فاصل التسامح

فاصل التسامح ( TI ) هو فاصل إحصائي يقع ضمنه، بمستوى ثقة معين ، نسبة محددة من عينة من السكان . "وبشكل أكثر تحديدًا، يوفر فاصل التسامح 100× p %/100×(1−α) حدودًا تقع ضمنها نسبة معينة ( p ) على الأقل من السكان بمستوى ثقة معين (1−α)." ^{[ 1 ]} "يتم إنشاء فاصل التسامح (TI) ( p , 1−α) بناءً على عينة بحيث يشمل على الأقل نسبة p من السكان المأخوذة عينة بثقة 1−α؛ ويُشار إلى فاصل التسامح هذا عادةً باسم فاصل التسامح p-content − (1−α) coverage TI." ^{[ 2 ]} "الحد الأعلى للتسامح (TL) (p, 1−α) هو ببساطة حد ثقة أعلى 1−α للنسبة المئوية 100 p من السكان." ^{[ 2 ]}

افترض وجود ملاحظات أو متغيرات عشوائية${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$باعتبارها تحقيقًا للمتغيرات العشوائية المستقلة${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})}$والتي لها توزيع مشترك${\displaystyle F_{\theta }}$، مع معلمة غير معروفة${\displaystyle \theta }$ثم، فاصل سماحية بنقطتي نهاية${\displaystyle (L(\mathbf {x} ),U(\mathbf {x} )]}$والتي تتميز بالخاصية المحددة: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \inf _{\theta }\{{\Pr }_{\theta }\left(F_{\theta }(U(\mathbf {X} ))-F_{\theta }(L(\mathbf {X} )\right)\geq p)\}=1-\alpha }$

أين${\displaystyle \inf\{\}}$تشير إلى دالة الحد الأدنى .

وهذا على النقيض من فترة التنبؤ ذات النقاط الطرفية${\displaystyle [l(\mathbf {x} ),u(\mathbf {x} )]}$والتي تتميز بالخاصية المحددة: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \inf _{\theta }\{{\Pr }_{\theta }(X_{0}\in [l(\mathbf {X} ),u(\mathbf {X} )])\}=1-\alpha }$.

هنا،${\displaystyle X_{0}}$هو متغير عشوائي من نفس التوزيع${\displaystyle F_{\theta }}$لكن بشكل مستقل عن الأول${\displaystyle n}$المتغيرات.

يلاحظ${\displaystyle X_{0}}$لا يشارك في تعريف فترة التسامح، التي تتعامل فقط مع العينة الأولى، ذات الحجم n .

تُعطى فترات التسامح الطبيعية أحادية الجانب بحل دقيق بدلالة متوسط ​​العينة وتباينها، وذلك استنادًا إلى توزيع t غير المركزي . ^{[ 4 ]} ويمكن تقدير فترات التسامح الطبيعية ثنائية الجانب باستخدام توزيع كاي تربيع . ^{[ 4 ]}

في حالة معرفة المعلمات، تتطابق فترة التسامح بنسبة 95% مع فترة التنبؤ بنسبة 95% . ^{[ 5 ]} إذا عرفنا المعلمات الدقيقة لمجموعة سكانية، فسيكون بإمكاننا حساب النطاق الذي تقع ضمنه نسبة معينة من هذه المجموعة. على سبيل المثال، إذا علمنا أن توزيع مجموعة سكانية ما طبيعي بمتوسط${\displaystyle \mu }$والانحراف المعياري${\displaystyle \sigma }$ثم الفترة${\displaystyle \mu \pm 1.96\sigma }$يشمل 95% من السكان (1.96 هو الدرجة المعيارية لتغطية 95% من السكان ذوي التوزيع الطبيعي).

لكن إذا كان لدينا عينة فقط من المجتمع الإحصائي، فإننا نعرف فقط متوسط ​​العينة.${\displaystyle {\hat {\mu }}}$والانحراف المعياري للعينة${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$وهي مجرد تقديرات للمعلمات الحقيقية. في هذه الحالة،${\displaystyle {\hat {\mu }}\pm 1.96{\hat {\sigma }}}$لن يشمل بالضرورة 95% من السكان، نظرًا للاختلاف في هذه التقديرات. ويحد نطاق التسامح من هذا التباين عن طريق إدخال مستوى ثقة.${\displaystyle \gamma }$وهي درجة الثقة التي تشمل بها هذه الفترة فعليًا النسبة المحددة من السكان. بالنسبة لسكان ذوي توزيع طبيعي، يمكن تحويل قيمة z إلى " عامل k " أو عامل التسامح ^{[ 6 ]} لقيمة معينة.${\displaystyle \gamma }$عبر جداول البحث أو عدة صيغ تقريبية. ^{[ 7 ]} "عندما تقترب درجات الحرية من اللانهاية، تتساوى فترات التنبؤ والتسامح." ^{[ 8 ]}

