الربع

في الإحصاء ، تُعدّ الأرباعيات نوعًا من الكميات التي تقسم عدد نقاط البيانات إلى أربعة أجزاء، أو أرباع ، متساوية الحجم تقريبًا. يجب ترتيب البيانات من الأصغر إلى الأكبر لحساب الأرباعيات؛ ولذلك، تُعتبر الأرباعيات شكلًا من أشكال الإحصاء الترتيبي . الأرباعيات الثلاثة، التي تُنتج أربعة تقسيمات للبيانات، هي كما يلي:

يُعرَّف الربع الأول ( Q1 ) بأنه النسبة المئوية الخامسة والعشرون، حيث تقع أدنى 25% _من البيانات أسفل هذه النقطة. ويُعرف أيضًا بالربع الأدنى .
الربع الثاني ( Q ₂ ) هو الوسيط لمجموعة البيانات ؛ وبالتالي فإن 50٪ من البيانات تقع أسفل هذه النقطة.
الربع الثالث ( Q3 ) هو النسبة المئوية الخامسة _{والسبعون} ، حيث تقع أدنى 75% من البيانات أسفل هذه النقطة. ويُعرف أيضًا بالربع الأعلى . ^{[ 2 ]}

إلى جانب الحد الأدنى والحد الأقصى للبيانات (وهما أيضًا الربيعيات)، تُقدّم الربيعيات الثلاثة المذكورة أعلاه ملخصًا من خمسة أرقام للبيانات. يُعدّ هذا الملخص مهمًا في الإحصاء لأنه يُوفّر معلومات حول كلٍّ من مركز البيانات وانتشارها . معرفة الربيع الأدنى والأعلى تُعطي معلومات حول مدى انتشار البيانات وما إذا كانت مجموعة البيانات منحرفة نحو جانب واحد. بما أن الربيعيات تُقسّم عدد نقاط البيانات بالتساوي، فإن _المدىلا يكون متساويًا عادةً بين الربيعيات المتجاورة (أي عادةً ( _Q3- Q2 ) ≠ ( _Q2 - Q1 )). يُعرَّف المدى الربيعي (IQR) بأنه الفرق بين المئين _{75 والمئين 25 أو}Q3 - _Q1_{. في حين أن الحد الأقصى والحد الأدنى يُظهران أيضًا انتشار البيانات،}فإن الربيعيات العليا والسفلى تُوفّر معلومات أكثر تفصيلًا حول موقع نقاط بيانات مُحدّدة، ووجود قيم مُتطرفة في البيانات، والفرق في الانتشار بين 50% من البيانات الوسطى ونقاط البيانات الخارجية. ^[³^]

التعريفات

رمز	الأسماء	تعريف
س ₁	الربع الأول الربع الأدنى النسبة المئوية الخامسة والعشرون	يفصل أدنى 25% من البيانات عن أعلى 75%
السؤال _الثاني	الربع الثاني متوسط النسبة المئوية الخمسون	يقسم مجموعة البيانات إلى النصف
السؤال ₃	الربع الثالث الربع الأعلى النسبة المئوية الخامسة والسبعون	يفصل أعلى 25% من البيانات عن أدنى 75%

أساليب الحوسبة

التوزيعات المنفصلة

بالنسبة للتوزيعات المنفصلة، لا يوجد اتفاق عالمي بشأن اختيار قيم الربيعيات. ^{[ 4 ]}

الطريقة الأولى

استخدم الوسيط لتقسيم مجموعة البيانات المرتبة إلى نصفين. يصبح الوسيط هو الربيع الثاني.
- إذا كان هناك عدد فردي من نقاط البيانات في مجموعة البيانات المرتبة الأصلية، فلا تقم بتضمين الوسيط (القيمة المركزية في القائمة المرتبة) في أي من النصفين.
- إذا كان هناك عدد زوجي من نقاط البيانات في مجموعة البيانات المرتبة الأصلية، فقم بتقسيم مجموعة البيانات هذه إلى نصفين بالضبط.
يمثل الربيع الأدنى قيمة الوسيط للنصف الأدنى من البيانات. ويمثل الربيع الأعلى قيمة الوسيط للنصف الأعلى من البيانات.

يتم استخدام هذه القاعدة بواسطة وظائف boxplot و "1-Var Stats" في آلة حاسبة TI-83 .

