تحليل العوامل

يحاول النموذج شرح مجموعة من${\displaystyle p}$الملاحظات في كل من${\displaystyle n}$الأفراد الذين يمتلكون مجموعة من${\displaystyle k}$العوامل المشتركة (${\displaystyle f_{i,j}}$) حيث يكون عدد العوامل لكل وحدة أقل من عدد المشاهدات لكل وحدة (${\displaystyle k<p}$). كل فرد لديه${\displaystyle k}$من عواملهم المشتركة، وترتبط هذه العوامل بالملاحظات عبر مصفوفة تحميل العوامل (${\displaystyle L\in \mathbb {R} ^{p\times k}}$) بالنسبة لملاحظة واحدة، وفقًا لـ

${\displaystyle x_{i,m}-\mu _{i}=l_{i,1}f_{1,m}+\dots +l_{i,k}f_{k,m}+\varepsilon _{i,m}}$

أين

• ${\displaystyle x_{i,m}}$قيمة${\displaystyle i}$الملاحظة رقم 1 لـ${\displaystyle m}$الفرد رقم 1،
• ${\displaystyle \mu _{i}}$هو متوسط ​​الملاحظات لـ${\displaystyle i}$الملاحظة،
• ${\displaystyle l_{i,j}}$التحميل لـ${\displaystyle i}$الملاحظة رقم 1 لـ${\displaystyle j}$العامل th،
• ${\displaystyle f_{j,m}}$قيمة${\displaystyle j}$العامل النوني من${\displaystyle m}$الفرد، و
• ${\displaystyle \varepsilon _{i,m}}$هو${\displaystyle (i,m)}$حد الخطأ العشوائي غير المرصود ذو المتوسط ​​الصفري والتباين المحدود.

في تدوين المصفوفات

${\displaystyle X-\mathrm {M} =LF+\varepsilon }$

حيث مصفوفة الملاحظة${\displaystyle X\in \mathbb {R} ^{p\times n}}$مصفوفة التحميل${\displaystyle L\in \mathbb {R} ^{p\times k}}$مصفوفة العوامل${\displaystyle F\in \mathbb {R} ^{k\times n}}$مصفوفة حد الخطأ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} ^{p\times n}}$والمصفوفة المتوسطة${\displaystyle \mathrm {M} \in \mathbb {R} ^{p\times n}}$حيث أن${\displaystyle (i,m)}$العنصر هو ببساطة${\displaystyle \mathrm {M} _{i,m}=\mu _{i}}$.

سنفرض أيضًا الافتراضات التالية على${\displaystyle F}$:

1. ${\displaystyle F}$و${\displaystyle \varepsilon }$مستقلون.
2. ${\displaystyle \mathrm {E} (F)=0}$؛ أين${\displaystyle \mathrm {E} }$ هو التوقع
3. ${\displaystyle \mathrm {Cov} (F)=I}$أين${\displaystyle \mathrm {Cov} }$ هي مصفوفة التغاير ، للتأكد من عدم وجود ارتباط بين العوامل، و${\displaystyle I}$هي مصفوفة الوحدة .

يفترض${\displaystyle \mathrm {Cov} (X-\mathrm {M} )=\Sigma }$. ثم

${\displaystyle \Sigma =\mathrm {Cov} (X-\mathrm {M} )=\mathrm {Cov} (LF+\varepsilon ),\,}$

وبالتالي، من الشرطين 1 و2 المفروضين على${\displaystyle F}$فوق،${\displaystyle E[LF]=LE[F]=0}$و${\displaystyle \mathrm {Cov} (LF+\epsilon )=\mathrm {Cov} (LF)+\mathrm {Cov} (\epsilon )}$، إعطاء

${\displaystyle \Sigma =L\mathrm {Cov} (F)L^{T}+\mathrm {Cov} (\varepsilon ),\,}$

أو، ضبط${\displaystyle \Psi$ :=\mathrm {Cov} (\varepsilon )} ,

${\displaystyle \Sigma =LL^{T}+\Psi .\,}$

لأي مصفوفة متعامدة${\displaystyle Q}$إذا قمنا بتحديد${\displaystyle L^{\prime }=\ LQ}$و${\displaystyle F^{\prime }=Q^{T}F}$لا تزال معايير كون العوامل ومعاملات التحميل قائمة. وبالتالي، فإن مجموعة العوامل ومعاملات التحميل لا تكون فريدة إلا بعد إجراء تحويل متعامد .

لنفترض أن عالم نفس لديه فرضية مفادها وجود نوعين من الذكاء ، "الذكاء اللفظي" و"الذكاء الرياضي"، وكلاهما غير قابل للملاحظة المباشرة. ^{[ ملاحظة 1 ]} يتم البحث عن دليل على صحة هذه الفرضية من خلال نتائج امتحانات عشرة تخصصات أكاديمية مختلفة، تضم كل منها ألف طالب. إذا تم اختيار كل طالب عشوائيًا من مجتمع كبير ، فإن نتائج كل طالب العشرة تُعتبر متغيرات عشوائية. قد تنص فرضية عالم النفس على أنه بالنسبة لكل تخصص من التخصصات الأكاديمية العشرة، فإن متوسط ​​الدرجة لمجموعة جميع الطلاب الذين يشتركون في زوج من القيم المشتركة للذكاء اللفظي والرياضي يساوي قيمة ثابتة مضروبة في مستوى ذكائهم اللفظي، مضافًا إليها قيمة ثابتة أخرى مضروبة في مستوى ذكائهم الرياضي، أي أنها توليفة خطية من هذين "العاملين". تفترض الفرضية أن الأرقام الخاصة بمادة معينة، والتي يُضرب بها نوعا الذكاء للحصول على الدرجة المتوقعة، تكون متطابقة لجميع أزواج مستويات الذكاء، وتُسمى "معامل التحميل" لهذه المادة. على سبيل المثال، قد تفترض الفرضية أن متوسط ​​كفاءة الطالب المتوقع في مجال علم الفلك هو

{10 × الذكاء اللفظي للطالب} + {6 × الذكاء الرياضي للطالب}.