إن نطاق التسامح أقل شيوعًا من نطاق الثقة ونطاق التنبؤ ، وهو وضع أعرب عنه بعض التربويين، لأنه قد يؤدي إلى إساءة استخدام النطاقات الأخرى في حين أن نطاق التسامح يكون أكثر ملاءمة. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

تختلف فترة التسامح عن فترة الثقة في أن فترة الثقة تحدد معلمة مجتمعية ذات قيمة واحدة ( المتوسط ​​أو التباين ، على سبيل المثال) بدرجة معينة من الثقة، بينما تحدد فترة التسامح نطاق قيم البيانات الذي يشمل نسبة محددة من المجتمع. في حين أن حجم فترة الثقة يعتمد كليًا على خطأ المعاينة ، ويقترب من الصفر عند معلمة المجتمع الحقيقية مع ازدياد حجم العينة، فإن حجم فترة التسامح يعتمد جزئيًا على خطأ المعاينة وجزئيًا على التباين الفعلي في المجتمع، ويقترب من فترة الاحتمالية للمجتمع مع ازدياد حجم العينة. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

ترتبط فترة التسامح بفترة التنبؤ من حيث أن كلتيهما تحددان نطاق التباين في العينات المستقبلية. مع ذلك، فإن فترة التنبؤ تحدد عينة مستقبلية واحدة فقط، بينما تحدد فترة التسامح المجتمع الإحصائي بأكمله (أو سلسلة عشوائية من العينات المستقبلية). بعبارة أخرى، تغطي فترة التنبؤ نسبة محددة من المجتمع الإحصائي في المتوسط ، بينما تغطيها فترة التسامح بمستوى ثقة معين ، مما يجعل فترة التسامح أكثر ملاءمة إذا كان الهدف من فترة واحدة هو تحديد نطاق عدة عينات مستقبلية. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

^{[ 9 ]} يقدم المثال التالي:

لذا، لنفترض مرة أخرى سيناريو اختبار استهلاك الوقود الذي تجريه وكالة حماية البيئة الأمريكية ، والذي يتم فيه اختبار العديد من السيارات المتطابقة ظاهريًا من طراز معين لإنتاج أرقام استهلاك الوقود.${\displaystyle y_{1},y_{2},...,y_{n}}$إذا تمت معالجة هذه البيانات لإنتاج فاصل ثقة بنسبة 95% لمتوسط ​​المسافة المقطوعة للنموذج، فمن الممكن، على سبيل المثال، استخدامها لتوقع متوسط ​​أو إجمالي استهلاك البنزين لأسطول السيارات المصنعة خلال أول 5000 ميل من استخدامها. ومع ذلك، لن يكون هذا الفاصل مفيدًا كثيرًا لشخص يستأجر إحدى هذه السيارات ويتساءل عما إذا كان خزان الوقود (الممتلئ) سعة 10 جالونات سيكفيه لقطع مسافة 350 ميلًا إلى وجهته. في هذه الحالة، سيكون فاصل التنبؤ أكثر فائدة. (ضع في اعتبارك الدلالات المختلفة لكونك "متأكدًا بنسبة 95%" من أن${\displaystyle \mu \geq 35}$بدلاً من أن تكون "متأكداً بنسبة 95%" من ذلك${\displaystyle y_{n+1}\geq 35}$.) ولكن لا توجد فترة ثقة لـ${\displaystyle \mu }$ليس نطاق التنبؤ لمسافة إضافية واحدة هو ما يحتاجه مهندس التصميم المكلف بتحديد حجم خزان الوقود الذي يحتاجه النموذج فعليًا لضمان أن 99% من السيارات المنتجة ستتمتع بمدى سير يصل إلى 400 ميل. ما يحتاجه المهندس حقًا هو هامش سماحية لجزء من المسافة المقطوعة.${\displaystyle p=.99}$من حيث عدد الأميال المقطوعة لمثل هذه السيارات.

