فاصل الثقة

وفقًا للاستدلال التكراري ، فإن فترة الثقة ( CI ) هي نطاق من القيم التي يُحتمل أن تحتوي (في أخذ العينات المتكررة) على القيمة الحقيقية لمعلمة إحصائية غير معروفة ، مثل متوسط ​​المجتمع . ^{[ 1 ]} وبدلًا من الإبلاغ عن تقدير نقطي واحد (مثل "متوسط ​​وقت استخدام الشاشة هو 3 ساعات يوميًا")، توفر فترة الثقة نطاقًا، مثل من ساعتين إلى 4 ساعات، إلى جانب مستوى ثقة محدد ، عادةً 95%.

لا يعني مستوى الثقة 95% احتمالًا بنسبة 95% أن تقع القيمة الحقيقية للمعلمة ضمن فاصل زمني محسوب، بل يرتبط هذا الفاصل بفترة المصداقية في الاستدلال البايزي . يعكس مستوى الثقة موثوقية الطريقة المستخدمة لتوليد الفاصل على المدى الطويل. ^{[ 2 ] [ 3 ]} بعبارة أخرى، إذا تكررت عملية أخذ العينات نفسها 100 مرة من نفس المجتمع، فمن المتوقع أن تحتوي 95 فترة من الفترات الناتجة على متوسط ​​المجتمع الحقيقي. ينظر المنهج التكراري إلى متوسط ​​المجتمع الحقيقي على أنه ثابت مجهول، بينما يُحسب فاصل الثقة باستخدام بيانات من عينة عشوائية. ولأن العينة عشوائية، فإن نهايات الفاصل متغيرات عشوائية.

يترك${\displaystyle X}$لتكن عينة عشوائية من توزيع احتمالي ذي معلمة إحصائية${\displaystyle (\theta ,\varphi )}$. هنا،${\displaystyle \theta }$هي الكمية المراد تقديرها، بينما${\displaystyle \varphi }$يتضمن ذلك معايير أخرى (إن وجدت) تحدد التوزيع. فترة ثقة للمعلمة${\displaystyle \theta }$، بمستوى ثقة أو معامل${\displaystyle \gamma }$، هي فترة${\displaystyle (u(X),v(X))}$يتم تحديدها بواسطة متغيرات عشوائية${\displaystyle u(X)}$و${\displaystyle v(X)}$بخصوص العقار: $${\displaystyle P(u(X)<\theta <v(X))=\gamma \quad {\text{for all }}(\theta ,\varphi ).}$$

الرقم${\displaystyle \gamma }$، والتي عادة ما تكون كبيرة (مثل 0.95)، تُعطى أحيانًا بالشكل التالي${\displaystyle 1-\alpha }$(أو كنسبة مئوية)${\displaystyle 100\cdot (1-\alpha )\%}$)، أين${\displaystyle \alpha }$هو عدد موجب صغير، غالبًا 0.05. وهذا يعني أن الفترة${\textstyle (u(X),v(X))}$له احتمال${\textstyle \gamma }$تغطية قيمة${\textstyle \theta }$في أخذ العينات المتكررة.

أو بدلاً من ذلك، يشترط بعض المؤلفين ^{[ 4 ] ببساطة أن}

$${\displaystyle P(u(X)<\theta <v(X))\geq \ \gamma \quad {\text{for all }}(\theta ,\varphi ).}$$ يمكن وصف مستوى الثقة بأنه "على الأقل${\displaystyle 100\gamma \%}$عندما يكون معروفًا أن احتمال التغطية يمكن أن يكون أكبر من${\displaystyle \gamma }$بالنسبة لبعض قيم المعلمات، يُطلق على فترة الثقة اسم الفترة المحافظة، أي أنها تميل إلى الجانب الآمن.