يمثل الرقمان 10 و6 معاملات التحميل المرتبطة بعلم الفلك. وقد تختلف معاملات التحميل للمواد الأكاديمية الأخرى.

قد يختلف مستوى قدرات طالبين يُفترض أنهما متطابقان في الذكاء اللفظي والرياضي في علم الفلك، وذلك لأن القدرات الفردية تختلف عن متوسط ​​القدرات (المتوقع أعلاه)، بالإضافة إلى خطأ القياس نفسه. تُشكل هذه الاختلافات مجتمعةً ما يُسمى "الخطأ" - وهو مصطلح إحصائي يعني مقدار اختلاف الفرد، كما تم قياسه، عما هو متوسط ​​أو متوقع بناءً على مستويات ذكائه (انظر الأخطاء والبواقي في الإحصاء ).

تتضمن البيانات القابلة للملاحظة التي تُستخدم في تحليل العوامل عشر درجات لكل طالب من الطلاب الألف، أي ما مجموعه عشرة آلاف درجة. ويجب استنتاج معاملات التحميل ومستويات نوعي الذكاء لكل طالب من هذه البيانات.

فيما يلي، سيتم الإشارة إلى المصفوفات بواسطة متغيرات مفهرسة. وسيتم الإشارة إلى فهارس "الموضوع الأكاديمي" باستخدام الأحرف.${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$و${\displaystyle c}$، بقيم تتراوح من${\displaystyle 1}$ل${\displaystyle p}$وهو ما يساوي${\displaystyle 10}$في المثال أعلاه، سيتم الإشارة إلى مؤشرات "العامل" باستخدام الأحرف.${\displaystyle p}$،${\displaystyle q}$و${\displaystyle r}$، بقيم تتراوح من${\displaystyle 1}$ل${\displaystyle k}$وهو ما يساوي${\displaystyle 2}$في المثال أعلاه، سيتم الإشارة إلى مؤشرات "المثال" أو "العينة" باستخدام الأحرف.${\displaystyle i}$،${\displaystyle j}$و${\displaystyle k}$، بقيم تتراوح من${\displaystyle 1}$ل${\displaystyle N}$في المثال أعلاه، إذا كانت عينة من${\displaystyle N=1000}$شارك الطلاب في${\displaystyle p=10}$الامتحانات،${\displaystyle i}$درجة الطالب رقم 1 في${\displaystyle a}$يُجرى هذا الامتحان بواسطة${\displaystyle x_{ai}}$يهدف تحليل العوامل إلى تحديد خصائص الارتباطات بين المتغيرات.${\displaystyle x_{a}}$منها${\displaystyle x_{ai}}$هي حالة معينة، أو مجموعة من الملاحظات. ولضمان تساوي المتغيرات، يتم تحويلها إلى درجات معيارية.${\displaystyle z}$:

${\displaystyle z_{ai}={\frac {x_{ai}-{\hat {\mu }}_{a}}{{\hat {\sigma }}_{a}}}}$

حيث يكون متوسط ​​العينة:

${\displaystyle {\hat {\mu }}_{a}={\tfrac {1}{N}}\sum _{i}x_{ai}}$

ويُعطى تباين العينة بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{a}^{2}={\tfrac {1}{N-1}}\sum _{i}(x_{ai}-{\hat {\mu }}_{a})^{2}}$

إذن، يكون نموذج تحليل العوامل لهذه العينة المحددة كما يلي:

${\displaystyle {\begin{matrix}z_{1,i}&=&\ell _{1,1}F_{1,i}&+&\ell _{1,2}F_{2,i}&+&\varepsilon _{1,i}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\z_{10,i}&=&\ell _{10,1}F_{1,i}&+&\ell _{10,2}F_{2,i}&+&\varepsilon _{10,i}\end{matrix}}}$

أو باختصار أكثر:

${\displaystyle z_{ai}=\sum _{p}\ell _{ap}F_{pi}+\varepsilon _{ai}}$

أين

• ${\displaystyle F_{1i}}$هو${\displaystyle i}$"الذكاء اللفظي" للطالب،
• ${\displaystyle F_{2i}}$هو${\displaystyle i}$"الذكاء الرياضي" للطالب،
• ${\displaystyle \ell _{ap}}$معاملات التحميل لـ${\displaystyle a}$الموضوع، لـ${\displaystyle p=1,2}$.

في تدوين المصفوفات ، لدينا

${\displaystyle Z=LF+\varepsilon }$

لاحظ أنه من خلال مضاعفة المقياس الذي يتم فيه "الذكاء اللفظي" - المكون الأول في كل عمود من${\displaystyle F}$يتم قياسها، ولا يُحدث خفض معاملات التحميل للذكاء اللفظي إلى النصف أي فرق في النموذج. وبالتالي، لا تُفقد أي عمومية بافتراض أن الانحراف المعياري لعوامل الذكاء اللفظي هو${\displaystyle 1}$وينطبق الأمر نفسه على الذكاء الرياضي. علاوة على ذلك، ولأسباب مماثلة، لا تفقد التعميمات بافتراض عدم وجود ارتباط بين العاملين. بعبارة أخرى:

${\displaystyle \sum _{i}F_{pi}F_{qi}=\delta _{pq}}$

أين${\displaystyle \delta _{pq}}$هي دلتا كرونكر (${\displaystyle 0}$متى${\displaystyle p\neq q}$و${\displaystyle 1}$متى${\displaystyle p=q}$). يُفترض أن الأخطاء مستقلة عن العوامل:

${\displaystyle \sum _{i}F_{pi}\varepsilon _{ai}=0}$

بما أن أي دوران للحل يُعد حلاً أيضاً، فإن هذا يجعل تفسير العوامل صعباً. انظر العيوب أدناه. في هذا المثال تحديداً، إذا لم نكن نعلم مسبقاً أن نوعي الذكاء غير مترابطين، فلن نتمكن من تفسير العاملين على أنهما نوعان مختلفان من الذكاء. حتى لو كانا غير مترابطين، فلن نستطيع تحديد أي عامل يُمثل الذكاء اللفظي وأيهما يُمثل الذكاء الرياضي دون دليل خارجي.

