توزيع t غير المركزي

يمكن التعبير عن دالة التوزيع التراكمي لتوزيع t غير المركزي مع ν درجة حرية ومعامل اللامركزية μ على النحو التالي ^{[ 1 ]}

$//$

أين

${\displaystyle {\tilde {F}}_{\nu ,\mu }(x)=\Phi (-\mu )+{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }\left[p_{j}I_{y}\left(j+{\frac {1}{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)+q_{j}I_{y}\left(j+1,{\frac {\nu }{2}}\right)\right],}$

${\displaystyle I_{y}\,\!(a,b)}$هي دالة بيتا غير الكاملة المنتظمة ،

${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{x^{2}+\nu }},}$

${\displaystyle p_{j}={\frac {1}{j!}}\exp \left\{-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right\}\left({\frac {\mu ^{2}}{2}}\right)^{j},}$

${\displaystyle q_{j}={\frac {\mu }{{\sqrt {2}}\Gamma (j+3/2)}}\exp \left\{-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right\}\left({\frac {\mu ^{2}}{2}}\right)^{j},}$

و Φ هي دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي القياسي .

أو بدلاً من ذلك، يمكن التعبير عن دالة التوزيع التراكمي لتوزيع t غير المركزي على النحو التالي :

${\displaystyle F_{v,\mu }(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}(-\mu {\sqrt {2}})^{j}e^{\frac {-\mu ^{2}}{2}}{\frac {\Gamma ({\frac {j+1}{2}})}{\sqrt {\pi }}}I\left({\frac {v}{v+x^{2}}};{\frac {v}{2}},{\frac {j+1}{2}}\right),&x\geq 0\\1-{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}(-\mu {\sqrt {2}})^{j}e^{\frac {-\mu ^{2}}{2}}{\frac {\Gamma ({\frac {j+1}{2}})}{\sqrt {\pi }}}I\left({\frac {v}{v+x^{2}}};{\frac {v}{2}},{\frac {j+1}{2}}\right),&x<0\end{cases}}}$

حيث Γ هي دالة جاما و I هي دالة بيتا غير الكاملة المنتظمة .

على الرغم من وجود أشكال أخرى لدالة التوزيع التراكمي، إلا أن الشكل الأول المذكور أعلاه سهل التقييم للغاية من خلال الحوسبة التكرارية . ^{[ 1 ]} في برنامج الإحصاء R ، يتم تنفيذ دالة التوزيع التراكمي كـ pt .

يمكن التعبير عن دالة كثافة الاحتمال (pdf) لتوزيع t غير المركزي مع ν > 0 درجات حرية ومعامل اللامركزية μ في عدة أشكال.

الصيغة التقريبية للدالة فوق الهندسية لدالة الكثافة هي

${\displaystyle f(x)=\underbrace {{\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\tfrac {\nu +1}{2}}}} _{{\text{StudentT}}(x\,;\,\mu =0)}\exp {\big (}-{\tfrac {\mu ^{2}}{2}}{\big )}{\Big \{}A_{\nu }(x\,;\,\mu )+B_{\nu }(x\,;\,\mu ){\Big \}},}$

أين

$// )}}\right),\\B_{\nu }(x\,;\,\mu )&={\frac {{\sqrt {2}}\mu x}{\sqrt {x^{2}+\nu }}}{\frac {\Gamma ({\frac {\nu }{2}}+1)}{\Gamma ({\frac {\nu) +1}{2}})}}{_{1}F} _ {1}\left({\frac {\nu }{2}}+1\,;\,{\frac {3}{2}}\,;\,{\frac {\mu ^{2}x^{2}}{2(x^{2}+\nu )}}\right),\end{aligned}}}$

وحيث ₁ F ₁ هي دالة هندسية فائقة متقاربة .

الصيغة التكاملية البديلة هي ^{[ 2 ]}

${\displaystyle f(x)={\frac {\nu ^{\frac {\nu }{2}}\exp \left(-{\frac {\nu \mu ^{2}}{2(x^{2}+\nu )}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\Gamma ({\frac {\nu }{2}})2^{\frac {\nu -1}{2}}(x^{2}+\nu )^{\frac {\nu +1}{2}}}}\int _{0}^{\infty }y^{\nu }\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left(y-{\frac {\mu x}{\sqrt {x^{2}+\nu }}}\right)^{2}\right)dy.}$

يتم الحصول على شكل ثالث للكثافة باستخدام دوال التوزيع التراكمي الخاصة بها، كما يلي.

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {\nu }{x}}\left\{F_{\nu +2,\mu }\left(x{\sqrt {1+{\frac {2}{\nu }}}}\right)-F_{\nu ,\mu }(x)\right\},&{\mbox{if }}x\neq 0;\\{\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\pi \nu }}\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\exp \left(-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right),&{\mbox{if }}x=0.\end{cases}}}$

هذا هو النهج الذي تنفذه دالة dt في لغة R.

