اختبار النتيجة

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 28 صور
الموسوعة الحرة

في الإحصاء ، يقيس اختبار الدرجة القيود المفروضة على المعلمات الإحصائية بناءً على تدرج دالة الاحتمال - المعروف بالدرجة - عند قيمة المعلمة المفترضة في ظل الفرضية الصفرية . وبشكل بديهي، إذا كان المُقدِّر المُقيد قريبًا من القيمة القصوى لدالة الاحتمال، فلا ينبغي أن تختلف الدرجة عن الصفر بأكثر من خطأ المعاينة . في حين أن توزيعات العينات المحدودة لاختبارات الدرجة غير معروفة عمومًا، إلا أنها تتبع توزيع χ² تقاربيًا في ظل الفرضية الصفرية، كما أثبت ذلك سي آر راو لأول مرة عام 1948 ، [ 1 ] وهي حقيقة يمكن استخدامها لتحديد الدلالة الإحصائية .

بما أن تعظيم الدالة الخاضعة لقيود المساواة يتم بسهولة أكبر باستخدام صيغة لاغرانج للمسألة، يمكن فهم اختبار النتيجة بشكل مكافئ على أنه اختبار لقيمة معاملات لاغرانج المرتبطة بالقيود، حيث، مرة أخرى، إذا كانت القيود غير ملزمة عند أقصى احتمال، فلا ينبغي أن يختلف متجه معاملات لاغرانج عن الصفر بأكثر من خطأ المعاينة. وقد أظهر إس. دي. سيلفي تكافؤ هذين النهجين لأول مرة في عام 1959، [ 2 ] مما أدى إلى تسمية اختبار معامل لاغرانج (LM) الذي أصبح أكثر شيوعًا، لا سيما في الاقتصاد القياسي، منذ ورقة بروش وباغان الشهيرة عام 1980. [ 3 ]

تتمثل الميزة الرئيسية لاختبار النتيجة مقارنةً باختبار والد واختبار نسبة الاحتمال في أن اختبار النتيجة لا يتطلب سوى حساب المُقدِّر المُقيد. [ 4 ] وهذا يجعل الاختبار ممكنًا عندما يكون تقدير الاحتمال الأقصى غير المُقيد نقطة حدودية في فضاء المعلمات . علاوة على ذلك، ولأن اختبار النتيجة لا يتطلب سوى تقدير دالة الاحتمال في ظل الفرضية الصفرية، فإنه أقل تحديدًا من اختبار نسبة الاحتمال فيما يتعلق بالفرضية البديلة. [ 5 ]

اختبار ذو معيار واحد

الإحصائية

يتركل{\displaystyle L}لتكن دالة الاحتمال التي تعتمد على معلمة أحادية المتغيرθ{\displaystyle \theta }ودعx{\displaystyle x}كن البيانات. النتيجةيو(θ){\displaystyle U(\theta )}يُعرَّف بأنه

يو(θ)=∂سجل⁡ل(θ|x)∂θ.{\displaystyle U(\theta )={\frac {\partial \log L(\theta \mid x)}{\partial \theta }}.}

معلومات فيشر هي [ 6 ]

أنا(θ)=-هـ⁡[∂2∂θ2سجل⁡و(X؛θ)|θ]،{\displaystyle I(\theta )=-\operatorname {E} \left[\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\log f(X;\theta )\,\right|\,\theta \right]\,,}

حيث ƒ هي دالة الكثافة الاحتمالية.

الإحصائية المراد اختبارهاح0:θ=θ0{\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}:\theta =\theta _{0}}يكون S(θ0)=يو(θ0)2أنا(θ0){\displaystyle S(\theta _{0})={\frac {U(\theta _{0})^{2}}{I(\theta _{0})}}}

والذي له توزيع تقاربي لـχ12{\displaystyle \chi _{1}^{2}}، متىح0{\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}}صحيح. على الرغم من تطابقها التقاربي، إلا أن حساب إحصائية LM باستخدام مقدر حاصل ضرب التدرج الخارجي لمصفوفة معلومات فيشر قد يؤدي إلى تحيز في العينات الصغيرة. [ 7 ]

ملاحظة حول الترميز

لاحظ أن بعض النصوص تستخدم تدوينًا بديلًا، حيث الإحصائيةS*(θ)=S(θ){\displaystyle S^{*}(\theta )={\sqrt {S(\theta )}}}يتم اختباره مقابل التوزيع الطبيعي. هذا النهج مكافئ ويعطي نتائج متطابقة.

