التباين

إذا كان مولد المتغير العشوائي${\displaystyle X}$منفصلة ذات دالة كتلة احتمالية${\displaystyle x_{1}\mapsto p_{1},x_{2}\mapsto p_{2},\ldots ,x_{n}\mapsto p_{n}}$، ثم $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\cdot {\left(x_{i}-\mu \right)}^{2},}$$ أين${\displaystyle \mu }$هي القيمة المتوقعة. أي، $${\displaystyle \mu =\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}.}$$ (عندما يتم تحديد مثل هذا التباين الموزون المنفصل بواسطة أوزان مجموعها ليس  1، فإن المرء يقسم على مجموع الأوزان.)

تباين مجموعة من${\displaystyle n}$يمكن كتابة القيم ذات الاحتمالية المتساوية على النحو التالي: $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2},}$$ أين${\displaystyle \mu }$هي القيمة المتوسطة. أي $${\displaystyle \mu ={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}$$

تباين مجموعة من${\displaystyle n}$يمكن التعبير عن القيم المحتملة بنفس القدر بشكل مكافئ، دون الإشارة مباشرة إلى المتوسط، من حيث مربعات الانحرافات لجميع مربعات المسافات الزوجية للنقاط من بعضها البعض: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2}}{\left(x_{i}-x_{j}\right)}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i}\sum _{j>i}{\left(x_{i}-x_{j}\right)}^{2}.}$$

إذا كان المتغير العشوائي${\displaystyle X}$لها دالة كثافة احتمالية${\displaystyle f(x)}$، و${\displaystyle F(x)}$إذا كانت دالة التوزيع التراكمي المقابلة ، $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}&=\int _{\mathbb {R} }{\left(x-\mu \right)}^{2}f(x)\,dx\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}f(x)\,dx-2\mu \int _{\mathbb {R} }xf(x)\,dx+\mu ^{2}\int _{\mathbb {R} }f(x)\,dx\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-2\mu \int _{\mathbb {R} }x\,dF(x)+\mu ^{2}\int _{\mathbb {R} }\,dF(x)\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-2\mu \cdot \mu +\mu ^{2}\cdot 1\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-\mu ^{2},\end{aligned}}}$$ أو ما يعادل ذلك، $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\int _{\mathbb {R} }x^{2}f(x)\,dx-\mu ^{2},}$$ أين${\displaystyle \mu }$القيمة المتوقعة لـ${\displaystyle X}$مقدم من $${\displaystyle \mu =\int _{\mathbb {R} }xf(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} }x\,dF(x).}$$

في هذه الصيغ، التكاملات بالنسبة إلى${\displaystyle dx}$و${\displaystyle dF(x)}$وهي تكاملات ليبيغ وليبيغ -ستيلتيس ، على التوالي.

إذا كانت الدالة${\displaystyle x^{2}f(x)}$قابلة للتكامل وفقًا لريمان على كل فترة محدودة${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} ,}$ثم $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{2}f(x)\,dx-\mu ^{2},}$$ حيث يكون التكامل تكامل ريمان غير صحيح .

التوزيع الأسي ذو المعلمة ⁠${\displaystyle \lambda >0}$هو توزيع مستمر دالة كثافة احتماله معطاة بـ $${\displaystyle f(x)=\lambda e^{-\lambda x}}$$ على الفترة [ 0، ∞) . ويمكن إثبات أن متوسطها هو $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{0}^{\infty }x\lambda e^{-\lambda x}\,dx={\frac {1}{\lambda }}.}$$

باستخدام التكامل بالتجزئة والاستفادة من القيمة المتوقعة المحسوبة مسبقًا، نحصل على: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X^{2}\right]&=\int _{0}^{\infty }x^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx\\&={\left[-x^{2}e^{-\lambda x}\right]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }2xe^{-\lambda x}\,dx\\&=0+{\frac {2}{\lambda }}\operatorname {E} [X]\\&={\frac {2}{\lambda ^{2}}}.\end{aligned}}}$$

وبالتالي، فإن تباين ⁠${\displaystyle X}$يتم إعطاؤها بواسطة $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}={\frac {2}{\lambda ^{2}}}-\left({\frac {1}{\lambda }}\right)^{2}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}.}$$

يمكن نمذجة نرد سداسي الأوجه متوازن كمتغير عشوائي منفصل ،${\displaystyle X}$، مع نتائج من 1 إلى 6، لكل منها احتمال متساوٍ 1/6. القيمة المتوقعة لـ${\displaystyle X}$هو​${\displaystyle (1+2+3+4+5+6)/6=7/2.}$وبالتالي، فإن تباين ⁠${\displaystyle X}$هو​ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\sum _{i=1}^{6}{\frac {1}{6}}\left(i-{\frac {7}{2}}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {1}{6}}\left((-5/2)^{2}+(-3/2)^{2}+(-1/2)^{2}+(1/2)^{2}+(3/2)^{2}+(5/2)^{2}\right)\\[5pt]&={\frac {35}{12}}\approx 2.92.\end{aligned}}}$$

الصيغة العامة لتباين النتيجة، ⁠${\displaystyle X}$، من​${\displaystyle n}$النرد ذو الوجهين$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left(X^{2}\right)-(\operatorname {E} (X))^{2}\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}i^{2}-\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {(n+1)(2n+1)}{6}}-\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}\\[4pt]&={\frac {n^{2}-1}{12}}.\end{aligned}}}$$

يسرد الجدول التالي التباين لبعض التوزيعات الاحتمالية الشائعة الاستخدام.