في العديد من التطبيقات، يصعب إنشاء فترات ثقة بمستوى الثقة المطلوب تمامًا، ولكن يمكن حساب فترات تقريبية. ويمكن قبول قاعدة إنشاء الفترة إذا

$${\displaystyle P(u(X)<\theta <v(X))\approx \ \gamma }$$

إلى مستوى مقبول من التقريب.

يفترض${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$هي عينة مستقلة من مجتمع ذي توزيع طبيعي بمتوسط ​​معلمات غير معروفة${\displaystyle \mu }$والتباين​${\displaystyle \sigma ^{2}.}$عرّف متوسط ​​العينة${\displaystyle {\bar {X}}}$وتباين العينة غير المتحيز${\displaystyle S^{2}}$مثل

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {X}}&={\frac {1}{n}}\left(X_{1}+\cdots +X_{n}\right),\\S^{2}&={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

ثم القيمة

$${\displaystyle T={\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}}$$

يتبع توزيع t للطالب مع${\textstyle n-1}$درجات الحرية. ^{[ 5 ]} هذه القيمة مفيدة لأن توزيعها لا يعتمد على قيم المعلمات غير القابلة للملاحظة.${\textstyle \mu }$و${\textstyle \sigma ^{2}}$أي أنها كمية محورية .

لنفترض أننا نريد حساب فترة ثقة بنسبة 95% لـ${\textstyle \mu .}$أولاً، دعنا${\textstyle c}$أن تكون النسبة المئوية 97.5 من توزيع${\textstyle T}$ثم هناك احتمال بنسبة 2.5% أن${\textstyle T}$سيكون أقل من${\textstyle -c}$واحتمال بنسبة 2.5% أن يكون أكبر من${\textstyle +c}$(لأن توزيع t متماثل حول الصفر). بعبارة أخرى،

$${\displaystyle P_{T}(-c\leq T\leq c)=0.95.}$$

وبالتالي، عن طريق الاستبدال${\textstyle T}$مع${\displaystyle {\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}}$وإعادة ترتيب الشروط،

$${\displaystyle P_{X}{\left({\bar {X}}-{\frac {cS}{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+{\frac {cS}{\sqrt {n}}}\right)}=0.95}$$

أين${\displaystyle P_{X}}$هو مقياس الاحتمالية للعينة${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$.

هذا يعني أن هناك احتمالاً بنسبة 95% لحدوث هذه الحالة${\displaystyle {\bar {X}}-{\frac {cS}{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+{\frac {cS}{\sqrt {n}}}}$يحدث ذلك في عمليات أخذ العينات المتكررة. بعد ملاحظة عينة، نجد قيمًا${\displaystyle {\bar {x}}}$ل${\displaystyle {\bar {X}}}$و${\displaystyle s}$ل${\displaystyle S,}$ومنها نحسب الفترة أدناه، ونقول إنها فترة ثقة بنسبة 95٪ للمتوسط.

$${\displaystyle \left[{\bar {x}}-{\frac {cs}{\sqrt {n}}},{\bar {x}}+{\frac {cs}{\sqrt {n}}}\right].}$$

يمكن تقديم تفسيرات مختلفة لفترة الثقة (مع أخذ فترة الثقة بنسبة 95٪ كمثال فيما يلي).

• يمكن التعبير عن فترة الثقة من حيث التردد طويل المدى في العينات المتكررة (أو في إعادة أخذ العينات ): "إذا تم تكرار هذا الإجراء على العديد من العينات، فإن نسبة فترات الثقة المحسوبة بنسبة 95٪ التي تشمل القيمة الحقيقية لمعلمة المجتمع ستميل نحو 95٪." ^{[ 6 ]}
• يمكن التعبير عن فترة الثقة من حيث الاحتمالية بالنسبة لعينة نظرية واحدة (لم تتحقق بعد): "هناك احتمال بنسبة 95٪ أن فترة الثقة بنسبة 95٪ المحسوبة من عينة مستقبلية معينة ستغطي القيمة الحقيقية لمعلمة المجتمع." ^{[ 7 ]} وهذا يعيد صياغة تفسير "العينات المتكررة" بشكل أساسي على أنه احتمال بدلاً من كونه تكرارًا.
• يمكن التعبير عن فترة الثقة من حيث الدلالة الإحصائية، على سبيل المثال: "تمثل فترة الثقة بنسبة 95% القيم التي لا تختلف إحصائياً بشكل كبير عن التقدير النقطي عند مستوى 0.05." ^{[ 8 ]}