الطريقة الثانية

استخدم الوسيط لتقسيم مجموعة البيانات المرتبة إلى نصفين. يصبح الوسيط هو الربيع الثاني.
- إذا كان هناك عدد فردي من نقاط البيانات في مجموعة البيانات المرتبة الأصلية، فقم بتضمين الوسيط (القيمة المركزية في القائمة المرتبة) في كلا النصفين.
- إذا كان هناك عدد زوجي من نقاط البيانات في مجموعة البيانات المرتبة الأصلية، فقم بتقسيم مجموعة البيانات هذه إلى نصفين بالضبط.
يمثل الربيع الأدنى قيمة الوسيط للنصف الأدنى من البيانات. ويمثل الربيع الأعلى قيمة الوسيط للنصف الأعلى من البيانات.

تُعرف القيم التي تم العثور عليها بهذه الطريقة أيضًا باسم " مفصلات توكي "؛ ^{[ 5 ]} انظر أيضًا midhinge .

الطريقة الثالثة

استخدم الوسيط لتقسيم مجموعة البيانات المرتبة إلى نصفين. يصبح الوسيط هو الربيع الثاني.
- إذا كان عدد نقاط البيانات فرديًا، فانتقل إلى الخطوة التالية.
- إذا كان عدد نقاط البيانات زوجيًا، فإن الطريقة الثالثة تبدأ بنفس طريقة الطريقتين الأولى والثانية المذكورتين أعلاه، ويمكنك اختيار تضمين الوسيط كنقطة بيانات جديدة أو عدم تضمينه. إذا اخترت تضمين الوسيط، فانتقل إلى الخطوة الثانية أو الثالثة أدناه لأن عدد نقاط البيانات أصبح فرديًا. أما إذا لم تختر الوسيط، فتابع تطبيق الطريقة الأولى أو الثانية من حيث بدأت.
إذا كان هناك (4 n +1) نقطة بيانات، فإن الربيع الأدنى هو 25٪ من قيمة البيانات رقم n بالإضافة إلى 75٪ من قيمة البيانات رقم ( n +1)؛ والربيع الأعلى هو 75٪ من نقطة البيانات رقم (3 n +1) بالإضافة إلى 25٪ من نقطة البيانات رقم (3 n +2).
إذا كان هناك (4 n +3) نقطة بيانات، فإن الربع الأدنى هو 75٪ من قيمة البيانات ( n +1) زائد 25٪ من قيمة البيانات ( n +2)؛ والربع الأعلى هو 25٪ من نقطة البيانات (3 n +2) زائد 75٪ من نقطة البيانات (3 n +3).

الطريقة الرابعة

إذا كان لدينا مجموعة بيانات مرتبة $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ ثم يمكننا إجراء الاستيفاء بين نقاط البيانات لإيجاد $p$ الكمية التجريبية إذا $x_{i}$ موجود في $i/(n+1)$ الكمية المئوية. إذا رمزنا للجزء الصحيح من العدد $a$ بواسطة $\lfloor a\rfloor$ إذن، تُعطى دالة الكمية التجريبية بالصيغة التالية:

$q(p/4)=x_{k}+\alpha (x_{k+1}-x_{k})$ ،

$x_{k}$ هي آخر نقطة بيانات في الربع p ، و $x_{k+1}$ هي أول نقطة بيانات في الربع p +1.

$\alpha$ المقاييس التي يقع فيها الربيع بين $x_{k}$ و $x_{k+1}$ . لو $\alpha$ إذا كانت القيمة تساوي صفرًا، فإن الربيع يقع بالضبط على $x_{k}$ . لو $\alpha$ إذا كانت القيمة تساوي 0.5، فإن الربيع يقع في منتصف المسافة تمامًا بين $x_{k}$ و $x_{k+1}$ .

$q(p/4)=x_{k}+\alpha (x_{k+1}-x_{k})$ ،

أين $k=\lfloor p(n+1)/4\rfloor$ و $\alpha =p(n+1)/4-\lfloor p(n+1)/4\rfloor$ [ ²^]

لإيجاد الأرباع الأول والثاني والثالث لمجموعة البيانات، سنقوم بتقييم $q(0.25)$ ، $q(0.5)$ ، و $q(0.75)$ على التوالى.

هناك طريقة أخرى لشرح هذه الطريقة، وهي أننا نجد رتبة ضمن البيانات، والتي يمكن استخدامها بعد ذلك لتحديد قيمة الربع الأول أو الثاني أو الثالث. رتبة لـ $p$ يتم حساب الربيع باستخدام

رتبة $=p/4*(n+1)$ .