اسم التوزيع الاحتمالي	دالة توزيع الاحتمالات	يقصد	التباين
التوزيع ذو الحدين	${\displaystyle \Pr \,(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$	${\displaystyle np}$	${\displaystyle np(1-p)}$
التوزيع الهندسي	${\displaystyle \Pr \,(X=k)=(1-p)^{k-1}p}$	${\displaystyle {\frac {1}{p}}}$	${\displaystyle {\frac {(1-p)}{p^{2}}}}$
التوزيع الطبيعي	${\displaystyle f\left(x\mid \mu ,\sigma ^{2}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {1}{2}}{\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}^{2}}}$	${\displaystyle \mu }$	${\displaystyle \sigma ^{2}}$
التوزيع المنتظم (المستمر)	${\displaystyle f(x\mid a,b)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{for }}a\leq x\leq b,\\[3pt]0&{\text{for }}x<a{\text{ or }}x>b\end{cases}}}$	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {(b-a)^{2}}{12}}}$
التوزيع الأسي	${\displaystyle f(x\mid \lambda )=\lambda e^{-\lambda x}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda ^{2}}}}$
توزيع بواسون	${\displaystyle f(k\mid \lambda )={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}}$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle \lambda }$

التباين غير سالب لأن المربعات موجبة أو صفر: $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)\geq 0.}$$

تباين الثابت يساوي صفرًا. $${\displaystyle \operatorname {Var} (a)=0.}$$

وعلى النقيض من ذلك، إذا كان تباين متغير عشوائي يساوي صفرًا، فإنه يكاد يكون ثابتًا بشكل مؤكد. أي أنه دائمًا ما تكون له نفس القيمة: $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=0\iff \exists a:P(X=a)=1.}$$

إذا لم يكن للتوزيع قيمة متوقعة محدودة، كما هو الحال في توزيع كوشي ، فإن التباين لا يمكن أن يكون محدودًا أيضًا. مع ذلك، قد لا يكون لبعض التوزيعات تباين محدود، على الرغم من أن قيمتها المتوقعة محدودة. ومن الأمثلة على ذلك توزيع باريتو الذي يكون مؤشره${\displaystyle k}$يرضي${\displaystyle 1<k\leq 2.}$

الصيغة العامة لتحليل التباين أو قانون التباين الكلي هي: إذا${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$هما متغيران عشوائيان، وتباين${\displaystyle X}$موجود، إذن $${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} (\operatorname {Var} [X\mid Y])+\operatorname {Var} (\operatorname {E} [X\mid Y]).}$$

التوقع المشروط${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y)}$ل${\displaystyle X}$منح${\displaystyle Y}$والتباين الشرطي${\displaystyle \operatorname {Var} (X\mid Y)}$يمكن فهم ذلك على النحو التالي. بالنظر إلى أي قيمة معينة y للمتغير  العشوائي Y ، يوجد توقع شرطي. ${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y=y)}$ بافتراض الحدث Y = y ، فإن هذه الكمية تعتمد على القيمة المحددة y ؛ فهي دالة.    ${\displaystyle g(y)=\operatorname {E} (X\mid Y=y)}$. نفس الدالة عند تقييمها عند المتغير العشوائي Y هي التوقع الشرطي ⁠${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y)=g(Y)}$⁠ .

على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle Y}$هو متغير عشوائي منفصل يأخذ قيمًا محتملة${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3}\ldots }$مع الاحتمالات المقابلة${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3}\ldots ,}$ثم في صيغة التباين الكلي، يصبح الحد الأول على الجانب الأيمن $${\displaystyle \operatorname {E} (\operatorname {Var} [X\mid Y])=\sum _{i}p_{i}\sigma _{i}^{2},}$$ أين${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=\operatorname {Var} [X\mid Y=y_{i}]}$وبالمثل، يصبح الحد الثاني على الجانب الأيمن $${\displaystyle \operatorname {Var} (\operatorname {E} [X\mid Y])=\sum _{i}p_{i}\mu _{i}^{2}-\left(\sum _{i}p_{i}\mu _{i}\right)^{2}=\sum _{i}p_{i}\mu _{i}^{2}-\mu ^{2},}$$ أين​${\displaystyle {1}}$و​​${\displaystyle \textstyle \mu =\sum _{i}p_{i}\mu _{i}}$وبالتالي ، يُعطى التباين الكلي بواسطة $${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\sum _{i}p_{i}\sigma _{i}^{2}+\left(\sum _{i}p_{i}\mu _{i}^{2}-\mu ^{2}\right).}$$

