متوسط

📅 آخر تحديث: ١ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 87 صور
الموسوعة الحرة
حساب الوسيط في مجموعات البيانات التي تحتوي على مشاهدات فردية (أعلى) وزوجية (أسفل)

الوسيط لمجموعة من الأرقام هو القيمة التي تفصل النصف الأعلى عن النصف الأدنى في عينة بيانات ، أو مجتمع إحصائي ، أو توزيع احتمالي . بالنسبة لمجموعة بيانات ، يمكن اعتباره القيمة "الوسطى". السمة الأساسية للوسيط في وصف البيانات، مقارنةً بالمتوسط ​​( الذي يُشار إليه غالبًا ببساطة بـ"المعدل")، هي أنه لا يتأثر بنسبة صغيرة من القيم المتطرفة، وبالتالي يُقدم تمثيلًا أفضل للمركز. على سبيل المثال، قد يكون متوسط ​​الدخل طريقة أفضل لوصف مركز توزيع الدخل، لأن الزيادات في أعلى الدخول وحدها لا تؤثر على الوسيط. لهذا السبب، يُعد الوسيط ذا أهمية مركزية في الإحصاءات القوية . الوسيط هو أحد الكميات المئوية ؛ فهو القيمة التي تقسم مجموعة البيانات إلى جزأين متساويين.

مجموعة أعداد منتهية

الوسيط لقائمة محدودة من الأرقام هو الرقم الأوسط عندما يتم ترتيب الأرقام من الأصغر إلى الأكبر.

إذا احتوت مجموعة البيانات على عدد فردي من المشاهدات، يتم اختيار المشاهدة الوسطى (بعد ترتيبها تصاعديًا). على سبيل المثال، القائمة التالية المكونة من سبعة أرقام،

1، 3، 3، 6 ، 7، 8، 9

يبلغ الوسيط 6 ، وهي القيمة الرابعة.

إذا احتوت مجموعة البيانات على عدد زوجي من المشاهدات، فلا توجد قيمة وسطى مميزة، وعادةً ما يُعرَّف الوسيط بأنه المتوسط ​​الحسابي للقيمتين الوسطيتين. [ 1 ] [ 2 ] على سبيل المثال، مجموعة البيانات هذه المكونة من 8 أرقام

1، 2، 3، 4، 5 ، 6، 8، 9

تبلغ قيمتها الوسيطة 4.5 ، أي(4+5)/2{\displaystyle (4+5)/2}. (بمعنى أكثر تقنية، يفسر هذا الوسيط على أنه النطاق المتوسط ​​بعد تقليصه بالكامل ).

بشكل عام، وفقًا لهذا الاصطلاح، يمكن تعريف الوسيط على النحو التالي: بالنسبة لمجموعة بياناتx{\displaystyle x}لن{\displaystyle n}العناصر، مرتبة من الأصغر إلى الأكبر،

لون{\displaystyle n}غريب،ميد⁡(x)=x(ن+1)/2{\displaystyle \operatorname {med} (x)=x_{(n+1)/2}}
لون{\displaystyle n}زوجي،ميد⁡(x)=x(ن/2)+x((ن/2)+1)2{\displaystyle \operatorname {med} (x)={\frac {x_{(n/2)}+x_{((n/2)+1)}}{2}}}
مقارنة المتوسطات المشتركة للقيم [ 1، 2، 2، 3، 4، 7، 9 ]
يكتبوصفمثالنتيجة
متوسط ​​المدىنقطة المنتصف بين الحد الأدنى والحد الأقصى لمجموعة البيانات1 ، 2، 2، 3، 4، 7، 95
المتوسط ​​الحسابيمجموع قيم مجموعة البيانات مقسومًا على عدد القيم:x¯=1ن∑أنا=1نxأنا{\textstyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}(1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 7 + 9) / 74
متوسطالقيمة الوسطى التي تفصل بين النصف الأكبر والنصف الأصغر من مجموعة البيانات1، 2، 2، 3 ، 4، 7، 93
وضعالقيمة الأكثر تكرارًا في مجموعة البيانات1، 2 ، 2 ، 3، 4، 7، 92

التعريف والترميز

بصورة رسمية، الوسيط لمجموعة بيانات هو أي قيمة يكون نصف أفرادها على الأقل أقل من أو يساوي الوسيط المقترح، والنصف الآخر على الأقل أكبر منه أو يساويه. وكما رأينا سابقًا، قد لا يكون الوسيط فريدًا. فإذا احتوت كل مجموعة بيانات على أكثر من نصف أفرادها، فإن بعض أفرادها يساوي الوسيط الفريد تمامًا.

يُعدّ الوسيط مفهومًا دقيقًا لأي بيانات مرتبة (أحادية البُعد)، وهو مستقل عن أي مقياس للمسافة . وبالتالي، يُمكن تطبيق الوسيط على درجات الطلاب المرتبة وليست الرقمية (مثل حساب الوسيط عندما تُقيّم درجات اختبار الطلاب من F إلى A). قد تكون النتيجة في منتصف المسافة بين الدرجات إذا كان عدد الطلاب زوجيًا؛ أما إذا كان عدد الطلاب فرديًا، فتُحدد درجة مُعينة كوسيط.

أما الوسيط الهندسي ، من ناحية أخرى، فيُعرَّف في أي عدد من الأبعاد. وهناك مفهوم ذو صلة، حيث يُجبر الناتج على أن يتوافق مع أحد عناصر العينة، وهو الوسيط الجزئي (medoid) .

لا يوجد ترميز قياسي مقبول على نطاق واسع للوسيط، ولكن بعض المؤلفين يمثلون وسيط المتغير x على أنه med( x )، x͂ ، [ 3 ] أو μ 1/2 ، [ 1 ] أو M. [ 3 ] [ 4 ] في أي من هذه الحالات ، يجب تعريف استخدام هذه الرموز أو غيرها للوسيط بشكل صريح عند تقديمها.

الوسيط هو حالة خاصة من الطرق الأخرى لتلخيص القيم النموذجية المرتبطة بالتوزيع الإحصائي : إنه الربيع الثاني ، والعُشر الخامس، والنسبة المئوية الخمسين .

الاستخدامات

يمكن استخدام الوسيط كمقياس للموقع عندما يقلل المرء من أهمية القيم المتطرفة، عادةً لأن التوزيع منحرف ، أو أن القيم المتطرفة غير معروفة، أو أن القيم الشاذة غير جديرة بالثقة، أي أنها قد تكون أخطاء في القياس أو النسخ.

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك المجموعة المتعددة

1، 2، 2، 2، 3، 14.

الوسيط هو 2 في هذه الحالة، وكذلك المنوال ، ويمكن اعتباره مؤشرًا أفضل على المركز من المتوسط ​​الحسابي 4، الذي يزيد عن جميع القيم باستثناء قيمة واحدة. مع ذلك، فإن العلاقة التجريبية الشائعة التي تنص على أن المتوسط ​​يميل "إلى ذيل" التوزيع أكثر من الوسيط ليست صحيحة عمومًا. في أحسن الأحوال، يمكن القول إن الإحصائيتين لا يمكن أن تكونا "بعيدتين جدًا" عن بعضهما؛ انظر القسم §  المتباينة التي تربط المتوسطات والوسائط أدناه. [ 5 ]

بما أن الوسيط يعتمد على البيانات الوسطى في مجموعة البيانات، فليس من الضروري معرفة قيمة النتائج المتطرفة لحسابه. على سبيل المثال، في اختبار نفسي يُقيّم الوقت اللازم لحل مسألة ما، حتى لو فشل عدد قليل من الأشخاص في حل المسألة خلال الوقت المحدد، فإنه لا يزال من الممكن حساب الوسيط. [ 6 ]

نظرًا لسهولة فهم الوسيط وسهولة حسابه، فضلًا عن كونه تقريبًا دقيقًا للمتوسط ، يُعد الوسيط إحصائية موجزة شائعة في الإحصاء الوصفي . وفي هذا السياق، توجد عدة خيارات لقياس التباين : المدى ، والمدى الربيعي ، ومتوسط ​​الانحراف المطلق ، ووسيط الانحراف المطلق .