ال $p$ الربع الأول هو القيمة في مجموعة البيانات (عند ترتيبها من الأصغر إلى الأكبر) التي يساوي موقعها رقم الرتبة. على سبيل المثال، الرتبة 1 تعني $p$ الربيع الأدنى هو أصغر قيمة في مجموعة البيانات. إذا لم يكن الترتيب عددًا صحيحًا، يتم الاستيفاء بين نقاط البيانات. لذا، فإن الترتيب 1.5 يعني $p$ الربع الثالث هو القيمة التي تقع في منتصف المسافة بين نقطتي البيانات الأولى والثانية.

المثال 1

مجموعة البيانات المرتبة (من عدد فردي من نقاط البيانات): 6، 7، 15، 36، 39، 40 ، 41، 42، 43، 47، 49.

الرقم المكتوب بخط غامق (40) هو الوسيط الذي يقسم مجموعة البيانات إلى نصفين متساويين في عدد نقاط البيانات.

	الطريقة الأولى	الطريقة الثانية	الطريقة الثالثة	الطريقة الرابعة
س ₁	15	25.5	20.25	15
السؤال _الثاني	40	40	40	40
السؤال ₃	43	42.5	42.75	43

المثال 2

مجموعة البيانات المرتبة (من عدد زوجي من نقاط البيانات): 7، 15، 36، 39 ، 40، 41.

تُستخدم الأرقام المكتوبة بخط غامق (36، 39) لحساب الوسيط كمتوسط لها. ولأن عدد نقاط البيانات زوجي، فإن الطرق الثلاث الأولى تُعطي جميعها نفس النتائج. (تُنفذ الطريقة الثالثة بحيث لا يُختار الوسيط كنقطة بيانات جديدة، وتبدأ الطريقة الأولى).

	الطريقة الأولى	الطريقة الثانية	الطريقة الثالثة	الطريقة الرابعة
س ₁	15	15	15	13
السؤال _الثاني	37.5	37.5	37.5	37.5
السؤال ₃	40	40	40	40.25

التوزيعات الاحتمالية المستمرة

الربيعات على دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي

إذا عرّفنا التوزيعات الاحتمالية المستمرة على النحو التالي: $P(X)$ أين $X$ إذا كان متغيرًا عشوائيًا حقيقي القيمة ، فإن دالة التوزيع التراكمي (CDF) الخاصة به معطاة بالصيغة التالية:

$F_{X}(x)=P(X\leq x)$ [ ²^]

دالة التوزيع التراكمي تعطي احتمال أن يكون المتغير العشوائي $X$ أقل من أو يساوي القيمة $x$ لذلك، فإن الربع الأول هو قيمة $x$ متى $F_{X}(x)=0.25$ الربع الثاني هو $x$ متى $F_{X}(x)=0.5$ والربع الثالث هو $x$ متى $F_{X}(x)=0.75$ [ ⁶^] قيم $x$ يمكن إيجادها باستخدام دالة الكمية $Q(p)$ أين $p=0.25$ بالنسبة للربع الأول، $p=0.5$ بالنسبة للربع الثاني، و $p=0.75$ بالنسبة للربع الثالث. دالة الكمية هي معكوس دالة التوزيع التراكمي إذا كانت دالة التوزيع التراكمي متزايدة بشكل رتيب، وذلك لأن التناظر الأحادي بين مدخلات ومخرجات دالة التوزيع التراكمي قائم.

القيم الشاذة

توجد طرق للتحقق من القيم الشاذة في مجال الإحصاء والتحليل الإحصائي. قد تنتج القيم الشاذة عن تغير في موقع (المتوسط) أو في مقياس (التباين) العملية محل الاهتمام. ^{[ 7 ]} كما قد تدل على أن عينة من المجتمع الإحصائي لها توزيع غير طبيعي أو على تلوث في مجموعة بيانات المجتمع. وبالتالي، وكما هو المبدأ الأساسي للإحصاء الوصفي ، عند مواجهة قيمة شاذة ، يجب تفسير هذه القيمة من خلال تحليل إضافي لسببها أو أصلها. في حالات الملاحظات المتطرفة، وهي ليست نادرة الحدوث، يجب تحليل القيم النموذجية. يُعرَّف المدى الربيعي (IQR) بأنه الفرق بين الربيعين العلوي والسفلي ( ${\textstyle Q_{3}-Q_{1}}$ يمكن استخدام المدى الربيعي لوصف البيانات عند وجود قيم متطرفة قد تؤثر على توزيعها؛ فهو إحصائية قوية نسبيًا (تُسمى أحيانًا "مقاومة") مقارنةً بالمدى والانحراف المعياري . كما توجد طريقة رياضية للتحقق من القيم المتطرفة وتحديد "الحدود"، وهي حدود عليا وسفلى يمكن من خلالها التحقق من وجود هذه القيم.

