توزيع الاحتمال الشرطي

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، يُعدّ التوزيع الاحتمالي الشرطي توزيعًا احتماليًا يصف احتمالية حدوث نتيجة معينة بشرط وقوع حدث معين. بافتراض وجود متغيرين عشوائيين موزعين توزيعًا مشتركًا .${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$، التوزيع الاحتمالي الشرطي لـ${\displaystyle Y}$منح${\displaystyle X}$هو التوزيع الاحتمالي لـ${\displaystyle Y}$متى${\displaystyle X}$من المعروف أن لها قيمة معينة؛ في بعض الحالات، يمكن التعبير عن الاحتمالات الشرطية كدوال تحتوي على القيمة غير المحددة${\displaystyle x}$ل${\displaystyle X}$كمعامل. عندما يكون كلاهما${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$عندما تكون المتغيرات فئوية ، يُستخدم عادةً جدول الاحتمالات الشرطية لتمثيل الاحتمال الشرطي. ويختلف التوزيع الشرطي عن التوزيع الهامشي لمتغير عشوائي، وهو توزيعه دون الرجوع إلى قيمة المتغير الآخر.

إذا كان التوزيع الشرطي لـ${\displaystyle Y}$منح${\displaystyle X}$إذا كان التوزيع مستمرًا ، فإن دالة كثافة احتماله تُعرف بدالة الكثافة الشرطية . ^{[ 1 ]} غالبًا ما يُشار إلى خصائص التوزيع الشرطي، مثل العزوم ، بأسماء مقابلة مثل المتوسط ​​الشرطي والتباين الشرطي .

بشكل عام، يمكن للمرء أن يشير إلى التوزيع الشرطي لمجموعة فرعية من مجموعة تضم أكثر من متغيرين؛ هذا التوزيع الشرطي يعتمد على قيم جميع المتغيرات المتبقية، وإذا تم تضمين أكثر من متغير واحد في المجموعة الفرعية، فإن هذا التوزيع الشرطي هو التوزيع الشرطي المشترك للمتغيرات المضمنة.

بالنسبة للمتغيرات العشوائية المنفصلة ، ​​فإن دالة الكتلة الاحتمالية الشرطية لـ${\displaystyle Y}$منح${\displaystyle X=x}$يمكن كتابتها وفقًا لتعريفها على النحو التالي:

بسبب حدوث${\displaystyle P(X=x)}$في المقام، يتم تعريف هذا فقط للقيم غير الصفرية (وبالتالي موجبة تمامًا).${\displaystyle P(X=x).}$

العلاقة مع التوزيع الاحتمالي لـ${\displaystyle X}$منح${\displaystyle Y}$يكون:

${\displaystyle P(Y=y\mid X=x)P(X=x)=P(\{X=x\}\cap \{Y=y\})=P(X=x\mid Y=y)P(Y=y).}$

وبالمثل بالنسبة للمتغيرات العشوائية المستمرة ، فإن دالة كثافة الاحتمال الشرطي لـ${\displaystyle Y}$بالنظر إلى حدوث القيمة${\displaystyle x}$ل${\displaystyle X}$يمكن كتابتها على النحو التالي ^{[ 2 ]}

أين${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$يعطي الكثافة المشتركة لـ${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$، بينما${\displaystyle f_{X}(x)}$يعطي الكثافة الحدية لـ${\displaystyle X}$وفي هذه الحالة أيضاً، من الضروري أن${\displaystyle f_{X}(x)>0}$.

العلاقة مع التوزيع الاحتمالي لـ${\displaystyle X}$منح${\displaystyle Y}$يُعطى بواسطة:

${\displaystyle f_{Y\mid X}(y\mid x)f_{X}(x)=f_{X,Y}(x,y)=f_{X|Y}(x\mid y)f_{Y}(y).}$

إن مفهوم التوزيع الشرطي لمتغير عشوائي مستمر ليس بديهيًا كما قد يبدو: تُظهر مفارقة بوريل أن دوال كثافة الاحتمال الشرطي لا يلزم أن تكون ثابتة تحت تحويلات الإحداثيات.

مثال

يُظهر الرسم البياني كثافة احتمالية مشتركة طبيعية ثنائية المتغيرات للمتغيرات العشوائية${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$للاطلاع على توزيع${\displaystyle Y}$بشرط${\displaystyle X=70}$يمكن للمرء أولاً أن يتصور الخط${\displaystyle X=70}$في${\displaystyle X,Y}$المستوى ، ثم تخيل المستوى الذي يحتوي على ذلك الخط ويكون عموديًا عليه.${\displaystyle X,Y}$المستوى. تقاطع هذا المستوى مع دالة الكثافة الطبيعية المشتركة، بعد إعادة قياسها لإعطاء وحدة مساحة تحت التقاطع، هو دالة الكثافة الشرطية ذات الصلة.${\displaystyle Y}$.