لأغراض عملية، غالبًا ما تُقارن مقاييس الموقع والتشتت المختلفة بناءً على مدى دقة تقدير قيم المجتمع المقابلة من عينة بيانات. يتمتع الوسيط، المُقدَّر باستخدام وسيط العينة، بخصائص جيدة في هذا الصدد. ورغم أنه ليس الأمثل عادةً عند افتراض توزيع مجتمع معين، إلا أن خصائصه جيدة بشكل معقول دائمًا. على سبيل المثال، تُظهر مقارنة كفاءة المُقدِّرات المُرشَّحة أن متوسط ​​العينة أكثر كفاءة إحصائيًا عندما - وفقط عندما - تكون البيانات غير ملوثة ببيانات من توزيعات ذات ذيول سميكة أو من مزيج من التوزيعات. حتى في هذه الحالة، تبلغ كفاءة الوسيط 64% مقارنةً بمتوسط ​​الحد الأدنى للتباين (للعينات الطبيعية الكبيرة)، أي أن تباين الوسيط سيكون أكبر بنحو 50% من تباين المتوسط. [ 7 ] [ 8 ]

التوزيعات الاحتمالية

الوسيط لمتغير عشوائي ذي قيمة حقيقيةX{\displaystyle X}هو عدد حقيقيم{\displaystyle m}ذلك يرضي P⁡(X<م)≤12وP⁡(X>م)≤12{\displaystyle \operatorname {P} (X<m)\leq {\frac {1}{2}}\quad {\text{and}}\quad \operatorname {P} (X>m)\leq {\frac {1}{2}}} أو، على نحو مماثل مع الأحداث التكميلية ، P⁡(X≥م)≥12وP⁡(X≤م)≥12.{\displaystyle \operatorname {P} (X\geq m)\geq {\frac {1}{2}}\quad {\text{and}}\quad \operatorname {P} (X\leq m)\geq {\frac {1}{2}}\,.} مثل هذام{\displaystyle m}موجود دائمًا، ولكن ليس بالضرورة أن يكون محددًا بشكل فريد. ويمكن استخدام صيغة مكافئة باستخدام دالة التوزيع التراكمي.F:R→R{\displaystyle F\colon \,\mathbb {R} \to \mathbb {R} }لX:{\displaystyle X\colon }ليمx→م-F(x)≤12≤F(م){\displaystyle \lim _{x\to m-}F(x)\leq {\frac {1}{2}}\leq F(m)} (انظر الرسم التوضيحي في تعريف القيمة المتوقعة للمتغيرات العشوائية الحقيقية التعسفية ).

المنوال والوسيط والمتوسط ​​( القيمة المتوقعة ) لدالة كثافة الاحتمال [ 9 ]

لاحظ أن هذا التعريف لا يشترط أن يكون للمتغير العشوائي X توزيع متصل تمامًا (أي أن دالة كثافة الاحتمال له هي f )، ولا يشترط أن يكون منفصلًا . في الحالة الأولى، يمكن تحويل المتباينات إلى مساواة: الوسيط يحقق الشرط التالي: P⁡(X≤م)=∫-∞مو(x)دx=12{\displaystyle \operatorname {P} (X\leq m)=\int _{-\infty }^{m}{f(x)\,dx}={\frac {1}{2}}} و P⁡(X≥م)=∫م∞و(x)دx=12.{\displaystyle \operatorname {P} (X\geq m)=\int _{m}^{\infty }{f(x)\,dx}={\frac {1}{2}}\,.}

أي توزيع احتمالي على مجموعة الأعداد الحقيقيةR{\displaystyle \mathbb {R} }يحتوي على وسيط واحد على الأقل، ولكن في الحالات المرضية قد يكون هناك أكثر من وسيط واحد: إذا كانت F ثابتة 1/2 على فترة (بحيث f = 0 هناك)، فإن أي قيمة لتلك الفترة هي وسيط.

الوسائط لتوزيعات معينة

يمكن حساب الوسائط لأنواع معينة من التوزيعات بسهولة من معلماتها؛ علاوة على ذلك، فهي موجودة حتى بالنسبة لبعض التوزيعات التي تفتقر إلى متوسط ​​محدد جيدًا، مثل توزيع كوشي :

ملكيات

خاصية الأمثلية

متوسط ​​الخطأ المطلق لمتغير حقيقي m بالنسبة للمتغير العشوائي X هو  هـ⁡[|X-م|]{\displaystyle \operatorname {E} \left[\left|X-m\right|\right]} بشرط أن يكون التوزيع الاحتمالي لـ X بحيث يتحقق التوقع المذكور أعلاه، فإن m يكون وسيطًا لـ X إذا وفقط إذا كان m يُقلل متوسط ​​الخطأ المطلق بالنسبة إلى X. [ 11 ] على وجه الخصوص، إذا كان m وسيطًا للعينة، فإنه يُقلل المتوسط ​​الحسابي للانحرافات المطلقة. [ 12 ] مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أنه في الحالات التي تحتوي فيها العينة على عدد زوجي من العناصر، فإن هذا المُقلل ليس فريدًا.

يُعد هذا التعريف القائم على التحسين للوسيط مفيدًا في تحليل البيانات الإحصائية، على سبيل المثال، في تجميع k- الوسيط .

عدم المساواة المتعلقة بالمتوسطات والوسائط

مقارنة المتوسط ​​والوسيط والمنوال لتوزيعين لوغاريتميين طبيعيين ذوي انحرافات مختلفة

إذا كان للتوزيع تباين محدود، فإن المسافة بين الوسيطX~{\displaystyle {\tilde {X}}}والمتوسطX¯{\displaystyle {\bar {X}}}محصور بانحراف معياري واحد .

تم إثبات هذا الحد بواسطة بوك وشير في عام 1979 للعينات المنفصلة، ​​[ 13 ] وبشكل أعم بواسطة بيج ومورتي في عام 1982. [ 14 ] في تعليق على برهان لاحق لأوكينيدي، [ 15 ] قدم مالوز في عام 1991 برهانًا موجزًا ​​يستخدم متباينة جنسن مرتين، [ 16 ] كما يلي. باستخدام |·| للقيمة المطلقة ، لدينا

|μ-م|=|هـ⁡(X-م)|≤هـ⁡(|X-م|)≤هـ⁡(|X-μ|)≤هـ⁡((X-μ)2)=σ.{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\mu -m\right|=\left|\operatorname {E} (X-m)\right|&\leq \operatorname {E} \left(\left|X-m\right|\right)\\[2ex]&\leq \operatorname {E} \left(\left|X-\mu \right|\right)\\[1ex]&\leq {\sqrt {\operatorname {E} \left({\left(X-\mu \right)}^{2}\right)}}=\sigma .\end{aligned}}}

تنشأ المتباينتان الأولى والثالثة من متباينة جنسن المطبقة على دالة القيمة المطلقة ودالة التربيع، وهما دالتان محدبتان. أما المتباينة الثانية فتنشأ من حقيقة أن الوسيط يُقلل دالة الانحراف المطلق.أ↦هـ⁡[|X-أ|]{\displaystyle a\mapsto \operatorname {E} [|X-a|]}.

يمكن تعميم برهان مالوز للحصول على نسخة متعددة المتغيرات من المتباينة [ 17 ] ببساطة عن طريق استبدال القيمة المطلقة بمعيار : ‖μ-م‖≤هـ⁡(‖X-μ‖2)=يتعقب⁡(متغير⁡(X)){\displaystyle \left\|\mu -m\right\|\leq {\sqrt {\operatorname {E} \left({\left\|X-\mu \right\|}^{2}\right)}}={\sqrt {\operatorname {trace} \left(\operatorname {var} (X)\right)}}}

حيث m هو الوسيط المكاني ، أي القيمة الصغرى للدالةأ↦هـ⁡(‖X-أ‖).{\displaystyle a\mapsto \operatorname {E} (\|X-a\|).\,}يكون الوسيط المكاني فريدًا عندما يكون بُعد مجموعة البيانات اثنين أو أكثر. [ 18 ] [ 19 ]

يستخدم برهان بديل متباينة تشيبيشيف أحادية الجانب؛ وتظهر هذه المتباينة في متباينة تتعلق بمعاملات الموقع والمقياس . وتنتج هذه الصيغة أيضًا مباشرةً من متباينة كانتيللي . [ 20 ]

التوزيعات أحادية النمط

في حالة التوزيعات أحادية النمط ، يمكن للمرء أن يحقق حدًا أدق للمسافة بين الوسيط والمتوسط: [ 21 ]

|X~-X¯|≤(35)1/2σ≈0.7746σ.{\displaystyle \left|{\tilde {X}}-{\bar {X}}\right|\leq \left({\frac {3}{5}}\right)^{1/2}\sigma \approx 0.7746\sigma .}

توجد علاقة مماثلة بين الوسيط والمنوال:

|X~-مoدهـ|≤31/2σ≈1.732σ.{\displaystyle \left|{\tilde {X}}-\mathrm {mode} \right|\leq 3^{1/2}\sigma \approx 1.732\sigma .}

يكون المتوسط ​​أكبر من الوسيط في التوزيعات الرتيبة.

المتوسط، والوسيط، والالتواء

من القواعد التقريبية الشائعة أن التوزيعات الملتوية إيجابياً يكون متوسطها أكبر من وسيطها. ينطبق هذا على جميع أفراد عائلة توزيع بيرسون . مع ذلك، لا يصح هذا دائماً. على سبيل المثال، تحتوي عائلة توزيع ويبول على أفراد بمتوسط ​​موجب، لكن متوسطهم أصغر من وسيطهم. وتكثر حالات انتهاك هذه القاعدة في التوزيعات المنفصلة. على سبيل المثال، أي توزيع بواسون يكون ملتوياً إيجابياً، لكن متوسطه أصغر من وسيطه عندما يكون متوسطه أصغر من وسيطه.μمود1>ln⁡2{\displaystyle \mu {\bmod {1}}>\ln 2}[ 22 ] انظر [ 23 ] للحصول على رسم توضيحي للإثبات .