سوء الفهم الشائع

كثيراً ما يُساء فهم فترات ومستويات الثقة، وقد أظهرت الدراسات المنشورة أن حتى العلماء المحترفين غالباً ما يسيئون تفسيرها. ^{[ 9 ]}

خلافاً للاعتقادات الخاطئة الشائعة، فإن مستوى الثقة بنسبة 95% لا يعني ما يلي:

• بالنسبة لفترة زمنية محددة، هناك احتمال بنسبة 95% أن تقع معلمة المجتمع ضمن تلك الفترة؛ ^{[ 10 ] [ 11 ]}
• تقع 95% من بيانات العينة ضمن فاصل الثقة؛ ^{[ 1 ]} أو
• هناك احتمال بنسبة 95% أن يقع تقدير المعلمة الناتج عن تكرار التجربة ضمن فاصل الثقة المحسوب من تجربة معينة. ^{[ 11 ]}

على سبيل المثال، لنفترض أن مصنعًا ينتج قضبانًا معدنية، وأن عينة عشوائية مكونة من 25 قضيبًا تعطي فاصل ثقة بنسبة 95% يتراوح بين 36.8 و 39.0  ملم لمتوسط ​​طول المجتمع. ^{[ 12 ]}

• من غير الصحيح القول بأن هناك احتمالاً بنسبة 95% أن يقع متوسط ​​المجتمع الحقيقي ضمن هذه الفترة: فالمتوسط ​​الحقيقي ثابت، وليس عشوائياً. قد يكون المتوسط ​​الحقيقي 37  ملم، وهو ضمن فترة الثقة، أو 40  ملم، وهو خارجها؛ وفي كلتا الحالتين، فإن وقوعه بين 36.8 و39.0  ملم هو أمر واقعي، وليس احتمالاً.
• ليس بالضرورة أن تكون أطوال 95% من القضبان التي تم أخذ عينات منها ضمن هذه الفترة. في هذه الحالة، لا يمكن أن يكون ذلك صحيحًا: 95% من 25 ليس عددًا صحيحًا.
• ليس صحيحًا عمومًا أن هناك احتمالًا بنسبة 95% أن يقع متوسط ​​طول العينة (وهو تقدير لمتوسط ​​طول المجتمع) في عينة ثانية ضمن هذه الفترة. في الواقع، إذا كان متوسط ​​الطول الحقيقي بعيدًا عن فترة الثقة المحددة هذه، فقد يكون من غير المرجح أن يقع متوسط ​​العينة التالية ضمن هذه الفترة.

بدلاً من ذلك، يعني مستوى الثقة 95% أنه إذا أخذنا 100 عينة من هذا القبيل، فمن المتوقع أن يقع متوسط ​​المجتمع الحقيقي ضمن نطاق 95% تقريبًا من الفترات المحسوبة. ^{[ 1 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}

يُعدّ تفسير فترات الثقة أمرًا بالغ الصعوبة، لا سيما عند التعامل مع مجموعات متعددة. ومن المفاهيم الخاطئة الشائعة: الاعتقاد بأن مجموعتين مختلفتان اختلافًا جوهريًا إذا كانت فترات ثقتهما متقاربة، والاعتقاد بأنهما تختلفان عندما تستبعد فترة ثقة إحداهما متوسط ​​الأخرى. لا يصحّ أيٌّ من هذين الاعتقادين عمومًا، ولكن حتى الباحثين ذوي الخبرة يقعون في هذه الأخطاء أحيانًا. ^{[ 13 ]}