قيم معاملات التحميل${\displaystyle L}$المتوسطات${\displaystyle \mu }$وتباينات "الأخطاء "${\displaystyle \varepsilon }$يجب تقديرها بالنظر إلى البيانات المرصودة${\displaystyle X}$و${\displaystyle F}$(الافتراض المتعلق بمستويات العوامل ثابت لقيمة معينة)${\displaystyle F}$). يمكن استنتاج "النظرية الأساسية" من الشروط المذكورة أعلاه:

${\displaystyle \sum _{i}z_{ai}z_{bi}=\sum _{j}\ell _{aj}\ell _{bj}+\sum _{i}\varepsilon _{ai}\varepsilon _{bi}}$

المصطلح الموجود على اليسار هو${\displaystyle (a,b)}$الحد - من مصفوفة الارتباط (أ)${\displaystyle p\times p}$المصفوفة المشتقة كحاصل ضرب${\displaystyle p\times N}$مصفوفة الملاحظات المعيارية (مع منقولها) للبيانات المرصودة، و${\displaystyle p}$ستكون العناصر القطرية${\displaystyle 1}$سيكون الحد الثاني على اليمين مصفوفة قطرية بعناصر أقل من واحد. أما الحد الأول على اليمين فهو "مصفوفة الارتباط المختزلة"، وهي تساوي مصفوفة الارتباط الأصلية باستثناء عناصرها القطرية التي ستكون أقل من واحد. تُسمى هذه العناصر القطرية لمصفوفة الارتباط المختزلة "المعاملات المشتركة" (والتي تمثل نسبة التباين في المتغير المرصود التي تُعزى إلى العوامل).

${\displaystyle h_{a}^{2}=1-\psi _{a}=\sum _{j}\ell _{aj}\ell _{aj}}$

بيانات العينة${\displaystyle z_{ai}}$لن تخضع النتائج تمامًا للمعادلة الأساسية المذكورة أعلاه بسبب أخطاء المعاينة، وعدم كفاية النموذج، وما إلى ذلك. والهدف من أي تحليل للنموذج المذكور أعلاه هو إيجاد العوامل.${\displaystyle F_{pi}}$والتحميل${\displaystyle \ell _{ap}}$والتي تعطي "أفضل تطابق" مع البيانات. في تحليل العوامل، يُعرَّف أفضل تطابق بأنه الحد الأدنى لمتوسط ​​مربع الخطأ في البواقي غير القطرية لمصفوفة الارتباط: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \varepsilon ^{2}=\sum _{a\neq b}\left[\sum _{i}z_{ai}z_{bi}-\sum _{j}\ell _{aj}\ell _{bj}\right]^{2}}$

يُعادل هذا تقليل العناصر غير القطرية لمصفوفة تباين الخطأ، والتي لها قيم متوقعة تساوي صفرًا في معادلات النموذج. ويُقارن هذا بتحليل المكونات الرئيسية الذي يسعى إلى تقليل متوسط ​​مربع الخطأ لجميع البواقي. ^{[ 3 ]} قبل ظهور الحواسيب فائقة السرعة، بُذلت جهود كبيرة لإيجاد حلول تقريبية للمشكلة، لا سيما في تقدير معاملات التشارك بوسائل أخرى، مما يُبسط المشكلة بشكل كبير من خلال الحصول على مصفوفة ارتباط مُختزلة معروفة. ثم استُخدمت هذه المصفوفة لتقدير العوامل ومعاملات التحميل. مع ظهور الحواسيب فائقة السرعة، أصبح بالإمكان حل مشكلة التقليل بشكل تكراري وبسرعة كافية، ويتم حساب معاملات التشارك أثناء العملية، بدلًا من الحاجة إلى حسابها مسبقًا. تُعد خوارزمية MinRes مناسبة بشكل خاص لهذه المشكلة، ولكنها ليست الوسيلة التكرارية الوحيدة لإيجاد حل.

إذا سُمح لعوامل الحل بالارتباط (كما هو الحال في دوران "oblimin" على سبيل المثال)، فإن النموذج الرياضي المقابل يستخدم إحداثيات مائلة بدلاً من الإحداثيات المتعامدة.

يمكن إعطاء معلمات ومتغيرات تحليل العوامل تفسيراً هندسياً. البيانات (${\displaystyle z_{ai}}$العوامل (${\displaystyle F_{pi}}$) والأخطاء (${\displaystyle \varepsilon _{ai}}$يمكن اعتبار ) متجهات في${\displaystyle N}$الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد (فضاء العينة)، ممثلاً بـ${\displaystyle \mathbf {z} _{a}}$،${\displaystyle \mathbf {F} _{p}}$و${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{a}}$على التوالي. وبما أن البيانات موحدة، فإن متجهات البيانات لها طول وحدة واحدة (${\displaystyle ||\mathbf {z} _{a}||=1}$تحدد متجهات العوامل a${\displaystyle k}$فضاء فرعي خطي ذو أبعاد (أي مستوى فائق) في هذا الفضاء، تُسقط عليه متجهات البيانات بشكل متعامد. وينتج هذا من معادلة النموذج.

${\displaystyle \mathbf {z} _{a}=\sum _{p}\ell _{ap}\mathbf {F} _{p}+{\boldsymbol {\varepsilon }}_{a}}$

واستقلالية العوامل والأخطاء:${\displaystyle \mathbf {F} _{p}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}_{a}=0}$في المثال أعلاه، المستوى الفائق هو مجرد مستوى ثنائي الأبعاد مُعرَّف بواسطة متجهي العوامل. ويُعطى إسقاط متجهي البيانات على المستوى الفائق بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}_{a}=\sum _{p}\ell _{ap}\mathbf {F} _{p}}$

