النموذج الخطي العام

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 5 صور
الموسوعة الحرة

يُعدّ النموذج الخطي العام، أو نموذج الانحدار متعدد المتغيرات العام، طريقةً مختصرةً لكتابة عدة نماذج انحدار خطي متعددة في آنٍ واحد . وبهذا المعنى، فهو ليس نموذجًا إحصائيًا خطيًا منفصلاً . ويمكن كتابة نماذج الانحدار الخطي المتعددة المختلفة بإيجاز كما يلي [ 1 ].

Y=Xب+يو،{\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {X} \mathbf {B} +\mathbf {U} ,}

حيث Y مصفوفة تحتوي على سلسلة من القياسات متعددة المتغيرات (يمثل كل عمود مجموعة من القياسات على أحد المتغيرات التابعة )، وX مصفوفة من المشاهدات على المتغيرات المستقلة ، والتي قد تكون مصفوفة تصميم (يمثل كل عمود مجموعة من المشاهدات على أحد المتغيرات المستقلة)، وB مصفوفة تحتوي على المعلمات التي عادةً ما يتم تقديرها، و U مصفوفة تحتوي على الأخطاء (الضوضاء). يُفترض عادةً أن الأخطاء غير مترابطة بين القياسات، وتتبع التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات . إذا لم تتبع الأخطاء التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات، فيمكن استخدام النماذج الخطية المعممة لتخفيف الافتراضات المتعلقة بـ Y و U.

يشمل النموذج الخطي العام (GLM) عدة نماذج إحصائية، منها تحليل التباين (ANOVA )، وتحليل التغاير (ANCOVA) ، وتحليل التباين متعدد المتغيرات (MANOVA) ، وتحليل التغاير متعدد المتغيرات (MANCOVA) ، والانحدار الخطي العادي . وفي هذا الإطار، يمكن تطبيق كل من اختبار t واختبار F. يُعد النموذج الخطي العام تعميمًا للانحدار الخطي المتعدد ليشمل حالة وجود أكثر من متغير تابع. إذا كانت Y و B و U متجهات عمودية ، فإن معادلة المصفوفة أعلاه تمثل الانحدار الخطي المتعدد.

يمكن إجراء اختبارات الفرضيات باستخدام النموذج الخطي العام بطريقتين: متعددة المتغيرات أو كعدة اختبارات أحادية المتغير مستقلة. في الاختبارات متعددة المتغيرات ، تُختبر أعمدة المتغير Y معًا، بينما في الاختبارات أحادية المتغير، تُختبر أعمدة المتغير Y بشكل مستقل، أي كاختبارات أحادية المتغير متعددة باستخدام مصفوفة التصميم نفسها.

مقارنة بالانحدار الخطي المتعدد

الانحدار الخطي المتعدد هو تعميم للانحدار الخطي البسيط ليشمل حالة وجود أكثر من متغير مستقل، وهو حالة خاصة من النماذج الخطية العامة، ويقتصر على متغير تابع واحد. النموذج الأساسي للانحدار الخطي المتعدد هو

Yأنا=β0+β1Xأنا1+β2Xأنا2+...+βصXأناص+ϵأنا{\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}X_{i1}+\beta _{2}X_{i2}+\ldots +\beta _{p}X_{ip}+\epsilon _{i}}أو بشكل أكثر إيجازًاYأنا=β0+∑ك=1صβكXأناك+ϵأنا{\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\sum \limits _{k=1}^{p}{\beta _{k}X_{ik}}+\epsilon _{i}}

لكل ملاحظة i = 1، ...، n .

في الصيغة أعلاه، نأخذ في الاعتبار n مشاهدة لمتغير تابع واحد و p متغيرات مستقلة. بالتالي، Yᵢ هي المشاهدة رقم i للمتغير التابع، و Xᵢᵢ هي المشاهدة رقم i للمتغير المستقل رقم k ، حيث k = 1، 2، ...، p . تمثل القيم βᵢ المعلمات المراد تقديرها، و εᵢ هو الخطأ المستقل رقم i ذو التوزيع الطبيعي المتطابق.

