تحليل التباين متعدد المتغيرات

في الإحصاء ، يُعد تحليل التباين متعدد المتغيرات ( MANOVA ) إجراءً لمقارنة متوسطات العينات متعددة المتغيرات. وباعتباره إجراءً متعدد المتغيرات، يُستخدم عند وجود متغيرين تابعين أو أكثر ، ^{[ 1 ]} وغالبًا ما يتبعه اختبارات دلالة إحصائية تتضمن كل متغير تابع على حدة. ^{[ 2 ]}

بغض النظر عن الصورة، قد تكون المتغيرات التابعة عبارة عن k من درجات الرضا عن الحياة، تُقاس في نقاط زمنية متتابعة ، و p من درجات الرضا الوظيفي، تُقاس أيضًا في نقاط زمنية متتابعة. في هذه الحالة، يوجد k+p من المتغيرات التابعة التي يتبع تركيبها الخطي توزيعًا طبيعيًا متعدد المتغيرات ، وتجانسًا في مصفوفة التباين والتباين المشترك متعددة المتغيرات، وعلاقة خطية، وعدم وجود ارتباط خطي متعدد، وخلوّ كل منها من القيم المتطرفة.

يفترض${\textstyle n}$${\textstyle q}$الملاحظات ذات الأبعاد n، حيث${\textstyle i}$الملاحظة رقم 1${\textstyle y_{i}}$يتم تعيينه للمجموعة${\textstyle g(i)\in \{1,\dots ,m\}}$ويتم توزيعها حول مركز المجموعة${\textstyle \mu ^{(g(i))}\in \mathbb {R} ^{q}}$مع ضوضاء غاوسية متعددة المتغيرات :$${\displaystyle y_{i}=\mu ^{(g(i))}+\varepsilon _{i}\quad \varepsilon _{i}{\overset {\text{iid}}{\sim }}{\mathcal {N}}_{q}(0,\Sigma )\quad {\text{ for }}i=1,\dots ,n,}$$أين${\textstyle \Sigma }$هي مصفوفة التغاير . ثم نصيغ فرضيتنا الصفرية على النحو التالي: $${\displaystyle H_{0}\!:\;\mu ^{(1)}=\mu ^{(2)}=\dots =\mu ^{(m)}.}$$

MANOVA هو شكل معمّم من تحليل التباين أحادي المتغير (ANOVA)، ^{[ 1 ]} على الرغم من أنه على عكس تحليل التباين أحادي المتغير ، فإنه يستخدم التغاير بين متغيرات النتائج في اختبار الدلالة الإحصائية للاختلافات المتوسطة.

في حين تظهر مجاميع المربعات في تحليل التباين أحادي المتغير، تظهر في تحليل التباين متعدد المتغيرات مصفوفات موجبة محددة . تمثل عناصر القطر الرئيسي نفس أنواع مجاميع المربعات التي تظهر في تحليل التباين أحادي المتغير. أما العناصر غير القطرية فهي مجاميع حاصل الضرب المقابلة. وبافتراض التوزيع الطبيعي لتوزيعات الأخطاء ، فإن نظير مجموع المربعات الناتج عن الخطأ يتبع توزيع ويشارت .

أولاً، حدد ما يلي${\textstyle n\times q}$المصفوفات:

• ${\textstyle Y}$حيث${\textstyle i}$الصف رقم - يساوي${\textstyle y_{i}}$

• ${\textstyle {\hat {Y}}}$حيث${\textstyle i}$الصف رقم - هو أفضل تنبؤ بالنظر إلى عضوية المجموعة${\textstyle g(i)}$هذا هو المتوسط ​​لجميع الملاحظات في المجموعة${\textstyle g(i)}$:${\textstyle {\frac {1}{{\text{حجم المجموعة }}g(i)}}\sum _{k:g(k)=g(i)}y_{k}}$.

• ${\textstyle {\bar {Y}}}$حيث${\textstyle i}$يمثل الصف رقم - أفضل تنبؤ في حال عدم توفر أي معلومات. وهو المتوسط ​​التجريبي لجميع القيم.${\textstyle n}$الملاحظات${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}y_{k}}$

ثم المصفوفة${\textstyle S_{\text{model}}:=({\hat {Y}}-{\bar {Y}})^{T}({\hat {Y}}-{\bar {Y}})}$هو تعميم لمجموع المربعات الذي تشرحه المجموعة، و${\textstyle S_{\text{res}}:=(Y-{\hat {Y}})^{T}(Y-{\hat {Y}})}$هو تعميم لمجموع مربعات البواقي . ^{[ 3 ] [ 4 ]} تجدر الإشارة إلى أنه يمكن أيضًا الحديث عن التغايرات عند ضرب المصفوفات المذكورة أعلاه بـ 1/(n-1)، حيث أن إحصائيات الاختبار اللاحقة لا تتغير بالضرب.${\textstyle S_{\text{model}}}$و${\textstyle S_{\text{res}}}$بنفس الثابت غير الصفري.