يتم تطبيق صيغة مماثلة في تحليل التباين ، حيث تكون الصيغة المقابلة هي $${\displaystyle {\mathit {MS}}_{\text{total}}={\mathit {MS}}_{\text{between}}+{\mathit {MS}}_{\text{within}};}$$ هنا${\displaystyle {\mathit {MS}}}$يشير إلى متوسط ​​المربعات. في تحليل الانحدار الخطي، الصيغة المقابلة هي $${\displaystyle {\mathit {MS}}_{\text{total}}={\mathit {MS}}_{\text{regression}}+{\mathit {MS}}_{\text{residual}}.}$$

ويمكن استنتاج ذلك أيضًا من خاصية جمع التباينات، حيث أن النتيجة الإجمالية (الملاحظة) هي مجموع النتيجة المتوقعة ونتيجة الخطأ، حيث أن الأخيرين غير مرتبطين.

يمكن إجراء تحليلات مماثلة لمجموع مربعات الانحرافات (مجموع المربعات،${\displaystyle {\mathit {SS}}}$): $${\displaystyle {\mathit {SS}}_{\text{total}}={\mathit {SS}}_{\text{between}}+{\mathit {SS}}_{\text{within}},}$$$${\displaystyle {\mathit {SS}}_{\text{total}}={\mathit {SS}}_{\text{regression}}+{\mathit {SS}}_{\text{residual}}.}$$

يمكن التعبير عن تباين المجتمع لمتغير عشوائي غير سالب بدلالة دالة التوزيع التراكمي F باستخدام $${\displaystyle 2\int _{0}^{\infty }u(1-F(u))\,du-{\left[\int _{0}^{\infty }(1-F(u))\,du\right]}^{2}.}$$

يمكن استخدام هذا التعبير لحساب التباين في الحالات التي يمكن فيها التعبير عن دالة التوزيع التراكمي (CDF) بشكل ملائم ، ولكن ليس الكثافة .

تصل العزم الثاني لمتغير عشوائي إلى أدنى قيمة لها عندما يتم قياسها حول العزم الأول (أي المتوسط) للمتغير العشوائي، أي${\displaystyle \mathrm {argmin} _{m}\,\mathrm {E} \left(\left(X-m\right)^{2}\right)=\mathrm {E} (X)}$. على العكس من ذلك، إذا كانت الدالة متصلة${\displaystyle \varphi }$يرضي${\displaystyle \mathrm {argmin} _{m}\,\mathrm {E} (\varphi (X-m))=\mathrm {E} (X)}$بالنسبة لجميع المتغيرات العشوائية X ، فإنها بالضرورة تكون على الشكل التالي :${\displaystyle \varphi (x)=ax^{2}+b}$، حيث a > 0. وينطبق هذا أيضًا في الحالة متعددة الأبعاد. ^{[ 3 ]}

على عكس الانحراف المطلق المتوقع ، فإن تباين المتغير له وحدات تساوي مربع وحدات المتغير نفسه. على سبيل المثال، متغير يُقاس بالمتر يكون تباينه مُقاسًا بالمتر المربع. لهذا السبب، يُفضّل غالبًا وصف مجموعات البيانات باستخدام انحرافها المعياري أو جذر متوسط ​​مربع الانحراف بدلًا من استخدام التباين. في مثال النرد، الانحراف المعياري هو √2.9 ≈ 1.7 ، وهو أكبر قليلًا من الانحراف المطلق المتوقع البالغ  1.5.

يمكن استخدام كل من الانحراف المعياري والانحراف المطلق المتوقع كمؤشر على مدى تشتت التوزيع. يُعد الانحراف المعياري أسهل في التعامل معه جبريًا من الانحراف المطلق المتوقع، ويُستخدم بكثرة في الإحصاء النظري، إلى جانب التباين وتعميمه التغايري . مع ذلك، يميل الانحراف المطلق المتوقع إلى أن يكون أكثر دقة لأنه أقل تأثرًا بالقيم المتطرفة الناتجة عن شذوذ القياس أو التوزيعات ذات الذيل السميك بشكل مفرط .

