إحصائية يو

في نظرية الإحصاء ، تُعرَّف إحصائية U بأنها متوسط ​​تطبيق دالة معينة على جميع الصفوف ذات الحجم الثابت. يرمز الحرف "U" إلى عدم التحيز. في الإحصاء الأساسي، تظهر إحصائيات U بشكل طبيعي عند إنتاج مُقدِّرات غير متحيزة ذات تباين أدنى .

تُتيح نظرية إحصاءات U اشتقاق مُقدِّر غير متحيز ذي تباين أدنى من كل مُقدِّر غير متحيز لمعلمة قابلة للتقدير (أو دالة إحصائية ) لفئات واسعة من التوزيعات الاحتمالية . ^{[ 1 ] [ 2 ]} المعلمة القابلة للتقدير هي دالة قابلة للقياس للتوزيع الاحتمالي التراكمي للمجتمع : على سبيل المثال، لكل توزيع احتمالي، يُعد الوسيط المجتمعي معلمة قابلة للتقدير. تنطبق نظرية إحصاءات U على فئات عامة من التوزيعات الاحتمالية.

تم التعرف على العديد من الإحصاءات التي استُنتجت في الأصل لعائلات بارامترية محددة كإحصاءات U للتوزيعات العامة. في الإحصاءات غير البارامترية ، تُستخدم نظرية إحصاءات U لتحديد الإجراءات الإحصائية (مثل المُقدِّرات والاختبارات) والمُقدِّرات المتعلقة بالتقارب الطبيعي والتباين (في العينات المحدودة) لهذه الكميات. ^{[ 3 ]} وقد استُخدمت هذه النظرية لدراسة إحصاءات أكثر عمومية، بالإضافة إلى العمليات العشوائية ، مثل الرسوم البيانية العشوائية . ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

لنفترض أن مسألة ما تتضمن متغيرات عشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع، وأن المطلوب هو تقدير معلمة معينة. ولنفترض أنه يمكن بناء تقدير بسيط غير متحيز بالاعتماد على عدد قليل من المشاهدات فقط؛ وهذا يُعرّف المُقدِّر الأساسي بناءً على عدد مُحدد من المشاهدات. على سبيل المثال، تُعدّ مشاهدة واحدة بحد ذاتها تقديرًا غير متحيز للمتوسط، ويمكن استخدام زوج من المشاهدات لاستنتاج تقدير غير متحيز للتباين. تُعرَّف إحصائية U المستندة إلى هذا المُقدِّر بأنها متوسط ​​(عبر جميع الاختيارات التوافقية ذات الحجم المُحدد من المجموعة الكاملة للمشاهدات) المُقدِّر الأساسي المُطبَّق على العينات الفرعية.

يقدم براناب ك. سين (1992) مراجعةً لورقة فاسيلي هوفدينغ (1948)، التي قدمت إحصاءات U وشرحت النظرية المتعلقة بها، ويوضح سين في هذا السياق أهمية إحصاءات U في النظرية الإحصائية. يقول سين: ^{[ 7 ]} "إن تأثير هوفدينغ (1948) هائل في الوقت الحاضر، ومن المرجح أن يستمر في السنوات القادمة". تجدر الإشارة إلى أن نظرية إحصاءات U لا تقتصر على ^{[ 8 ]} حالة المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع، أو على المتغيرات العشوائية العددية. ^{[ 9 ]}

يُعرَّف مصطلح U-statistic، الذي يعود إلى هوفدينغ (1948)، على النحو التالي.

يترك${\displaystyle K}$لتكن إما أعدادًا حقيقية أو مركبة، ولتكن${\displaystyle f\colon (K^{d})^{r}\to K}$كن${\displaystyle K}$دالة ذات قيم لـ${\displaystyle r}$${\displaystyle d}$متغيرات ذات أبعاد. لكل${\displaystyle n\geq r}$إحصائية U المرتبطة بها${\displaystyle f_{n}\colon (K^{d})^{n}\to K}$يُعرَّف بأنه متوسط ​​القيم${\displaystyle f(x_{i_{1}},\dotsc ,x_{i_{r}})}$على المجموعة${\displaystyle I_{r,n}}$ل${\displaystyle r}$- صفوف من المؤشرات من${\displaystyle \{1,2,\dotsc ,n\}}$مع إدخالات مميزة. رسميًا،

${\displaystyle f_{n}(x_{1},\dotsc ,x_{n})={\frac {1}{\prod _{i=0}^{r-1}(ni)}}\sum _{(i_{1},\dotsc ,i_{r})\in I_{r,n}}f(x_{i_{1}},\dotsc ,x_{i_{r}})}$.

على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle f}$إذا كانت متناظرة، فإن ما سبق يُبسط إلى

${\displaystyle f_{n}(x_{1},\dotsc ,x_{n})={\frac {1}{\binom {n}{r}}}\sum _{(i_{1},\dotsc ,i_{r})\in J_{r,n}}f(x_{i_{1}},\dotsc ,x_{i_{r}})}$،

أين الآن؟${\displaystyle J_{r,n}}$يشير إلى المجموعة الفرعية من${\displaystyle I_{r,n}}$من مجموعات متزايدة .

كل إحصائية U${\displaystyle f_{n}}$هي بالضرورة دالة متناظرة .