عندما يكون للتوزيع كثافة احتمالية متناقصة بشكل رتيب، يكون الوسيط أقل من المتوسط، كما هو موضح في الشكل.

متباينة جنسن للوسائط

تنص متباينة جنسن على أنه لأي متغير عشوائي X ذي قيمة متوقعة محدودة E [ X ] ولأي دالة محدبة f

و(هـ⁡(x))≤هـ⁡(و(x)){\displaystyle f(\operatorname {E} (x))\leq \operatorname {E} (f(x))}

تُعمَّم هذه المتباينة على الوسيط أيضًا. نقول إن الدالة f : R → R هي دالة من الفئة C إذا كان، لأي t ،

و-1((-∞،ت])={x∈R|و(x)≤ت}{\displaystyle f^{-1}\left(\,(-\infty ,t]\,\right)=\{x\in \mathbb {R} \mid f(x)\leq t\}} هي فترة مغلقة (تسمح بالحالات المنحلة لنقطة واحدة أو مجموعة فارغة ). كل دالة محدبة هي دالة من الفئة C، ولكن العكس غير صحيح. إذا كانت f دالة من الفئة C، فإن

و(ميد⁡[X])≤ميد⁡[و(X)]{\displaystyle f(\operatorname {med} [X])\leq \operatorname {med} [f(X)]}

إذا لم تكن الوسائط فريدة، فإن العبارة تنطبق على القيم العليا المقابلة. [ 24 ]

الوسائط للعينات

حساب فعال للوسيط العيني

على الرغم من أن فرز n عنصرًا بالمقارنة يتطلب Ω ( n log n ) عملية، إلا أن خوارزميات الاختيار تستطيع حساب أصغر عنصر من بين n عنصرًا باستخدام Θ( n ) عملية فقط. يشمل ذلك الوسيط، وهو إحصائية الترتيب n / 2 (أو، في حالة عدد زوجي من العينات، المتوسط ​​الحسابي لإحصائيتي الترتيب الأوسط). [ 25 ]

لا تزال خوارزميات الاختيار تعاني من عيب يتمثل في حاجتها إلى ذاكرة بحجم Ω( n ) ، أي أنها تحتاج إلى تخزين العينة كاملةً (أو جزء منها بحجم خطي) في الذاكرة. ولأن هذا، بالإضافة إلى متطلبات الوقت الخطي، قد يكون مكلفًا للغاية، فقد طُوّرت عدة إجراءات لتقدير الوسيط. أحد هذه الإجراءات البسيطة هو قاعدة وسيط الثلاثة، التي تُقدّر الوسيط على أنه وسيط عينة فرعية مكونة من ثلاثة عناصر؛ ويُستخدم هذا الإجراء عادةً كإجراء فرعي في خوارزمية الفرز السريع ، التي تستخدم تقديرًا لوسيط المدخلات. أما المُقدِّر الأكثر قوة فهو قاعدة توكي التاسعة ، وهي قاعدة وسيط الثلاثة مُطبّقة مع تكرار محدود: [ 26 ] إذا كانت A هي العينة مُرتبة على شكل مصفوفة ، و

med3( A ) = med( A [1], A [ ⁠ n / 2 ⁠ ], A [ n ]) ,

ثم

التاسع( A ) = med(med3( A [1 ... ⁠ 1 / 3 ⁠ n ]), med3( A [ ⁠ 1 / 3 ⁠ n ... ⁠ 2 / 3 ⁠ n ]), med3( A [ ⁠ 2 / 3 ⁠ n ... n ]))

يُعدّ المُعْدِين مُقَدِّرًا للوسيط يتطلب وقتًا خطيًا ولكن ذاكرة دون الخطية، ويعمل في تمريرة واحدة على العينة. [ 27 ]

توزيع المعاينة

تم تحديد توزيع كل من متوسط ​​العينة ووسيط العينة بواسطة لابلاس . [ 28 ] توزيع وسيط العينة من مجتمع ذي دالة كثافة احتماليةو(x){\displaystyle f(x)}يتبع التوزيع الطبيعي التقاربي بمتوسطم{\displaystyle m}والتباين [ 29 ]

14نو(م)2{\displaystyle {\frac {1}{4nf(m)^{2}}}}

أينم{\displaystyle m}هو الوسيط لـو(x){\displaystyle f(x)}ون{\displaystyle n}حجم العينة:

الوسيط العيني∼شمال(μ=م،σ2=14نو(م)2){\displaystyle {\text{Sample median}}\sim {\mathcal {N}}{\left(\mu {=}m,\,\sigma ^{2}{=}{\frac {1}{4nf(m)^{2}}}\right)}}

يُقدّم فيما يلي برهان حديث. تُفهم نتيجة لابلاس الآن على أنها حالة خاصة من التوزيع التقاربي للكميات العشوائية .

بالنسبة للعينات العادية، تكون الكثافةو(م)=1/2πσ2{\displaystyle f(m)=1/{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}وبالتالي، بالنسبة للعينات الكبيرة، فإن تباين الوسيط يساوي(π/2)⋅(σ2/ن).{\displaystyle ({\pi }/{2})\cdot (\sigma ^{2}/n).}[ 7 ] (انظر أيضًا القسم#الكفاءةأدناه.)

اشتقاق التوزيع التقاربي

نعتبر حجم العينة عددًا فرديًاشمال=2ن+1{\displaystyle N=2n+1}وبافتراض أن متغيرنا مستمر، فإن صيغة حالة المتغيرات المنفصلة موضحة أدناه في قسم  الكثافة المحلية التجريبية . يمكن تلخيص العينة على أنها "أقل من الوسيط"، و"عند الوسيط"، و"أعلى من الوسيط"، وهو ما يتوافق مع توزيع ثلاثي الحدود باحتمالات F(v){\displaystyle F(v)}،و(v){\displaystyle f(v)}و 1-F(v){\displaystyle 1-F(v)}بالنسبة للمتغير المستمر، فإن احتمال أن تكون قيم عينات متعددة مساوية تمامًا للوسيط يساوي صفرًا، لذا يمكن حساب كثافة الاحتمال عند تلك النقطة.v{\displaystyle v}مباشرة من التوزيع الثلاثي الحدود:

برو[ميد=v]دv=(2ن+1)!ن!ن!F(v)ن(1-F(v))نو(v)دv.{\displaystyle \Pr[\operatorname {med} =v]\,dv={\frac {(2n+1)!}{n!n!}}F(v)^{n}(1-F(v))^{n}f(v)\,dv.}

والآن نقدم دالة بيتا. بالنسبة للوسائط الصحيحةα{\displaystyle \alpha }وβ{\displaystyle \beta }ويمكن التعبير عن ذلك على النحو التالي:ب(α،β)=(α-1)!(β-1)!(α+β-1)!{\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )={\frac {(\alpha -1)!(\beta -1)!}{(\alpha +\beta -1)!}}}وتذكر أيضًا أنو(v)دv=دF(v){\displaystyle f(v)\,dv=dF(v)}باستخدام هذه العلاقات وتحديد كليهماα{\displaystyle \alpha }وβ{\displaystyle \beta }يساوي ن+1{\displaystyle n+1}يسمح بكتابة التعبير الأخير على النحو التالي

F(v)ن(1-F(v))نب(ن+1،ن+1)دF(v){\displaystyle {\frac {F(v)^{n}(1-F(v))^{n}}{\mathrm {B} (n+1,n+1)}}\,dF(v)}

وبالتالي فإن دالة كثافة الوسيط هي توزيع بيتا متماثل مدفوع للأمام بواسطةF{\displaystyle F}متوسطها، كما هو متوقع، هو 0.5 وتباينها هو 1/(4(شمال+2)){\displaystyle 1/(4(N+2))}باستخدام قاعدة السلسلة ، يكون التباين المقابل لوسيط العينة هو

14(شمال+2)و(م)2.{\displaystyle {\frac {1}{4(N+2)f(m)^{2}}}.}

إن الرقم 2 الإضافي ضئيل في هذه الحالة .