أمثلة على كيف يمكن أن يكون التفسير الساذج لفترات الثقة إشكاليًا

إجراءات الثقة للموقع الموحد

قدّم ويلش ^{[ 15 ]} مثالًا يُبيّن بوضوح الفرق بين نظرية فترات الثقة ونظريات تقدير الفترات الأخرى (بما في ذلك فترات فيشر المرجعية وفترات بايز الموضوعية ). وصف روبنسون ^{[ 16 ]} هذا المثال بأنه "ربما أفضل مثال مضاد معروف لنظرية فترات الثقة بصيغة نيمان". بالنسبة لويلش، أظهر هذا المثال تفوّق نظرية فترات الثقة، بينما يراه منتقدوها دليلًا على قصورها. نقدم هنا نسخة مبسطة منه.

لنفترض أن${\displaystyle X_{1},X_{2}}$هي ملاحظات مستقلة من توزيع منتظم${\displaystyle (\theta -1/2,\theta +1/2)}$التوزيع. ثم الإجراء الأمثل بنسبة ثقة 50% لـ${\displaystyle \theta }$هو ^{[ 17 ]}

$${\displaystyle {\bar {X}}\pm {\begin{cases}{\dfrac {|X_{1}-X_{2}|}{2}}&{\text{if }}|X_{1}-X_{2}|<1/2\\[8pt]{\dfrac {1-|X_{1}-X_{2}|}{2}}&{\text{if }}|X_{1}-X_{2}|\geq 1/2.\end{cases}}}$$

يمكن استخدام حجة بايزية موضوعية أو قائمة على الأدلة لاستنتاج تقدير الفترة $${\displaystyle {\bar {X}}\pm {\frac {1-|X_{1}-X_{2}|}{4}},}$$ وهو أيضًا إجراء ثقة بنسبة 50%. وقد أظهر ويلش أن إجراء الثقة الأول يتفوق على الثاني، وفقًا لمعايير نظرية فترات الثقة؛ لكل${\displaystyle \theta _{1}\neq \theta }$، احتمال أن يحتوي الإجراء الأول${\displaystyle \theta _{1}}$أقل من أو يساوي احتمال احتواء الإجراء الثاني${\displaystyle \theta _{1}}$يبلغ متوسط ​​عرض الفترات في الإجراء الأول أقل من متوسط ​​عرضها في الإجراء الثاني. لذا، يُفضّل استخدام الإجراء الأول وفقًا لنظرية فترات الثقة الكلاسيكية.

لكن عندما${\displaystyle |X_{1}-X_{2}|\geq 1/2}$، من المؤكد أن الفترات الزمنية من الإجراء الأول تحتوي على القيمة الحقيقية${\displaystyle \theta }$لذا، فإن معامل الثقة الاسمي بنسبة 50% لا يرتبط بعدم اليقين الذي ينبغي أن يكون لدينا بشأن احتواء فترة محددة على القيمة الحقيقية. أما الإجراء الثاني فلا يتمتع بهذه الخاصية.

علاوة على ذلك، عندما ينتج عن الإجراء الأول فترة زمنية قصيرة جدًا، فهذا يشير إلى أن${\displaystyle X_{1},X_{2}}$تكون القيم متقاربة جدًا، وبالتالي لا توفر سوى معلومات في نقطة بيانات واحدة. ومع ذلك، فإن الفترة الأولى تستبعد تقريبًا جميع القيم المعقولة للمعامل نظرًا لضيقها. أما الإجراء الثاني فلا يتسم بهذه الخاصية.

