الانحدار غير الخطي

في الإحصاء، يُعدّ الانحدار غير الخطي شكلاً من أشكال تحليل الانحدار، حيث تُنمذج البيانات الرصدية بدالة تمثل توليفة غير خطية من معلمات النموذج وتعتمد على متغير مستقل واحد أو أكثر. ويتمّ ملاءمة البيانات باستخدام طريقة التقريبات المتتالية (التكرارات).

في الانحدار غير الخطي، يكون النموذج الإحصائي على الشكل التالي:

$${\displaystyle \mathbf {y} \sim f(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\beta }})}$$

يربط متجهًا من المتغيرات المستقلة ،${\displaystyle \mathbf {x} }$، والمتغيرات التابعة المرتبطة بها والتي تم رصدها ،${\displaystyle \mathbf {y} }$الوظيفة${\displaystyle f}$غير خطي في مكونات متجه المعاملات${\displaystyle \beta }$ولكنها تعسفية في غير ذلك. على سبيل المثال، يحتوي نموذج مايكليس-مينتين لحركية الإنزيم على معلَمَين ومتغير مستقل واحد، يرتبطان بـ${\displaystyle f}$بواسطة: ^{[ أ ]}

$${\displaystyle f(x,{\boldsymbol {\beta }})={\frac {\beta _{1}x}{\beta _{2}+x}}}$$

هذه الدالة، وهي عبارة عن قطع زائد مستطيل، غير خطية لأنها لا يمكن التعبير عنها كتركيبة خطية من الاثنين${\displaystyle \beta }$س.

قد توجد أخطاء منهجية في المتغيرات المستقلة، لكن معالجتها تقع خارج نطاق تحليل الانحدار. وإذا لم تكن المتغيرات المستقلة خالية من الأخطاء، فهذا نموذج أخطاء في المتغيرات ، وهو أيضاً خارج نطاق هذا التحليل.

تشمل الأمثلة الأخرى للدوال غير الخطية الدوال الأسية ، والدوال اللوغاريتمية ، والدوال المثلثية ، ودوال القوى ، والدالة الغاوسية ، وتوزيعات لورنتز . يمكن تحويل بعض الدوال، مثل الدوال الأسية أو اللوغاريتمية، لتصبح خطية. عند تحويلها، يمكن إجراء الانحدار الخطي القياسي، ولكن يجب تطبيقه بحذر. انظر قسم "  الخطية"  وقسم "التحويل " أدناه لمزيد من التفاصيل. في علم الأحياء الدقيقة والتكنولوجيا الحيوية، يُستخدم الانحدار غير الخطي لنمذجة حركية نمو الميكروبات المعقدة. بينما يتبع النمو البسيط دوال أحادية المرحلة (مثل نموذجي جومبيرتز أو بولتزمان)، يُنمذج النمو متعدد المراحل (متعدد المراحل) باستخدام تركيبات خطية من هذه الدوال غير الخطية. يتطلب تقدير معلمات هذه النماذج المعقدة في كثير من الأحيان تقنيات انحدار قوية (مثل استخدام دالة خسارة لورنتزية للتخفيف من تأثير القيم الشاذة) وخوارزميات تحسين شاملة (مثل التطور التفاضلي مع L-BFGS-B ) لتجنب القيم الدنيا المحلية وضمان نتائج قابلة للتفسير بيولوجيًا. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

بشكل عام، لا توجد صيغة مغلقة للمعاملات الأنسب، كما هو الحال في الانحدار الخطي . عادةً ما تُستخدم خوارزميات التحسين العددي لتحديد هذه المعاملات. ومرة ​​أخرى، على عكس الانحدار الخطي، قد توجد العديد من القيم الصغرى المحلية للدالة المراد تحسينها، بل قد ينتج عن القيمة الصغرى المطلقة تقدير متحيز . عمليًا، تُستخدم القيم المُقدَّرة للمعاملات، بالتزامن مع خوارزمية التحسين، لمحاولة إيجاد القيمة الصغرى المطلقة لمجموع المربعات.