الكثافة المحلية التجريبية

عملياً، الوظائفو{\displaystyle f}وF{\displaystyle F}غالباً ما تكون القيم المذكورة أعلاه غير معروفة أو مفترضة. مع ذلك، يمكن تقديرها من خلال توزيع التكرار المرصود. في هذا القسم، نقدم مثالاً. انظر إلى الجدول التالي، الذي يمثل عينة من 3800 مشاهدة (ذات قيم منفصلة):

v00.511.522.533.544.55
f ( v )0.0000.0080.0100.0130.0830.1080.3280.2200.2020.0230.005
F ( v )0.0000.0080.0180.0310.1140.2220.5500.7700.9720.9951.000

لأن المشاهدات ذات قيم منفصلة، ​​فإن بناء التوزيع الدقيق للوسيط ليس ترجمة مباشرة للتعبير أعلاه لـبرو(ميد=v){\displaystyle \Pr(\operatorname {med} =v)}قد يكون لدى المرء (وعادةً ما يكون لديه) عدة قيم للوسيط في عينته. لذلك يجب علينا جمع كل هذه الاحتمالات:

برو(ميد=v)=∑أنا=0ن∑ك=0نشمال!أنا!(شمال-أنا-ك)!ك!F(v-1)أنا(1-F(v))كو(v)شمال-أنا-ك{\displaystyle \Pr(\operatorname {med} =v)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{k=0}^{n}{\frac {N!}{i!(N-i-k)!k!}}F(v-1)^{i}(1-F(v))^{k}f(v)^{N-i-k}}

هنا، يمثل i عدد النقاط الأقل من الوسيط، ويمثل k عدد النقاط الأكبر منه.

باستخدام هذه البيانات التمهيدية، يمكن دراسة تأثير حجم العينة على الخطأ المعياري للمتوسط ​​والوسيط. المتوسط ​​المُلاحظ هو 3.16، والوسيط الخام المُلاحظ هو 3، والوسيط المُستنتج المُلاحظ هو 3.174. يوضح الجدول التالي بعض الإحصاءات المقارنة.

حجم العينة
إحصائية
391521
القيمة المتوقعة للوسيط3.1983.1913.1743.161
الخطأ المعياري للوسيط (الصيغة أعلاه)0.4820.3050.2570.239
الخطأ المعياري للوسيط (التقريب التقاربي)0.8790.5080.3930.332
الخطأ المعياري للمتوسط0.4210.2430.1880.159

ينخفض ​​متوسط ​​القيمة المتوقعة للوسيط انخفاضًا طفيفًا مع ازدياد حجم العينة، بينما تتناسب الأخطاء المعيارية لكل من الوسيط والمتوسط، كما هو متوقع، عكسيًا مع الجذر التربيعي لحجم العينة. ويُظهر التقريب التقاربي حذرًا مفرطًا في تقدير الخطأ المعياري.

تقدير التباين من بيانات العينة

قيمة(2و(x))-2{\displaystyle (2f(x))^{-2}}—القيمة التقاربية لـن-1/2(ν-م){\displaystyle n^{-1/2}(\nu -m)}أينν{\displaystyle \nu }الوسيط السكاني - وقد درسه العديد من الباحثين. تُنتج طريقة " حذف واحد" القياسية نتائج غير متسقة . [ 30 ] هناك بديل - طريقة "حذف k" - حيثك{\displaystyle k}وقد ثبت أن هذه الطريقة، التي تنمو مع حجم العينة، تتسم بالاتساق التقاربي. [ 31 ] قد تكون هذه الطريقة مكلفة حسابيًا لمجموعات البيانات الكبيرة. من المعروف أن تقدير بوتستراب متسق، [ 32 ] ولكنه يتقارب ببطء شديد ( من رتبةن-14{\displaystyle n^{-{\frac {1}{4}}}}[ 33 ] تم اقتراح طرق أخرى، لكن سلوكها قد يختلف بين العينات الكبيرة والصغيرة . [ 34 ]

كفاءة

تعتمد كفاءة الوسيط العيني، التي تُقاس كنسبة تباين المتوسط ​​إلى تباين الوسيط، على حجم العينة وعلى التوزيع السكاني الأساسي. بالنسبة لعينة بحجمشمال=2ن+1{\displaystyle N=2n+1}انطلاقاً من التوزيع الطبيعي ، تكون الكفاءة لقيم N الكبيرة هي

2πشمال+2شمال{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}{\frac {N+2}{N}}}

تميل الكفاءة إلى2π{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}}مثلشمال{\displaystyle N}يميل إلى اللانهاية.

بمعنى آخر، سيكون التباين النسبي للوسيط هوπ/2≈1.57{\displaystyle \pi /2\approx 1.57}أو أكبر بنسبة 57% من تباين المتوسط ​​- سيكون الخطأ المعياري النسبي للوسيط هو(π/2)12≈1.25{\displaystyle (\pi /2)^{\frac {1}{2}}\approx 1.25}أو أكبر بنسبة 25% من الخطأ المعياري للمتوسط ،σ/ن{\displaystyle \sigma /{\sqrt {n}}}(انظر أيضًا القسم #توزيع المعاينة أعلاه). [ 35 ]

مقدرات أخرى

بالنسبة للتوزيعات أحادية المتغير المتناظرة حول وسيط واحد، فإن مقدر هودجز-ليمان هو مقدر قوي وفعال للغاية لوسيط المجتمع. [ 36 ]

إذا مُثِّلت البيانات بنموذج إحصائي يُحدد عائلة معينة من التوزيعات الاحتمالية ، فإنه يُمكن الحصول على تقديرات الوسيط من خلال مُطابقة تلك العائلة من التوزيعات الاحتمالية مع البيانات وحساب الوسيط النظري للتوزيع المُطابق. يُعدّ استيفاء باريتو أحد تطبيقات ذلك عندما يُفترض أن المجتمع الإحصائي يتبع توزيع باريتو .

الوسيط متعدد المتغيرات

تناولت هذه المقالة سابقًا الوسيط أحادي المتغير، عندما تكون العينة أو المجتمع أحادي البعد. أما عندما يكون البعد اثنين أو أكثر، فتوجد مفاهيم متعددة تُوسّع تعريف الوسيط أحادي المتغير؛ ويتفق كل وسيط متعدد المتغيرات من هذه الوسائط مع الوسيط أحادي المتغير عندما يكون البعد واحدًا فقط. [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]

الوسيط الهامشي

يُعرَّف الوسيط الهامشي للمتجهات المُعرَّفة بالنسبة لمجموعة ثابتة من الإحداثيات. ويُعرَّف الوسيط الهامشي بأنه المتجه الذي تكون عناصره وسائط أحادية المتغير. يسهل حساب الوسيط الهامشي، وقد درس بوري وسين خصائصه [ 36 ] [ 40 ].

الوسيط الهندسي

الوسيط الهندسي لمجموعة منفصلة من نقاط العينةx1،...xشمال{\displaystyle x_{1},\ldots x_{N}}في الفضاء الإقليدي، تكون النقطة [ أ ] هي التي تقلل مجموع المسافات إلى نقاط العينة.

μ^=أرزمأنانμ∈Rم∑ن=1شمال‖μ-xن‖2{\displaystyle {\hat {\mu }}={\underset {\mu \in \mathbb {R} ^{m}}{\operatorname {arg\,min} }}\sum _{n=1}^{N}\left\|\mu -x_{n}\right\|_{2}}

وعلى النقيض من الوسيط الهامشي، فإن الوسيط الهندسي متغير بالنسبة لتحويلات التشابه الإقليدية مثل الإزاحات والدورانات .

الوسيط في جميع الاتجاهات

إذا تطابقت الوسائط الهامشية لجميع أنظمة الإحداثيات، فيمكن تسمية موقعها المشترك بـ "الوسيط في جميع الاتجاهات". [ 42 ] يرتبط هذا المفهوم بنظرية التصويت استنادًا إلى نظرية الناخب الوسيط . فعند وجوده، يتطابق الوسيط في جميع الاتجاهات مع الوسيط الهندسي (على الأقل بالنسبة للتوزيعات المنفصلة).

سنتربوينت

في الإحصاء والهندسة الحسابية ، يُعد مفهوم النقطة المركزية تعميمًا للوسيط ليشمل البيانات في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد الأعلى . فعند وجود مجموعة من النقاط في فضاء ذي بُعد d ، تُعرَّف النقطة المركزية بأنها نقطة بحيث يقسم أي مستوى فائق يمر بها مجموعة النقاط إلى مجموعتين فرعيتين متساويتين تقريبًا: يجب أن تحتوي المجموعة الأصغر على ما لا يقل عن 1/( d  +  1) من النقاط. وكما هو الحال مع الوسيط، لا يشترط أن تكون النقطة المركزية إحدى نقاط البيانات. فكل مجموعة نقاط غير فارغة (بدون تكرارات) تحتوي على نقطة مركزية واحدة على الأقل.