والأخطاء عبارة عن متجهات من تلك النقطة المسقطة إلى نقطة البيانات، وهي عمودية على المستوى الفائق. يهدف تحليل العوامل إلى إيجاد مستوى فائق يمثل "أفضل تطابق" مع البيانات بمعنى ما، لذا لا يهم كيفية اختيار متجهات العوامل التي تحدد هذا المستوى الفائق، طالما أنها مستقلة وتقع ضمن المستوى الفائق. ولنا حرية تحديدها على أنها متعامدة أو طبيعية (${\displaystyle \mathbf {F} _{p}\cdot \mathbf {F} _{q}=\delta _{pq}}$دون فقدان للعمومية. بعد إيجاد مجموعة مناسبة من العوامل، يمكن تدويرها بشكل عشوائي داخل المستوى الفائق، بحيث يُحدد أي تدوير لمتجهات العوامل نفس المستوى الفائق، ويكون حلاً أيضاً. ونتيجة لذلك، في المثال أعلاه، حيث يكون المستوى الفائق ثنائي الأبعاد، إذا لم نكن نعلم مسبقاً أن نوعي الذكاء غير مترابطين، فلا يمكننا تفسير العاملين على أنهما نوعان مختلفان من الذكاء. حتى لو كانا غير مترابطين، لا يمكننا تحديد أي عامل يُقابل الذكاء اللفظي وأيهما يُقابل الذكاء الرياضي، أو ما إذا كان العاملان عبارة عن توليفات خطية من كليهما، دون وجود دليل خارجي.

متجهات البيانات${\displaystyle \mathbf {z} _{a}}$لها طول وحدة واحدة. تُعطى عناصر مصفوفة الارتباط للبيانات بواسطة${\displaystyle r_{ab}=\mathbf {z} _{a}\cdot \mathbf {z} _{b}}$يمكن تفسير مصفوفة الارتباط هندسياً على أنها جيب تمام الزاوية بين متجهي البيانات.${\displaystyle \mathbf {z} _{a}}$و${\displaystyle \mathbf {z} _{b}}$ستكون العناصر القطرية بوضوح${\displaystyle 1}$ستكون القيم المطلقة للعناصر غير القطرية أقل من أو تساوي واحدًا. تُعرَّف "مصفوفة الارتباط المختزلة" على النحو التالي:

${\displaystyle {\hat {r}}_{ab}={\hat {\mathbf {z} }}_{a}\cdot {\hat {\mathbf {z} }}_{b}}$.

يهدف تحليل العوامل إلى اختيار المستوى الفائق الأمثل بحيث تُعيد مصفوفة الارتباط المُختزلة إنتاج مصفوفة الارتباط الأصلية بأكبر قدر ممكن من الدقة، باستثناء العناصر القطرية التي تُعرف بأنها تساوي واحدًا. بعبارة أخرى، الهدف هو إعادة إنتاج الارتباطات المتبادلة في البيانات بأكبر قدر ممكن من الدقة. تحديدًا، بالنسبة للمستوى الفائق الأمثل، يكون متوسط ​​مربع الخطأ في المكونات غير القطرية هو المعيار.

${\displaystyle \varepsilon ^{2}=\sum _{a\neq b}\left(r_{ab}-{\hat {r}}_{ab}\right)^{2}}$

يجب تقليلها، ويتم ذلك عن طريق تقليلها بالنسبة لمجموعة من متجهات العوامل المتعامدة. يمكن ملاحظة أن

${\displaystyle r_{ab}-{\hat {r}}_{ab}={\boldsymbol {\varepsilon }}_{a}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}_{b}}$

يمثل الحد الموجود على اليمين تباين الأخطاء. في النموذج، يُفترض أن تباين الأخطاء عبارة عن مصفوفة قطرية، وبالتالي فإن مسألة التصغير المذكورة أعلاه ستُنتج في الواقع "أفضل تطابق" مع النموذج: ستُنتج تقديرًا لعينة تباين الأخطاء حيث تكون مكوناتها غير القطرية مُصغّرة وفقًا لمتوسط ​​المربعات. يمكن ملاحظة أنه بما أن${\displaystyle {\hat {z}}_{a}}$هي إسقاطات متعامدة لمتجهات البيانات، ويكون طولها أقل من أو يساوي طول متجه البيانات المُسقط، وهو واحد. مربع هذه الأطوال هو ببساطة العناصر القطرية لمصفوفة الارتباط المُختزلة. تُعرف هذه العناصر القطرية لمصفوفة الارتباط المُختزلة باسم "المعاملات المشتركة".

${\displaystyle {h_{a}}^{2}=||{\hat {\mathbf {z} }}_{a}||^{2}=\sum _{p}{\ell _{ap}}^{2}}$

تشير القيم الكبيرة للمعاملات المشتركة إلى أن المستوى الفائق المُطابق يُعيد إنتاج مصفوفة الارتباط بدقة عالية. كما يجب تقييد متوسط ​​قيم العوامل بحيث يكون صفرًا، ومن ثمّ فإن متوسط ​​قيم الأخطاء سيكون صفرًا أيضًا.

يُعد تحليل المكونات الرئيسية (PCA) أسلوبًا شائع الاستخدام لاستخلاص العوامل، وهو المرحلة الأولى من التحليل العاملي الاستكشافي (EFA). ^{[ 4 ]} تُحسب أوزان العوامل لاستخلاص أكبر قدر ممكن من التباين، ويستمر التحليل العاملي المتتالي حتى لا يتبقى أي تباين ذي دلالة. ^{[ 4 ]} بعد ذلك، يجب تدوير نموذج العوامل لإجراء التحليل. ^{[ 4 ]}

يُعدّ تحليل العوامل الكنسي، المعروف أيضًا باسم تحليل راو الكنسي، طريقةً مختلفةً لحساب النموذج نفسه الذي يستخدمه تحليل المكونات الرئيسية (PCA) الذي يعتمد على طريقة المحاور الرئيسية. ويبحث تحليل العوامل الكنسي عن العوامل التي لها أعلى ارتباط كنسي بالمتغيرات المرصودة. ولا يتأثر هذا التحليل بإعادة قياس البيانات بشكلٍ عشوائي.

يسعى تحليل العوامل المشتركة، والذي يسمى أيضًا تحليل العوامل الرئيسية (PFA) أو تحليل العوامل المحورية الرئيسية (PAF)، إلى إيجاد أقل عدد من العوامل التي يمكن أن تفسر التباين المشترك (الارتباط) لمجموعة من المتغيرات.