الخاصيتان غير البديهيتين للإجراء الأول – تغطية بنسبة 100% عندما${\displaystyle X_{1},X_{2}}$متباعدتان للغاية وتغطيان ما يقارب 0% عندما${\displaystyle X_{1},X_{2}}$تتقارب القيم، مما يؤدي إلى تغطية بنسبة 50% في المتوسط. ومع ذلك، على الرغم من أن الإجراء الأول هو الأمثل، فإن فتراته لا تُقدم تقييمًا لدقة التقدير ولا لتقييم مستوى عدم اليقين الذي ينبغي مراعاته بشأن احتواء الفترة على القيمة الحقيقية.

يُستخدم هذا المثال للطعن في التفسيرات الساذجة لفترات الثقة. فإذا زُعم أن لإجراء الثقة خصائص تتجاوز التغطية الاسمية (مثل علاقته بالدقة، أو علاقته بالاستدلال البايزي)، فيجب إثبات هذه الخصائص؛ فهي لا تُستنتج من كون الإجراء إجراء ثقة.

إجراء الثقة لـ ω ²

اقترح ستيجر ^{[ 18 ]} عددًا من إجراءات الثقة لمقاييس حجم التأثير الشائعة في تحليل التباين . ويشير موري وآخرون ^{[ 10 ]} إلى أن العديد من إجراءات الثقة هذه، بما في ذلك إجراء ω² ^، تتميز بخاصية أنه كلما صغرت إحصائية F بشكل متزايد - مما يشير إلى عدم التوافق مع جميع القيم الممكنة لـ ω² ^- فإن فاصل الثقة يتقلص وقد يحتوي فقط على القيمة الوحيدة ^ω² = 0 ؛ أي أن فاصل الثقة ضيق للغاية (يحدث هذا عندما  ${\displaystyle p\geq 1-\alpha /2}$لـ${\displaystyle 100(1-\alpha )\%}$CI).

يتوافق هذا السلوك مع العلاقة بين إجراء الثقة واختبار الدلالة الإحصائية : فعندما تصبح ^قيمة F صغيرة جدًا بحيث تتقارب متوسطات المجموعات أكثر مما نتوقعه عشوائيًا، قد يشير اختبار الدلالة الإحصائية إلى رفض معظم أو كل قيم ω² . وبالتالي، ستكون الفترة ضيقة جدًا أو حتى فارغة (أو، وفقًا للاتفاقية التي اقترحها ستايجر، تحتوي على الصفر فقط). مع ذلك، لا يدل هذا على دقة تقدير ω² ^. بل على العكس، يشير إلى أن موثوقية النتائج نفسها قد تكون موضع شك. وهذا يتعارض مع التفسير الشائع لفترات الثقة التي تكشف عن دقة التقدير.

ظهرت طرق حساب فترات الثقة لنسبة ذات الحدين منذ عشرينيات القرن العشرين. ^{[ 19 ] [ 20 ]} وقد طُورت الأفكار الرئيسية لفترات الثقة بشكل عام في أوائل ثلاثينيات القرن العشرين، ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]} وقدم جيرزي نيمان أول شرح شامل وعام في عام 1937. ^{[ 7 ]}

وصف نيمان تطور الأفكار على النحو التالي (تم تغيير أرقام المراجع): ^{[ 23 ]}

بدأ عملي على فترات الثقة حوالي عام 1930 من سؤال بسيط طرحه واكلاف بيتكووسكي، الذي كان حينها طالبي في وارسو، والذي كان يُجري دراسة تجريبية في اقتصاديات الزراعة. وكان السؤال: كيف يمكن تحديد دقة معامل الانحدار المُقدَّر بطريقة غير جامدة؟

