مقاييس قوية للمقياس

في الإحصاء، تُعدّ مقاييس المقياس القوية أساليب تُحدد التشتت الإحصائي في عينة من البيانات الرقمية مع مقاومة القيم المتطرفة . وتُقارن هذه المقاييس بمقاييس المقياس التقليدية أو غير القوية، مثل الانحراف المعياري للعينة ، والتي تتأثر بشدة بالقيم المتطرفة.

أكثر الإحصاءات القوية شيوعاً هي المدى الربيعي (IQR) والانحراف المطلق الوسيط (MAD). كما تم تطوير مقدرات قوية بديلة، مثل تلك القائمة على الفروق الزوجية والتباين المتوسط ​​الموزون ثنائياً.

تُستخدم هذه الإحصاءات القوية بشكل خاص لتقدير معلمات المقياس ، وتتميز بمزايا القوة والكفاءة العالية في التعامل مع البيانات الملوثة، على حساب انخفاض الكفاءة في التعامل مع البيانات النظيفة من توزيعات مثل التوزيع الطبيعي. ولتوضيح القوة، يمكن زيادة الانحراف المعياري بشكل كبير عن طريق زيادة قيمة واحدة فقط (حيث تصل قيمته إلى الصفر ، لأنه يمكن أن يتأثر بنقطة واحدة)، وهو عيب لا تشترك فيه الإحصاءات القوية.

تجدر الإشارة إلى أنه في مجالات مثل التمويل، قد يؤدي افتراض الوضع الطبيعي إلى التعرض المفرط للمخاطر، وقد تكون هناك حاجة إلى مزيد من التحديد للمعلمات للتخفيف من المخاطر التي يمثلها التفرطح غير الطبيعي .

يمكن استخدام مقاييس المقياس القوية كمقدرات لخصائص السكان، إما لتقدير المعلمات أو كمقدرات لقيمتها المتوقعة .

على سبيل المثال، تُستخدم مُقدِّرات المقياس القوية لتقدير الانحراف المعياري للمجتمع ، وذلك عادةً بضربها في عامل المقياس لجعلها مُقدِّرًا متسقًا غير متحيز ؛ انظر: مُعامل المقياس: التقدير . على سبيل المثال، يمكن جعل المدى الربيعي مُقدِّرًا متسقًا وغير متحيز للانحراف المعياري للمجتمع إذا كانت البيانات تتبع التوزيع الطبيعي وتم قسمة المقياس على: $${\displaystyle 1.349\approx 2{\sqrt {2}}\,\operatorname {erf} ^{-1}\!\left({\tfrac {1}{2}}\right)}$$ أين${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}}$هي دالة الخطأ العكسية.

في حالات أخرى، يكون من الأنسب اعتبار مقياس المقياس القوي بمثابة تقدير لقيمته المتوقعة ، ويُفسَّر كبديل للانحراف المعياري للمجتمع كمقياس للمقياس. على سبيل المثال، يُعدّ الانحراف المطلق الوسيط (MAD) لعينة من توزيع كوشي القياسي تقديرًا للانحراف المطلق الوسيط للمجتمع، والذي يساوي 1 في هذه الحالة، بينما لا يوجد تباين للمجتمع.

تتميز المقدرات القوية عادةً بكفاءة إحصائية أقل مقارنةً بالمقدرات التقليدية للبيانات المستمدة من توزيع خالٍ من القيم المتطرفة، مثل التوزيع الطبيعي. ومع ذلك، فهي تتمتع بكفاءة فائقة للبيانات المستمدة من توزيع مختلط أو من توزيع ذي ذيل سميك ، حيث لا يُنصح باستخدام مقاييس غير قوية مثل الانحراف المعياري.

على سبيل المثال، بالنسبة للبيانات المستمدة من التوزيع الطبيعي، فإن الانحراف المطلق الوسيط يكون فعالاً بنسبة 37٪ مثل الانحراف المعياري للعينة، في حين أن مقدر روسيو-كروكس Q _n فعال بنسبة 88٪ مثل الانحراف المعياري للعينة.

يُعدّ المدى الربيعي (IQR) أحد أكثر مقاييس المقياس الموثوقة شيوعًا ، وهو الفرق بين المئين 75 والمئين 25 لعينة ما ؛ وهذا هو المدى المُقَصَّر بنسبة 25% ، وهو مثال على مُقَدِّر L. ويمكن أيضًا استخدام نطاقات مُقَصَّرة أخرى، مثل المدى بين العُشيرات (المدى المُقَصَّر بنسبة 10%).

بالنسبة للتوزيع الطبيعي، يرتبط المدى الربيعي بـ${\displaystyle \sigma }$، الانحراف المعياري ، كما يلي: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \sigma \approx 0.7413\operatorname {IQR} =\operatorname {IQR} /1.349}$$

يُعد الانحراف المطلق الوسيط (MAD) مقياسًا قويًا آخر شائع الاستخدام لقياس الحجم ، وهو وسيط القيم المطلقة للفروق بين قيم البيانات والوسيط العام لمجموعة البيانات؛ بالنسبة للتوزيع الطبيعي، يرتبط الانحراف المطلق الوسيط بـ${\displaystyle \sigma }$كما يلي: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \sigma \approx 1.4826\operatorname {MAD} \approx \operatorname {MAD} /0.6745}$$ للحصول على التفاصيل، قم بزيارة القسم المتعلق بالانحراف المعياري في المقالة الرئيسية حول الانحراف المطلق المتوسط.

اقترح روسيو وكروكس ^{[ 3 ]} بديلين للانحراف المطلق الوسيط، مدفوعين باثنين من نقاط ضعفه:

1. إنها غير فعالة (كفاءة 37٪) في التوزيعات الغاوسية .
2. يقوم بحساب إحصائية متناظرة حول تقدير الموقع، وبالتالي لا يتعامل مع الانحراف .