يعتمد تحليل الصورة على مصفوفة الارتباط للمتغيرات المتوقعة بدلاً من المتغيرات الفعلية، حيث يتم التنبؤ بكل متغير من المتغيرات الأخرى باستخدام الانحدار المتعدد .

تعتمد طريقة تحليل العوامل ألفا على تعظيم موثوقية العوامل، بافتراض أن المتغيرات تُختار عشوائياً من مجموعة المتغيرات. أما جميع الطرق الأخرى فتفترض اختيار الحالات عشوائياً وثبات المتغيرات.

نموذج الانحدار العاملي هو نموذج توافقي لنموذج العامل ونموذج الانحدار؛ أو بدلاً من ذلك، يمكن اعتباره نموذج العامل الهجين، ^{[ 5 ]} الذي تكون عوامله معروفة جزئيًا.

معاملات التحميل

الشيوع هو مربع معامل التحميل الخارجي المعياري لعنصر ما. وبالمثل لمعامل بيرسون (r²) ، فإن مربع معامل التحميل هو النسبة المئوية للتباين في متغير المؤشر الذي يفسره العامل. وللحصول على النسبة المئوية للتباين في جميع المتغيرات التي يفسرها كل عامل، يُجمع مجموع مربعات معاملات التحميل لهذا العامل (العمود) ثم يُقسم على عدد المتغيرات. (عدد المتغيرات يساوي مجموع تبايناتها، لأن تباين المتغير المعياري يساوي 1). وهذا يُعادل قسمة القيمة الذاتية للعامل على عدد المتغيرات.

عند تفسير البيانات، ووفقًا لقاعدة عامة في تحليل العوامل التأكيدي، ينبغي أن تكون معاملات التحميل 0.7 أو أعلى لتأكيد أن المتغيرات المستقلة المحددة مسبقًا ممثلة بعامل معين، وذلك لأن مستوى 0.7 يُشير إلى أن العامل يُفسر حوالي نصف التباين في المؤشر. مع ذلك، يُعدّ معيار 0.7 معيارًا عاليًا، وقد لا تستوفي البيانات الواقعية هذا المعيار، ولذا يلجأ بعض الباحثين، لا سيما لأغراض الاستكشاف، إلى استخدام مستوى أقل، مثل 0.4 للعامل المركزي و0.25 للعوامل الأخرى. على أي حال، يجب تفسير معاملات التحميل في ضوء النظرية، وليس بناءً على مستويات قطع اعتباطية.

في التدوير المائل ، يمكن دراسة كل من مصفوفة النمط ومصفوفة البنية. مصفوفة البنية هي ببساطة مصفوفة معاملات التحميل، كما هو الحال في التدوير المتعامد، وتمثل التباين في متغير مُقاس يُفسره عامل ما، سواءً على أساس المساهمات الفردية أو المشتركة. أما مصفوفة النمط، على النقيض، فتحتوي على معاملات تُمثل المساهمات الفردية فقط. كلما زاد عدد العوامل، انخفضت معاملات النمط عادةً، نظرًا لزيادة المساهمات المشتركة في التباين المُفسر. في التدوير المائل، ينظر الباحث إلى كل من معاملات البنية ومعاملات النمط عند إسناد تسمية لعامل ما. يمكن اشتقاق مبادئ التدوير المائل من كل من الإنتروبيا المتقاطعة والإنتروبيا الثنائية. ^{[ 6 ]}

التضامن

يمثل مجموع مربعات معاملات التحميل لجميع العوامل لمتغير معين (صف) التباين في ذلك المتغير الذي تفسره جميع العوامل. ويقيس معامل الشيوع النسبة المئوية للتباين في متغير معين الذي تفسره جميع العوامل مجتمعة، ويمكن تفسيره على أنه موثوقية المؤشر في سياق العوامل المفترضة.

حلول زائفة

إذا تجاوزت قيمة الشيوع 1.0، فهناك حل زائف، والذي قد يعكس عينة صغيرة جدًا أو اختيار استخراج عدد كبير جدًا أو قليل جدًا من العوامل.

تفرد المتغير

تباين المتغير مطروحًا منه شيوعه.

القيم الذاتية/الجذور المميزة

تقيس القيم الذاتية مقدار التباين في العينة الكلية الذي يفسره كل عامل. ونسبة القيم الذاتية هي نسبة الأهمية التفسيرية للعوامل بالنسبة للمتغيرات. إذا كان لعامل ما قيمة ذاتية منخفضة، فإنه يساهم بشكل ضئيل في تفسير التباينات في المتغيرات، ويمكن تجاهله باعتباره أقل أهمية من العوامل ذات القيم الذاتية الأعلى.

مجموع مربعات معاملات التحميل المستخرجة

تكون القيم الذاتية الأولية والقيم الذاتية بعد الاستخراج (المدرجة في برنامج SPSS تحت مسمى "مجموع مربعات معاملات التحميل بعد الاستخراج") متطابقة في طريقة تحليل المكونات الرئيسية (PCA)، بينما في طرق الاستخراج الأخرى، تكون القيم الذاتية بعد الاستخراج أقل من نظيراتها الأولية. ويعرض برنامج SPSS أيضًا "مجموع مربعات معاملات التحميل بعد الدوران"، وحتى في حالة تحليل المكونات الرئيسية، تختلف هذه القيم الذاتية عن القيم الذاتية الأولية وقيم الاستخراج، مع أن مجموعها يبقى متساويًا.

درجات العوامل

درجات المكونات (في تحليل المكونات الرئيسية)

تمثل هذه البيانات درجات كل حالة (صف) على كل عامل (عمود). لحساب درجة العامل لحالة معينة لعامل معين، تُؤخذ الدرجة المعيارية للحالة على كل متغير، وتُضرب في معاملات التحميل المقابلة للمتغير للعامل المحدد، ثم تُجمع هذه النواتج. يُتيح حساب درجات العوامل البحث عن القيم الشاذة للعوامل. كما يمكن استخدام درجات العوامل كمتغيرات في النماذج اللاحقة.