بشكل عام، فإن العزم الخام رقم k لتوزيع t غير المركزي هو ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\mbox{E}}\left[T^{k}\right]={\begin{cases}\left({\frac {\nu }{2}}\right)^{\frac {k}{2}}{\frac {\Gamma \left({\frac {\nu -k}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}{\mbox{exp}}\left(-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right){\frac {d^{k}}{d\mu ^{k}}}{\mbox{exp}}\left({\frac {\mu ^{2}}{2}}\right),&{\mbox{if }}\nu >k;\\{\mbox{Does not exist}},&{\mbox{if }}\nu \leq k.\\\end{cases}}}$

على وجه الخصوص، فإن متوسط ​​وتباين توزيع t غير المركزي هما

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{E}}\left[T\right]&={\begin{cases}\mu {\sqrt {\frac {\nu }{2}}}{\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}},&{\mbox{if }}\nu >1;\\{\mbox{Does not exist}},&{\mbox{if }}\nu \leq 1,\\\end{cases}}\\{\mbox{Var}}\left[T\right]&={\begin{cases}{\frac {\nu (1+\mu ^{2})}{\nu -2}}-{\frac {\mu ^{2}\nu }{2}}\left({\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}\right)^{2},&{\mbox{if }}\nu >2;\\{\mbox{Does not exist}},&{\mbox{if }}\nu \leq 2.\\\end{cases}}\end{aligned}}}$

تقريب ممتاز لـ${\displaystyle {\sqrt {\frac {\nu }{2}}}{\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}}$يكون${\displaystyle \left(1-{\frac {3}{4\nu -1}}\right)^{-1}}$والتي يمكن استخدامها في كلتا الصيغتين. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

يكون توزيع t غير المركزي غير متماثل ما لم تكن قيمة μ تساوي صفرًا، أي توزيع t مركزي . بالإضافة إلى ذلك، يقل عدم التماثل كلما زادت درجة الحرية. يكون الذيل الأيمن أثقل من الأيسر عندما تكون μ > 0، والعكس صحيح. مع ذلك، لا يُعدّ معامل الالتواء المعتاد مقياسًا جيدًا لعدم التماثل في هذا التوزيع، لأنه إذا لم تتجاوز درجات الحرية 3، فإن العزم الثالث لا وجود له. حتى لو كانت درجات الحرية أكبر من 3، فإن تقدير العينة لمعامل الالتواء يظل غير مستقر للغاية ما لم يكن حجم العينة كبيرًا جدًا.

إن توزيع t غير المركزي يكون دائمًا أحادي النمط وشكله يشبه الجرس، ولكن النمط غير متاح تحليليًا، على الرغم من أنه بالنسبة لـ μ ≠ 0 لدينا ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\nu }{\nu +(5/2)}}}<{\frac {\mathrm {mode} }{\mu }}<{\sqrt {\frac {\nu }{\nu +1}}}}$

على وجه الخصوص، يكون للمنوال دائمًا نفس إشارة معامل اللامركزية μ. علاوة على ذلك، فإن معكوس المنوال هو بالضبط منوال توزيع t اللامركزي الذي له نفس عدد درجات الحرية ν ولكن معامل اللامركزية −μ.

يزداد النمط تزايدًا تامًا مع μ (يتحرك دائمًا في نفس اتجاه تغيير μ). في النهاية، عندما μ → 0، يُقارب النمط بـ

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\nu }{2}}}{\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +2}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu +3}{2}}\right)}}\mu$ ;\,}

وعندما μ → ∞، يتم تقريب النمط بواسطة

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\nu }{\nu +1}}}\mu .}$

• عندما μ = 0، يصبح توزيع t غير المركزي هو توزيع t المركزي (توزيع الطالب) بنفس درجات الحرية.

لنفترض أن لدينا عينة مستقلة ومتطابقة التوزيع X1 _، ...، Xn _، كل منها يتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط ​​θ وتباين σ² ^، ونرغب في اختبار الفرضية الصفرية θ = 0 مقابل الفرضية البديلة θ ≠ 0. يمكننا إجراء اختبار t لعينة واحدة باستخدام إحصائية الاختبار.

${\displaystyle T={\frac {\bar {X}}{{\hat {\sigma }}/{\sqrt {n}}}}={\frac {{\frac {{\bar {X}}-\theta }{(\sigma /{\sqrt {n}})}}+{\frac {\theta }{(\sigma /{\sqrt {n}})}}}{\sqrt {\left.\left({\frac {{\hat {\sigma }}^{2}}{\sigma ^{2}/(n-1)}}\right)\right/(n-1)}}}}$

أين${\displaystyle {\bar {X}}}$هو متوسط ​​العينة و${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}\,\!}$يمثل تباين العينة غير المتحيز . وبما أن الطرف الأيمن من المعادلة الثانية يطابق تمامًا خصائص توزيع t غير المركزي كما هو موضح أعلاه، فإن T له توزيع t غير مركزي بدرجات حرية n − 1 ومعامل لا مركزية${\displaystyle {\sqrt {n}}\theta /\sigma \,\!}$.

إذا رفضت إجراءات الاختبار الفرضية الصفرية كلما${\displaystyle |T|>t_{1-\alpha /2}\,\!}$، أين${\displaystyle t_{1-\alpha /2}\,\!}$إذا كان α/2 هو المئين الأعلى لتوزيع t للطالب (المركزي) لقيمة α محددة مسبقًا ∈ (0, 1)، فإن قوة هذا الاختبار تُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle 1-F_{n-1,{\sqrt {n}}\theta /\sigma }(t_{1-\alpha /2})+F_{n-1,{\sqrt {n}}\theta /\sigma }(-t_{1-\alpha /2}).}$

يمكن إيجاد تطبيقات مماثلة لتوزيع t غير المركزي في تحليل القوة للنماذج الخطية العامة لنظرية التوزيع الطبيعي ، والتي تتضمن اختبار t لعينة واحدة المذكور أعلاه كحالة خاصة.

تتمتع فترات التسامح الطبيعية أحادية الجانب بحل دقيق بدلالة متوسط ​​العينة وتباينها، وذلك استنادًا إلى توزيع t غير المركزي . ^{[ 8 ]} وهذا يُمكّن من حساب فاصل إحصائي تقع ضمنه، بمستوى ثقة معين، نسبة محددة من المجتمع المأخوذة منه العينة.