تقدير الفترات

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 18 صور
الموسوعة الحرة

في الإحصاء ، يُعرف تقدير الفترة بأنه استخدام بيانات العينة لتقدير فترة من القيم المحتملة لمعلمة ( عينة) ذات أهمية. وهذا يختلف عن تقدير النقطة ، الذي يعطي قيمة واحدة. [ 1 ]

أكثر أشكال تقدير الفترات شيوعًا هي فترات الثقة ( طريقة إحصائية تكرارية ) وفترات المصداقية ( طريقة إحصائية بايزية ). [ 2 ] وتشمل الأشكال الأقل شيوعًا فترات الاحتمال ، وفترات الثقة ، وفترات التسامح ، وفترات التنبؤ . أما بالنسبة للطرق غير الإحصائية، فيمكن استنتاج تقديرات الفترات من المنطق الضبابي .

الأنواع

فترات الثقة

تُستخدم فترات الثقة لتقدير المعلمة المطلوبة من مجموعة بيانات مأخوذة من عينة، وعادةً ما تكون المتوسط ​​أو الانحراف المعياري . تُشير فترة الثقة إلى وجود ثقة بنسبة 100% بأن المعلمة المطلوبة تقع ضمن حد أدنى وحد أعلى. من المفاهيم الخاطئة الشائعة حول فترات الثقة الاعتقاد بأن 100% من مجموعة البيانات تقع ضمن أو أعلى/أسفل الحدود المحددة، وهذا ما يُشار إليه بفترة التسامح، والتي سيتم شرحها لاحقًا.

تُستخدم عدة طرق لبناء فترات الثقة، ويعتمد اختيار الطريقة الصحيحة على البيانات المُحللة. بالنسبة للتوزيع الطبيعي ذي التباين المعروف ، يُستخدم جدول التوزيع الطبيعي المعياري (z-table) لإنشاء فترة ثقة بمستوى 100γ%، مُتمركزة حول متوسط ​​العينة من مجموعة بيانات مكونة من n قياسًا. أما بالنسبة للتوزيع ذي الحدين ، فيمكن تقريب فترات الثقة باستخدام طريقة والد التقريبية ، وفترة جيفريز ، وفترة كلوبر-بيرسون . كما يُمكن استخدام طريقة جيفريز لتقريب فترات الثقة لتوزيع بواسون . [ 3 ] إذا كان التوزيع الأساسي غير معروف، يُمكن استخدام أسلوب إعادة التوزيع (bootstrapping) لإنشاء حدود حول وسيط مجموعة البيانات.

فترات موثوقة

التوزيع البايزي: تعديل التوزيع المسبق لتكوين احتمال لاحق

على عكس فترة الثقة، تتطلب فترة المصداقية افتراضًا مسبقًا ، وتعديل هذا الافتراض باستخدام عامل بايز ، وتحديد التوزيع الاحتمالي اللاحق . وباستخدام التوزيع الاحتمالي اللاحق، يمكن تحديد احتمال بنسبة 100% أن تكون المعلمة محل الاهتمام مُضمنة، على عكس فترة الثقة حيث يمكن التأكد بنسبة 100% من أن التقدير مُضمن ضمن فترة معينة. [ 4 ]

خلفي ∝ احتمالية×قبل{\displaystyle {\text{Posterior}}\ \propto \ {\text{Likelihood}}\times {\text{Prior}}}

على الرغم من أن الافتراض المسبق يُساعد في توفير المزيد من البيانات لبناء فاصل الثقة، إلا أنه يُفقد فاصل الثقة موضوعيته. يُستخدم الافتراض المسبق لتحديد الافتراض اللاحق، وإذا لم يُراجع، فقد يؤدي هذا الافتراض المسبق إلى تنبؤات خاطئة. [ 5 ]

تختلف حدود فترة المصداقية عن حدود فترة الثقة. وتوجد عدة طرق لتحديد موقع الحدين العلوي والسفلي الصحيحين. ومن التقنيات الشائعة لتعديل حدود الفترة: فترة أعلى كثافة احتمالية لاحقة ، أو فترة متساوية الطرفين، أو اختيار مركز الفترة حول المتوسط.