الوسيط الشرطي

يُستخدم الوسيط الشرطي في الحالة التي نسعى فيها إلى تقدير متغير عشوائيX{\displaystyle X}من متغير عشوائيY{\displaystyle Y}، وهو نسخة صاخبة منX{\displaystyle X}الوسيط الشرطي في هذا السياق يُعطى بالصيغة التالية:

م(X|Y=y)=FX|Y=y-1(12){\displaystyle m(X|Y=y)=F_{X|Y=y}^{-1}\left({\frac {1}{2}}\right)} أينت↦FX|Y=y-1(ت){\displaystyle t\mapsto F_{X|Y=y}^{-1}(t)}هو معكوس دالة التوزيع التراكمي الشرطي (أي دالة الكمية الشرطية) لـx↦FX|Y(x|y){\displaystyle x\mapsto F_{X|Y}(x|y)}على سبيل المثال، أحد النماذج الشائعة هوY=X+Z{\displaystyle Y=X+Z}أينZ{\displaystyle Z}التوزيع الطبيعي القياسي مستقل عنX{\displaystyle X}الوسيط الشرطي هو الأمثل في نظرية بايزل1{\displaystyle L_{1}}المُقدِّر:

م(X|Y=y)=arg⁡مينوهـ⁡[|X-و(Y)|]{\displaystyle m(X|Y=y)=\arg \min _{f}\operatorname {E} \left[|X-f(Y)|\right]}

من المعروف أن هذا النموذجY=X+Z{\displaystyle Y=X+Z}أينZ{\displaystyle Z}التوزيع الطبيعي القياسي مستقل عنX{\displaystyle X}يكون المُقدِّر خطيًا إذا وفقط إذاX{\displaystyle X}هو توزيع غاوسي. [ 43 ]

الوسيط المُستكمل

عند التعامل مع متغير منفصل، يكون من المفيد أحيانًا اعتبار القيم المرصودة بمثابة نقاط منتصف لفترات متصلة أساسية. مثال على ذلك مقياس ليكرت ، حيث تُعبّر الآراء أو التفضيلات على مقياس ذي عدد محدد من الاستجابات الممكنة. إذا كان المقياس يتكون من الأعداد الصحيحة الموجبة، فيمكن اعتبار القيمة 3 ممثلة للفترة من 2.50 إلى 3.50. من الممكن تقدير الوسيط للمتغير الأساسي. فإذا كانت، على سبيل المثال، 22% من القيم المرصودة تساوي 2 أو أقل، و55% منها تساوي 3 أو أقل (أي أن 33% منها تساوي 3)، فإن الوسيط هوم{\displaystyle m}القيمة 3 لأن الوسيط هو أصغر قيمة لـx{\displaystyle x}والتيF(x){\displaystyle F(x)}أكبر من النصف. لكن الوسيط المُستنتج يقع في مكان ما بين 2.50 و 3.50. أولًا، نضيف نصف عرض الفترة.w{\displaystyle w}نقرب القيم إلى الوسيط للحصول على الحد الأعلى لفترة الوسيط. ثم نطرح نسبة من عرض الفترة تساوي نسبة الـ 33% التي تقع فوق علامة 50%. بعبارة أخرى، نقسم عرض الفترة تناسبياً مع عدد المشاهدات. في هذه الحالة، تُقسم نسبة الـ 33% إلى 28% أسفل الوسيط و5% أعلاه، لذا نطرح 5/33 من عرض الفترة من الحد الأعلى البالغ 3.50 لنحصل على وسيط مُستنبط قدره 3.35. بتعبير أدق، إذا كانت القيمو(x){\displaystyle f(x)}إذا كانت القيم معروفة، فيمكن حساب الوسيط المُستنبط من

معدد صحيح=م+w[12-F(م)-12و(م)].{\displaystyle m_{\text{int}}=m+w\left[{\frac {1}{2}}-{\frac {F(m)-{\frac {1}{2}}}{f(m)}}\right].}

أو بدلاً من ذلك، إذا كانت هناك في عينة مُرصَدةك{\displaystyle k}الدرجات التي تتجاوز الفئة المتوسطة،ج{\displaystyle j}الدرجات فيه وأنا{\displaystyle i}إذا كانت الدرجات أقل من ذلك، فإن الوسيط المُستنتج يُعطى بالصيغة التالية:

معدد صحيح=م+w2[ك-أناج].{\displaystyle m_{\text{int}}=m+{\frac {w}{2}}\left[{\frac {k-i}{j}}\right].}

الوسيط الزائف

بالنسبة للتوزيعات أحادية المتغير المتناظرة حول وسيط واحد، يُعدّ مُقدِّر هودجز-ليمان مُقدِّرًا قويًا وفعالًا للغاية لوسيط المجتمع؛ أما بالنسبة للتوزيعات غير المتناظرة، فيُعدّ مُقدِّر هودجز-ليمان مُقدِّرًا قويًا وفعالًا للغاية لشبه وسيط المجتمع ، وهو وسيط التوزيع المتناظر والقريب من وسيط المجتمع. [ 44 ] وقد عُمِّم مُقدِّر هودجز-ليمان ليشمل التوزيعات متعددة المتغيرات. [ 45 ]

أنواع الانحدار

مقدر ثيل -سين هو طريقة للانحدار الخطي القوي تعتمد على إيجاد وسيطات المنحدرات . [ 46 ]

مرشح الوسيط

يُعد مرشح الوسيط أداة مهمة في معالجة الصور ، حيث يمكنه إزالة أي ضوضاء ملح وفلفل من الصور الرمادية بشكل فعال.

تحليل التجميع

في تحليل التجميع ، توفر خوارزمية التجميع k-medians طريقة لتحديد المجموعات، حيث يتم استبدال معيار زيادة المسافة بين متوسطات المجموعات المستخدم في تجميع k-means بزيادة المسافة بين وسيطات المجموعات.

خط الوسيط - خط الوسيط

هذه طريقة من طرق الانحدار القوي. تعود الفكرة إلى والد في عام 1940 الذي اقترح تقسيم مجموعة من البيانات ثنائية المتغيرات إلى نصفين اعتمادًا على قيمة المعلمة المستقلة.x{\displaystyle x}: نصف أيسر بقيم أقل من الوسيط ونصف أيمن بقيم أكبر من الوسيط. [ 47 ] واقترح أخذ متوسطات المتغيرات التابعةy{\displaystyle y}ومستقلx{\displaystyle x}يتم حساب متغيرات النصفين الأيمن والأيسر، وتقدير ميل الخط الواصل بين هاتين النقطتين. بعد ذلك، يمكن تعديل الخط ليتناسب مع غالبية النقاط في مجموعة البيانات.

اقترح ناير وشريفاستافا في عام 1942 فكرة مماثلة، لكنهما دعيا إلى تقسيم العينة إلى ثلاثة أجزاء متساوية قبل حساب متوسطات العينات الفرعية. [ 48 ] وفي عام 1951، اقترح براون ومود استخدام وسيطي عينتين فرعيتين بدلاً من المتوسطات. [ 49 ] جمع توكي بين هذه الأفكار، وأوصى بتقسيم العينة إلى ثلاث عينات فرعية متساوية الحجم، وتقدير الخط بناءً على وسيطي هذه العينات الفرعية. [ 50 ]

المقدرات غير المتحيزة للوسيط

أي مُقدِّر غير متحيز للمتوسط ​​يُقلِّل من المخاطرة ( الخسارة المتوقعة ) بالنسبة لدالة خسارة مربع الخطأ ، كما لاحظ غاوس . أما المُقدِّر غير المتحيز للوسيط فيُقلِّل من المخاطرة بالنسبة لدالة خسارة الانحراف المطلق ، كما لاحظ لابلاس . تُستخدم دوال خسارة أخرى في النظرية الإحصائية ، وخاصة في الإحصاءات القوية .

أعاد جورج دبليو براون إحياء نظرية المقدرات غير المتحيزة للوسيط في عام 1947: [ 51 ]

يُقال إن تقديرًا لمعامل أحادي البعد θ غير متحيز للوسيط إذا كان، عند قيمة ثابتة لـ θ، وسيط توزيع التقدير عند القيمة θ؛ أي أن التقدير يُقلل من القيمة الحقيقية بنفس القدر الذي يُبالغ فيه. ويبدو أن هذا الشرط، في معظم الحالات، يُحقق نفس فائدة شرط عدم التحيز للمتوسط، وله خاصية إضافية تتمثل في ثباته تحت التحويل الأحادي.

— الصفحة 584

تم الإبلاغ عن خصائص أخرى للمقدرات غير المتحيزة للوسيط. [ 52 ] [ 53 ] [ 54 ] [ 55 ]

توجد طرق لبناء مُقدِّرات غير متحيزة للوسيط تُعتبر مثالية (بمعنى مشابه لخاصية الحد الأدنى للتباين للمُقدِّرات غير المتحيزة للمتوسط). توجد مثل هذه الطرق لتوزيعات الاحتمال ذات دوال الاحتمال الرتيبة . [ 56 ] [ 57 ] أحد هذه الإجراءات هو إجراء مماثل لإجراء راو-بلاك ويل للمُقدِّرات غير المتحيزة للمتوسط: ينطبق هذا الإجراء على فئة أصغر من توزيعات الاحتمال مقارنةً بإجراء راو-بلاك ويل، ولكنه ينطبق على فئة أكبر من دوال الخسارة . [ 58 ]

تاريخ

يبدو أن الباحثين العلميين في الشرق الأدنى القديم لم يستخدموا الإحصاءات الموجزة على الإطلاق، بل اختاروا قيمًا تُحقق أقصى قدر من الاتساق مع نظرية أوسع نطاقًا تُدمج طيفًا واسعًا من الظواهر. [ 59 ] وفي الأوساط الأكاديمية المتوسطية (ثم الأوروبية لاحقًا)، تُعتبر الإحصاءات كالمتوسط ​​الحسابي تطورًا يعود أساسًا إلى العصور الوسطى وبداية العصر الحديث. (ولا يزال تاريخ الوسيط خارج أوروبا وما سبقها من حضارات غير مدروس بشكل كافٍ).

