القرار الأمثل

القرار الأمثل هو القرار الذي يؤدي إلى نتيجة جيدة على الأقل، سواء كانت معروفة أو متوقعة، مثل جميع خيارات القرار الأخرى المتاحة. وهو مفهوم مهم في نظرية القرار . ولمقارنة نتائج القرارات المختلفة، يُخصص عادةً قيمة منفعة لكل منها.

إذا كان هناك شكٌّ حول النتيجة، ولكن مع معرفة توزيع هذا الشك، فإن القرار الأمثل ، وفقًا لمسلمات فون نيومان-مورغنشتيرن، يُعظِّم المنفعة المتوقعة (وهي متوسط ​​مرجَّح احتماليًا للمنفعة على جميع النتائج الممكنة للقرار). أحيانًا، يُنظر في المسألة المكافئة المتمثلة في تقليل القيمة المتوقعة للخسارة ، حيث تكون الخسارة (-1) مضروبة في المنفعة. وثمة مسألة مكافئة أخرى هي تقليل الندم المتوقع .

إن "المنفعة" ليست سوى مصطلح اعتباطي لتحديد مدى استحسان نتيجة قرار معين، ولا ترتبط بالضرورة بـ "الفائدة". على سبيل المثال، قد يكون من الأفضل لشخص ما شراء سيارة رياضية بدلاً من سيارة ستيشن واغن، إذا كانت النتيجة من حيث معيار آخر (مثل التأثير على الصورة الشخصية) أكثر استحسانًا، حتى مع الأخذ في الاعتبار التكلفة الأعلى وقلة تنوع استخدامات السيارة الرياضية.

إن مشكلة إيجاد القرار الأمثل هي مشكلة تحسين رياضي . عملياً، قليلون هم من يتحققون من أن قراراتهم مثالية، بل يستخدمون بدلاً من ذلك أساليب استدلالية وقواعد عامة لاتخاذ قرارات "جيدة بما يكفي" - أي أنهم يكتفون بما هو مقبول .

يمكن استخدام نهج أكثر رسمية عندما يكون القرار مهمًا بما يكفي لتحفيز الوقت اللازم لتحليله، أو عندما يكون معقدًا للغاية بحيث لا يمكن حله بنهج بديهي أبسط، مثل العديد من خيارات القرار المتاحة وعلاقة القرار بالنتيجة المعقدة .

كل قرار${\displaystyle d}$في مجموعة${\displaystyle D}$سيؤدي توفر خيارات القرار إلى نتيجة${\displaystyle o=f(d)}$تشكل جميع النتائج الممكنة المجموعة${\displaystyle O}$تخصيص أداة مساعدة${\displaystyle U_{O}(o)}$لكل نتيجة، يمكننا تحديد فائدة قرار معين${\displaystyle d}$مثل

${\displaystyle U_{D}(d)\ =\ U_{O}(f(d)).\,}$

يمكننا بعد ذلك تحديد القرار الأمثل${\displaystyle d_{\mathrm {opt} }}$باعتبارها واحدة تحقق أقصى قدر من${\displaystyle U_{D}(d)}$ :

${\displaystyle d_{\mathrm {opt} }=\arg \max \limits _{d\in D}U_{D}(d).\,}$

وبالتالي، يمكن تقسيم حل المشكلة إلى ثلاث خطوات:

1. التنبؤ بالنتيجة${\displaystyle o}$لكل قرار${\displaystyle d;}$
2. تخصيص منفعة${\displaystyle U_{O}(o)}$لكل نتيجة${\displaystyle o;}$
3. إيجاد القرار${\displaystyle d}$الذي يحقق أقصى قدر${\displaystyle U_{D}(d).}$

في حال تعذر التنبؤ بيقين بنتيجة قرار معين، يصبح اتباع نهج احتمالي ضرورياً. ويمكن التعبير عنه بشكل عام كما يلي:

بناءً على قرار${\displaystyle d}$نعرف توزيع الاحتمالات للنتائج الممكنة الموصوفة بدالة كثافة الاحتمال الشرطي.${\displaystyle p(o|d)}$بالنظر إلى${\displaystyle U_{D}(d)}$كمتغير عشوائي (مشروط بـ${\displaystyle d}$يمكننا حساب المنفعة المتوقعة للقرار${\displaystyle d}$مثل

${\displaystyle {\text{E}}U_{D}(d)=\int {p(o|d)U(o)do}\,}$ ،

حيث يتم حساب التكامل على المجموعة بأكملها${\displaystyle O}$(ديغروت، ص 121).

قرار أمثل${\displaystyle d_{\mathrm {opt} }}$إذن، هو الذي يحقق أقصى قدر من${\displaystyle {\text{E}}U_{D}(d)}$كما هو موضح أعلاه:

${\displaystyle d_{\mathrm {opt} }=\arg \max \limits _{d\in D}{\text{E}}U_{D}(d).\,}$

ومن الأمثلة على ذلك مشكلة مونتي هول .

• صناعة القرار
• برامج اتخاذ القرار
• الاختيار الإجباري بين بديلين

• موريس ديغروت، القرارات الإحصائية المثلى . ماكجرو هيل. نيويورك. 1970. ISBN 0-07-016242-5.
• جيمس أو. بيرغر، نظرية القرار الإحصائي والتحليل البايزي . الطبعة الثانية. 1980. سلسلة سبرينغر في الإحصاء. ISBN 0-387-96098-8.