يسعى الباحثون إلى تجنب المعايير الذاتية أو التعسفية للاحتفاظ بالعوامل، مثل "ما بدا منطقيًا لي". وقد طُوِّرت عدة طرق موضوعية لحل هذه المشكلة، مما يسمح للمستخدمين بتحديد نطاق مناسب من الحلول للدراسة. ^{[ 7 ]} ومع ذلك، غالبًا ما تختلف هذه الطرق فيما بينها حول عدد العوامل التي ينبغي الاحتفاظ بها. على سبيل المثال، قد يقترح التحليل المتوازي 5 عوامل، بينما يقترح تحليل فيليسر متعدد العوامل 6 عوامل، لذا قد يطلب الباحث حلولًا من كلا النوعين (5 و6 عوامل) ويناقش كلًا منهما من حيث علاقته بالبيانات والنظرية الخارجية.

تُعظّم مخرجات تحليل المكونات الرئيسية (PCA) التباين الذي يُفسّره العامل الأول أولًا، ثم العامل الثاني، وهكذا. ومن عيوب هذه الطريقة أن معظم العناصر تُحمّل على العوامل الأولى، بينما يُحمّل عدد قليل جدًا منها على المتغيرات اللاحقة. وهذا يُصعّب تفسير العوامل من خلال قراءة قائمة الأسئلة ومعاملات التحميل، إذ يرتبط كل سؤال ارتباطًا وثيقًا بالمكونات القليلة الأولى، بينما يرتبط عدد قليل جدًا من الأسئلة ارتباطًا وثيقًا بالمكونات القليلة الأخيرة.

يُسهّل التدوير تفسير النتائج. باختيار أساس مختلف للمكونات الرئيسية نفسها - أي اختيار عوامل مختلفة للتعبير عن بنية الارتباط نفسها - يُمكن إنشاء متغيرات يسهل تفسيرها.  

يمكن أن تكون الدورانات متعامدة أو مائلة؛ تسمح الدورانات المائلة بترابط العوامل. ^{[ 24 ]} هذه المرونة المتزايدة تعني إمكانية إجراء المزيد من الدورانات، والتي قد يكون بعضها أكثر فعالية في تحقيق هدف محدد. مع ذلك، قد يُصعّب هذا الأمر تفسير العوامل، حيث تُحتسب بعض المعلومات مرتين وتُدرج عدة مرات في مكونات مختلفة؛ بل قد تبدو بعض العوامل وكأنها نسخ متطابقة تقريبًا.

يُعدّ تحليل العوامل من الرتبة العليا أسلوبًا إحصائيًا يتألف من خطوات متكررة: تحليل العوامل - التدوير المائل - تحليل العوامل المُدوّرة. وتكمن ميزته في تمكين الباحث من رؤية البنية الهرمية للظواهر المدروسة. ولتفسير النتائج، يتم إما ضرب مصفوفة نمط العامل الأساسي بمصفوفات نمط العامل من الرتبة العليا (غورسوش، 1983)، وربما تطبيق تدوير فاريمكس على النتيجة (طومسون، 1990)، أو باستخدام حل شميد-ليمان (SLS، شميد وليمان، 1957، والمعروف أيضًا بتحويل شميد-ليمان) الذي يُعزى فيه التباين من العوامل الأساسية إلى عوامل الرتبة الثانية.

يتناول فابريغار وآخرون (1999) ^{[ 34 ]} عددًا من الأسباب المستخدمة للإشارة إلى أن تحليل المكونات الرئيسية لا يعادل تحليل العوامل:

1. يُشار أحيانًا إلى أن تحليل المكونات الرئيسية (PCA) أسرع حسابيًا ويتطلب موارد أقل من تحليل العوامل. ويشير فابريغار وآخرون إلى أن توفر موارد الحاسوب بسهولة قد جعل هذا القلق العملي غير ذي صلة.
2. يمكن أن تُنتج كلٌ من تحليل المكونات الرئيسية (PCA) وتحليل العوامل نتائج متقاربة. وقد تناول فابريغار وزملاؤه هذه النقطة أيضًا؛ ففي بعض الحالات، عندما تكون معاملات التشابه منخفضة (مثل 0.4)، تُنتج التقنيتان نتائج متباينة. بل إن فابريغار وزملاؤه يجادلون بأنه في الحالات التي تتوافق فيها البيانات مع افتراضات نموذج العامل المشترك، تكون نتائج تحليل المكونات الرئيسية غير دقيقة.
3. توجد حالات معينة يؤدي فيها تحليل العوامل إلى ما يُعرف بـ"حالات هيوود". وتشمل هذه الحالات تلك التي يُقدّر فيها أن النموذج يُفسّر 100% أو أكثر من التباين في المتغير المقاس. ويشير فابريغار وزملاؤه إلى أن هذه الحالات تُفيد الباحث، إذ تدل على نموذج غير دقيق أو انتهاك لنموذج العامل المشترك. وقد يعني غياب حالات هيوود في منهجية تحليل المكونات الرئيسية (PCA) أن هذه المشكلات قد تمر دون ملاحظة.
4. يحصل الباحثون على معلومات إضافية من خلال تحليل المكونات الرئيسية (PCA)، مثل درجة الفرد في عنصر معين؛ وهي معلومات لا يوفرها تحليل العوامل. مع ذلك، وكما يرى فابريغار وزملاؤه، فإن الهدف الأساسي لتحليل العوامل - أي تحديد العوامل المسؤولة عن بنية الارتباطات بين المتغيرات المقاسة - لا يتطلب معرفة درجات العوامل، وبالتالي تُفقد هذه الميزة. كما يُمكن حساب درجات العوامل من تحليل العوامل.