أشكال أقل شيوعاً

قائم على الاحتمالية

تستخدم هذه الطريقة مبادئ دالة الاحتمال لتقدير المعلمة محل الاهتمام. وباستخدام طريقة الاحتمال، يمكن إيجاد فترات ثقة للمتوسطات الأسية، وويبول، واللوغاريتمية الطبيعية. بالإضافة إلى ذلك، يمكن لطرق الاحتمال أن توفر فترات ثقة للانحراف المعياري. كما يمكن إنشاء فترة تنبؤ من خلال دمج دالة الاحتمال مع المتغير العشوائي المستقبلي. [ 3 ]

أمين

تعتمد الاستدلالات المرجعية على استخدام مجموعة بيانات، وإزالة التشويش بعناية، واستعادة مُقدِّر التوزيع، وهو التوزيع المرجعي المعمم (GFD). وبدون استخدام نظرية بايز، لا يوجد افتراض مسبق، تمامًا مثل فترات الثقة. يُعد الاستدلال المرجعي شكلاً أقل شيوعًا من أشكال الاستدلال الإحصائي . وكان لدى مؤسسه، آر. إيه. فيشر ، الذي كان يُطوِّر أساليب الاحتمال العكسي، تساؤلاته الخاصة حول صحة هذه العملية. وبينما طُوِّر الاستدلال المرجعي في أوائل القرن العشرين، ساد الاعتقاد في أواخر القرن العشرين بأن هذه الطريقة أقل كفاءة من المنهجين التكراري والبيزي، إلا أنها احتلت مكانة مهمة في السياق التاريخي للاستدلال الإحصائي. ومع ذلك، عممت المناهج الحديثة الفترة المرجعية إلى الاستدلال المرجعي المعمم (GFI)، والذي يُمكن استخدامه لتقدير مجموعات البيانات المنفصلة والمتصلة. [ 6 ]

تسامح

تستخدم فترات التسامح بيانات مجموعة البيانات المجمعة للحصول على فترة، ضمن حدود التسامح، تحتوي على قيم بنسبة 100%. ومن الأمثلة الشائعة لوصف فترات التسامح مجال التصنيع. في هذا السياق، يتم تقييم نسبة مئوية من مجموعة منتجات موجودة لضمان احتواء نسبة مئوية من المجموعة ضمن حدود التسامح. عند إنشاء فترات التسامح، يمكن كتابة الحدود بدلالة حد أعلى وحد أدنى للتسامح، باستخدام متوسط ​​العينة .μ{\displaystyle \mu }، والانحراف المعياري للعينة ، s.

(لب،uب)=μ±ك2s{\displaystyle (l_{b},u_{b})=\mu \pm k_{2}s}للفترات ذات الجانبين

للفترات ذات الجانبين

وفي حالة الفترات أحادية الجانب حيث يكون التفاوت مطلوبًا فقط فوق أو تحت قيمة حرجة،

لب=μ-ك1s{\displaystyle l_{b}=\mu -k_{1}s}uب=μ+ك1s{\displaystyle u_{b}=\mu +k_{1}s}

كأنا{\displaystyle k_{i}}يختلف ذلك باختلاف التوزيع وعدد الجوانب، i، في تقدير الفترة. في التوزيع الطبيعي،ك2{\displaystyle k_{2}} يمكن التعبير عنها على النحو التالي [ 7 ]

ك2=zα/2νχ1-α،ν2(1+1شمال){\displaystyle k_{2}=z_{\alpha /2}{\sqrt {{\frac {\nu }{\chi _{1-\alpha ,\nu }^{2}}}\left(1+{\frac {1}{N}}\right)}}}

أينχ1-α،ν2{\displaystyle \chi _{1-\alpha ,\nu }^{2}}القيمة الحرجة لتوزيع مربع كاي باستخدامν{\displaystyle \nu }درجات الحرية التي يتم تجاوزها باحتماليةα{\displaystyle \alpha }، وzα/2{\displaystyle z_{\alpha /2}}هي القيم الحرجة التي تم الحصول عليها من التوزيع الطبيعي.

تنبؤ

تُقدّر فترة التنبؤ الفترة التي تحتوي على العينات المستقبلية بدرجة معينة من الثقة، γ. ويمكن استخدام فترات التنبؤ في كل من السياقات البايزية والتكرارية . وتُستخدم هذه الفترات عادةً في مجموعات بيانات الانحدار، ولكن لا تُستخدم فترات التنبؤ للاستقراء خارج نطاق المعلمات التي تم التحكم فيها تجريبياً للبيانات السابقة. [ 8 ]

المنطق الضبابي

يُستخدم المنطق الضبابي في اتخاذ القرارات بطريقة غير ثنائية في مجالات الذكاء الاصطناعي، والقرارات الطبية، وغيرها. بشكل عام، يستقبل المنطق الضبابي المدخلات، ويُسقطها على أنظمة الاستدلال الضبابي ، ثم يُنتج قرارًا نهائيًا. تتضمن هذه العملية التضبيب، وتقييم قواعد المنطق الضبابي، وإزالة التضبيب. عند تقييم قواعد المنطق الضبابي، تُحوّل دوال الانتماء معلومات المدخلات غير الثنائية إلى متغيرات ملموسة. تُعدّ دوال الانتماء هذه أساسية للتنبؤ بعدم اليقين في النظام.