ظهرت فكرة الوسيط في القرن السادس في التلمود ، من أجل تحليل التقييمات المتباينة بشكل عادل . [ 60 ] [ 61 ] ومع ذلك، لم ينتشر المفهوم إلى المجتمع العلمي الأوسع.

بدلاً من ذلك، يُعدّ المدى المتوسط ، الذي ابتكره البيروني [ 62 ] : 31 [ 63 ]، أقرب سلف للوسيط الحديث . ولا يزال انتقال عمله إلى الباحثين اللاحقين غير واضح. فقد طبّق البيروني أسلوبه في فحص معادن العملات، ولكن بعد نشره لعمله، ظلّ معظم الفاحصين يعتمدون القيمة الأقل ملاءمة من نتائجهم، خشية أن يُنظر إليهم على أنهم يغشّون . [ 62 ] : 35-38 [ 64 ] ومع ذلك، فإنّ ازدياد الملاحة البحرية خلال عصر الاكتشافات يعني أنّه بات على ملاحي السفن محاولة تحديد خط العرض في ظروف جوية غير مواتية في مواجهة سواحل معادية، مما أدّى إلى تجدد الاهتمام بالإحصاءات الموجزة. وسواء أُعيد اكتشاف المدى المتوسط ​​أو تمّ ابتكاره بشكل مستقل، فقد أوصى به هاريوت للملاحين البحريين في "تعليمات رحلة رالي إلى غيانا، 1595". [ 62 ] : 45-48

ربما ظهرت فكرة الوسيط لأول مرة في كتاب إدوارد رايت " أخطاء معينة في الملاحة" الصادر عام 1599 ، في قسمٍ يتناول الملاحة بالبوصلة . [ 65 ] كان رايت مترددًا في استبعاد القيم المقاسة، وربما رأى أن الوسيط - الذي يشمل نسبة أكبر من البيانات مقارنةً بالمدى المتوسط ​​- هو الأرجح أن يكون صحيحًا. مع ذلك، لم يُقدّم رايت أمثلةً على استخدام أسلوبه، مما يجعل من الصعب التحقق من أنه وصف المفهوم الحديث للوسيط. [ 59 ] [ 63 ] [ ب ] ظهر الوسيط (في سياق الاحتمالات) بالتأكيد في مراسلات كريستيان هيغنز ، ولكن كمثال على إحصائية غير مناسبة للممارسة الإكتوارية . [ 59 ]

يعود أول توصية باستخدام الوسيط إلى عام 1757، عندما طور روجر جوزيف بوسكوفيتش طريقة انحدار تعتمد على معيار L1 ، وبالتالي ضمنيًا على الوسيط. [ 59 ] [ 66 ] في عام 1774، أوضح لابلاس هذه الرغبة صراحةً: فقد اقترح استخدام الوسيط كمُقدِّر معياري لقيمة دالة كثافة الاحتمال اللاحقة . وكان المعيار المحدد هو تقليل الحجم المتوقع للخطأ.|α-α*|{\displaystyle |\alpha -\alpha ^{*}|}أينα*{\displaystyle \alpha ^{*}}هذا هو التقدير وα{\displaystyle \alpha }هي القيمة الحقيقية. ولتحقيق هذه الغاية، حدد لابلاس توزيعات كل من متوسط ​​العينة ووسيطها في أوائل القرن التاسع عشر. [ 28 ] [ 67 ] ومع ذلك، بعد عقد من الزمن، طور غاوس وليجندر طريقة المربعات الصغرى ، التي تقلل من(α-α*)2{\displaystyle (\alpha -\alpha ^{*})^{2}}للحصول على المتوسط؛ إن التبرير القوي لهذا المقدر بالرجوع إلى تقدير الاحتمال الأقصى بناءً على التوزيع الطبيعي يعني أنه قد حل محل اقتراح لابلاس الأصلي إلى حد كبير. [ 68 ]

كان أنطوان أوغستين كورنو أول من استخدم مصطلح الوسيط ( valeur médiane ) عام 1843 للدلالة على القيمة التي تقسم توزيع الاحتمالات إلى نصفين متساويين. [ 69 ] استخدم غوستاف تيودور فيشنر الوسيط ( Centralwerth ) في الظواهر الاجتماعية والنفسية. [ 70 ] وكان استخدامه مقتصراً سابقاً على علم الفلك والمجالات ذات الصلة. وقد ساهم فيشنر في نشر مفهوم الوسيط في التحليل الرسمي للبيانات، على الرغم من أن لابلاس كان قد استخدمه سابقاً، [ 70 ] وظهر الوسيط في كتاب مدرسي من تأليف إف واي إيدجوورث . [ 71 ] استخدم فرانسيس غالتون مصطلح الوسيط عام 1881، [ 72 ] [ 73 ] بعد أن استخدم سابقاً مصطلحي القيمة الوسطى عام 1869 والوسيط عام 1880. [ 74 ] [ 75 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ يكون الوسيط الهندسي فريدًا ما لم تكن العينة متوازية. [ 41 ]
  2. ↑ يبدو أن الباحثين اللاحقين يتفقون مع أيزنهاورت على أن أرقام بوروز لعام 1580، على الرغم من أنها توحي بالوسيط، إلا أنها في الواقع تصف المتوسط ​​الحسابي.؛ [ 62 ] : 62-3 لم يتم ذكر بوروز في أي عمل آخر.