يأخذ تحليل العوامل في الحسبان الخطأ العشوائي المتأصل في القياس، بينما يفشل تحليل المكونات الرئيسية في ذلك. وقد أوضح براون (2009) ^{[ 38 ]} هذه النقطة ، مشيرًا إلى أنه فيما يتعلق بمصفوفات الارتباط المستخدمة في الحسابات:

في تحليل المكونات الرئيسية (PCA)، تُوضع القيم 1.00 في القطر الرئيسي، مما يعني أنه يجب تفسير جميع التباينات في المصفوفة (بما في ذلك التباين الخاص بكل متغير، والتباين المشترك بين المتغيرات، وتباين الخطأ). وبالتالي، يشمل ذلك، بحكم التعريف، جميع التباينات في المتغيرات. في المقابل، في التحليل العاملي الاستكشافي (EFA)، تُوضع معاملات الاشتراك في القطر الرئيسي، مما يعني أنه يجب تفسير التباين المشترك مع المتغيرات الأخرى فقط (باستثناء التباين الخاص بكل متغير وتباين الخطأ). وبالتالي، يشمل ذلك، بحكم التعريف، التباين المشترك بين المتغيرات فقط.

لهذا السبب، يوصي براون (2009) باستخدام تحليل العوامل عندما توجد أفكار نظرية حول العلاقات بين المتغيرات، في حين يجب استخدام تحليل المكونات الرئيسية إذا كان هدف الباحث هو استكشاف الأنماط في بياناته.

وقد تم توضيح الاختلافات بين تحليل المكونات الرئيسية (PCA) وتحليل العوامل (FA) بشكل أكبر من قبل Suhr (2009): ^{[ 35 ]}

• ينتج عن تحليل المكونات الرئيسية مكونات رئيسية تمثل الحد الأقصى من التباين للمتغيرات المرصودة؛ بينما يمثل تحليل العوامل التباين المشترك في البيانات.
• يقوم تحليل المكونات الرئيسية (PCA) بإضافة الرقم واحد على أقطار مصفوفة الارتباط؛ بينما يقوم تحليل العوامل (FA) بتعديل أقطار مصفوفة الارتباط باستخدام العوامل الفريدة.
• يقلل تحليل المكونات الرئيسية (PCA) من مجموع مربعات المسافة العمودية إلى محور المكون؛ بينما يقدر تحليل العوامل (FA) العوامل التي تؤثر على الاستجابات على المتغيرات المرصودة.
• تمثل درجات المكونات في PCA مزيجًا خطيًا من المتغيرات المرصودة المرجحة بواسطة المتجهات الذاتية ؛ المتغيرات المرصودة في FA هي مزيج خطي من العوامل الأساسية والفريدة.
• في تحليل المكونات الرئيسية (PCA)، تكون المكونات الناتجة غير قابلة للتفسير، أي أنها لا تمثل "بنى" أساسية؛ في تحليل العوامل (FA)، يمكن تسمية البنى الأساسية وتفسيرها بسهولة، إذا تم تحديد نموذج دقيق.

كان تشارلز سبيرمان أول عالم نفس يناقش تحليل العوامل المشتركة ^{[ 39 ]} ، وقد فعل ذلك في بحثه المنشور عام 1904. ^{[ 40 ]} لم يقدم البحث تفاصيل كثيرة حول أساليبه، وانصبّ اهتمامه على نماذج العامل الواحد. ^{[ 41 ]} اكتشف سبيرمان أن درجات أطفال المدارس في مجموعة واسعة من المواد الدراسية التي تبدو غير مترابطة كانت مرتبطة ارتباطًا إيجابيًا، مما دفعه إلى افتراض أن قدرة عقلية عامة واحدة، أو ما يُعرف بـ "g" ، تكمن وراء الأداء المعرفي البشري وتُشكّله.

قدّم لويس ثورستون الأسس الأولية لتحليل العوامل المشتركة متعددة العوامل في ورقتين بحثيتين في أوائل ثلاثينيات القرن العشرين، ^{[ 42 ] [ 43 ]} ولخصها في كتابه " متجه العقل " الصادر عام 1935. ^{[ 44 ]} وقدّم ثورستون العديد من المفاهيم المهمة في تحليل العوامل، بما في ذلك الاشتراكية والتفرد والتدوير. ^{[ 45 ]} ودعا إلى "بنية بسيطة"، وطوّر أساليب تدوير يمكن استخدامها كوسيلة لتحقيق هذه البنية. ^{[ 39 ]}

في منهجية Q ، يميز ويليام ستيفنسون ، أحد تلاميذ سبيرمان، بين تحليل العوامل R ، الموجه نحو دراسة الاختلافات بين الأفراد، وتحليل العوامل Q الموجه نحو الاختلافات الذاتية داخل الفرد. ^{[ 46 ] [ 47 ]}

كان ريموند كاتيل من أشدّ المؤيدين لتحليل العوامل وعلم القياس النفسي، واستخدم نظرية ثورستون متعددة العوامل لتفسير الذكاء. كما طوّر كاتيل اختبار التباين ومعاملات التشابه.

يُستخدم تحليل العوامل لتحديد "العوامل" التي تُفسر نتائج متنوعة في اختبارات مختلفة. على سبيل المثال، وجدت أبحاث الذكاء أن الأشخاص الذين يحصلون على درجة عالية في اختبار القدرة اللفظية يكونون جيدين أيضًا في اختبارات أخرى تتطلب مهارات لفظية. وقد فسر الباحثون ذلك باستخدام تحليل العوامل لعزل عامل واحد، يُطلق عليه غالبًا الذكاء اللفظي، والذي يُمثل مدى قدرة الشخص على حل المشكلات التي تتطلب مهارات لفظية.

يرتبط تحليل العوامل في علم النفس في أغلب الأحيان بأبحاث الذكاء. ومع ذلك، فقد استُخدم أيضًا لاكتشاف العوامل في نطاق واسع من المجالات، مثل الشخصية والاتجاهات والمعتقدات، وغيرها. ويرتبط هذا التحليل بعلم القياس النفسي ، إذ يُمكنه تقييم صلاحية أداة القياس من خلال تحديد ما إذا كانت تقيس بالفعل العوامل المفترضة.