بعد تحديد الربع الأول (الأدنى) والربع الثالث (الأعلى) ( ${\textstyle Q_{1}}$ و ${\textstyle Q_{3}}$ على التوالي) والمدى الربيعي ( ${\textstyle {\textrm {IQR}}=Q_{3}-Q_{1}}$ كما هو موضح أعلاه، يتم حساب الأسوار باستخدام الصيغة التالية:

{\text{السياج السفلي}}=Q_{1}-(1.5\times \mathrm {IQR} )

{\text{السياج العلوي}}=Q_{3}+(1.5\times \mathrm {IQR} )

يمثل الحد السفلي "الحد الأدنى" والحد العلوي "الحد الأعلى" للبيانات، وأي بيانات تقع خارج هذين الحدين تُعتبر قيمة شاذة. يوفر هذان الحدان إرشادات لتحديد القيمة الشاذة ، والتي يمكن تعريفها بطرق أخرى. يحدد الحدان "نطاقًا" توجد خارجه القيمة الشاذة؛ ويمكن تشبيه ذلك بحدود السياج. من الشائع تمثيل الحدين السفلي والعلوي، بالإضافة إلى القيم الشاذة، بمخطط الصندوق . في مخطط الصندوق الموضح على اليمين، تتوافق الارتفاعات الرأسية فقط مع مجموعة البيانات المعروضة، بينما لا يُؤخذ العرض الأفقي للصندوق في الاعتبار. يمكن تمييز القيم الشاذة الواقعة خارج الحدين في مخطط الصندوق بأي رمز، مثل "x" أو "o". يُشار أحيانًا إلى الحدين باسم "الخطوط"، بينما يُطلق على المخطط بأكمله اسم "مخطط الصندوق والخطوط".

عند تحديد قيمة شاذة في مجموعة البيانات بحساب المدى الربيعي وخصائص مخطط الصندوق، قد يُساء فهمها خطأً على أنها دليل على أن التوزيع غير طبيعي أو أن العينة ملوثة. مع ذلك، لا ينبغي لهذه الطريقة أن تحل محل اختبار الفرضيات لتحديد مدى طبيعية التوزيع. تختلف دلالة القيم الشاذة باختلاف حجم العينة. فإذا كانت العينة صغيرة، يزداد احتمال الحصول على مدى ربيعي صغير غير تمثيلي، مما يؤدي إلى نطاقات أضيق. وبالتالي، يزداد احتمال العثور على بيانات مصنفة كقيم شاذة. ^{[ 8 ]}

برامج حاسوبية للأرباع


بيئة	وظيفة	طريقة الربيعيات
مايكروسوفت إكسل	الربع.EXC	الطريقة الرابعة
مايكروسوفت إكسل	QUARTILE.INC	الطريقة الثالثة
آلات حاسبة من سلسلة TI-8X	إحصائيات المتغيرات 1	الطريقة الأولى
R	فايفنوم	الطريقة الثانية
R	الكمية (افتراضي)	الطريقة الرابعة
بايثون	الإحصائيات.الكميات (الطريقة الافتراضية)	الطريقة الرابعة
بايثون (نامباي)	numpy.quantile، numpy.percentile (الطريقة الافتراضية)	الطريقة الرابعة (مع n−1)
بايثون (بانداز)	pandas.DataFrame.describe	الطريقة الثالثة

إكسل

تُوفّر دالة QUARTILE.INC(array, quart) في برنامج Excel قيمة الربيع المطلوبة لمصفوفة بيانات مُعطاة، باستخدام الطريقة الثالثة المذكورة أعلاه. تُعدّ دالة QUARTILE دالة قديمة من Excel 2007 أو الإصدارات الأقدم، وتُعطي نفس مُخرجات دالة QUARTILE.INC . في هذه الدالة، تُمثّل array مجموعة البيانات الرقمية التي يتم تحليلها، بينما تُمثّل quart أيًا من القيم الخمس التالية، وذلك بحسب الربيع المطلوب حسابه. ^{[ 9 ]}


ربع جالون	قيمة الربع الناتج
0	الحد الأدنى للقيمة
1	الربع الأدنى (النسبة المئوية الخامسة والعشرون)
2	متوسط
3	الربع الأعلى (النسبة المئوية 75)
4	القيمة القصوى

MATLAB

لحساب الأرباعيات في برنامج Matlab ، يمكن استخدام الدالة quantile ( A , p ). حيث يمثل A متجه البيانات المراد تحليلها، و p النسبة المئوية المتعلقة بالأرباعيات كما هو موضح أدناه. ^{[ 10 ]}