يظل التباين ثابتًا بغض النظر عن التغيرات في معلمة الموقع . أي أنه إذا أُضيف ثابت إلى جميع قيم المتغير، فإن التباين يبقى دون تغيير. $${\displaystyle \operatorname {Var} (X+a)=\operatorname {Var} (X).}$$

إذا تم قياس جميع القيم بمعامل ثابت، فإن التباين يتم قياسه بمربع ذلك المعامل الثابت: $${\displaystyle \operatorname {Var} (aX)=a^{2}\operatorname {Var} (X).}$$

يُعطى تباين مجموع متغيرين عشوائيين بالصيغة التالية: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (aX+bY)&=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)+2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y)\\[1ex]\operatorname {Var} (aX-bY)&=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)-2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y)\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)}$هو التباين المشترك .

بشكل عام، بالنسبة لمجموع${\displaystyle N}$المتغيرات العشوائية${\displaystyle \{X_{1},\dots ,X_{N}\}}$، يصبح التباين: $${\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\sum _{i,j=1}^{N}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Var} (X_{i})+\sum _{i,j=1,i\neq j}^{N}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j}),}$$ انظر أيضًا هوية الجنرال بيناميه .

تؤدي هذه النتائج إلى تباين التركيبة الخطية على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i}\right)&=\sum _{i,j=1}^{N}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\\&=\sum _{i=1}^{N}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+\sum _{i\neq j}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\\&=\sum _{i=1}^{N}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+2\sum _{1\leq i<j\leq N}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j}).\end{aligned}}}$$

إذا كانت المتغيرات العشوائية${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{N}}$هي من النوع الذي $${\displaystyle \operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=0\ ,\ \forall \ (i\neq j),}$$ عندئذٍ يُقال إنها غير مترابطة . ويترتب على ذلك مباشرةً من التعبير المذكور سابقًا أنه إذا كانت المتغيرات العشوائية${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{N}}$إذا كانت المتغيرات غير مترابطة، فإن تباين مجموعها يساوي مجموع تبايناتها، أو، معبراً عنها رمزياً: $${\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Var} (X_{i}).}$$

بما أن المتغيرات العشوائية المستقلة تكون دائمًا غير مترابطة (انظر التغاير §  عدم الترابط والاستقلال )، فإن المعادلة أعلاه تنطبق بشكل خاص عندما تكون المتغيرات العشوائية${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$مستقلة. وبالتالي، فإن الاستقلال كافٍ ولكنه ليس ضرورياً لكي يساوي تباين المجموع مجموع التباينات.

تستخدم طريقة دلتا متسلسلات تايلور من الدرجة الثانية لتقريب تباين دالة لمتغير عشوائي واحد أو أكثر (انظر متسلسلات تايلور لعزوم دوال المتغيرات العشوائية ). على سبيل المثال، يُعطى التباين التقريبي لدالة لمتغير واحد بالصيغة التالية: $${\displaystyle \operatorname {Var} \left[f(X)\right]\approx \left(f'(\operatorname {E} \left[X\right])\right)^{2}\operatorname {Var} \left[X\right]}$$ بشرط أن تكون الدالة f قابلة للتفاضل مرتين وأن يكون متوسط ​​وتباين X محدودين.

بشكل عام، تباين السكان لمجموعة سكانية محدودة الحجم ⁠${\displaystyle N}$حيث تُعطى القيم x _{i بواسطة}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{2}&={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\left(x_{i}-\mu \right)}^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}^{2}-2\mu x_{i}+\mu ^{2}\right)\\[5pt]&=\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-2\mu \left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)+\mu ^{2}\\[5pt]&=\operatorname {E} [x_{i}^{2}]-\mu ^{2},\end{aligned}}}$$ حيث يكون متوسط ​​السكان${\textstyle \mu =\operatorname {E} [x_{i}]={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}}$و​${\displaystyle \textstyle \operatorname {E} [x_{i}^{2}]=\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)}$، حيث${\textstyle \operatorname {E} }$هو عامل القيمة المتوقعة .

يمكن أيضًا حساب تباين السكان باستخدام ^{[ 13 ]}$${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i<j}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}={\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}.}$$

(يحتوي الجانب الأيمن على حدود مكررة في المجموع، بينما يحتوي الجانب الأوسط على حدود فريدة فقط للجمع.) هذا صحيح لأن $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}{\left(x_{i}-x_{j}\right)}^{2}\\[5pt]={}&{\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}\left(x_{i}^{2}-2x_{i}x_{j}+x_{j}^{2}\right)\\[5pt]={}&{\frac {1}{2N}}\sum _{j=1}^{N}\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}x_{j}\right)+{\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}x_{j}^{2}\right)\\[5pt]={}&{\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right)-\mu ^{2}+{\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right)\\[5pt]={}&\sigma ^{2}.\end{aligned}}}$$

يتطابق تباين المجتمع الإحصائي مع تباين التوزيع الاحتمالي المولد. وبهذا المعنى، يمكن توسيع مفهوم المجتمع الإحصائي ليشمل المتغيرات العشوائية المستمرة ذات المجتمعات الإحصائية اللانهائية.