ظهرت دراسة بيتكووسكي ... مطبوعةً عام ١٩٣٢. ^{[ ٢٤ ]} وقد صادف أن فيشر نشر، قبل ذلك بقليل، بحثه الأول ^{[ ٢٥ ]} الذي تناول التوزيعات المرجعية والحجة المرجعية. والمثير للدهشة، أنه على الرغم من اختلاف الإطار المفاهيمي للحجة المرجعية تمامًا عن إطار فترات الثقة، إلا أن الحلول المحددة لعدة مسائل معينة قد تطابقت. وهكذا، في البحث الأول الذي قدمت فيه نظرية فترات الثقة، والذي نُشر عام ١٩٣٤، ^{[ ٢١ ]} أقررتُ بأسبقية فيشر في فكرة إمكانية تقدير الفترات دون الرجوع إلى نظرية بايز، وبكون الحل مستقلًا عن الاحتمالات مسبقًا . وفي الوقت نفسه، أشرتُ بشكل غير مباشر إلى أن منهج فيشر في معالجة المسألة ينطوي على سوء فهم بسيط.

في المجلات الطبية، تم الترويج لفترات الثقة في سبعينيات القرن العشرين، ولكن استخدامها على نطاق واسع لم ينتشر إلا في ثمانينيات القرن العشرين. ^{[ 26 ]} وبحلول عام 1988، كانت المجلات الطبية تشترط الإبلاغ عن فترات الثقة. ^{[ 27 ]}

• فترة الثقة للتوزيع ذي الحدين
• فترة الثقة لأُس توزيع قانون القوة
• فترة الثقة لمتوسط ​​التوزيع الأسي
• فترة الثقة لمتوسط ​​توزيع بواسون
• فترات الثقة لمتوسط ​​وتباين التوزيع الطبيعي ( موجود هنا أيضاً )
• فترة الثقة لمعاملات الانحدار الخطي البسيط
• فترة الثقة لفرق المتوسطات (استنادًا إلى بيانات من التوزيعات الطبيعية، دون افتراض تباينات متساوية)
• فترة الثقة للفرق بين نسبتين

• الحدود العليا لـ CL (فيزياء الجسيمات)
• قاعدة 68-95-99.7
• نطاق الثقة ، وهو تقدير فاصل لمنحنى
• توزيع الثقة - مفهوم في الإحصاء 
• منطقة الثقة – نسخة متعددة الأبعاد من فترة الثقة ، وهي تعميم ذو أبعاد أعلى 
• المصداقية (الإحصاء) - مقياس لقوة الاعتقاد يُستخدم في الإحصاء 
• الفترة الموثوقة ، بديل بايزي لتقدير الفترات
• فترة الثقة غير المعلمية القائمة على دالة التوزيع التراكمي – فئة من فترات الثقة حول الدوال الإحصائية للتوزيع 
• شريط الخطأ – تمثيلات بيانية لتباين البيانات 
• إحصاءات التقدير – منهج تحليل البيانات في الإحصاء التكراري 
• هامش الخطأ ، نصف عرض فاصل الثقة
• قيمة الاحتمالية (p-value) – دالة لنتائج العينة المرصودة 
• فترة التنبؤ ، وهي تقدير فاصل لمتغير عشوائي
• خطأ محتمل
• فترات ثقة قوية – مؤشرات إحصائية لانحراف العينة. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه. 

• برامج تعليمية لبرامج استكشاف فترات الثقة تعمل ضمن برنامج Excel
• حاسبات فترات الثقة لمعامل التحديد (R-Squares) ومعاملات الانحدار ونقاط التقاطع مع خط الانحدار
• وايسشتاين، إريك دبليو. "فترة الثقة" . عالم الرياضيات .
• موقع CAUSEweb.org يحتوي على العديد من الموارد لتدريس الإحصاء، بما في ذلك فترات الثقة.
• مقدمة تفاعلية لفترات الثقة
• فترات الثقة: مستوى الثقة، وحجم العينة، وهامش الخطأ بقلم إريك شولز، مشروع عروض وولفرام التوضيحية .
• فترات الثقة في الصحة العامة (مؤرشفة بتاريخ 9 أغسطس 2016 على موقع Wayback Machine) . وصف واضح مع أمثلة وإرشادات حول كيفية التعامل مع أحجام العينات الصغيرة أو المعدلات القريبة من الصفر.