في الانحدار الخطي متعدد المتغيرات الأكثر عمومية، توجد معادلة واحدة بالشكل المذكور أعلاه لكل متغير تابع من بين m > 1 تشترك في نفس مجموعة المتغيرات التفسيرية، وبالتالي يتم تقديرها في وقت واحد مع بعضها البعض:

Yأناج=β0ج+β1جXأنا1+β2جXأنا2+...+βصجXأناص+ϵأناج{\displaystyle Y_{ij}=\beta _{0j}+\beta _{1j}X_{i1}+\beta _{2j}X_{i2}+\ldots +\beta _{pj}X_{ip}+\epsilon _{ij}}أو بشكل أكثر إيجازًاYأناج=β0ج+∑ك=1صβكجXأناك+ϵأناج{\displaystyle Y_{ij}=\beta _{0j}+\sum \limits _{k=1}^{p}{\beta _{kj}X_{ik}}+\epsilon _{ij}}

لجميع الملاحظات المفهرسة كـ i = 1، ...، n ولجميع المتغيرات التابعة المفهرسة كـ j = 1 ، ... ، m .

لاحظ أنه نظرًا لأن كل متغير تابع له مجموعة خاصة به من معلمات الانحدار التي يجب ملاءمتها، فمن وجهة نظر حسابية، فإن الانحدار متعدد المتغيرات العام هو ببساطة سلسلة من الانحدارات الخطية المتعددة القياسية باستخدام نفس المتغيرات التفسيرية.

مقارنة بالنموذج الخطي المعمم

يُعد النموذج الخطي العام والنموذج الخطي المعمم (GLM) [ 2 ] [ 3 ] من بين عائلات الأساليب الإحصائية الشائعة الاستخدام لربط عدد من المتغيرات التنبؤية المستمرة و/أو الفئوية بمتغير نتيجة واحد .

يتمثل الاختلاف الرئيسي بين النهجين في أن النموذج الخطي العام يفترض بشكل قاطع أن البواقي ستتبع توزيعًا طبيعيًا مشروطًا ، [ 4 ] بينما يخفف النموذج الخطي العام هذا الافتراض ويسمح بمجموعة متنوعة من التوزيعات الأخرى من العائلة الأسية للبواقي. [ 2 ] يُعد النموذج الخطي العام حالة خاصة من النموذج الخطي العام حيث يتبع توزيع البواقي توزيعًا طبيعيًا مشروطًا.

يعتمد توزيع البواقي بشكل كبير على نوع وتوزيع المتغير التابع؛ إذ تؤدي الأنواع المختلفة للمتغيرات التابعة إلى تنوع النماذج ضمن عائلة النماذج الخطية المعممة (GLM). تشمل النماذج الشائعة الاستخدام في عائلة GLM الانحدار اللوجستي الثنائي [ 5 ] للنتائج الثنائية أو ثنائية القيمة، وانحدار بواسون [ 6 ] للنتائج العددية، والانحدار الخطي للنتائج المستمرة ذات التوزيع الطبيعي. هذا يعني أنه يمكن اعتبار GLM عائلة عامة من النماذج الإحصائية أو نماذج محددة لأنواع نتائج معينة.

النموذج الخطي العامالنموذج الخطي المعمم
طريقة التقدير النموذجيةطريقة المربعات الصغرى ، أفضل تنبؤ خطي غير متحيزأقصى احتمال أو بايزي
أمثلةتحليل التباين (ANOVA) ، تحليل التغاير (ANCOVA) ، الانحدار الخطيالانحدار الخطي ، الانحدار اللوجستي ، انحدار بواسون ، انحدار جاما، [ 7 ] النموذج الخطي العام
الإضافات والأساليب ذات الصلةMANOVA ، MANCOVA ، النموذج الخطي المختلطالنموذج الخطي المختلط المعمم (GLMM)، معادلات التقدير المعممة (GEE)
حزمة ووظيفة Rدالة lm() في حزمة الإحصاء (الأساسية R)دالة glm() في حزمة الإحصاء (الأساسية R) manova،
دالة MATLABmvregress()glmfit()
إجراءات SASPROC GLM ، PROC REGPROC GENMOD ، PROC LOGISTIC (للنتائج الثنائية والفئوية المرتبة أو غير المرتبة)
أمر ستاتاتراجعglm
أمر SPSSالانحدار ، نموذج الانحدار المعممجينلين، الخدمات اللوجستية
لغة وولفرام ووظيفة ماثيماتيكاLinearModelFit[] [ 8 ]GeneralizedLinearModelFit[] [ 9 ]
أمر EViewsls [ 10 ]glm [ 11 ]
حزمة statsmodels في بايثوننماذج الانحدار والنماذج الخطيةGLM