باعتباره الاختبار الأكثر فعالية للكشف عن الانحرافات الصغيرة

(∂سجل⁡ل(θ|x)∂θ)θ=θ0≥ج{\displaystyle \left({\frac {\partial \log L(\theta \mid x)}{\partial \theta }}\right)_{\theta =\theta _{0}}\geq C}

أينل{\displaystyle L}هي دالة الاحتمالية ،θ0{\displaystyle \theta _{0}}تمثل قيمة المعلمة محل الاهتمام في ظل الفرضية الصفرية، وج{\displaystyle C}هي قيمة ثابتة تُحدد بناءً على حجم الاختبار المطلوب (أي احتمال الرفض).ح0{\displaystyle H_{0}}لوح0{\displaystyle H_{0}}صحيح؛ انظر خطأ من النوع الأول ).

يُعد اختبار النتيجة أقوى اختبار للكشف عن الانحرافات الطفيفة عنح0{\displaystyle H_{0}}للتأكد من ذلك، قم بإجراء الاختبار.θ=θ0{\displaystyle \theta =\theta _{0}}عكسθ=θ0+ح{\displaystyle \theta =\theta _{0}+h}بحسب مبرهنة نيمان-بيرسون ، فإن أقوى اختبار له الشكل التالي:

ل(θ0+ح|x)ل(θ0|x)≥ك؛{\displaystyle {\frac {L(\theta _{0}+h\mid x)}{L(\theta _{0}\mid x)}}\geq K;}

بأخذ اللوغاريتم لكلا الطرفين نحصل على

سجل⁡ل(θ0+ح|x)-سجل⁡ل(θ0|x)≥سجل⁡ك.{\displaystyle \log L(\theta _{0}+h\mid x)-\log L(\theta _{0}\mid x)\geq \log K.}

يأتي اختبار النتيجة بعد إجراء الاستبدال (باستخدام متسلسلة تايلور )

سجل⁡ل(θ0+ح|x)≈سجل⁡ل(θ0|x)+ح×(∂سجل⁡ل(θ|x)∂θ)θ=θ0{\displaystyle \log L(\theta _{0}+h\mid x)\approx \log L(\theta _{0}\mid x)+h\times \left({\frac {\partial \log L(\theta \mid x)}{\partial \theta }}\right)_{\theta =\theta _{0}}}

وتحديدج{\displaystyle C}أعلاه معسجل⁡(ك){\displaystyle \log(K)}.

العلاقة مع اختبارات الفرضيات الأخرى

إذا كانت الفرضية الصفرية صحيحة، فإن اختبار نسبة الاحتمال ، واختبار والد ، واختبار النتيجة، تُعدّ اختبارات متكافئة تقاربياً للفرضيات. [ 8 ] [ 9 ] عند اختبار النماذج المتداخلة ، تتقارب إحصائيات كل اختبار إلى توزيع كاي تربيع بدرجات حرية تساوي الفرق في درجات الحرية بين النموذجين. أما إذا كانت الفرضية الصفرية غير صحيحة، فإن الإحصائيات تتقارب إلى توزيع كاي تربيع غير مركزي بمعاملات لا مركزية قد تختلف.

معايير متعددة

يمكن اشتقاق اختبار درجة أكثر عمومية عندما يكون هناك أكثر من مُعامل واحد. لنفترض أنθ^0{\displaystyle {\widehat {\theta }}_{0}}هو تقدير الاحتمال الأقصى لـθ{\displaystyle \theta }في ظل الفرضية الصفريةح0{\displaystyle H_{0}}بينمايو{\displaystyle U}وأنا{\displaystyle I}يمثل كل من متجه الدرجات ومصفوفة معلومات فيشر على التوالي. ثم

يوتي(θ^0)أنا-1(θ^0)يو(θ^0)∼χك2{\displaystyle U^{T}({\widehat {\theta }}_{0})I^{-1}({\widehat {\theta }}_{0})U({\widehat {\theta }}_{0})\sim \chi _{k}^{2}}

تقاربياً تحتح0{\displaystyle H_{0}}، أينك{\displaystyle k}يمثل عدد القيود التي تفرضها الفرضية الصفرية و

يو(θ^0)=∂سجل⁡ل(θ^0|x)∂θ{\displaystyle U({\widehat {\theta }}_{0})={\frac {\partial \log L({\widehat {\theta }}_{0}\mid x)}{\partial \theta }}}

و

أنا(θ^0)=-هـ⁡(∂2سجل⁡ل(θ^0|x)∂θ∂θ′).{\displaystyle I({\widehat {\theta }}_{0})=-\operatorname {E} \left({\frac {\partial ^{2}\log L({\widehat {\theta }}_{0}\mid x)}{\partial \theta \,\partial \theta '}}\right).}

يمكن استخدام هذا للاختبارح0{\displaystyle H_{0}}.

تعتمد الصيغة الفعلية لإحصائية الاختبار على مقدر مصفوفة معلومات فيشر المستخدم. [ 10 ]

حالات خاصة

في كثير من الحالات، يتم اختزال إحصائية النتيجة إلى إحصائية أخرى شائعة الاستخدام. [ 11 ]

في الانحدار الخطي ، يمكن التعبير عن اختبار مضاعف لاغرانج كدالة لاختبار F. [ 12 ]

عندما تتبع البيانات التوزيع الطبيعي، فإن إحصائية النتيجة هي نفسها إحصائية t .