• تقليل عدد المتغيرات يتم بدمج متغيرين أو أكثر في عامل واحد. على سبيل المثال، يمكن دمج الأداء في الجري، ورمي الكرة، والضرب، والقفز، ورفع الأثقال في عامل واحد مثل القدرة الرياضية العامة. عادةً، في مصفوفة العناصر والأفراد، تُختار العوامل بتجميع العناصر ذات الصلة. أما في تقنية تحليل العوامل Q، فتُقلب المصفوفة وتُنشأ العوامل بتجميع الأفراد ذوي الصلة. على سبيل المثال، قد يُصنّف الليبراليون، والتحرريون، والمحافظون، والاشتراكيون في مجموعات منفصلة.
• تحديد مجموعات من المتغيرات المترابطة، لفهم كيفية ارتباطها ببعضها. على سبيل المثال، استخدم كارول تحليل العوامل لبناء نظريته الثلاثية الطبقات . ووجد أن عاملاً يُسمى "الإدراك البصري الشامل" يرتبط بمدى براعة الفرد في المهام البصرية. كما وجد عاملاً آخر يُسمى "الإدراك السمعي الشامل"، يرتبط بقدرة الفرد على أداء المهام السمعية. علاوة على ذلك، وجد عاملاً شاملاً، يُسمى "g" أو الذكاء العام، يرتبط بكل من "الإدراك البصري الشامل" و"الإدراك السمعي الشامل". هذا يعني أن الشخص الذي يتمتع بمستوى عالٍ من "g" من المرجح أن يتمتع بقدرة عالية على كل من "الإدراك البصري" و"الإدراك السمعي"، وبالتالي فإن "g" يُفسر جزءًا كبيرًا من سبب براعة الشخص أو ضعفه في كلا المجالين.

• «...كل اتجاه مقبول رياضيًا بنفس القدر. لكن تبين أن نظريات العوامل المختلفة تختلف في اتجاهات محاور العوامل لحل معين بقدر اختلافها في أي شيء آخر، ولذلك لم يثبت أن ملاءمة النموذج مفيدة في التمييز بين النظريات.» (ستيرنبرغ، 1977 ^{[ 48 ]} ). هذا يعني أن جميع عمليات التدوير تمثل عمليات أساسية مختلفة، لكن جميعها نتائج صحيحة بنفس القدر لتحسين تحليل العوامل القياسي. لذلك، من المستحيل اختيار عملية التدوير المناسبة باستخدام تحليل العوامل وحده.
• لا يمكن أن تكون نتائج تحليل العوامل دقيقة إلا بقدر ما تسمح به البيانات. وفي علم النفس، حيث يضطر الباحثون في كثير من الأحيان إلى الاعتماد على مقاييس أقل دقة وموثوقية مثل التقارير الذاتية، قد يمثل هذا الأمر إشكالية.
• يعتمد تفسير تحليل العوامل على استخدام "أسلوب استدلالي"، وهو حل "مناسب حتى وإن لم يكن صحيحًا تمامًا". ^{[ 49 ]} يمكن استخلاص أكثر من تفسير واحد لنفس البيانات التي تم تحليلها بنفس الطريقة، ولا يستطيع تحليل العوامل تحديد السببية.

عادةً ما يتولى متخصصو أبحاث التسويق مرحلة جمع البيانات. تتضمن أسئلة الاستبيان تقييم عينة من المنتج أو وصفًا لمفاهيم المنتج بناءً على مجموعة من الخصائص، تتراوح بين خمس وعشرين خاصية. قد تشمل هذه الخصائص سهولة الاستخدام، والوزن، والدقة، والمتانة، والألوان، والسعر، والحجم. وتختلف الخصائص المختارة باختلاف المنتج قيد الدراسة. يُطرح السؤال نفسه على جميع المنتجات في الدراسة. تُرمّز بيانات المنتجات المتعددة وتُدخل في برنامج إحصائي مثل R ، أو SPSS ، أو SAS ، أو Stata ، أو STATISTICA ، أو JMP، أو SYSTAT.

سيُحدد التحليل العوامل الكامنة التي تُفسر البيانات باستخدام مصفوفة الارتباطات. ^{[ 52 ]} يُعد تحليل العوامل أسلوبًا يعتمد على الترابط بين العوامل، حيث يتم فحص المجموعة الكاملة من العلاقات المترابطة. لا يُحدد هذا الأسلوب المتغيرات التابعة أو المستقلة أو السببية. يفترض تحليل العوامل إمكانية اختزال جميع بيانات التقييم المتعلقة بالسمات المختلفة إلى عدد قليل من الأبعاد المهمة. هذا الاختزال ممكن لأن بعض السمات قد تكون مرتبطة ببعضها البعض. يُعد التقييم المُعطى لأي سمة نتاجًا جزئيًا لتأثير السمات الأخرى. تُفكك الخوارزمية الإحصائية التقييم (المسمى بالدرجة الخام) إلى مكوناته المختلفة، ثم تُعيد بناء الدرجات الجزئية لتكوين درجات العوامل الكامنة. تُسمى درجة الارتباط بين الدرجة الخام الأولية ودرجة العامل النهائية بمعامل التحميل .

• يمكن استخدام كل من السمات الموضوعية والذاتية بشرط أن يتم تحويل السمات الذاتية إلى درجات.
• يمكن لتحليل العوامل تحديد الأبعاد أو البنى الكامنة التي قد لا يتمكن التحليل المباشر من تحديدها.
• إنه سهل وغير مكلف.

• تعتمد فائدة هذه الطريقة على قدرة الباحثين على جمع مجموعة كافية من خصائص المنتج. فإذا تم استبعاد أو إهمال خصائص مهمة، تقل قيمة هذه الطريقة.
• إذا كانت مجموعات المتغيرات المرصودة متشابهة للغاية فيما بينها ومختلفة عن العناصر الأخرى، فإن تحليل العوامل سيُسند إليها عاملاً واحداً. وقد يُخفي هذا عوامل أخرى تُمثل علاقات أكثر أهمية.
• قد تتطلب عوامل التسمية معرفة نظرية لأن السمات التي تبدو غير متشابهة يمكن أن ترتبط ارتباطًا وثيقًا لأسباب غير معروفة.

• عامل- برنامج مجاني لتحليل العوامل تم تطويره بواسطة جامعة روفيرا إي فيرجيلي