الإحصائيات الأكثر شيوعًا ^{[ 3 ] [ 5 ]} هي ملخصات تستند إلى الجذور (أو القيم الذاتية).${\textstyle \lambda _{p}}$من المصفوفة${\textstyle A:=S_{\text{model}}S_{\text{res}}^{-1}}$

• سامويل ستانلي ويلكس${\displaystyle \Lambda _{\text{Wilks}}=\prod _{1,\ldots ,p}(1/(1+\lambda _{p}))=\det(I+A)^{-1}=\det(S_{\text{res}})/\det(S_{\text{res}}+S_{\text{model}})}$موزعة على شكل لامدا (Λ)
• أثر كي سي سريدهاران بيلاي - إم إس بارتليت ،${\displaystyle \Lambda _{\text{Pillai}}=\sum _{1,\ldots ,p}(\lambda _{p}/(1+\lambda _{p}))=\operatorname {tr} (A(I+A)^{-1})}$^{[ 6 ]}
• مسار لولي – هوتلينج ،${\displaystyle \Lambda _{\text{LH}}=\sum _{1,\ldots ,p}(\lambda _{p})=\operatorname {tr} (A)}$
• أعظم جذور روي (وتسمى أيضًا أكبر جذور روي )،${\displaystyle \Lambda _{\text{Roy}}=\max _{p}(\lambda _{p})}$

لا يزال النقاش مستمرًا حول مزايا كل طريقة، ^{[ 1 ]} مع أن الجذر الأكبر لا يُفضي إلا إلى حدٍّ للدلالة الإحصائية، وهو حدٌّ لا يُعدّ ذا أهمية عملية في الغالب. ومن التعقيدات الأخرى أن توزيع هذه الإحصائيات، باستثناء الجذر الأكبر لروي، في ظل الفرضية الصفرية ليس مباشرًا، ولا يمكن تقريبه إلا في حالات قليلة ذات أبعاد منخفضة. وقد تم اشتقاق خوارزمية لتوزيع الجذر الأكبر لروي في ظل الفرضية الصفرية في ^{[ 7 ]،} بينما دُرِسَ التوزيع في ظل الفرضية البديلة في ^{[ 8 ] .}

أفضل تقريب معروف لـ لامدا ويلكس تم اشتقاقه بواسطة سي آر راو .

في حالة وجود مجموعتين، تكون جميع الإحصائيات متكافئة ويختزل الاختبار إلى مربع هوتلينغ T.

يمكن أيضًا اختبار ما إذا كان هناك تأثير للمجموعة بعد ضبط المتغيرات المصاحبة. وللقيام بذلك، اتبع الإجراء المذكور أعلاه ولكن استبدل${\textstyle {\hat {Y}}}$باستخدام تنبؤات النموذج الخطي العام ، الذي يحتوي على المجموعة والمتغيرات المصاحبة، واستبدالها${\textstyle {\bar {Y}}}$مع تنبؤات النموذج الخطي العام الذي يحتوي فقط على المتغيرات المساعدة (والحد الثابت). ثم${\textstyle S_{\text{model}}}$تُفسَّر مجموع المربعات الإضافية بإضافة معلومات التجميع و${\textstyle S_{\text{res}}}$يمثل مجموع مربعات البواقي للنموذج الذي يحتوي على التجميع والمتغيرات المصاحبة. ^{[ 4 ]}

لاحظ أنه في حالة البيانات غير المتوازنة، فإن ترتيب إضافة المتغيرات المساعدة مهم.

تتأثر قوة تحليل التباين متعدد المتغيرات (MANOVA) بارتباطات المتغيرات التابعة وبأحجام التأثير المرتبطة بتلك المتغيرات. على سبيل المثال، عندما يكون هناك مجموعتان ومتغيران تابعان، تكون قوة تحليل التباين متعدد المتغيرات في أدنى مستوياتها عندما يساوي الارتباط نسبة حجم التأثير المعياري الأصغر إلى حجم التأثير المعياري الأكبر. ^{[ 9 ]}

• تحليل التباين التبادلي لبديل غير معلمي
• تحليل دالة التمييز
• تحليل الارتباط الكنسي
• تحليل التباين متعدد المتغيرات (ويكيفيرسيتي)
• تصميم القياسات المتكررة