مثال آخر هو: ^{[ 11 ]}

تم جمع مستويات الرصاص في الهواء من${\displaystyle n=15}$مناطق مختلفة داخل المنشأة. لوحظ أن مستويات الرصاص المحولة لوغاريتميًا تتناسب جيدًا مع التوزيع الطبيعي (أي أن البيانات مأخوذة من توزيع لوغاريتمي طبيعي ).${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle \sigma ^{2}}$يرمز كل من و إلى متوسط ​​وتباين البيانات المحولة لوغاريتميًا.${\displaystyle X}$يرمز إلى المتغير العشوائي المقابل، وبالتالي لدينا${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$نلاحظ أن${\displaystyle \exp(\mu )}$يمثل متوسط ​​مستوى الرصاص في الهواء. فترة ثقة لـ${\displaystyle \mu }$يمكن إنشاء هذه الطريقة بالطريقة المعتادة، بالاعتماد على توزيع t ؛ وهذا بدوره سيوفر فترة ثقة لمستوى الرصاص الوسيط في الهواء. إذا${\displaystyle {\bar {X}}}$و${\displaystyle S}$يمثل متوسط ​​العينة والانحراف المعياري للبيانات المحولة لوغاريتميًا لعينة حجمها n، وفترة ثقة بنسبة 95% لـ${\displaystyle \mu }$يُعطى بواسطة${\displaystyle {\bar {X}}\pm t_{n-1,0.975}S/{\sqrt {n}}}$، أين${\displaystyle t_{m,1-\alpha }}$يشير إلى${\displaystyle 1-\alpha }$الكمية المئوية لتوزيع t مع${\displaystyle m}$درجات الحرية. قد يكون من المفيد أيضًا استخلاص حد ثقة أعلى بنسبة 95% لمستوى الرصاص المتوسط ​​في الهواء. مثل هذا الحد لـ${\displaystyle \mu }$يُعطى بواسطة${\displaystyle {\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S/{\sqrt {n}}}$وبالتالي، فإن الحد الأعلى للثقة بنسبة 95% لمتوسط ​​تقدم الهواء يُعطى بالصيغة التالية:${\displaystyle \exp {\left({\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S/{\sqrt {n}}\right)}}$لنفترض الآن أننا نريد التنبؤ بمستوى الرصاص في الهواء في منطقة معينة داخل المختبر. يُعطى الحد الأعلى للتنبؤ بنسبة 95% لمستوى الرصاص بعد تحويله لوغاريتميًا بالصيغة التالية:${\displaystyle {\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S{\sqrt {\left(1+1/n\right)}}}$يمكن حساب فترة التنبؤ ثنائية الجانب بطريقة مماثلة. معنى هذه الفترات وتفسيرها معروفان جيدًا. على سبيل المثال، إذا كانت فترة الثقة${\displaystyle {\bar {X}}\pm t_{n-1,0.975}S/{\sqrt {n}}}$إذا تم حسابها بشكل متكرر من عينات مستقلة، فإن 95% من الفترات المحسوبة ستتضمن القيمة الحقيقية لـ${\displaystyle \mu }$على المدى الطويل. بعبارة أخرى، تهدف الفترة الزمنية إلى توفير معلومات تتعلق بالمعلمة.${\displaystyle \mu }$فقط. لفترة التنبؤ تفسير مشابه، وهي مصممة لتوفير معلومات تتعلق بمستوى رصاص واحد فقط. لنفترض الآن أننا نريد استخدام العينة لاستنتاج ما إذا كانت 95% على الأقل من مستويات الرصاص في المجتمع أقل من عتبة معينة. لا يمكن لفترة الثقة ولا لفترة التنبؤ الإجابة على هذا السؤال، لأن فترة الثقة خاصة بمستوى الرصاص المتوسط ​​فقط، بينما فترة التنبؤ خاصة بمستوى رصاص واحد فقط. المطلوب هو فترة سماح؛ تحديدًا، حد سماح أعلى. يُحسب حد السماح الأعلى بشرط أن تكون 95% على الأقل من مستويات الرصاص في المجتمع أقل من هذا الحد، بمستوى ثقة معين، ولنقل 99%.

• التفاوتات الهندسية
• عامل الأمان

• هان، جيرالد جيه؛ ميكر، ويليام كيو؛ إسكوبار، لويس أ. (2017). الفترات الإحصائية: دليل للممارسين والباحثين (  الطبعة الثانية). جون وايلي وأولاده، المحدودة. ISBN 978-0-471-68717-7.

• ك. كريشنامورثي (2009). مناطق التسامح الإحصائي: النظرية والتطبيقات والحساب . جون وايلي وأولاده. ISBN 978-0-470-38026-0.الفصل الأول، "مقدمات"، متاح على الرابط التالي: http://media.wiley.com/product_data/excerpt/68/04703802/0470380268.pdf
• ديريك س. يونغ (أغسطس 2010). "التسامح: حزمة برمجية R لتقدير فترات التسامح" . مجلة البرمجيات الإحصائية . 36 (5): 1-39 . ISSN 1548-7660 . تاريخ الاسترجاع: 19 فبراير 2013 . 
• المعيار الدولي ISO 16269-6، التفسير الإحصائي للبيانات، الجزء 6: تحديد فترات التسامح الإحصائي، اللجنة الفنية ISO/TC 69، تطبيقات الأساليب الإحصائية. متاح على الرابط التالي: http://standardsproposals.bsigroup.com/home/getpdf/458