للحصول على تفاصيل تتعلق بنمذجة البيانات غير الخطية، انظر المربعات الصغرى والمربعات الصغرى غير الخطية .

الافتراض الأساسي وراء هذا الإجراء هو أنه يمكن تقريب النموذج بواسطة دالة خطية، وتحديداً متسلسلة تايلور من الدرجة الأولى :

$${\displaystyle f(x_{i},{\boldsymbol {\beta }})\approx f(x_{i},0)+\sum _{j}J_{ij}\beta _{j}}$$

أين${\displaystyle J_{ij}={\frac {\partial f(x_{i},{\boldsymbol {\beta }})}{\partial \beta _{j}}}}$هي عناصر مصفوفة جاكوبي. ويترتب على ذلك أن تقديرات المربعات الصغرى تُعطى بواسطة

$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\beta }}}\approx \mathbf {(J^{T}J)^{-1}J^{T}y} ,}$$ قارن طريقة المربعات الصغرى المعممة بمصفوفة التباين المتناسبة مع مصفوفة الوحدة. تُحسب إحصائيات الانحدار غير الخطي وتُستخدم كما في إحصائيات الانحدار الخطي، ولكن باستخدام J بدلاً من X في الصيغ.

عندما تكون الوظيفة${\displaystyle f(x_{i},{\boldsymbol {\beta }})}$لا تُعرف هذه القيمة تحليليًا، ولكن يجب تقريبها خطيًا من${\displaystyle n+1}$أو أكثر من القيم المعروفة (حيث${\displaystyle n}$(عدد المقدرات)، يتم الحصول على أفضل مقدر مباشرة من ملاءمة القالب الخطي كما هو ^{[ 3 ]}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\beta}}}=(\mathbf {Y{\tilde {M}}} )^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Omega }}^{-1}\mathbf {Y{\tilde {M}}} )^{-1}(\mathbf {Y{\tilde {M}}} )^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {d} -\mathbf {Y{\bar {m}})} }$$(انظر أيضًا المربعات الصغرى الخطية ).

يُدخل التقريب الخطي تحيزاً في الإحصاءات. لذلك، يلزم توخي مزيد من الحذر عند تفسير الإحصاءات المستمدة من نموذج غير خطي.

يُفترض عادةً أن منحنى المطابقة الأمثل هو المنحنى الذي يُقلل مجموع مربعات البواقي . هذه هي طريقة المربعات الصغرى العادية (OLS). مع ذلك، في الحالات التي لا يكون فيها تباين المتغير التابع ثابتًا، أو في حال وجود قيم متطرفة، يمكن تقليل مجموع مربعات البواقي الموزونة؛ انظر المربعات الصغرى الموزونة . من الناحية المثالية، يجب أن يكون كل وزن مساويًا لمقلوب تباين المشاهدة، أو لمقلوب المتغير التابع مرفوعًا إلى قوة معينة في حالة القيم المتطرفة، ^{[ 4 ]} ولكن يمكن إعادة حساب الأوزان في كل تكرار، في خوارزمية المربعات الصغرى الموزونة التكرارية.

• المربعات الصغرى غير الخطية
• ملاءمة المنحنيات
• النموذج الخطي المعمم
• الانحدار الموضعي
• منهجية نمذجة الاستجابة
• البرمجة الجينية
• برمجة متعددة التعبيرات
• ملاءمة القالب الخطي أو التربيعي

• بيثيا، آر إم؛ دوران، بي إس؛ بوليون، تي إل (1985). الأساليب الإحصائية للمهندسين والعلماء . نيويورك: مارسيل ديكر. ISBN 0-8247-7227-X.
• ميد، ن.؛ إسلام، ت. (1995). "فترات التنبؤ لتوقعات منحنى النمو". مجلة التنبؤ . 14 (5): 413-430 . doi : 10.1002/for.3980140502 .
• شيتكوفسكي، ك. (2002). تركيب البيانات في الأنظمة الديناميكية . بوسطن: كلوير. رقم ISBN 1402010796.
• سيبر، جي إيه إف؛ وايلد، سي جيه (1989). الانحدار غير الخطي . نيويورك: جون وايلي وأولاده. ISBN 0471617601.