${\displaystyle Y\mid X=70\ \sim \ {\mathcal {N}}\left(\mu _{Y}+{\frac {\sigma _{Y}}{\sigma _{X}}}\rho (70-\mu _{X}),\,(1-\rho ^{2})\sigma _{Y}^{2}\right).}$

المتغيرات العشوائية${\displaystyle X}$،${\displaystyle Y}$تكون مستقلة إذا وفقط إذا كان التوزيع الشرطي لـ${\displaystyle Y}$منح${\displaystyle X}$هو، بالنسبة لجميع التحقيقات الممكنة لـ${\displaystyle X}$، وهو ما يعادل التوزيع غير المشروط لـ${\displaystyle Y}$بالنسبة للمتغيرات العشوائية المنفصلة، ​​هذا يعني${\displaystyle P(Y=y|X=x)=P(Y=y)}$لكل ما هو ممكن${\displaystyle y}$و${\displaystyle x}$مع${\displaystyle P(X=x)>0}$بالنسبة للمتغيرات العشوائية المستمرة${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$، أي أن لها دالة كثافة مشتركة ، وهذا يعني${\displaystyle f_{Y}(y|X=x)=f_{Y}(y)}$لكل ما هو ممكن${\displaystyle y}$و${\displaystyle x}$مع${\displaystyle f_{X}(x)>0}$.

يُنظر إليه كوظيفة من${\displaystyle y}$بالنسبة للمعطى${\displaystyle x}$،${\displaystyle P(Y=y|X=x)}$هي دالة كتلة احتمالية، وبالتالي فإن المجموع على جميع${\displaystyle y}$(أو التكامل إذا كانت دالة كثافة احتمالية شرطية) يساوي 1. يُنظر إليه كدالة لـ${\displaystyle x}$بالنسبة للمعطى${\displaystyle y}$إنها دالة احتمالية ، لذا فإن المجموع (أو التكامل) على جميع${\displaystyle x}$ليس بالضرورة أن يكون 1.

بالإضافة إلى ذلك، يمكن التعبير عن التوزيع الهامشي للتوزيع المشترك على أنه القيمة المتوقعة للتوزيع الشرطي المقابل. على سبيل المثال،${\displaystyle p_{X}(x)=E_{Y}[p_{X|Y}(x\ |\ Y)]}$.

يترك${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ليكن فضاء احتمالي ،${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}$أ${\displaystyle \sigma }$-الحقل في${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. منح${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$تنص نظرية رادون -نيكوديم على وجود ^{[ 3 ]} أ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$متغير عشوائي قابل للقياس${\displaystyle P(A\mid {\mathcal {G}}):\Omega \to \mathbb {R} }$، والتي تسمى الاحتمال الشرطي ، بحيث$${\displaystyle \int _{G}P(A\mid {\mathcal {G}})(\omega )dP(\omega )=P(A\cap G)}$$لكل${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ويكون هذا المتغير العشوائي مُعرَّفًا بشكل فريد حتى مجموعات احتمالية الصفر. ويُسمى الاحتمال الشرطي منتظمًا إذا${\displaystyle \operatorname {P} (\cdot \mid {\mathcal {G}})(\omega )}$هو مقياس احتمالي على${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$للجميع${\displaystyle \omega \in \Omega }$ae

حالات خاصة:

• بالنسبة لجبر سيجما التافه${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{\emptyset ,\Omega \}}$، الاحتمال الشرطي هو دالة ثابتة${\displaystyle \operatorname {P} \!\left(A\mid \{\emptyset ,\Omega \}\right)=\operatorname {P} (A).}$
• لو${\displaystyle A\in {\mathcal {G}}}$، ثم${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid {\mathcal {G}})=1_{A}}$، دالة المؤشر (المحددة أدناه ).

يترك${\displaystyle X:\Omega \to E}$كن${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$متغير عشوائي ذو قيم n. لكل${\displaystyle B\in {\mathcal {E}}}$، يُعرِّف$${\displaystyle \mu _{X\,|\,{\mathcal {G}}}(B\,|\,{\mathcal {G}})=\mathrm {P} (X^{-1}(B)\,|\,{\mathcal {G}}).}$$لأي${\displaystyle \omega \in \Omega }$، الوظيفة${\displaystyle \mu _{X\,|{\mathcal {G}}}(\cdot \,|{\mathcal {G}})(\omega ):{\mathcal {E}}\to \mathbb {R} }$يُطلق عليه اسم التوزيع الاحتمالي الشرطي لـ${\displaystyle X}$منح${\displaystyle {\mathcal {G}}}$إذا كان مقياس احتمالية على${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$ثم يُطلق عليه اسم عادي .

بالنسبة لمتغير عشوائي ذي قيمة حقيقية (بالنسبة لبوريل)${\displaystyle \sigma }$-مجال${\displaystyle {\mathcal {R}}^{1}}$على${\displaystyle \mathbb {R} }$^{[ 4 ]} في هذه الحالة، يكون كل توزيع احتمالي شرطي منتظمًا.${\displaystyle E[X\mid {\mathcal {G}}]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\mu _{X\mid {\mathcal {G}}}(dx,\cdot )}$شبه مؤكد .

• التكييف (الاحتمالية)
• الاحتمال الشرطي
• الاحتمال الشرطي المنتظم
• نظرية بايز