عندما تتكون البيانات من ملاحظات ثنائية، فإن إحصائية النتيجة هي نفسها إحصائية مربع كاي في اختبار مربع كاي لبيرسون .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ راو، سي. رادهاكريشنا (1948). "اختبارات العينات الكبيرة للفرضيات الإحصائية المتعلقة بعدة معلمات مع تطبيقات على مشاكل التقدير". وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج . 44 (1): 50-57 . Bibcode : 1948PCPS...44...50R . doi : 10.1017/S0305004100023987 .
  2. ↑ سيلفي، إس دي (1959). "اختبار مضاعف لاغرانج" . حوليات الإحصاء الرياضي . 30 (2): 389-407 . doi : 10.1214/aoms/1177706259 . JSTOR 2237089 . 
  3. ↑ برويش، تي إس ؛ باغان، إيه آر (1980). "اختبار مضاعف لاغرانج وتطبيقاته في تحديد النموذج في الاقتصاد القياسي". مراجعة الدراسات الاقتصادية . 47 (1): 239-253 . doi : 10.2307/2297111 . JSTOR 2297111 . 
  4. ↑ فارماير، لودفيج؛ كنيب، توماس؛ لانغ، ستيفان؛ ماركس، برايان (2013). الانحدار : النماذج والأساليب والتطبيقات . برلين: سبرينغر. ص 663-664 . ISBN   978-3-642-34332-2.
  5. ↑ كينيدي، بيتر (1998). دليل الاقتصاد القياسي ( الطبعة الرابعة). كامبريدج: مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ص 68. ISBN   0-262-11235-3.
  6. ↑ ليمان وكاسيلا، المعادلة (2.5.16).
  7. ↑ ديفيدسون، راسل؛ ماكينون، جيمس ج. (1983). "خصائص العينات الصغيرة للأشكال البديلة لاختبار مضاعف لاغرانج". رسائل اقتصادية . 12 ( 3-4 ): 269-275 . doi : 10.1016/0165-1765(83)90048-4 .
  8. ↑ إنجل، روبرت ف. (1983). "اختبارات والد، ونسبة الاحتمال، ومضاعف لاغرانج في الاقتصاد القياسي". في: إنتريليجاتور، إم دي؛ جريليشز، ز. (محرران). دليل الاقتصاد القياسي . المجلد الثاني. إلسيفير. الصفحات 796-801 . ISBN   978-0-444-86185-6.
  9. ^ بورزيكوفسكي، أندريه جاليكي، توماش (2013). نماذج التأثيرات المختلطة الخطية باستخدام R : نهج خطوة بخطوة نيويورك، نيويورك: سبرينغر. رقم ISBN  978-1-4614-3899-1.{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  10. ↑ تابوغا، ماركو. "محاضرات في نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي" . statlect.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 31 مايو 2022 .
  11. ↑ كوك، تي دي؛ ديميتس، دي إل، محرران. (2007). مقدمة في الأساليب الإحصائية للتجارب السريرية . تشابمان وهول. ص 296-297 . ISBN  978-1-58488-027-1.
  12. ↑ فانديل، والتر (1981). "اختبارات والد، ونسبة الاحتمال، ومضاعف لاغرانج كاختبار F". رسائل اقتصادية . 8 (4): 361-365 . doi : 10.1016/0165-1765(81)90026-4 .

للمزيد من القراءة

  • بوس، أ. (1982). "اختبارات نسبة الاحتمال، ووالد، ومضاعف لاغرانج: ملاحظة توضيحية". الإحصائي الأمريكي . 36 (3أ): 153-157 . doi : 10.1080/00031305.1982.10482817 .
  • جودفري، إل جي (1988). "اختبار مضاعف لاغرانج واختبار سوء التحديد  : تحليل موسع". اختبارات سوء التحديد في الاقتصاد القياسي . نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 69-99 . ISBN  0-521-26616-5.
  • ما، جون؛ نيلسون، تشارلز ر. (2016). "تفوق اختبار LM في فئة من النماذج الاقتصادية القياسية التي يكون فيها أداء اختبار والد ضعيفًا". المكونات غير المرصودة والاقتصاد القياسي للسلاسل الزمنية . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 310-330 . doi : 10.1093/acprof:oso/9780199683666.003.0014 . ISBN  978-0-19-968366-6.
  • راو، سي آر (2005). "اختبار الدرجات: مراجعة تاريخية وتطورات حديثة". التقدم في الترتيب والاختيار، والمقارنات المتعددة، والموثوقية . بوسطن: بيركهاوزر. ص 3-20 . ISBN  978-0-8176-3232-8.