ص	قيمة الربع الناتج
0	الحد الأدنى للقيمة
0.25	الربع الأدنى (النسبة المئوية الخامسة والعشرون)
0.5	متوسط
0.75	الربع الأعلى (النسبة المئوية 75)
1	القيمة القصوى

انظر أيضاً

مراجع

↑ "متوسط الأجور في جمهورية التشيك - الربع الرابع من عام 2024" . kurzy.cz .
1 2 3 ديكينج، ميشيل (2005). مقدمة حديثة في الاحتمالات والإحصاء: فهم لماذا وكيف . لندن: سبرينغر. ص 236-238 . ISBN 978-1-85233-896-1. OCLC 262680588 .
↑ كنوخ، جيسيكا (23 فبراير 2018). "كيف تُستخدم الأرباعيات في الإحصاء؟" . ماجوش . مؤرشف من الأصل في 10 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه في 24 فبراير 2023 .
↑ هايندمان، روب جيه ؛ فان، يانان (نوفمبر 1996). "كميات العينة في الحزم الإحصائية" . الإحصائي الأمريكي . 50 (4): 361-365 . doi : 10.2307/2684934 . JSTOR 2684934 .
↑ توكي، جون وايلدر (1977). تحليل البيانات الاستكشافي . شركة أديسون-ويسلي للنشر. رقم ISBN 978-0-201-07616-5.
↑ "6. دوال التوزيع والكمية" (ملف PDF) . math.bme.hu .
↑ والفيش، ستيفن (نوفمبر 2006). "مراجعة لطريقة القيم الشاذة الإحصائية" . التكنولوجيا الصيدلانية .
↑ داوسون، روبرت (1 يوليو 2011). "ما مدى أهمية القيم الشاذة في مخطط الصندوق؟" . مجلة تعليم الإحصاء . 19 (2). doi : 10.1080/10691898.2011.11889610 .
↑ "كيفية استخدام دالة QUARTILE في Excel | Exceljet" . exceljet.net . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 ديسمبر 2019 .
↑ "كميات مجموعة البيانات - دالة quantile في MATLAB" . www.mathworks.com . مؤرشف من الأصل في 3 أغسطس 2021. تم الاطلاع عليه في 11 ديسمبر 2019 .

روابط خارجية

الربيعيات – من موقع MathWorld يتضمن مراجع ويقارن بين طرق مختلفة لحساب الربيعيات
أرباعيات - مؤرشفة بتاريخ 6 سبتمبر 2015 على موقع Wayback Machine - من MathForum.org
الربيعيات – مثال على كيفية حسابها

[1] "متوسط الأجور في جمهورية التشيك - الربع الرابع من عام 2024" . kurzy.cz .

[:0-2] 1 2 3 ديكينج، ميشيل (2005). مقدمة حديثة في الاحتمالات والإحصاء: فهم لماذا وكيف . لندن: سبرينغر. ص 236-238 . ISBN 978-1-85233-896-1. OCLC 262680588 .

[3] كنوخ، جيسيكا (23 فبراير 2018). "كيف تُستخدم الأرباعيات في الإحصاء؟" . ماجوش . مؤرشف من الأصل في 10 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه في 24 فبراير 2023 .

[4] هايندمان، روب جيه ؛ فان، يانان (نوفمبر 1996). "كميات العينة في الحزم الإحصائية" . الإحصائي الأمريكي . 50 (4): 361-365 . doi : 10.2307/2684934 . JSTOR 2684934 .

[5] توكي، جون وايلدر (1977). تحليل البيانات الاستكشافي . شركة أديسون-ويسلي للنشر. رقم ISBN 978-0-201-07616-5.

[6] "6. دوال التوزيع والكمية" (ملف PDF) . math.bme.hu .

[7] والفيش، ستيفن (نوفمبر 2006). "مراجعة لطريقة القيم الشاذة الإحصائية" . التكنولوجيا الصيدلانية .

[8] داوسون، روبرت (1 يوليو 2011). "ما مدى أهمية القيم الشاذة في مخطط الصندوق؟" . مجلة تعليم الإحصاء . 19 (2). doi : 10.1080/10691898.2011.11889610 .

[9] "كيفية استخدام دالة QUARTILE في Excel | Exceljet" . exceljet.net . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 ديسمبر 2019 .

[10] "كميات مجموعة البيانات - دالة quantile في MATLAB" . www.mathworks.com . مؤرشف من الأصل في 3 أغسطس 2021. تم الاطلاع عليه في 11 ديسمبر 2019 .

[ 1 ]

[

[ 4 ]

[ 5 ]

6

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]