من جانب واحد مقابل من جانبين

التمييز بين الفترات ذات الجانبين والفترات ذات الجانب الواحد على منحنى التوزيع الطبيعي القياسي.

تُقدّر فترات الثقة ذات الجانبين معلمة ذات أهمية، Θ، بمستوى ثقة، γ، باستخدام حد أدنى (لب{\displaystyle l_{b}}) والحد الأعلى (uب{\displaystyle u_{b}}قد تشمل الأمثلة تقدير متوسط ​​طول الذكور في منطقة جغرافية معينة أو أطوال مكتب محدد من إنتاج شركة معينة. في هذه الحالات، يتم تقدير القيمة المركزية لمتغير ما. وعادةً ما يُعرض هذا التقدير في شكل مشابه للمعادلة أدناه.

P(لب<Θ<uب)=γ{\displaystyle P(l_{b}<\Theta <u_{b})=\gamma }

يختلف الفاصل الزمني أحادي الجانب عن الفاصل الزمني ثنائي الجانب، إذ يستخدم مستوى ثقة γ لتحديد حد أدنى أو أقصى يتنبأ بقيمة المعلمة محل الاهتمام باحتمالية γ*100%. عادةً ما يُستخدم الفاصل الزمني أحادي الجانب عندما لا يكون الحد الأدنى أو الأقصى للتقدير محل اهتمام. عند الاهتمام بالحد الأدنى للقيمة المتوقعة لـ Θ، لا داعي لإيجاد حد أعلى للتقدير، مما يؤدي إلى صيغة مُختزلة للفاصل الزمني ثنائي الجانب.

P(لب<Θ)=γ{\displaystyle P(l_{b}<\Theta )=\gamma }

نتيجةً لإزالة الحد الأعلى مع الحفاظ على مستوى الثقة، فإن الحد الأدنى (لب{\displaystyle l_{b}}سيزداد. وبالمثل، عند الاهتمام بإيجاد الحد الأعلى لتقدير المعلمة فقط، سينخفض ​​الحد الأعلى. تُعد الفترة أحادية الجانب شائعة في ضمان جودة إنتاج المواد ، حيث يجب أن تكون القيمة المتوقعة لقوة المادة، Θ، أعلى من قيمة دنيا معينة (لب{\displaystyle l_{b}}) بثقة معينة (100γ%). في هذه الحالة، لا يهتم المصنّع بإنتاج منتج قوي للغاية، فلا يوجد حد أعلى (uب{\displaystyle u_{b}}).

مناقشة

عند تحديد الدلالة الإحصائية لمعلمة ما، من الأفضل فهم البيانات وطرق جمعها. قبل جمع البيانات، ينبغي تخطيط التجربة بحيث يكون خطأ المعاينة تباينًا إحصائيًا ( خطأً عشوائيًا )، وليس تحيزًا إحصائيًا ( خطأً منهجيًا ). [ 9 ] بعد التجربة، تتمثل الخطوة الأولى المعتادة في إنشاء تقديرات الفترات في التحليل الاستكشافي باستخدام طرق بيانية متنوعة . ومن خلال ذلك، يمكن تحديد توزيع العينات من مجموعة البيانات. إن إنتاج حدود فترات بناءً على افتراضات خاطئة حول التوزيع يجعل التنبؤ خاطئًا. [ 10 ]

عند الإبلاغ عن تقديرات الفترات، ينبغي أن يكون لها تفسير متفق عليه داخل المجتمع العلمي وخارجه. أما تقديرات الفترات المستمدة من المنطق الضبابي فلها معانٍ أكثر تحديدًا لتطبيقاتها.