التطبيقات

يظهر تطبيق النموذج الخطي العام في تحليل صور الدماغ المتعددة في التجارب العلمية، حيث يحتوي المتغير Y على بيانات من أجهزة مسح الدماغ، بينما يحتوي المتغير X على متغيرات تصميم التجربة والمتغيرات المربكة. وعادةً ما يتم اختباره بطريقة أحادية المتغير (يُشار إليها عادةً باسم "التحليل الأحادي الشامل " في هذا السياق)، ويُشار إليه غالبًا باسم "الرسم البياني الإحصائي البارامتري" . [ 12 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ مارديا، ك. ف .؛ كينت، ج. ت.؛ بيبي، ج. م. (1979). التحليل متعدد المتغيرات . دار النشر الأكاديمية . ISBN 0-12-471252-5.
  2. 1 2 ماكولاغ، ب .؛ نيلدر، ج. أ. (1 يناير 1983). "موجز النماذج الخطية المعممة". النماذج الخطية المعممة . سبرينغر الولايات المتحدة. ص 21-47 . doi : 10.1007/978-1-4899-3242-6_2 (غير نشط في 12 يوليو 2025). ISBN  9780412317606.{{cite book}}: صيانة CS1: رقم التعريف الرقمي غير نشط اعتبارًا من يوليو 2025 ( رابط )
  3. ↑ فوكس، ج. (2015). تحليل الانحدار التطبيقي والنماذج الخطية المعممة . منشورات سيج.
  4. ↑ كوهين، ج.؛ كوهين، ب.؛ ويست، إس جي؛ أيكن، إل إس (2003). تحليل الانحدار/الارتباط المتعدد التطبيقي للعلوم السلوكية (تقرير).
  5. ↑ هوسمر الابن، د. و.، ليميشو، س.، وستورديفانت، ر. إكس. (2013). الانحدار اللوجستي التطبيقي (المجلد 398). جون وايلي وأولاده.
  6. ↑ غاردنر، دبليو؛ مولفي، إي بي؛ شو، إي سي (1995). "تحليلات الانحدار للعدّات والمعدلات: نماذج بواسون، وبواسون المُفرط التشتت، وذات الحدين السالب". النشرة النفسية . 118 (3): 392-404 . doi : 10.1037/0033-2909.118.3.392 . PMID 7501743 . 
  7. ↑ ماكولاغ، بيتر ؛ نيلدر، جون (1989). النماذج الخطية المعممة ( الطبعة الثانية). بوكا راتون: تشابمان آند هول/سي آر سي. رقم ISBN  978-0-412-31760-6.
  8. ↑ LinearModelFit ، مركز توثيق لغة Wolfram.
  9. ↑ GeneralizedLinearModelFit ، مركز توثيق لغة Wolfram.
  10. ↑ ls ، مساعدة EViews.
  11. ↑ glm ، مساعدة EViews.
  12. ↑ فريستون، كيه جيه؛ هولمز، إيه بي؛ وورسلي، كيه جيه؛ بولين، جيه-بي؛ فريث، سي دي؛ فراكوفياك، آر إس جيه (1995). "الخرائط البارامترية الإحصائية في التصوير الوظيفي: منهج خطي عام". رسم خرائط الدماغ البشري . 2 (4): 189-210 . doi : 10.1002/hbm.460020402 . S2CID 9898609 . 

مراجع

  • كريستنسن، رونالد (2020). إجابات بسيطة على أسئلة معقدة: نظرية النماذج الخطية (  الطبعة الخامسة). نيويورك: سبرينغر. ISBN 978-3-030-32096-6.
  • ويتشورا، مايكل ج. (2006). المنهج غير المعتمد على الإحداثيات للنماذج الخطية . سلسلة كامبريدج في الرياضيات الإحصائية والاحتمالية. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات:  199+14. ISBN 978-0-521-86842-6MR 2283455 .​ 
  • راولينغز، جون أو.؛ ​​بانتولا، ساستري ج.؛ ديكي، ديفيد أ.، محرران. (1998). تحليل الانحدار التطبيقي . نصوص سبرينغر في الإحصاء. doi : 10.1007/b98890 . ISBN 0-387-98454-2.