، على الرغم من أن أخذ النطاق المُقَصَّر بنسبة 7% (الفرق بين المئين السابع والمئين الثالث والتسعين) وقسمته على 3 (وهو ما يُقابل 86% من بيانات التوزيع الطبيعي التي تقع ضمن 1.5 انحراف معياري عن المتوسط) يُعطي تقديرًا لكفاءة تبلغ حوالي 65%. ^{[ 3 ]}

بالنسبة للعينات الصغيرة، تُعدّ مُقدِّرات L فعّالة نسبيًا أيضًا: إذ تبلغ كفاءة مُلخَّص النقطة الثالثة من كل طرف حوالي 84% للعينات التي يبلغ حجمها حوالي 10، والمدى مقسومًا على${\displaystyle {\sqrt {n}}}$تتمتع هذه الطريقة بكفاءة جيدة نسبيًا للأحجام التي تصل إلى 20، إلا أنها تنخفض مع زيادة حجم العينة (n) ، ويمكن تحسين عامل المقياس (كفاءة 85% لـ 10 نقاط). تشمل التقديرات الاستدلالية الأخرى للعينات الصغيرة المدى على n ( للخطأ المعياري )، ومربع المدى على الوسيط (لقيمة كاي تربيع لتوزيع بواسون ). ^{[ 3 ]}

• العزم L
• مقدر M