مراجع

  1. 1 2 وايسشتاين، إريك دبليو. "الوسيط الإحصائي" . عالم الرياضيات .
  2. ↑ سيمون، لورا جيه؛ "الإحصاء الوصفي" مؤرشف في 30 يوليو 2010 على موقع Wayback Machine ، مجموعة موارد التعليم الإحصائي ، وزارة الإحصاء بولاية بنسلفانيا
  3. 1 2 ديريك بيسيل (1994). الأساليب الإحصائية للتحكم الإحصائي في العمليات وإدارة الجودة الشاملة . مطبعة سي آر سي. ص 26 وما يليها. ISBN  978-0-412-39440-9تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 فبراير 2013 .
  4. ↑ ديفيد ج. شيسكين (27 أغسطس 2003). دليل الإجراءات الإحصائية البارامترية وغير البارامترية ( الطبعة الثالثة). مطبعة سي آر سي. ص 7. ISBN   978-1-4200-3626-8تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 فبراير 2013 .
  5. ↑ بول ت. فون هيبل (2005). "المتوسط، والوسيط، والالتواء: تصحيح قاعدة من قواعد الكتب الدراسية" . مجلة تعليم الإحصاء . 13 (2). مؤرشف من الأصل بتاريخ 14 أكتوبر 2008. تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 يونيو 2015 .
  6. ↑ روبسون، كولين (1994). التجربة والتصميم والإحصاء في علم النفس . دار بنغوين للنشر. الصفحات 42-45 . ISBN  0-14-017648-9.
  7. 1 2 ويليامز ، د. (2001). تقدير الاحتمالات . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 165. ISBN  052100618X.
  8. ↑ ميندونالد، جون؛ براون، دبليو. جون (2010-05-06). تحليل البيانات والرسومات باستخدام لغة R: منهج قائم على الأمثلة . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 104. ISBN  978-1-139-48667-5.
  9. ↑ "مراجعة إحصاءات AP - منحنيات الكثافة والتوزيعات الطبيعية" . مؤرشف من الأصل في 8 أبريل 2015. تم الاطلاع عليه في 16 مارس 2015 .
  10. ↑ نيومان، إم إي جيه (2005). "قوانين القوى، وتوزيعات باريتو، وقانون زيبف". الفيزياء المعاصرة . 46 (5): 323-351 . arXiv : cond-mat/0412004 . Bibcode : 2005ConPh..46..323N . doi : 10.1080/00107510500052444 . S2CID 2871747 . 
  11. ↑ ستروك ، دانيال (2011). نظرية الاحتمالات . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 43. ISBN  978-0-521-13250-3.
  12. ↑ ديغروت، موريس هـ. (1970). القرارات الإحصائية المثلى . شركة ماكجرو هيل للنشر، نيويورك-لندن-سيدني. ص 232. ISBN  9780471680291MR 0356303 .​ 
  13. ↑ ستيفن أ. بوك؛ لورانس شير (1979). "ما مدى تقارب المتوسط ​​والوسيط؟" . مجلة الرياضيات للكليات المتوسطة . 10 (3): 202-204 . doi : 10.2307/3026748 . JSTOR 3026748. تاريخ الاسترجاع: 12 مارس 2022 . 
  14. ↑ وارن بيج؛ فيدولا ن. مورتي (1982). "علاقات التقارب بين مقاييس النزعة المركزية والتشتت: الجزء الأول" . مجلة الرياضيات للكليات المتوسطة . 13 (5): 315-327 . doi : 10.1080/00494925.1982.11972639 (غير نشط في 12 يوليو 2025) . تم الاطلاع عليه في 12 مارس 2022 .{{cite journal}}: صيانة CS1: رقم التعريف الرقمي غير نشط اعتبارًا من يوليو 2025 ( رابط )
  15. ↑ أوكينيدي، كولم آرت (1990). "المتوسط ​​يقع ضمن انحراف معياري واحد عن أي وسيط" . الإحصائي الأمريكي . 44 (4): 292-293 . doi : 10.1080/00031305.1990.10475743 . تاريخ الاسترجاع: 12 مارس 2022 .
  16. ↑ مالوز، كولين (أغسطس 1991). "تعليق آخر على أوكينيدي". الإحصائي الأمريكي . 45 (3): 257. doi : 10.1080/00031305.1991.10475815 .
  17. ↑ جونسون، أوليفر؛ سامورث، ريتشارد (1 أكتوبر 2005). "نظرية النهاية المركزية والتقارب نحو قوانين مستقرة في مسافة مالوز" . برنولي . 11 (5). doi : 10.3150/bj/1130077596 . ISSN 1350-7265 . 
  18. ↑ كيمبرمان، يوهانس إتش بي (1987). دودج، يادولاه (محرر). "وسيط قياس محدود على فضاء باناخ: تحليل البيانات الإحصائية بناءً على معيار L1 والأساليب ذات الصلة". أوراق من المؤتمر الدولي الأول المنعقد في نوشاتيل، 31 أغسطس - 4 سبتمبر 1987. أمستردام: دار نشر نورث هولاند: 217-230 . MR 0949228 . 
  19. ↑ ميلاسيفيتش، فيليب؛ دوشارم، جيل ر. (1987). "تفرد الوسيط المكاني" . حوليات الإحصاء . 15 (3): 1332-1333 . doi : 10.1214/aos/1176350511 . MR 0902264 . 
  20. ↑ ملاحظات ك. فان ستين حول الاحتمالات والإحصاء
  21. ↑ باسو، س.؛ داسغوبتا، أ. (1997). "المتوسط ​​والوسيط والمنوال للتوزيعات أحادية المنوال: توصيف". نظرية الاحتمالات وتطبيقاتها . 41 (2): 210-223 . doi : 10.1137/S0040585X97975447 . S2CID 54593178 . 
  22. ↑ فون هيبل، بول ت. (يناير 2005). "المتوسط، والوسيط، والالتواء: تصحيح قاعدة من قواعد الكتب الدراسية" . مجلة تعليم الإحصاء . 13 (2). doi : 10.1080/10691898.2005.11910556 . ISSN 1069-1898 . 
  23. ↑ غرونيفيلد، ريتشارد أ.؛ ميدن، غلين (أغسطس 1977). "عدم المساواة بين المنوال والوسيط والمتوسط" . الإحصائي الأمريكي . 31 (3): 120-121 . doi : 10.1080/00031305.1977.10479215 . ISSN 0003-1305 . 
  24. ↑ ميركل، م. (2005). "متباينة جنسن للوسائط". رسائل الإحصاء والاحتمالات . 71 (3): 277-281 . doi : 10.1016/j.spl.2004.11.010 .
  25. ↑ ألفريد ف. أهو وجون إي. هوبكروفت وجيفري د. أولمان (1974). تصميم وتحليل خوارزميات الحاسوب . ريدينغ/ماساتشوستس: أديسون-ويسلي. ISBN 0-201-00029-6.هنا: القسم 3.6 "إحصائيات الترتيب"، ص 97-99، وبالتحديد الخوارزمية 3.6 والنظرية 3.9.
  26. ↑ بنتلي، جون ل.؛ ماكلروي، م. دوغلاس (1993). "هندسة دالة فرز" . البرمجيات: الممارسة والخبرة . 23 (11): 1249-1265 . doi : 10.1002/spe.4380231105 . S2CID 8822797 . 
  27. ↑ روسيو، بيتر جيه؛ باسيت، جيلبرت دبليو جونيور (1990). "المتوسط ​​العلاجي: طريقة حساب متوسط ​​قوية لمجموعات البيانات الكبيرة" (ملف PDF) . مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية 85 (409): 97-104 . doi : 10.1080/01621459.1990.10475311 .
  28. 1 2 ستيجلر، ستيفن (ديسمبر 1973). "دراسات في تاريخ الاحتمالات والإحصاء. 32: لابلاس، فيشر، واكتشاف مفهوم الكفاية". Biometrika . 60 ( 3): 439-445 . doi : 10.1093/biomet/60.3.439 . JSTOR 2334992. MR 0326872 .  
  29. ↑ رايدر، بول ر. (1960). "تباين الوسيط للعينات الصغيرة من عدة مجتمعات خاصة". مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية 55 (289): 148-150 . doi : 10.1080/01621459.1960.10482056 .
  30. ↑ إيفرون، ب. (1982). جاكنايف، بوتستراب، وخطط إعادة التشكيل الأخرى . فيلادلفيا: SIAM. ISBN 0898711797.
  31. ↑ شاو، ج.؛ وو، سي إف (1989). "نظرية عامة لتقدير تباين جاكنايف" . حوليات الإحصاء 17 (3): 1176-1197 . doi : 10.1214/aos/1176347263 . JSTOR 2241717 . 
  32. ↑ إيفرون، ب. (1979). "طرق بوتستراب: نظرة أخرى على طريقة جاكنايف" . حوليات الإحصاء 7 (1): 1-26 . doi : 10.1214/aos/1176344552 . JSTOR 2958830 . 
  33. ↑ هول، ب.؛ مارتن، م.أ. (1988). "معدل التقارب الدقيق لمُقدِّر تباين الكمية بوتستراب" . نظرية الاحتمالات والحقول ذات الصلة . 80 (2): 261-268 . doi : 10.1007/BF00356105 . S2CID 119701556 . 
  34. ^ جيمينيز-غاميرو، دكتور في الطب؛ مونوز-غارسيا، J .؛ بينو ميجياس، ر. (2004). "تقليل التمهيد للوسيط" . إحصائيات سينيكا . 14 (4): 1179 – 1198.
  35. ↑ ميندونالد، جون؛ جون براون، دبليو. (2010-05-06). تحليل البيانات والرسومات باستخدام لغة R: منهج قائم على الأمثلة . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 9781139486675.
  36. 1 2 3 هيتمانسبيرجر، توماس ب.؛ ماكين، جوزيف و. (1998). الأساليب الإحصائية غير البارامترية القوية . مكتبة كيندال للإحصاء. المجلد 5. لندن: إدوارد أرنولد. ISBN  0-340-54937-8MR 1604954 .​ 