تعتبر إحصائيات U طبيعية جدًا في العمل الإحصائي، لا سيما في سياق هوفدينغ للمتغيرات العشوائية المستقلة والموزعة بشكل متطابق ، أو بشكل عام للتسلسلات القابلة للتبادل ، كما هو الحال في أخذ العينات العشوائية البسيطة من مجتمع محدود، حيث تسمى الخاصية المميزة "الوراثة في المتوسط".

تعتبر إحصائيات فيشر k وإحصائيات توكي متعددة الحدود أمثلة على إحصائيات U متعددة الحدود المتجانسة (فيشر، 1929؛ توكي، 1950).

بالنسبة لعينة عشوائية بسيطة φ بحجم n مأخوذة من مجتمع بحجم N ، فإن إحصائية U لها الخاصية التي يكون فيها المتوسط ​​على قيم العينة ƒ _n ( x φ ) مساوياً تماماً لقيمة المجتمع ƒ _N ( x ).    

بعض الأمثلة: إذا${\displaystyle f(x)=x}$إحصائية U${\displaystyle f_{n}(x)={\bar {x}}_{n}=(x_{1}+\cdots +x_{n})/n}$هو متوسط ​​العينة.

لو${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=|x_{1}-x_{2}|}$إحصائية U هي متوسط ​​الانحراف الزوجي ${\displaystyle f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=2/(n(n-1))\sum _{i>j}|x_{i}-x_{j}|}$، مُعرَّف لـ${\displaystyle n\geq 2}$.

لو${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=(x_{1}-x_{2})^{2}/2}$إحصائية U هي تباين العينة${\displaystyle f_{n}(x)=\sum (x_{i}-{\bar {x}}_{n})^{2}/(n-1)}$ مع المقسوم عليه${\displaystyle n-1}$، مُعرَّف لـ${\displaystyle n\geq 2}$.

الثالث${\displaystyle k}$-إحصائية${\displaystyle k_{3,n}(x)=\sum (x_{i}-{\bar {x}}_{n})^{3}n/((n-1)(n-2))}$، معامل التواء العينة المحدد لـ${\displaystyle n\geq 3}$، هو إحصاء من نوع U.

تُسلط الحالة التالية الضوء على نقطة مهمة. إذا${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})}$هو الوسيط لثلاث قيم،${\displaystyle f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ليس الوسيط لـ${\displaystyle n}$القيم. مع ذلك، فهو تقدير غير متحيز ذو تباين أدنى للقيمة المتوقعة لوسيط ثلاث قيم، وليس لوسيط المجتمع. تلعب تقديرات مماثلة دورًا محوريًا عند تقدير معلمات مجموعة من التوزيعات الاحتمالية باستخدام العزوم المرجحة بالاحتمال أو العزوم- L.

• إحصائية V

• بوروفسكيخ، يو. ف. (1996).إحصائيات U في فضاءات باناخ . أوتريخت: VSP. الصفحات:  xii+420. ISBN 90-6764-200-2MR 1419498 .​ 
• كوكس، د. ر.، وهينكلي، د. ف. (1974) . الإحصاء النظري . تشابمان وهول. ISBN 0-412-12420-3
• فيشر، آر إيه (1929) العزوم وعزوم الضرب لتوزيعات المعاينة. وقائع الجمعية الرياضية في لندن ، 2، 30: 199-238 .
• هوفدينغ، دبليو. (1948) فئة من الإحصاءات ذات التوزيعات الطبيعية التقاربية. حوليات الإحصاء ، 19: 293-325. (أعيد طبعه جزئيًا في: كوتز، إس.، جونسون، إن إل (1992) اختراقات في الإحصاء ، المجلد الأول، الصفحات 308-334. سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-94037-5)
• كوروليوك، ف.س.؛ بوروفسكيتش، يو. ف. (1994). نظرية إحصاءات U. الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد  273 (ترجمة بي. في. مالشيف ودي. في. مالشيف عن  الطبعة الروسية الأصلية لعام 1989). دوردريخت: مجموعة كلوير للنشر الأكاديمي. الصفحات:  552+x. ISBN 0-7923-2608-3MR 1472486​​ 
• لي، أ. ج. (1990) إحصاءات يو: النظرية والتطبيق . مارسيل ديكر، نيويورك. 320 صفحة، رقم ISBN 0-8247-8253-4
• سين، ب.ك. (1992). مقدمة في هوفدينغ (1948). فئة من الإحصاءات ذات التوزيع الطبيعي التقاربي. في: كوتز، س.، جونسون، ن.ل.، اختراقات في الإحصاء ، المجلد الأول، الصفحات 299-307. سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-94037-5.
• سيرفلينج، روبرت ج. (1980). نظريات التقريب في الإحصاء الرياضي . نيويورك: جون وايلي وأولاده. ISBN 0-471-02403-1.
• توكي، جيه دبليو (1950). "بعض أساليب أخذ العينات المبسطة". مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية . 45 (252): 501-519 . doi : 10.1080/01621459.1950.10501142 .
• هالموس، ب. (1946). "نظرية التقدير غير المتحيز" . حوليات الإحصاء الرياضي . 1 (17): 34-43 . doi : 10.1214/aoms/1177731020 .