في الحالات الشائعة، ينبغي وجود مجموعة من الإجراءات القياسية التي يمكن استخدامها، شريطة التحقق من صحة أي افتراضات مطلوبة. ينطبق هذا على كل من فترات الثقة وفترات المصداقية. مع ذلك، في الحالات غير المألوفة، ينبغي توفير إرشادات حول كيفية صياغة تقديرات الفترات. في هذا الصدد، تتشابه فترات الثقة وفترات المصداقية، لكن ثمة فرقان رئيسيان. أولًا، يمكن لفترات المصداقية التعامل بسهولة مع المعلومات المسبقة، بينما لا تستطيع فترات الثقة ذلك. ثانيًا، تتميز فترات الثقة بمرونة أكبر، ويمكن استخدامها عمليًا في حالات أكثر من فترات المصداقية: أحد المجالات التي تعاني فيها فترات المصداقية مقارنةً بفترات الثقة هو التعامل مع النماذج غير البارامترية .

ينبغي وجود طرق لاختبار أداء إجراءات تقدير الفترات. ينشأ هذا الأمر لأن العديد من هذه الإجراءات تتضمن تقريبات متنوعة، وهناك حاجة للتحقق من أن الأداء الفعلي للإجراء قريب مما هو مُعلن. يُسهّل استخدام المحاكاة العشوائية هذه العملية في حالة فترات الثقة، ولكنه أكثر تعقيدًا بالنسبة لفترات المصداقية حيث يجب مراعاة المعلومات المسبقة بشكل صحيح. يمكن التحقق من فترات المصداقية في الحالات التي لا تتوفر فيها معلومات مسبقة، ولكن هذا التحقق يتضمن فحص خصائص التكرار على المدى الطويل للإجراءات.

يناقش سيفيريني (1993) الشروط التي بموجبها تنتج فترات المصداقية وفترات الثقة نتائج مماثلة، كما يناقش احتمالات التغطية لفترات المصداقية والاحتمالات اللاحقة المرتبطة بفترات الثقة. [ 11 ]

في نظرية القرار ، التي تُعدّ منهجًا شائعًا ومبررًا للإحصاءات البايزية، لا يُمثّل تقدير الفترة أهمية مباشرة. فالنتيجة هي قرار، وليس تقديرًا لفترة، ولذلك يستخدم منظرو القرار البايزيون إجراءً بايزيًا : إذ يُقلّلون الخسارة المتوقعة لدالة الخسارة بالنسبة للتوزيع الاحتمالي اللاحق بأكمله، وليس بالنسبة لفترة محددة.