  37. ↑ سمول، كريستوفر ج. "دراسة استقصائية للوسائط متعددة الأبعاد". المجلة الإحصائية الدولية/Revue Internationale de Statistique (1990): 263–277. doi : 10.2307/1403809 JSTOR 1403809 
  38. ^ نينيما، أ، وه. أوجا. "الوسيط متعدد المتغيرات." موسوعة العلوم الإحصائية (1999).
  39. ↑ موسلر، كارل. التشتت متعدد المتغيرات، والمناطق المركزية، والعمق: نهج منطقة الرفع. المجلد 165. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا، 2012.
  40. ↑ بوري، مادان ل.؛ سين، براناب ك.؛ الأساليب غير البارامترية في التحليل متعدد المتغيرات ، جون وايلي وأولاده، نيويورك، نيويورك، 1971. (أعيد طبعه بواسطة دار نشر كريجر)
  41. ↑ فاردي، يهودا؛ تشانغ، كون-هوي (2000). "الوسيط متعدد المتغيرات L1 وعمق البيانات المرتبط به" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية . 97 (4 ) : 1423-1426 (إلكتروني). Bibcode : 2000PNAS...97.1423V . doi : 10.1073 / pnas.97.4.1423 . MR 1740461. PMC 26449. PMID 10677477 .   
  42. ↑ ديفيس، أوتو أ.؛ ديغروت، موريس هـ.؛ هينيتش، ملفين ج. (يناير 1972). "ترتيبات التفضيل الاجتماعي وقاعدة الأغلبية" (ملف PDF) . مجلة Econometrica . 40 (1): 147-157 . doi : 10.2307/1909727 . JSTOR 1909727 . يستخدم المؤلفون، الذين يعملون في موضوع يفترض فيه التفرد، عبارة " الوسيط الفريد في جميع الاتجاهات".
  43. ↑ بارنز، لايتون؛ ديتسو، أليكس جيه؛ جينغبو، ليو؛ بور، إتش. فينسنت (22-08-2024). "تقدير L1: حول أمثلية المقدرات الخطية". معاملات IEEE في نظرية المعلومات . 70 (11): 8026-8039 . doi : 10.1109/TIT.2024.3440929 .
  44. ↑ برات، ويليام ك.؛ كوبر، تيد ج.؛ كبير، إحسان (11 يوليو 1985). كوربيت، فرانسيس ج. (محرر). "مرشح الوسيط الزائف". بنى وخوارزميات معالجة الصور الرقمية II . 0534 : 34. Bibcode : 1985SPIE..534...34P . doi : 10.1117/12.946562 . S2CID 173183609 . 
  45. ↑ أوجا، هانو (2010). الأساليب غير البارامترية متعددة المتغيرات باستخدام لغة R : منهج قائم على الإشارات والرتب المكانية . سلسلة محاضرات في الإحصاء. المجلد 199. نيويورك، نيويورك: سبرينغر. الصفحات: xiv+232. doi : 10.1007/978-1-4419-0468-3 . ISBN    978-1-4419-0467-6MR 2598854​​ 
  46. ↑ ويلكوكس، راند ر. (2001)، "مُقدِّر ثيل-سين"، أساسيات الأساليب الإحصائية الحديثة: تحسين القوة والدقة بشكل كبير ، سبرينغر-فيرلاغ، ص 207-210 ، ISBN  978-0-387-95157-7.
  47. ↑ والد، أ. (1940). "ملاءمة الخطوط المستقيمة إذا كان كلا المتغيرين عرضة للخطأ" (ملف PDF) . حوليات الإحصاء الرياضي . 11 (3): 282-300 . Bibcode : 1940AnnMS..11..284W . doi : 10.1214/aoms/1177731868 . JSTOR 2235677 . 
  48. ↑ ناير، ك. ر.؛ شريفاستافا، م. ب. (1942). "حول طريقة بسيطة لتوفيق المنحنيات". سانخيا: المجلة الهندية للإحصاء . 6 (2): 121-132 . JSTOR 25047749 . 
  49. ↑ براون، جي دبليو؛ مود، إيه إم (1951). "حول اختبارات الوسيط للفرضيات الخطية". وقائع ندوة بيركلي الثانية حول الإحصاء الرياضي والاحتمالات . بيركلي، كاليفورنيا: مطبعة جامعة كاليفورنيا. ص 159-166 . Zbl 0045.08606 .  
  50. ↑ توكي، جيه دبليو (1977). تحليل البيانات الاستكشافي . ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي. ISBN 0201076160.
  51. ↑ براون، جورج و. (1947). "حول تقدير العينات الصغيرة" . حوليات الإحصاء الرياضي . 18 (4): 582-585 . doi : 10.1214/aoms/1177730349 . JSTOR 2236236 . 
  52. ↑ ليمان، إريك ل. (1951). "مفهوم عام للحياد" . حوليات الإحصاء الرياضي . 22 (4): 587-592 . doi : 10.1214/aoms/1177729549 . JSTOR 2236928 . 
  53. ↑ بيرنباوم، آلان (1961). "نظرية موحدة للتقدير، الجزء الأول" . حوليات الإحصاء الرياضي . 32 (1): 112-135 . doi : 10.1214/aoms/1177705145 . JSTOR 2237612 . 
  54. ↑ فان دير فارت ، هـ. روبرت (1961). "بعض التوسعات لفكرة التحيز" . حوليات الإحصاء الرياضي . 32 (2): 436-447 . doi : 10.1214/aoms/1177705051 . JSTOR 2237754. MR 0125674 .  
  55. ^ بفانزاجل، يوهان. بمساعدة ر. هامبوكر (1994). النظرية الإحصائية البارامترية . والتر دي جرويتر. رقم ISBN 3-11-013863-8MR 1291393​​ 
  56. ↑ بفانزاجل، يوهان. "حول المقدرات الوسيطة المثلى غير المتحيزة في وجود معلمات مزعجة." حوليات الإحصاء (1979): 187-193.
  57. ↑ براون، إل دي؛ كوهين، آرثر؛ سترودرمان، دبليو إي (1976). "نظرية فئة كاملة لنسبة الاحتمال الرتيبة الصارمة مع تطبيقات" . حوليات الإحصاء . 4 (4): 712-722 . doi : 10.1214/aos/1176343543 .
  58. ↑ الصفحة؛ براون، إل دي؛ كوهين، آرثر؛ سترودرمان، دبليو إي (1976). "نظرية فئة كاملة لنسبة الاحتمال الرتيبة الصارمة مع تطبيقات" . حوليات الإحصاء . 4 (4): 712-722 . doi : 10.1214/aos/1176343543 .
  59. 1 2 3 4 باكر، آرثر؛ جرافيميير ، كوينو بي (2006-06-01). “الظواهر التاريخية للمتوسط ​​والوسيط”. دراسات تربوية في الرياضيات . 62 (2): 149-168 . دوى : 10.1007 / s10649-006-7099-8 . ردمك 1573-0816 . S2CID 143708116 .  
  60. ↑ أدلر، دان (31 ديسمبر 2014). "التلمود والاقتصاد الحديث" . قضايا يهودية أمريكية وإسرائيلية . مؤرشف من الأصل في 6 ديسمبر 2015. تم الاطلاع عليه في 22 فبراير 2020 .
  61. ^ النظرية الاقتصادية الحديثة في التلمود بقلم يسرائيل أومان
  62. 1 2 3 4 أيزنهارت، تشرشل (24 أغسطس 1971). تطور مفهوم أفضل متوسط ​​لمجموعة من القياسات من العصور القديمة إلى يومنا هذا (ملف PDF) (خطاب). الاجتماع السنوي 131 للجمعية الإحصائية الأمريكية. جامعة ولاية كولورادو.
  63. 1 2 "كيف انتصر المتوسط ​​على الوسيط" . برايسونوميكس . 5 أبريل 2016. تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 فبراير 2020 .
  64. ↑ سانغستر، آلان (مارس 2021). "حياة وأعمال لوكا باتشولي (1446/7–1517)، المربي الإنساني" . أباكوس . 57 (1): 126–152 . doi : 10.1111/abac.12218 . hdl : 2164/16100 . ISSN 0001-3072 . S2CID 233917744 .  
  65. ↑ رايت، إدوارد؛ بارسونز، إي جيه إس؛ موريس، دبليو إف (1939). "إدوارد رايت وأعماله" . إيماجو موندي . 3 (1): 61-71 . doi : 10.1080/03085693908591862 . ISSN 0308-5694 . JSTOR 1149920 .  
  66. ↑ ستيجلر، إس إم (1986). تاريخ الإحصاء: قياس عدم اليقين قبل عام 1900. مطبعة جامعة هارفارد. ISBN 0674403401.
  67. ^ Laplace PS de (1818) Deuxième Supplément à la Théorie Analytique des Probabilités ، باريس، كورسييه
  68. ↑ جاينز، إي تي (2007). نظرية الاحتمالات : منطق العلم (الطبعة الخامسة المطبوعة). كامبريدج [ua]: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 172. ISBN    978-0-521-59271-0.
  69. ↑ هاورث، ريتشارد (2017). قاموس العلوم الجيولوجية الرياضية: مع ملاحظات تاريخية . سبرينغر. ص 374. 
  70. 1 2 كينز، ج. م. (1921) رسالة في الاحتمالات . الجزء الثاني، الفصل السابع عشر، الفقرة 5 (ص 201) (طبعة 2006، كوزيمو كلاسيكس، ISBN 9781596055308 (طبعات أخرى متعددة)
  71. ↑ ستيجلر، ستيفن م. (2002). الإحصاءات على الطاولة: تاريخ المفاهيم والأساليب الإحصائية . مطبعة جامعة هارفارد. ص 105-107 . ISBN  978-0-674-00979-0.
  72. ↑ غالتون ف (1881) "تقرير لجنة القياسات البشرية" الصفحات 245-260. تقرير الاجتماع الحادي والخمسين للجمعية البريطانية لتقدم العلوم
  73. ↑ ديفيد، هـ. أ. (1995). "أول ظهور (؟) للمصطلحات الشائعة في الإحصاء الرياضي". الإحصائي الأمريكي . 49 (2): 121-133 . doi : 10.2307/2684625 . ISSN 0003-1305 . JSTOR 2684625 .  
  74. ↑ encyclopediaofmath.org
  75. ↑ personal.psu.edu

تتضمن هذه المقالة مواد من Median موزعة على PlanetMath ، وهي مرخصة بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .