Differentiable function

In mathematical analysis, a real or complexfunction of a single variable is differentiable if its derivative exists at each point in its domain. For real-valued functions of a real variable, the graph of a differentiable function has a non-verticaltangent line at each interior point in its domain. A differentiable function is locally approximable by a linear function at each interior point, and does not contain any break, angle, or cusp.

If ${\displaystyle x_{0}}$ is an interior point in the domain of a real function ${\displaystyle f}$, then ${\displaystyle f}$ is said to be differentiable at${\displaystyle x_{0}}$ if there exists an ${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$ such that for all ${\displaystyle \epsilon >0}$, there exists a ${\displaystyle \delta >0}$ such that for all ${\displaystyle x\in (x_{0}-\delta ,x_{0})\cup (x_{0},x_{0}+\delta )}$, ${\displaystyle {\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\in (L-\epsilon ,L+\epsilon )}$. In other words, the graph of ${\displaystyle f}$ has a non-vertical tangent line at the point ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$. ${\displaystyle f}$ is said to be differentiable on a subset ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$ if it is differentiable at every point in ${\displaystyle U}$. ${\displaystyle f}$ is said to be continuously differentiable if its derivative is also a continuous function over the domain of ${\textstyle f}$.

Continuous functions may be nowhere differentiable in their domain, such as the Weierstrass function. Taking successive antiderivatives of such a function allows one to obtain a function that is differentiable only a finite number of times, the finite number being any positive integer. Given a positive integer ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle f}$ is said to be of class ${\displaystyle C^{k}}$ if its first ${\displaystyle k}$ derivatives ${\textstyle f^{\prime },f^{\prime \prime },\ldots ,f^{(k)}}$ exist and are continuous over the domain of ${\displaystyle f}$.

For a multivariable function, as shown here, the differentiability of it is something more complex than the existence of the partial derivatives of it. However, the essence is the same; a function that is locally approximable by a linear map at ${\displaystyle \mathbf {X_{0}} }$ is said to be differentiable at this point.

A function ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$, defined on an open set ${\textstyle U\subset \mathbb {R} }$, is said to be differentiable at ${\displaystyle a\in U}$ if the derivative

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{xa}}}$

exists. This implies that the function is continuous at a.

This function f is said to be differentiable on U if it is differentiable at every point of U. In this case, the derivative of f is thus a function from U into ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

الدالة المتصلة ليست بالضرورة قابلة للتفاضل، ولكن الدالة القابلة للتفاضل تكون بالضرورة متصلة (عند كل نقطة تكون عندها قابلة للتفاضل) كما هو موضح أدناه (في قسم قابلية التفاضل والاستمرارية ). يُقال إن الدالة قابلة للتفاضل باستمرار إذا كانت مشتقتها دالة متصلة أيضًا؛ وتوجد دوال قابلة للتفاضل ولكنها ليست قابلة للتفاضل باستمرار (يُعطى مثال في قسم فئات قابلية التفاضل ).

إذا كانت الدالة f قابلة للاشتقاق عند النقطة x₀ _، فإنها يجب أن تكون متصلة عند x₀ أيضًا . وبالتحديد، أي دالة قابلة للاشتقاق يجب أن تكون متصلة عند كل نقطة في مجال تعريفها. لكن العكس غير صحيح : فالدالة المتصلة ليست _{بالضرورة} قابلة للاشتقاق. على سبيل المثال، قد تكون الدالة التي تحتوي على انحناء أو نقطة انعطاف أو مماس رأسي متصلة، ولكنها غير قابلة للاشتقاق عند موضع الشذوذ.

معظم الدوال التي تظهر في الواقع لها مشتقات عند جميع النقاط أو عند كل نقطة تقريبًا. مع ذلك، تنص إحدى نتائج ستيفان باناخ على أن مجموعة الدوال التي لها مشتقة عند نقطة ما هي مجموعة ضئيلة في فضاء جميع الدوال المتصلة. ^{[ 1 ]} بعبارة أخرى، هذا يعني أن الدوال القابلة للتفاضل شاذة جدًا بين الدوال المتصلة. أول مثال معروف لدالة متصلة في كل مكان ولكنها غير قابلة للتفاضل في أي مكان هو دالة فايرشتراس .

وظيفة${\textstyle f}$يُقال إن الدالة قابلة للتفاضل باستمرار إذا كانت المشتقة${\textstyle f^{\prime }(x)}$موجودة وهي دالة متصلة بحد ذاتها. على الرغم من أن مشتقة الدالة القابلة للتفاضل لا تحتوي أبدًا على انقطاع قفزي ، إلا أنه من الممكن أن تحتوي المشتقة على انقطاع جوهري . على سبيل المثال، الدالة $${\displaystyle f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{ if }}x\neq 0\\0&{\text{ if }}x=0\end{cases}}}$$ قابلة للتفاضل عند الصفر، لأن $${\displaystyle f'(0)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left({\frac {\varepsilon ^{2}\sin(1/\varepsilon )-0}{\varepsilon }}\right)=0}$$ موجود. ومع ذلك، بالنسبة لـ${\displaystyle x\neq 0,}$تشير قواعد التمايز إلى$${\displaystyle f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)\;,}$$ وهو أمر لا حدود له كما${\displaystyle x\to 0.}$وهكذا، يُظهر هذا المثال وجود دالة قابلة للتفاضل ولكنها غير متصلة التفاضل (أي أن مشتقتها ليست دالة متصلة). ومع ذلك، تنص نظرية داربو على أن مشتقة أي دالة تحقق نتيجة نظرية القيمة المتوسطة .

وبالمثل، يُقال إن الدوال المتصلة تنتمي إلى فئة${\displaystyle C^{0},}$يُقال أحيانًا أن الدوال القابلة للتفاضل باستمرار تنتمي إلى فئة${\displaystyle C^{1}}$الدالة من فئة${\displaystyle C^{2}}$إذا كانت المشتقة الأولى والثانية للدالة موجودتين ومتصلتين. وبشكل أعم، يُقال إن الدالة من فئة${\displaystyle C^{k}}$إذا كان الأول${\displaystyle k}$المشتقات${\textstyle f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)}$جميعها موجودة ومتصلة. إذا كانت المشتقات${\displaystyle f^{(n)}}$موجودة لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة${\textstyle n,}$الدالة سلسة أو ما يعادلها، من فئة${\displaystyle C^{\infty }.}$

يُقال إن دالة لعدة متغيرات حقيقية f : R ^m → R ⁿ قابلة للتفاضل عند نقطة x ₀ إذا وُجد تطبيق خطي M : R ^m → R ^{n [ ملاحظة 1 ]} بحيث

$${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\|\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {M} \mathbf {(h)} \|_{\mathbf {R} ^{n}}}{\|\mathbf {h} \|_{\mathbf {R} ^{m}}}}=0,}$$

حيث || v || هو معيار المتجه v . إذا كانت الدالة قابلة للتفاضل عند x₀ _، فإن جميع المشتقات الجزئية موجودة عند _{x₀، ويُعطى التحويل الخطي M بالعلاقة Jf ⋅ h، حيث Jf هي مصفوفة جاكوبي للدالة f عند x₀} ( _مصفوفة n × m في _هذه الحالة ) ، مضروبة من اليسار في متجه h في Rᵐ . _ويُقدم مفهوم مشابه للمشتقة في الأبعاد الأعلى بواسطة مبرهنة الزيادة الأساسية ^.

_{إذا كانت} جميع المشتقات الجزئية لدالة ما موجودة في جوار نقطة x₀ ومتصلة عند تلك النقطة [ملاحظة 2]، فإن الدالة قابلة للتفاضل عند تلك النقطة x₀؛ [ ملاحظة 3 ] ^{إن وجود} _{المشتقات} ^{الجزئية} ( أو حتى ^{جميع المشتقات} _{الاتجاهية} ⁾ لا يضمن أن الدالة قابلة للتفاضل عند نقطة ^ما . على سبيل المثال، الدالة f : R² → R المعرفة بـ

$${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}x&{\text{if }}y\neq x^{2}\\0&{\text{if }}y=x^{2}\end{cases}}}$$

الدالة غير قابلة للتفاضل عند النقطة (0, 0)، بينما توجد جميع المشتقات الجزئية والمشتقات الاتجاهية عند هذه النقطة. أما بالنسبة للدالة المتصلة، فإن

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}y^{3}/(x^{2}+y^{2})&{\text{if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}}$

لا يمكن اشتقاقها عند (0، 0) ، بينما مرة أخرى، جميع المشتقات الجزئية والمشتقات الاتجاهية موجودة.

في التحليل المركب ، يُعرَّف الاشتقاق المركب باستخدام نفس تعريف الدوال الحقيقية ذات المتغير الواحد. وهذا مسموح به لأن العدد المركب (يُعبَّر عنه عادةً بـ${\textstyle z=x+iy}$يمكن قسمة ) على عدد مركب. لذا، فإن الدالة${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$يقال إنها قابلة للتفاضل عند${\textstyle x=a}$متى

$${\displaystyle f'(a)=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$$

لا يوجد هذا الحد إلا إذا كان الحد نفسه بغض النظر عن اختيار اتجاه الاقتراب.${\displaystyle a}$على الرغم من أن هذا التعريف يبدو مشابهاً لتعريف قابلية اشتقاق الدوال الحقيقية ذات المتغير الواحد، إلا أنه شرط أكثر تقييداً. الدالة${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$وهي قابلة للتفاضل المركب عند نقطة${\textstyle x=a}$، قابلة للتفاضل تلقائيًا عند تلك النقطة عند النظر إليها كدالة${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$(قابلة للتفاضل الحقيقي). ^{[ ملاحظة 4 ]} وذلك لأن قابلية التفاضل المركب ^{[ ملاحظة 5 ]} تعني أن

$${\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {\|f(a+h)-f(a)-f'(a)h\|}{\|h\|}}=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|}{|h|}}=0,}$$

أين${\displaystyle f'(a)h}$هي خريطة خطية${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {h} )}$في تعريف قابلية التفاضل للفضاءات ذات الأبعاد الأعلى ، يتم استخدام معيار القيمة المطلقة . ومع ذلك، فإن الدالة${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$قد لا تكون الدالة القابلة للتفاضل كدالة متعددة المتغيرات قابلة للتفاضل المركب. على سبيل المثال، باستخدام${\textstyle z=x+iy}$،${\textstyle f(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}}$تصبح دالة حقيقية ذات متغيرين${\displaystyle f(x,y)=x}$هذه الدالة قابلة للتفاضل عند كل نقطة. ومع ذلك، فهي غير قابلة للتفاضل المركب عند أي نقطة لأن النهاية${\textstyle f'(z)=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {h+{\bar {h}}}{2h}}}$تعطي قيمًا مختلفة لطرق مختلفة للوصول إلى الصفر. على سبيل المثال، إذا${\textstyle h}$يسير على طول المحور الحقيقي، لذا${\textstyle h=x}$ثم${\textstyle f'(z)=\lim _{x\to 0}{\frac {2x}{2x}}=1}$بينما إذا${\displaystyle h}$يسير على طول المحور التخيلي، لذا${\textstyle h=iy}$ثم${\textstyle f'(z)=\lim _{y\to 0}{\frac {0}{2iy}}=0}$.

أي دالة قابلة للتفاضل المركب في جوار نقطة ما تُسمى دالة تحليلية عند تلك النقطة. هذه الدالة قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية، وهي في الواقع تحليلية عند تلك النقطة. والعكس صحيح أيضاً، لذا فإن كون الدالة تحليلية يكافئ كونها تحليلية في التحليل المركب .

إذا كانت M متعددة شعب قابلة للتفاضل ، يُقال إن الدالة f ذات القيم الحقيقية أو المركبة على M قابلة للتفاضل عند النقطة p إذا كانت قابلة للتفاضل بالنسبة إلى مخطط إحداثيات معين (أو أي مخطط إحداثيات) مُعرَّف حول p . وإذا كانت M و N متعددات شعب قابلة للتفاضل، يُقال إن الدالة f : M → N قابلة للتفاضل عند النقطة p إذا كانت قابلة للتفاضل بالنسبة إلى مخطط إحداثيات معين (أو أي مخطط إحداثيات) مُعرَّف حول p و f ( p ).   

• تعميمات المشتقة
• شبه التفاضلية
• البرمجة التفاضلية