التطبيقات

تُستخدم تطبيقات فترات الثقة لحل مجموعة متنوعة من المشكلات المتعلقة بعدم اليقين. يقترح كاتز (1975) تحديات وفوائد مختلفة لاستخدام تقديرات الفترات في الإجراءات القانونية. [ 12 ] وفيما يخص استخدامها في البحوث الطبية، يناقش ألتمن (1990) استخدام فترات الثقة ويقدم إرشادات حول كيفية استخدامها. [ 13 ] وفي مجال التصنيع، من الشائع أيضًا إيجاد تقديرات فترات لتقدير عمر المنتج، أو لتقييم مدى تحمله. يقدم ميكر وإسكوبار (1998) طرقًا لتحليل بيانات الموثوقية في ظل التقدير البارامتري وغير البارامتري، بما في ذلك التنبؤ بالمتغيرات العشوائية المستقبلية (فترات التنبؤ). [ 14 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ نيمان، ج. (1937). "موجز لنظرية التقدير الإحصائي القائمة على النظرية الكلاسيكية للاحتمالات" . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن. السلسلة أ، العلوم الرياضية والفيزيائية . 236 (767). الجمعية الملكية: 333-380 . Bibcode : 1937RSPTA.236..333N . doi : 10.1098/rsta.1937.0005 . ISSN 0080-4614 . JSTOR 91337. S2CID 19584450. تاريخ الاسترجاع: 15 يوليو 2021 .   
  2. ↑ سيفيريني، توماس أ. (1991). "حول العلاقة بين تقديرات الفترات البايزية وغير البايزية". مجلة الجمعية الإحصائية الملكية، السلسلة ب (المنهجية) . 53 (3). وايلي: 611-618 . doi : 10.1111/j.2517-6161.1991.tb01849.x . ISSN 0035-9246 . 
  3. 1 2 ميكر، ويليام كيو؛ هان، جيرالد جيه؛ إسكوبار، لويس أ. (27-03-2017). الفترات الإحصائية: دليل للممارسين والباحثين . سلسلة وايلي في الاحتمالات والإحصاء ( الطبعة الأولى). وايلي. doi : 10.1002/9781118594841 . ISBN  978-0-471-68717-7.
  4. ↑ هيسبانهول، لويز؛ فاليو، كايو ساين؛ كوستا، لوسيولا مينيزيس؛ ساراغيوتو، برونو ت. (2019-07-01). " فهم وتفسير فترات الثقة والمصداقية حول تقديرات التأثير" . المجلة البرازيلية للعلاج الطبيعي . 23 (4): 290-301 . doi : 10.1016/j.bjpt.2018.12.006 . ISSN 1413-3555 . PMC 6630113. PMID 30638956 .   
  5. ↑ لي، بيتر م. (2012). الإحصاء البايزي: مقدمة (الطبعة الرابعة، الطبعة الأولى المنشورة). تشيتشستر: وايلي. ISBN  978-1-118-33257-3.
  6. ↑ هانيغ، جان؛ آير، هاري؛ لاي، راندي سي إس؛ لي، توماس سي إم (2016-07-02). "الاستدلال الائتماني المعمم: مراجعة ونتائج جديدة". مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية . 111 (515): 1346-1361 . doi : 10.1080/01621459.2016.1165102 . ISSN 0162-1459 . 
  7. ↑ هاو، دبليو جي (يونيو 1969). "حدود التسامح ثنائية الجانب للمجموعات السكانية الطبيعية، بعض التحسينات" . مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية . 64 (326): 610. doi : 10.2307/2283644 . ISSN 0162-1459 . 
  8. ↑ فارديمان، ستيفن ب. (1992). "ماذا عن الفترات الأخرى؟" . الإحصائي الأمريكي . 46 (3): 193-197 . doi : 10.2307/2685212 . ISSN 0003-1305 . 
  9. ↑ هان، جيرالد جيه؛ ميكر، ويليام كيو (1993). "افتراضات الاستدلال الإحصائي" . الإحصائي الأمريكي . 47 (1): 1-11 . doi : 10.2307/2684774 . ISSN 0003-1305 . 
  10. ↑ هان، جيرالد جيه؛ دوجاناكسوي، نسيب؛ ميكر، ويليام كيو. (2019-08-01). "الفترات الإحصائية، لا الدلالة الإحصائية" . الدلالة . 16 (4): 20-22 . doi : 10.1111/j.1740-9713.2019.01298.x . ISSN 1740-9705 . 
  11. ↑ سيفيريني، توماس أ. (1993). "تقديرات الفترات البايزية التي هي أيضًا فترات ثقة" . مجلة الجمعية الإحصائية الملكية. السلسلة ب (المنهجية) . 55 (2): 533-540 . ISSN 0035-9246 . 
  12. ↑ كاتز، ليو (1975). "عرض تقدير فترة الثقة كدليل في الإجراءات القانونية" . الإحصائي الأمريكي . 29 (4): 138-142 . doi : 10.2307/2683480 . ISSN 0003-1305 . 
  13. ↑ ألتمان، دوغلاس ج.، محرر (2011). الإحصاء بثقة: فترات الثقة والمبادئ التوجيهية الإحصائية؛ [يتضمن قرصًا] (الطبعة الثانية، [محرر] ). لندن: كتب بي إم جيه. ISBN  978-0-7279-1375-3.
  14. ↑ ميكر، ويليام كيو؛ إسكوبار، لويس أ. (1998). الأساليب الإحصائية لبيانات الموثوقية . سلسلة وايلي في الاحتمالات والإحصاء، قسم الاحتمالات والإحصاء التطبيقي. نيويورك: واينهايم: وايلي. ISBN 978-0-471-14328-4.

فهرس

  • كيندال، إم جي وستيوارت، أ. (1973). النظرية المتقدمة للإحصاء. المجلد 2: الاستدلال والعلاقة (الطبعة الثالثة). غريفين، لندن.
يتناول الفصل العشرون أعلاه فترات الثقة، بينما يتناول الفصل الحادي والعشرون فترات الثقة المرجعية وفترات بايز ، ويتضمن مناقشة مقارنة بين هذه المناهج الثلاثة. تجدر الإشارة إلى أن هذا العمل أُنجز قبل ظهور المنهجيات الحديثة التي تتطلب حسابات مكثفة. إضافةً إلى ذلك، يناقش الفصل الحادي والعشرون مسألة بيرنز-فيشر.
  • ميكر، دبليو كيو، وهان، جي جي، وإسكوبار، إل إيه (2017). الفترات الإحصائية: دليل للممارسين والباحثين (الطبعة الثانية). جون وايلي وأولاده.
  • مقدمة في الرياضيات الضبابية https://web.archive.org/web/20061205114153/http://blog.peltarion.com/2006/10/25/fuzzy-math-part-1-the-theory
  • ما هو المنطق الضبابي؟ https://www.youtube.com/watch?v=__0nZuG4sTw