يقترحون إحصائيتين بديلتين تعتمدان على الفروق الزوجية: S _n و Q _n.

يُعرَّف S _{n على النحو التالي:}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma \approx S_{n}&:=1.1926\,\operatorname {med} _{i}\left(\operatorname {med} _{j}(\,\left|x_{i}-x_{j}\right|\,)\right),\\\end{aligned}}}$$يُعرَّف Q _{n على النحو التالي:} ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle \sigma \approx Q_{n}:=2.2219\;{\bigl \{}|x_{i}-x_{j}|:i<j{\bigr \}}_{(k)}}$$

أين:

• العامل 2.2219 هو ثابت الاتساق،
• المجموعة${\displaystyle \{\,|x_{i}-x_{j}|:i<j\,\}}$يتكون من جميع الفروق المطلقة بين كل زوج من المشاهدات${\displaystyle x_{i}}$و${\displaystyle x_{j}}$، و
• الرمز السفلي${\displaystyle (k)}$يمثل${\displaystyle k}$الإحصاءة المرتبة، أو${\displaystyle k\approx {\binom {n}{2}}/4}$

يمكن حساب هذه في وقت O ( n log n ) ومساحة O ( n ).

لا يتطلب أيٌّ من هذين الأسلوبين تقدير الموقع ، إذ يعتمدان فقط على الفروق بين القيم. وكلاهما أكثر كفاءة من متوسط ​​الانحراف المطلق (MAD) في ظل التوزيع الغاوسي: تبلغ كفاءة S _{_n} 58%، بينما تبلغ كفاءة Q _{_n} 82%.

بالنسبة لعينة من التوزيع الطبيعي، فإن S _n غير متحيز تقريبًا للانحراف المعياري للمجتمع حتى مع أحجام العينات المتواضعة جدًا (انحياز أقل من 1٪ لـ n  =  10).

بالنسبة لعينة كبيرة من توزيع طبيعي، فإن قيمة 2.22 Q _n تُعتبر غير متحيزة تقريبًا بالنسبة للانحراف المعياري للمجتمع. أما بالنسبة للعينات الصغيرة أو المتوسطة، فإن القيمة المتوقعة لـ Q _n في ظل التوزيع الطبيعي تعتمد بشكل كبير على حجم العينة، لذا تُستخدم معاملات تصحيح العينات المحدودة (المستخرجة من جدول أو من عمليات المحاكاة) لمعايرة مقياس Q _n .

على غرار S _n و Q _n ، فإن التباين المتوسط ​​ثنائي الوزن مصمم ليكون قويًا دون التضحية بالكثير من الكفاءة. ويُعرَّف على النحو التالي: ^{[ 5 ]}

$${\displaystyle {\frac {n\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-Q\right)^{2}\left(1-u_{i}^{2}\right)^{4}I(|u_{i}|<1)}{\left(\displaystyle \sum _{i}\left(1-u_{i}^{2}\right)\left(1-5u_{i}^{2}\right)I(|u_{i}|<1)\right)^{2}}},}$$

حيث I هي دالة المؤشر ، وQ هي الوسيط العيني لـ X _i ، و

$${\displaystyle u_{i}={\frac {x_{i}-Q}{9\cdot {\rm {MAD}}}}.}$$

يُعد جذرها التربيعي مقياسًا قويًا للمقياس، حيث يتم تقليل وزن نقاط البيانات مع زيادة بعدها عن الوسيط، ولا يكون للنقاط التي تبعد أكثر من 9 وحدات MAD عن الوسيط أي تأثير على الإطلاق.

قُدِّرت كفاءة طريقة الوزن الثنائي بنسبة 84.7% لمجموعات من 20 عينة مأخوذة من توزيعات مُولَّدة اصطناعياً مع إضافة تفرطح زائد ("ذيول ممتدة"). أما بالنسبة للتوزيعات الغاوسية، فقد قُدِّرت كفاءتها بنسبة 98.2%. ^{[ 6 ]}

قام ميزيرا ومولر بتوسيع النهج الذي قدمه روسيو وهوبيرت من خلال اقتراح مُقدِّر قوي قائم على العمق للموقع والمقياس في آن واحد، يُسمى عمق الموقع والمقياس. ويُعرَّف على النحو التالي: ^{[ 7 ]}

$${\displaystyle d(\mu ,\sigma )={\begin{cases}\displaystyle \inf _{u\neq 0}\#{\Bigl \{}i:(u_{1},u_{2}){\Bigl (}{\begin{array}{c}\psi (\tau _{i})\\\chi (\tau _{i})-1\end{array}}{\Bigr )}\geq 0{\Bigr \}},&{\text{if }}\sigma >0,\\[1.5ex]\#\{i:y_{i}=\mu \},&{\text{if }}\sigma =0.\end{cases}}}$$

أين:

• ${\displaystyle \tau _{i}}$هو اختصار لـ${\displaystyle (y_{i}-\mu )/\sigma }$،
• ${\displaystyle \psi }$و${\displaystyle \chi }$يعتمد على كثافة ثابتة${\displaystyle f}$

ويشيرون إلى أن النسخة الأكثر قابلية للتطبيق من عمق الموقع والمقياس هي تلك القائمة على توزيع t للطالب.

فترة الثقة القوية هي تعديل قوي لفترات الثقة ، مما يعني أنه يتم تعديل الحسابات غير القوية لفترة الثقة بحيث لا تتأثر بشكل سيئ بالملاحظات الشاذة أو المنحرفة في مجموعة البيانات.

• أخطاء معيارية متسقة مع عدم تجانس التباين
• نطاق إنتركوارتايل
• متوسط ​​الانحراف المطلق